（概率论与数理统计专业论文）汽车保险最优奖惩系统研究.pdf

摘要 从世界范围来看，一个在机动车辆保险市场上希望占有并保持一定份额的 保险人无不使用奖惩系统或称无赔款优待制度。在该系统中，保险公司将根据投 保人以往年份的索赔情况调整其续期保费。通常的原则是，上一保险年度发生的 索赔次数越多，次年的续期保费将越高。反之，如果上一保险年度没有发生索赔， 保险公司将降低投保人的续期保费。毫无疑问，保险公司调整投保人续期保费的 主要目的之一就是为了公平投保人的保费负担，使高风险的投保人缴纳相对较高 的保险费。但是，实证结果研究表明，保险公司目前应用的这些系统( 包括我国 在内) 往往难以达到这一目的。为此，有人设计出所谓的最优奖惩系统。 我国目前的车辆保险条款中只有无赔款优待折扣这一条。其实无赔款优待 ( n c d ) 是奖惩系统( b m s ) 的一种特殊形式，我国目前采用的无赔款优待制度中存 在的主要问题是： 我国n c d 制度折扣等级太少，对投保人奖威多，惩罚少；只允许保费从基 础保费降低，不允许从基础保费增加；奖励和惩罚基本上与投保人的索赔次数和 索赔额度无关，基础费率偏高新投保人和风险最高的投保人都处于0 折扣类， 对二者同样看待，且交费都为基础保费，基础保费每年变化，这引发了对投保人 的隐性惩罚，从而淡化了n c d 制度的初衷 而国际b m s 则规定各种保费水平 以后，一直沿用几十年不变，对投保人是透明和公平的，奖惩很严格、很具体的。 直到目前，国际精算文献中研究的最优b m s ，只考虑投保人上一年的索赔次 数，没有考虑索赔额的大小，也即对于小额损失和大额损失的惩罚是一样的。本 文在盂生旺和袁卫研究的基础上，同时考虑索赔次数和索赔额，建立几种最优奖 惩系统。最后，研究了以单个投保人为基础，同时考虑先验信息、索赔次数、索 赔额的最优奖惩系统。在我国机动车辆保险市场上，n c d 制度还存在许多不足， 因此本文的研究在国内具有一定的现实意义，在国际上具有一定的理论意义。 关键字：最优奖惩系统；索赔次数：索赔额；先验信息；汽车保险 a b s t r a c t i ti sw o r l d w i d ea c c e p t e dt h a ta n yi n s u r e rw h oa i m st op o s s e sa n dm a i n t a i nc e r t a i n a m o u n to fa u t o m o b i l ei n s u r a n c em a r k e tw o u l du s eb m s ( b o n u s m a l u ss y s t e m ) o r s o c a l l e dn c d s y s t e m i nt h i ss y s t e m t h ei n s u r a n c ec o m p a n y w i l la d j u s ti t sr e n e w p r e m i u ma c c o r d i n gt ot h ep o l i c y h o l d e r sc l a i m so f t h ep r e v i o u sy e a r s n eg e n e r a l p r i n c i p l ei sl i k et h i s ：t h em o r es e v e r i t yt h e r ei si nt h ep r e v i o u si n s u r a n c ey e a r , t h e h i 卫h e rt h er e n e wp r e m i u mw i l lb ei nt h ef o l l o w i n gy e a r o nt h ec o n t r a r y , j ft h e r ei sn o d a i mi nt h ep r e v i o u si n s u r a n c ey e a r , t h ei n s u r a n c ec o m p a n yw o u l dr e d u c et h e p o l i c y - h o l d e r sr e n e wp r e m i u m i ti s n od o u b tt h a to n eo ft h em a i na i m so ft h e a d j u s t m e n to fr e n e wp r e m i u mi st om a k et h ep o l i c y h o l d e ra f f o r dt h ef a i rp r e m i u m ， w h i c hm e a n st h a tt h o s ew h oa r ci nh i g hr i s ks h o u l dp a ym o r ei n s u r a n c ef e e h o w e v e r , e x p e r i m e n t ss h o wt h a t t l l e s y s t e m s 也a tt h ei n s u r