（概率论与数理统计专业论文）奇异增长曲线模型中参数阵的最优估计及最小二乘估计的有效性.pdf

、碰士 、1 、j f 7 i 论置 、i ：、，、 内容提要 考虑奇异增长曲线模型：y = a b c + e ，其中a 、c 均为已知矩阵，b 是未 知回归系数阵，y 为观测资料阵，e = ( 8 ( 1 ) 6 ( 。) ) 7 为随机误差阵，假定( 。) 8 ( 。) 7 = ，i = 1 ，2 n ，e c ( f ) 6 ( j ) 7 = 0 ，f j ，这里o 当 0 时，众多文献讨论了回归系数阵的各种估计及l s e 的有效性，本 文考虑了当 1 0 的情形，给出了回归系数阵b 及其可估参数函数k b l 的在 矩阵非负定意义下的最优估计( b l u e ) ，研究了它的一个最大概率性质，并且 讨论了最小二乘估计成为最佳线性无偏估汁的充分必要条件，在此基础上给出 了均值矩阵的最小二乘估计与b l u e 的偏差估计，定义了l s e 相对于b l u e 的一个相对效率，并给出了它的界主要结果如下： ( 1 ) 在矩阵非负定意义下，可估函数k b l 的最优估计k b 。l = k a + y 【j m ( m m ) + m c + l 若b 可估，b 的最优估计为b = a + y ，一m ( m m ) + m c + ( 2 ) 均值矩阵的最r i t z 乘估计成为最优估计的充要条件为下列条件之一成立： i ) ( ，一c + c ) q + v c + c = 0 l i ) ( j c + c ) c + c = 0 ) p ( c ) 卢( c7 ) ( 3 ) 均值矩阵a b c 的最小二乘估计与最优估计的偏差估计 i | a b c a b o 恭”卜五| l 其中五_ 墩“c ，延“) 4 , l i , t 。一f + l ( 4 ) i j l _ e ( 卢i 五) l其中f ( c ) ( ) 墨( a 。+ 。一i + 1 ) 2 = ；蠹；ll - f j i 巷j = j 掣、j ：吣 ( 5 ) 若w ( e ) e c ( i ) ，i o 。咖) ，则对k b l 的任一线性无偏估计k b l 及 任意声p 阶非负定矩阵s 和任意实数c 有 p ( w ( k b l k b l ) ) ，s ( m ( k b l k b l ) ) f 2 l p ( ( 碰l k b l ) ) 7 s ( w ( k 宜l k b l ) ) c 2 关键词：奇异增长曲线模型最佳线性无偏估计最小二乘估计可估参 数函数相对效率 冬攀j 美薯：、 - ”“一一一! ，! ! 一 a b s t r a c t c 伽s i d e r5 i n g “1 口rg r o w t hc ”r wm o d e la sf o l l o w s ：y = a b c + e ，w h e r e a ， cn mn l l w nm 口t c e s ，bi sa nu n k n o w nm a t r i xo f r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s ，y 括nm n f r 如o f o b s e r v a t i o n s a n d e = ( 6 ( ”，5 ( 2 ) ，e ( 月) ) i sm a t r i x o f r a n d o m 盯一 r 0 h w jm 口船t h pf o l l o w i n ga s s u m p t i o nf o re ：( 。) e ( 。) 7 2 ，i21 ，2 ”， e e ( 。) 6 ( = o ，i ja n d o w h e ，z i sp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，d i f f e r e n te s t i m a t o r sa b o u tm a t r i xo f r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sa n di n e f f i c i e n c yo fl e a s t s q u a r e se s t i m a t eh a v eb e e n d i s c “5 剃i nm 口n yd o c u m e n t s c o n s i d e r e d i sn o n n e g a t i v ed e f i n i t e m a t r i x t h i s e s i sd e r i v e sb e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t eo fp a r a m e t e rm a t r i x ba n de s t i m a b l e 砸j r n m e t e rf t l n c t i o nk b lu n d e r t h em e a n i n go