a n c ec o m p a n i e si n c l u d i n gm a n y i n s u r a n c ec o m p a n i e si nc h i n ai m p l e m e n tc o u l dn o tr e a c ht h ea i m s ot h eo p t i m a l b m sc a l l a oi r i t eb e i n 臣 s of a rt h e r ei so n l yn oc l a i m sd i s c o u n t ，n c d ，i nt h ea u t o m o b i l ei n s u r a n c ei t e m s i no u rc o u n t r v i nf a c t ，n c di so n eo ft h es p e c i a lf o t i l l so ft h eb m sa n dt h o r ea x e m a n yp r o b l e m si n t h en c d s y s t e m s ；t h ep r o b l e m sa r cm a i n l yl i k et h ef o l l o w i n g ： t h e r ea r ef c wd i s c o u n tr a n k so fn c di no u rc o u n t r ya n dt h e r ea r em o r ep r a i s ea n d l e s sp u n i s h m e n tf o rt h ep o l i c y - h o l d e r t h ep r e m i u mi so n l ya 1 1 0 w e dt or e d u c ef r o m t h eb a s i cp r e m i u ma n dc a n n o ti n c r e a s eo ni t b o n u sa n dm a l u sh a v en o t h i n gt od o w i t hc l a i mn u m b e ra n dc l a i ma m o u n t t h eb a s i cp r e m i u m h i 幽i s al i t t l ea n dt h en e w p o l i c y - h o l d e ra n dt h eh i g h e s t - r i s kp o l i c y - h o l d e rb e t hb e l o n g t oz e r od i s c o u n ta n da r e t r e a t e de q u a l l y , w h o s ef e e sa r eb a s i cp r e m i u m y e tt h eb a s i cp r e m i u m c h a n g e se v e r y y e a r , w h i c hc a u s e st h er e c e s s i v ep u n i s h m e n tf o rt h ep o l i c y - h o l d e ra n dr e d u c e t h e o e i g i h a li n t e n t i o no fn c d f u r t h e r m o r e t h ei n t e m a t i o n a lb 岱w i l lc e n t i n u et ou s e f o rs e v e r a ld e c a d e so n c ei tp r e s c r i b e sa l lk i n d so fi n s u r a n c el e v e l s t h a ti su n c l e a ra n d u n f a i rf o rt h ep o l i c y - h o l d e rb e c a u s e b o n u sa n dm a l u sa l e v e r y s t r i c ta n dv e r y s p e c i f i c u p t on o w , t h eo p t i m a lb m si nt h ei n t e m a t i o n a la c t u a r i a ll i t e r a t u r eo n l yc o n s i d e r t h e 丘e q u e n c yo ft h ec l a i m si nay e a ra n di g n o r et h ea m o ；m to ft h ec l a i m ，w h i c h m e a n st h ep u n i s h m e n tf o rs m a l la n dl a r g ec l a i m sa r e c a t e de q u a l l y b a s e do nm e n g s h e n g w a n g a n dy u a n w e i sr e s e a r c h ，t h i sr e s e a r c hs e t su ps e v e r a l o p t i m a lb o n u sa n d m a l u s s y s t e m sb yc o n s i d e r i n gb o 山t h ec l a i mf r e q u e n c ya n d c l a i ma m o u n t f i n a l l yo n t h eb a s i so ft h er e s e a r c ho fs i n g l ep o l i c y h o l d e r t h ea u t h o ra l m a d eac o n s i d e r a t i o n a b o u th ep r i o ri n f o r m a t i o n c l a i mn u m b e r c l a i ma m o u n ta n d o p t i m a lb m s t h o r e 龇 s t i l lm a n ys h o r t c o m i n g sa b o u tn c d s y s t e mi nc h i n e a u t o m o b i l ei n s u r a n c em a r k e t t h e r e f o r e ，t i f f s r e s e a r c ha i s oh a sc e r t a i nt h e o r e t i e a l s i g n i f i c a n c ej n t e m a t i o n a l l y b e s i d e st h ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ed o m e s t i e a l l yi th a s k e yw o r d s ：o p t i m a lb m s ；c l a i mn u m b e r ；c l a i ma m o u n t ；p r i o ri n f o r m a t i o n ； a u t o m o b i l ei n s u r a n c e 王：茎兰硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 韩天雄教授上海市华东师范主席 大学统计系 周斌副教授上海市华东师范 大学统计系 汤银才副教授上海市华东师范 大学统计系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：至茎兰 日期：作者签名：生笙苎日期： 学位论文授权使用声明 勿以、p 移 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内客编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：王廖；兰 导师签名： 日期：缈髫 及缘k 日期：! 、哆 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 1 第一章绪论 在国际保险市场上，车险费率厘定的基本思路是比较接近的：首先使用某些先 验分组变量( 如被保人的年龄、性别、婚姻状况、车辆用途、使用性质等) 对被保 险人进行分组，形成若干个相对同质的风险集合，并厘定各组的先验保赞；然后在 此基础上根据被保险人的经验索赔记录对其每年的续保保费进行调整，形成后验保 费。对被保险人的续保保费进行调整的规则通常称作奖惩系统( b m s ) 。 从本质上讲，b m s 属于一种经验估费系统，即投保人的续保保费取决于他在以 往保险年度的索赔次数和保费等级。用数学的语言，现实中的b m s 可定义为： ( 1 ) 投保人事先被分成若干个等级，每个等级用c i 表示，i = 1 ，2 3 s 其中s 表示 最高等级； ( 2 ) 投保人从某个特定的初始系统c 。开始其驾驶生涯； ( 3 ) 在某个保险期限内，一个投保人所在的等级由他上一期所在的等级和上一期 的索赔次数唯一确定。 由此可见，一个b m s 由如下三个因素决定：保费水平，初始等级c 。和转移规 贝l j ( 即当索赔次数一定时，投保入由原来的等级转移到新等级的规则) 国际精算学家、j e a nl e m a i r ea n d h o n g m i nz i ( 1 9 9 4 ) 、j o nh o l t a n ( 1 9 9 4 ) 、 g e e l tc o e n c l o u i sgd o r a y ( 1 9 9 6 ) 、n i c h o l a se f r a n g o s + a n d s p y f i d o n d v r o n t o s ( 2 0 0 1 ) 、p a o l av e r i c o ( 2 0 0 2 ) 等先后研究出最优奖惩系统f 简称最优b m s ) ，这 种系统一直沿用了二十几年。