fm a t r i xn o n n e g a t i v ed e f i n i t ea n d t h pp r o p e r t yo fm a x i m u mp r o b a b i l i t yo fb l u e i si n v e s t i g a t e dn e x t ，wd i s c u s s m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h ee q u a l i t yo ft h el s e a n db l u e ， h e n 强 ed e r i 傥t h ee s t i m a t i o no f t h ed e v i a t i o nb e t w e e nt h el e a s ts q u a r e sa n dt h e 鼬l i ”r ”n b i a 5e s t i m a t o r so f t h en l e a nm a t r i x ，m e a n w h i l e ar e l a t i v ee f f i c i e n 删o f l s eo f b i sp r o p o s e da n di t sb o u n di sg i v e n t h em a i nr e s u l t sn mn 5 如幻 ： ( 1 ) u n d e rt h em e a n i n go fm a t r i xn o n n e g a t i v ed e f i n i t e ，曲pb e s tl i n e a r u n 。 6 妇剃b f i m n 据0 ，删i m n 招五n c 咖nk b l 如k b l = k a + y 卜。m ( m m ) + m 】c + l 4 n d 玎b i s t i m a b l e ，t h e n b l u eo f b i s b 。= a + y i m ( m e m ) + m ；t7 f 1 _ 、h j c + ( 2 ) t h el e a s ts q u a r e se s t i m a t eo f a b c e q u a l st ot h eb e s tl i n e a ru n b i a s e d e s t i m a t ei fa n do n t yi fo n eo ft h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： j ) ( i c + c ) q + v c + c = 0 i j ) ( i c + c ) c + c = 0 i l i ) ( c7 ) s 卢( c 7 ) ( 3 ) t h ee s t i m a t i o no f 加d e v i a t i o nb e t w e e nt h el e a s t s q u a r e sa n dt h eb e s t l i n e a ru n b i a s e de s t i m a t o r so ft h em e a nm a t r i xi sa sf o l l o w i n g ： 8 柚c a b ci 等l l y 一五，叫 e 憎五= a b c ，_ c ( c ) 户( ) 2 a 1 l 。 4 a ，a 。一。+ i ( 4 ) i 一l 一_ = e ( p f 五) l 其中卢( c7 ) 卢( ) ( a ，+ 。一) 2 。 。 ( 5 ) v e c ( e ) e c ( o ，o ，妒) ，t h e nf o ra r b i t r a r y l i n e a r “”6 抽蒯t i m a t ek b l o f k b la n d n o n n e g a t i w ed e f i n i t em a t r i zs 。y 。a n dr e a u n m b e rcw e h a v e p ( ( k b 。l k b l ) ) 7 s ( f ( k b + l k b l ) ) c 2 p ( w ( k 3 l k b l ) ) 7 s ( 7 9 e f ( k p , l k b l ) ) f2 k e 3 n a r d s ：s i n g u l a rg r o w t hc u r v em o d e lb l u el s ee s c i m 口6 如只口一 r a m e t e rf u n c t i o nr e l a t i v ei n e f f i c i e n c y ， q ： 忆 i 一 、 a o b ( a ) ( a ) ( a ) a 7 a + a i a g ( a l i ， 。) i la | | p x m x a 。( a ) p ( 。 