实践证明这种系统的确是最优的。最傀奖惩系统的定 义如下： 第，对投保人的公平性，即对投保人所收取的保费和它所带来的风险期望值是相 等的， 第二，对保险人的财务平衡性，即奖惩系统中所有奖励总和等于惩罚总和， 第三，系统最优性，郧所有投保入所缴保费与风险之差的加权平方和最小，或者均 方误差最小。 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 2 第二章索赔次数的分布模型 精算师在厘定保费过程中需要考虑的两个重要的医素就是保单的索赂次数和 索赔额。本章主要讨论保险企业的索赔次数模型。所谓个体保单的索赔次数模型是 指在一定时期内此傈单发生k 次( k = o ，l ，2 3 ) 索赔的概率p + ( k = 0 ，1 ，2 3 ) ；而所 谓保单组合的索赔次数模型是指在一特定时期内发生k 次索赔鹊保单数t n 。，也可理 解为从此保单组合中随机抽取的一份保单在一特定时期内发生k 次索赔的概率p 。 2 1同质性保单组合的索赔次数模型 所谓同质性是指一个保单组合中每份保单具有相同的索赔频率，且各自相互独 立。这就意味着此保单组合的索赔次数模型等同于个体保单的索赔次数模型。 由此可见，在一个单位时间内，同质性保单组合( 或个体保单) 的索赔次数服 从参数为a 的泊松分布。 e a k ) 一争= 。1 ，2 ， 2 2 非同质性保单组合的索赔次数模型 非同质性是指保单组合中每份保单的索赔频率并不相同。在保险实践中，尽管 大多数险种都对被保险人根据某些先验变量进行分组，而且在选择这些先验变量 时，总希望他们能尽可能地反映被保险人的风险水平。但任何先验变量总是有一定 政陷的。因此被划入同一组内的保单仍然不可避免的存在某种程度的非同质性。这 就使得简单易用的泊松模型失去了应用的前提，此时可以考虑混合索赔次数模型。 对于个体保单，可以假设其索赔次数近似服从泊松分布，而且洎松参数能完全 描述其风险水平的高低。但对于一个保单组合而言，每份保单鹄风险水平又是有差 异的，这种差异性可通过各保单泊松参数的不同加以反映。因此，要准确描述一个 非同质性保单组合的素赔次数分布，就首先需要确定这一保单组合中沼松参数的变 化规律。对于规模较小的保单组合，可以假设泊松参数取有限个值，比如取大、中、 小三种值，分别代表高、中、低三种风险。由于保险公司的保单数往往是大规模的。 因此可以假定一个保单组合的泊松参数服从连绥分布。这种用以描述一个保单组合 泊松参数变化规律的分布也被称作结构函数。 ( 一) 伽马结构函数：负二项分布模型 在假定一个保单组合的泊松参数a 服从参数为( t x ，芦) 的伽玛分布的前提下， 从此保单组合中随机抽取的任意一份保单在单位时间内发生k 次索赔敏概率为： 垫圭堡堕墨些墨篓墨竺堕塞 兰查墅蔓查堂婴主堡塞三一一一 舻于等洲a = 等芋觚 = 丽；筹矿p w 似( 1 圳r “m ( 1 垌】 ：j 燃黑，。，o ，芦，o r ( k - i - 1 ) r ( 口) ( 14 - 卢) “。 ” 此即负二项分布的概率函数。其均值、方差分别为 均值p 。著 方耔一詈( 1 + 负二项分布的概率函数可如下递推计算： 旷( 南) 。 p “1印t 面而 ( - - ) 逆高斯结构函数：泊松一逆高斯模型 伽玛分布作为结构函数在有些情况下可能并不理想，特别是当实际数据的尾部 较厚时。这时需要考虑其他类型的结构函数。逆高斯分布是一个比较理想的选择。 这不仅是因为相应的泊松一逆高斯模型有较厚的尾部，也是由于它有些能与负二 项分布相蜿美的性质。逆高斯分布的密度函数为 砌) = r ( 2 彬) 专e x p 卜警 r o ，0 舻0 相应的泊松一逆高斯分布的概率函数为 巳：e x p 一【( 14 - 2 芦) 2 1 】 p 肛r 岳c 羹器铆，等， k = 1 ，2 3 汽车保险晟优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文4 上述概翠函数也司用如f 婀递堆公式计舁： p ，：r ( 1 + 2 卢) ：p o 盱南扣，南而1 p k = 2 ，3 ，4 - ( 三) 贝塔结构函数：二项贝塔分布模型 假定给定个体保单的索赔次数服从参数为( 九，p ) 的二项分布，即 p t o ，p ) 一i i 毒( ：鸶孝i _ 面p ( 1 一p ) ”t ，一o ，l 2 ，嚣丽保单组合关于p 的结构函 数服从参数为( 口，芦) 的贝塔分布，即 “。) - 黼p “4 ( 1 一p ) 4 - 1 ，o ( p 1 ，口，。，卢，。 均值为e ( p ) 。i 知 方差为妇，( p ) i i 了历 则从保单组合中任意抽取的随即个体保单的索赔次数服从如下的二项一贝塔分布： 只一上只o ，p 弦 o 分布函数为 f 俐= 1 e ，x o 指数分布是伽玛分布当口，o , z = a 时的特例，因此有关性质可参见伽玛分布的结 论。 ( 二) 伽玛分布 假设某种随机事件在一定时期内发生的次数服从泊松分布，则第r 次随机事件 发生所需的间隔时闻服从参数为( r , f 1 ) 的儡玛分布，密度函数为 删= 篱e 堆 若将r 的取值范围从整数域扩展到正实数域即得到通常的伽玛分布，其密度函数为 删= 错e 廿加。 伽玛分布的k 阶原点矩为 e ( x ) 一- 一。k - 1 丁a + i 于是有 e ( x ) = 口占 v a r ( x ) = n ( x 2 ) - 【e ( 砷】2 = a ( 口+ 1 ) p 2 - 口2 卢2 - - - - a t p 2 ( - - ) 对数正态分布 假设随机变量x 服从正态分布n ( 弘，盯2 ) ，则称x 服从对数正态分布，参数为p 和 仃。对数正态分布的密度函数为 俐= 去e 朴气辫x 。 分布函数为f ( x ) = v ( x s 石) ：p ( 1 n x 5 1 n 石净中( 垒型) 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 7 其中巾( ) 表示标准正态分布函数。 对数正态分布的k 阶原点矩为 e ( x 5 ) = e x p ( 肚+ o 5 0 2 k 2 ) v a r ( x ) = e x p ( 2 肛+ 2 c r 2 ) e x p ( 2 a + o r 2 ) = e x p ( 2 ) e x p ( o2 ) e x p ( o2 ) 一1 1 ( 四) p a r e t o 分布 p a r e t o 分布的密度函数为 胁考著伽 分布函数为 脚- 。寿 k 阶原点矩为 e f x 。) = 卢2 k ! h ：d a - i ) k 0 ，r o , x 0 分布函数为 f ( x ) - 1 e x p ( 一a 【。) w e i b u l l 分布的k 阶原点矩为 e ( x ) = c 一t ( r + 1 ) k = l ，2 ， 从而有均值 e ( ) 0 = c 1 庸r ( 1 f + 1 ) 方差 v a r ( x ) = c - 2 1 ：r i x 2 ，f + 1 ) 一r 2 ( 1 z + 1 ) 】 壅圭堡堕墨垡墨堡墨竺堕壅 兰壅堑蔓查兰堡主堕苎旦一 ( 六) 对数伽玛分布 对数伽玛分布的分布函数为f ( x ) = t ( a ；f l i n x ) ，密度函数为 俐= 甓署乩p 。 k 阶原点矩为 e ( x ) = ( 1 吉r ，p 七 ( 七) b u r r 分布 b u r r 分布的分布函数为 f ( x ) = “专) 口，口，o ，胁o i f ，。 概率密度函数为 贝”= a 够。z - 1 ( p + z ) 一1 k 阶原点矩为 e ( x t ) ：卢t ，t t ( 口一苎) t ( 。+ 苎) t ( 。) ，。，七 ( 八) 变换伽玛分布 变换伽玛分布的分布函数为 i 协) = 可口；( 肛) 7 】，a 0 芦 0 ，f 0 ，x o 概率密度函数为 以矽= ”岔。- 1c x p - ( 肛) 1 t ( a ) k 阶原点矩为 e ( x 2 ) ：t ( a z + l 一t ) 卢t ( a ) 汽车保险最优奖惩系统研究华东师范大学硕士论文 9 第四章只考虑索赔次数的最优b m s 4 1 伽玛结构函数与最优b m s 分布，而保单组合关于a 的结构函数服从参数为( a ，芦) 的伽玛分布。这就意味着 随机个体保单的索赔次数服从参数为( 口，南) 的负二项分布。即 p ( x - 七) j - 等pe - * ( k 1 1 ，2 ，- ) u = 错芋 则当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为k ，k ：，t 时( 其中k i 为第i 年的索赔次数) ，由b a y e s 定理可知，a 的后验分布为 ur(七t，七z七r)2：f二p!(5k篙2笪!；茅， ，上，足) “( a m 7 此即参数为a + 三一，f l + t ) 的伽玛分布，其中工，。善七i 。因此，随机个体保单的后 验索赔次数服从参数为( 口+ ；，1 + # 口+ _ - - - z + _ tf ) 的负二项分布。 如果我们用 + 。( 七1 ，上，) 表示在第( t + 1 ) 年时对索赔频率a 的后验估计，简记为 a 。；在平方损失函数下，则b a y e s 估计为：。 + ，。，勉似”七r ) d x 0 上式表明，当前t 年的索赔次数记录为七，j 5 时，第( i + 1 ) 年关于 的最优估 计为其后验均值a 由于后验结构函数u ( a 七l ，七：， ) 服从参数为( 口+ l 。，卢+ f ) 的 伽玛分布，均值和方差分别为 型i 和墼 芦+ t够+ ) 2 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文1 0 从而第l + 1 年关于凡的最优估计为k - ；鲁 至此我们得到了关于a 在各个时期的最优估计序列： ，a ：， ，当t m 时， 这一估计序列趋于随机个体保单的真实索赔频率a ；l ，t ，而估计方差 ( 理+ l 。) + f ) 2 趋于零。因此，对个体傈单的观察时间越长，对其索赔频率的估 计越准确。 