五) t r ( a ) c o y y c c m l s e b l u e e c ( 1 ，a7 a ，曲) z y j 沦支 i ：“i i 0 一引言 1 1 符号说明 矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 乘积 矩阵a 的列向量张成的线性空间 矩阵a 的秩 矩阵依行拉直后得到的列向量 矩阵a 的转置 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 对角元素为 l ，i a 。的对角矩阵 “定义为”或“记为” ( f r a a ) x x + ，向岸( x ) 的正交投影变换阵 | 一p x 矩阵a 由大到小的第i 个顺序特征根 五相对于产的相对效率 矩阵a 的迹 随机矩阵y 的协方差矩阵 增长曲线模型( g r o u t hf “r wm o d e l ) 最小二乘估计( l e a s ts q u a r ee s t i m a t e ) 最佳线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ) 椭球等高分布 z 随机地大于y 1 ；自七 ，、i 。与随机向量。和了有相同的分布 1 2 模型与问题 考虑增长曲线模型： y = a b c + e( 11 ) 其中y 是n p 阶观察矩阵，a ，c 分别为n m ，q p 阶的设计矩阵，b 是m q 阶未知回归系数矩阵，e 是”p 阶随机矩阵，e 的行向量相互独立，均值 为零，协方差为 增长曲线模型的概念是由w i s h a r t 于1 9 3 8 年提出的；1 9 6 4 年p o h o f f & r a y l l 对这种广义线性模型的背景作了详细研究，1 9 8 8 年，a p v e r b y l a & w n v e n a b l e s 2 将此模型推广，得到了推广增长曲线模型由于增长曲线模型在 生物学、医学和工艺替代研究中很有用，许多学者已经研究了这个模型的参数 估计，假设检验和预报1 9 8 9 年v o nr o s e n 【3 1 在均值无约束，约束存在，观测有 缺失三种情况，分别给出了g c m 中回归系数阵的极大似然估计，其估计形式 是迄今为止最好的 1 6 给出了g c m 中回归系数阵在t r a c e 意义下的最小二乘 估计，并讨论了 0 情形下的g a u s s m a r k o v 定理，将线性模型的有关理论 推广到增长曲线模型中 3 3 利用最小二乘统一理论给出了可估参数函数k b l 的最佳线性无偏估计( b l u e ) ； 3 2 给出了增长曲线模型g a u s s m a r k o v 估计 的一个最优性质；由于在实际问题中常常未知，因此常用b ( 或a b c ) 的l s e 启( 或a b c ) 来代替其b l u e ，b 和a b c 的l s e 是无偏的，但却不一定是最 佳线性无偏估计，因此，用l s e 代替b l u e 就会造成估计精度的损失，因而研 究l s e 相对于b l u e 的相对效率就成为必要 2 0 一 2 3 在 o 情形下定 义了增长曲线模型中的一些相对效率，并分别给出了它们的界 在以上研究的基础上，本文讨论当o 情形下，可估参数函数k b l ( b ) 的 2 。i 士学? i i j 文 7 i l 、! ! r 、j ! 、i 、 。二= ，一一一，一一! ：一 b l u e ，它有别于最小二乘统一理论得出的b l u e ，方便了性质的讨论，给出了 l s e 成为b l u e 的充要条件及均值矩阵的l s e 与b l u e 的偏差估计，研究了 b l u e 的一个最优概率性质，它比最小方差性质强，因此本文所考虑的模型为 定义：假设具有均值a b c 的线性模型 y = a b c + e ( 1 2 ) 其中y 是 p 阶观察矩阵，a 、c 分别是”m ，q p 阶的设计矩阵，b 是m q 阶未知回归系数矩阵，e 是n p 阶随机误差阵，e = ( 6 ( 1 )8 ( 2 ) 6 ( 。) ) ，其中e ( ) 为e 的第i 行向量拉直，假定e ( i ) s7 ( 订= ，卢1 ，2 n ，e e t ，) 7 ( ，) = o ，i j ，这里0 已知 称这种模型为协差阵可能奇异的增长曲线模型，简称奇异增长曲线模型 二可估参数函数k b l 的b l u e 引理2 1 3l 】记a + 为矩阵a 的m o o r e v e r o s e 广义逆，则a + = a ( a a7 ) + = ( a7 a ) + a 引理2 2 1 6 1 对于增长曲线模型( 1 1 ) ，回归系数阵b 的在“t r a ”意义下 的最小二乘估计为b = a + y c + + z a + a z c c + ，可估参数函数k b l 的最小 二乘估计k t l l = k a + y c + l 引理2 3 圳( 1 2 ) 设a c m “，h e c “，则矩阵方程 a x = h 相容，当且仅当 a a + h = h 当相容时，通解为 x = a + h 寸( ，。