为明确期间，如果进一步假定个体保单平均每次的索赔额为一个货币单位，则 在期望值原理下，当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为k ，k ：，上，时( 其中k 为 第j 年的索赔次数) ，其第t + 1 年的续保风险保费应为 上r + 。( 七。，七：，k ) 一( 1 + r ) = i j p 十 其中r 为安全附加系数。这种根据个体保单的索赔经历调整其续保保费的系统即为 所谓的最优b m s 上述最优b m s 具有一些很重要的性质： l 最优b m s 是公平的。 2 在最优b m s 下，保险公司的财务具有稳定性。 3 在最优b m s 下，个体保单的保费水平只与以前年度的索赔总次数有关，雨不管这 些索赔事故在过去若干年是如何分布的。 4 2 逆高斯结构函数与最优b m s 假设给定个体保单( 用其索赔频率 标记) 的索赔次数x 服从参数为a 的泊松 分布，而保单组合的结构函数服从参数为( g ，h ) 的逆高斯分布，即 尸( x - 意) 一簧e 。舻1 3 ) m ) - g 玎；e x p 【- 塑等】 则当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为：，七：，五；时( 其中k i 为第i 年的 索赔次数) ，由b a y e s 理论可知， 的后验分布为 u ( a k 。，忌2 ，。 ，) p ( 七。，k ：上。a ) 口( ) 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 1 1 2 篙毹猁) 乞x p 【一簪】 。 l - - ：3 ，e - a t + 磊1 ) e i 1 ( 0 将上式与广义逆高斯分布的密度函数，q)。可。v-1e 2 # e 2 # x 相比可知， 的后验 分布即为广义逆高斯分布。其中v = l 。_ 1 2 ，万1 ；f + i 1 ，万u 2 一面g 2 ；或者表示为 v 吐一圭，卢，熹，弘一荔g 丽 “詈) 墨学 弛) - - - 矿x v e 当z ”与：。出 ( 2 ) k ，。( p ) - 兰! k ( p ) + k 一。( p ) “ 咿蔫 矧抄蚌9 。2 l 芳, - 1 + 高 汽车保险晟优奖惩系统研究华东师范大学硕士论文 1 2 期望值原理下的最优b m s 如果迸一步假设不同保单的索赔额之间没有显著差异，平均每次的索赔额为一 个货币单位，则在期望值原理下，在年内发生工r2 荟七c 次索赔的保单的续保保费 应为 只+ - t ，删- ( 1 + a ) 加。( 鲁) 其中卢一丽h ，p - 面g 鬲 由条件期望性质可知，在期望值原理下，泊松逆高斯模型的最优b m s 也具有 财务稳定性的特点。 4 3 二项贝塔分布模型与最优b m s 当随机个体保单在t 年内发生了 k j 次索赔( 第i 年发生k ，次索赔) 后，保单 组合关于p 的后验分布仍是贝塔分布。这是因为，由b a y e s 公式有 。o 七。b 。) 。? 蚣! 燮型：型盟 f o u ( p ) p ( k ，k 2 ，上。p 坳 ：! ：! ：；l ：! ：! ：! ；i ! ；：翌p a + 骞一一，。，一p ，一+ m 一；| ；- 一 r ( 口+ 卢+ 加) 17 此即参数为口+ 善屯，卢+ 加一善t ) 的贝塔分布，均值和方差分别为 ( p 量，) 。蕊a + 善k i 翰，p 倍。，位+ 善t x 卢+ 加一善七f ) 胁( p 肚”也t 卜i 矗丽旆 因此，后验二项贝塔分布的概率函数为 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论史 1 3 p t 霉 r ( ，l + 1 )r ( a + 芦，聊)r ( a + 酗+ 七) r ( 卢+ m 一酗卅七) r q 一2 + p r + 的r ( a + 耋，) r ( 卢+ m 一骞t ) r a + p + 拂七n 如果在保费的后验保费调整中仅仅考虑索赔次数的多少而不过问索赔额的大小，即 假定所有投保人平均每次的索赔额大小不存在显著差异，不妨令其为m ，则二项， 贝塔分布模型下的最优b m s 可如下计算 m 的乘积，即为m 荟2 p t 当他在第( 。+ 1 ) 年内发生了荟七i 次索赔后，其第( t + 1 ) 年续 鼻+ ， z 易j t ) 。m e 晖七一知剐胁荟七巾： 对于混合混合负二项分布模型，当随即个体保单在t 年内发生y k 。次索赔后( 第 他傀岛，。z 丛! 型地! ：= ! = ：! ：娑扩，帅广。 j ：，( 七，七：，上c 甸，( r + 仃) r ( + 皇t ) 。 此即参数为口+ 印，声+ 善t ) 的贝塔分布。相应的混合负二项分布的概率函数为 小螋= ! ! ：! 尘! ! ：竺：! ：型t 22 r p 弦2 r ( a + f r ) r ( 卢+ 骞t ) f ( r + a + t r + k + 卢+ 骞鼻) 假定索赔次数与索赔额相互独立，且不同投保人之间的索赔额没有显著差异，对投 保人续保保费的调整仅仅依赖于对其索赔次数的b a y e s 估计。因此，在假定平均每 次的索赔额为n l 时，一个初始投保人的风险保费水平应为上述混合负二项分布的均 值与m 的乘积，亦即 汽车保险最优奖惩系统研究华东师范大学硕士论文 1 4 只j ( 1 + 咖荟七以 当此投保人在年内发生了工。善七z 次索赔后第1 年发生k t 次索赔，其第+ 1 年 的续保风险保费应为相应的后验混合负二项分布的均值与m 的乘积，亦即 只+ ， ，七：，上r ) 。( 1 + r ) m 荟七巾： 4 5 离散性结构函数与最优b m s 1 ，二兀风险模型 假使保单组合由两类风险组成，其中高风险的保单( 泊松参数为 ) 占口， 低风险的保单( 泊松参数为a ：) 占d ：，k a 。+ 口：= 1 ，则从保单组合中任意抽取的随 机个体保单的索赔次数分布为 q 等岷等加。琢 上述分布模型有4 个未知参数，可用如下方程可求得其矩估计值： 户l + a z 2 1 l g t 1 + 口2 t 一口l 弋口，( 碍+ ) + 口：( 墨+ a 2 ) 。口： i b ( 墨+ 3 叠+ ) + 口：( 置+ 3 a ；+ t ) 一a ， 其中a 。，口：，a ，为各级样本原点距。 当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为七。，七：，k ；时，( 其中k ；为第i 年的 索赔次数) ，由b a y e s 理论可知，此保单属于高风险组的概率为 口。( k i 七2 ，七，) = p ( 高风险七l ，七2 ，七，) ! f 生! ：苎坚：生! 壹垦堕! ! ! 壹墨堕! 一 p ( 七，：，七，高风险) p ( 高风险) + p ( 七，k ：，一k 低风险) p ( 低风险) 兰塑兰型塞墨垡墨堡墨望翌壁l 一 兰查塑堕查兰堡主鲨苎! ! 甜t e “ 一盲可q 1 一需i 簪磊2 曩丽面 因此在期望值原理下，在t 年内发生厶2 砉t 次索赔的保单的续保风险应为 只+ - ( 七- ，七z ，” - ) i ( 1 + 口) 口- ( 七，七：，k ，) + 【1 一c t ，( 七，k ：， 。) 】t 2 ，三元风险模型 假设保单组合由3 种类型的风险构成，其中高风险的保单( 泊松参数为 ) 占 口- ，中等风险的保单( 泊松参数为九) 占口：，低风险的保单( 泊松参数为九) 占口， 且口。+ 口：+ 呜= 1 ，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为 枷，等峨等坞譬加呼， 上述分布模型有6 个未知参数，可用如下方程组求得其矩估计值： 吼+ a 2 + a ，= 1 i 夺l + a 2 a 2 + 口3 t 一芦l f 夺。( + 1 ) + a ：( 墨+ a ：) + 气( 2 + ) 一芦： ， 甾仇3 + 3 冉 ) 哨 f ， 莓“文 4 + 6 3 + 7 2 + 4 芦 l ， 蘑q 5 “吖+ 2 5 3 + 1 5 冉 ) = 屈 中层，岛，岛，反，反为各级样本原点距。 其当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为七。，后：，k ，时，( 其中t 为第i 年的索 赔次数) ，由b a y e s 理论可知，此保单属于高风险组的概率为 o - ( 屯，七：，t) = p (高风 险 汽车保险最优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 1 6 7 七1 ，足2 ”，七f = ：_ j i ：i j i j ：二i ：i ：j ：i i ：i ：i i ；j ：j ：。：i ：二：i a 】“l 属于中等风险组的概率为d ：慨，k ：，五。) = p ( 中k 。，k ：，上1 1 1 + 旦( 叁) e 叫 删+ 土竺 垒( 冬) 蚋瑚 口1 l ，口1 因此在期望值原理下，在年内发生上r 善七- 次索赔的保单的续保风险保费应为 只+ 1 职i ，k 2 ， ，) - ( 1 + d ) 乜1 8 。，k 2 ，上，) 久+ a 2 售1 ，k 2 ，七，) t + a ， l ，史”。j ( ，) 厶) 其中鸭 l ，k 2 ，上。) 一i - 口。( 七l ，k 2 ，丘，) - - ( 1 2 ( 七1 ，k 2 ，土，) 于二元风险模型相类似，三元风险模型也具有财务的稳定性的特点。 上述分布模型有6 个未知参数，可用如下方程组求得其矩估计值 坚! 堡堕量垡茎篓墨堕堕壅 一_ 苎堕塑堕查兰堡羔堡兰! 三一 第五章同时考虑索赔次数与索赔额分布的最优b m s 5 1 负二项p a r e t o 损失模型f 的最优b b l s 假设给定个体保单的索赔额服从参数为日的指数分布，即删= o e “8 ，而在组 保单组合中每份保单的瞄又有差异，它们服从参数为a ：和卢：的伽玛分布，即 g ( 8 ) 一a 1 = 0 丽a 2 ：乏 i e i - 一b 2 e ，则从这组保单中随机抽取的一份保单的索赔额服从如下的混 合分布 ( x ) 一于z 口a 2o盯a2-1e-,82e d 8 a 2 卢吒2 = ( 卢2 + x ) 屯十1 此r p p a 陀f d 分布的密度函数，均值为急，方差为瓦_ 三a 1 一工、“一上，u ，一 因此，对于一个没有自身索赔记录的初始投保人，其平均索赔额可以初步估计为此 p d ，。柏分布的均值垒_ 。参数a ：和声：可由保单组合的历史索赔记录进行估计。 当已知一份保单的七次索赔额记录分别为，工：， 时，由b a y e s 定理可知，关 于此保单的0 的后验分布为 g ( 8 x 。，x ：，x 。) ：? ! 羔! 生! 垒= = ! 生盟 l d ”j k o ) g ( o ) a o ：! 兰坐：竺：! 兰：竺 r ( 七+ 口2 ) 此即参数为( “a ：) 和( 薯+ 以) 的伽玛分布，均值和方差为 托+ 口， e 疗、x l ，x 2 ，。j i 。莉 惭p h l ，屯 屯卜和 当t 。时，目的后验均值为e p 工，z ：， ) 一1 l ，而其方差趋于0 。因此关 于0 的后验估计是渐进最优的。 汽车保险最优奖惩系统研究华东师范大学硕士论文1 8 由此可知。当已知k 次索赔的索赔额分别为x 1 上：，x 。时，由0 的后验分布仍 然是伽玛分布，因此，随机个体保单的索赔额的后验分布仍然是p a r e t o 分布，只是 相应的均质和方差分别为 匙和! 竺尘! k + a 2 1 ( 口2 + 七一1 ) 2 ( 口2 + k 一2 ) 于是关于随机个体保单的索赔额的后验均值估计可调整为 一 卢 z ， ，t ) 。b 这一调整估计是渐进最优的。当，。时，；。 ，乓，。端趋于每次 额擎脓一于c 擎一舯墙 机个体保单的后验索赔额的分布将趋于参数为 的指数分布。而给定个体保单 毛 计为轰一为翌k 。 的结构函数是参数为( 口，卢) 的伽玛分布，则随机个体保单的索赔次数服从负二项分 布，均值和方差分别为a 芦和詈( 1 + 万1 ) 如果某保单在t 年内发生了k l , k 一，t 次索 赔( 记k = k ，+ | 】 ：+ k t ) ，每次的索赔额分别为，z ：，坼，则第( t 十1 ) 年关于此保单 口+ ? 露； h z 箐- 等 墨皇堡堕墨垡鳖堡墨竺竺塞 兰查堕翌查兰塑主堡苎里一 后验方差为 等o + 六， 由此可见，如果服从负二项分布，x ：服 a p a r e t o 分布，则当随机个体保单 在t 年内的索赔次数为k ，每次的索赔额为工。，工：，以时，第t + 1 年关于随机个体保单 的年均索赔额的后验调整估计为 邵偶 ，引。筹端 v a t x l ，工2 ， ) ：筹。+ 寿，c 端n 筹罢蔫 在方差原理下，第( t + 1 ) 年的保费应调整为 只“( 丰1 , * - - , x ) 口e ( s x l ，工2 ，。工i ) + 6 ；么r 岱x l ，x 2 ，j t ) 5 2 负二项对数正态损失模型下的最优8 m s 假设绘定个体保单的索赔次数服从参数为a 的泊松分布，而保单组合关于a 的 结构函数是参数为( a ，卢) 的伽玛分布，则随机个体保单的索赔次数服从负二项分布， 均值和方差分别为d 卢和詈( 1 + 万1 ) 如果进一步假设个体保单的索赔额分布之间没 有差异，即个体保单的索赔额具有相同的分布。用一参数为( p ，仃2 ) 的对数正态分 布，均值为e x p ( z + o r 2 ) ，方差为e x p ( 2 p + 仃2 ) e x p ( c r 2 ) 一1 】，则 e ) te e ( s n ) 卜e n e ( x ) 】 = e ( ) e ) 。暑c x p ( p + 盯2 ) v a r ( s ) tf a r e ( s j v ) 】+ e w a ，( s ) 1 = 阮r 【e ( j ) 1 + e n v a r ( x ) 1 t 詈( 1 + 砉) e x “2 卢+ 幻2 ) + 詈e x p ( 2 芦+ 盯2 ) 【e x p p 2 ) 一1 】 汽车保险晟优奖惩系统研究 华东师范大学硕士论文 2 0 如果某保单在t 年内发生了女，七：，足。次索赔( 记k = k ，+ k ：+ 上，) ，每次的索赔额分 别为x 1 , x ：，乇，则第( t + 1 ) 年此保单关于a 的后验均值为 “ 卜喾。等 后验方差为 筹o + 六， 由于假设个体保单的索赔额分布之间没有差异，所以 邵肛t 而。小鬻e x 咖竹2 ) 玩r 岱也，以) 一而a + k ( 1 + 若_ ) e x p ( 私+ 幻2 ) + 詈等e x p ( 2 p + 口2 ) 【c x p p 2 ) l 】 在方差原理下，第( t + 1 ) 年的保费应调整为 5 3负二项伽玛损失模型下的最优b m s 假设给定个体保单的索赔次数服从参效为 阴汨松分布，向保单组台关于a 嗣 结构函数是参数为( a ，卢) 的伽玛分布，则随机个体保单的索赔次数服从负二项分布， 均值和方差分别为a f l 乘l f l ( 1 + 尹1 。如果进一步假设个体保单的索赔额分布之间没 有差异，均服从参数为( 咖) 的伽玛分布，均值为a b ，方差为a b 2 ，则 e p ) 一( r ) e ( x ) 一詈詈 玩，) 一玩r 【嬲何) 】+ 【研，口，伍) 】一詈( 1 + 分等+ 詈舌 如果某保单在t 年内发生了青，七：，五，