一a + a ) u 3 一氧 其中u 为”q 任意阵 ( b ) 设a c ”“，h o “，则矩阵方程 x a = h 相容，当且仅当 h a + a = h 当相容时，通解可表为 x = h a + + w ( j 。一a a + ) 这里为q xt l q 任意阵 引理2 4 设矩阵。p o ，c q 。为已知矩阵，记q 2v ( 卜。c + c ) 则( c v - 1 ) + = ( f q q + ) v c + 证l t , q 对任意p 维向量y ，考虑s ( ，) = r a i n ，一( v 一1 c ，) ，z | 1 其极小范 数最小二乘解为 主= ( v 一1 c ) ， 又设。为i y 一印i i 的一个最小二乘解 则z = 坛。为 ly 一( v 。c7 ) j f 的一个最小二乘解 显然z 。i f = 1 1 + | i l ；0 ，等号成立当且仅当主= 。 ( 1 ) 又f ly c “| f 的最小二乘解集为 弘( ) = c + y 一( j c + c ) w 这里w 为任意夕维向量 则考虑l i ( t ，) | = | iv c + y q wl i 的最小值问题当亩= q + v c + y 时它达到最小，假定l i 比( 面) | j f l 主n 五= v 。主使l i 了一昏l | 达到最小 但l | v 五l f = i | 主0 f 0 ，且a b 1 - o ，则： c a c o b o a o c b o c 0 3 若a b 0 ，c d 0 ，则a q c b o d j o 下面导出可估参数函数k b l 的b l u e ，本文的拉直运算采用按行拉直记 = v 2 先求k b l 的无偏估计类 任取k b l 的无偏估计d y f ，由定义2 1 有 e ( d y f ) = k b l ，对任意b 即存在非零常数 。使得 豢：羔 据引理2 3 由( 2 ) 有d = k a + a w l ( f a a + )( 4 ) 由( 3 ) 有f = a 一1 c + l 一 1 ( 卜一c + c ) w 2( 5 ) 这里l ，w 2 为任意适当阶矩阵 故k b l 的无偏估计类为 h = d y f ：d = 2 k a + 一 w 1 ( j a a + ) ，f = 1 c + l a 一1 ( ，一c + c ) w z 这里w 1 ，w 2 为任意适当阶矩阵 任取d y f h ，则 c o v d y f 2 ( k a + 一w j ( j a a + ) o ( c + l 一( j c + c ) w 2 ) 7 ( ，o ) ( k a + 一w l ( j a a + ) ) 7 0 ( c + l 一( ，c + c ) w 2 ) 下面在“t r a c e ”意义下寻找w ，w ? ( 对r 直t - ，w ；的d ，f ，分别记为 d 。，f 。) ，使t r c o v d 。y f t r c o v d y f ，对一切d ，f f 等= o 令 m q + = q + 。k = 一d a l = c f k a + ( k a + ) 7 = 一2 d a a + ( d a a + ) = 一2 d a a + d 丽( ，一( f c + c ) q + v c + l ) 7 v 2 f 一( f c + c ) q + y c + l r r 、 、一 = _ j ， 、 、；j 士学f ? 、1 、j i 一 = ( v ，一( j c + c ) q + c l ) 7 ( v ，一( ，一c + c ) q + v 】c + l = ( ( ，一q q + ) v c + l ) ( ，一q q + ) v c + l = l c “v ( f q q + ) v c + l = a 2 f 7 c c ”v ( ，一q q + ) v c + c f = a 2 f ，p v ( ，一o o + ) v p f c o y ( k b 。l ) = d a a + d o f p v ( j q q + ) v p f 显然d d7 d a a + d 7( 1 5 ) 又v ( ，o o + ) v = ( p + m ) v ( ，一q q + ) v ( p + m ) = p y ( j q q + ) v p + p y ( ，一q q + ) v m + m y ( ，一q q + ) v p + m v ( ， 一q q + ) v m q = y ( j c + c ) = v m p y ( j q q + ) v m = 0 ，m v ( ，q q + ) v m = 0 m v ( ，一q q + ) v p = 0 故v ( ，q q + ) v = p y ( ，一q q + ) v p 又 。f7 v 2 f = f v v f f v ( ，一q q + ) v f f7 v 2 f f 7 p v ( f q q + ) v p f ( 1 6 ) 由引理2 6 ，结合( 1 5 ) ，( 1 6 ) 有 d d 7 0 f 7 v 2 f d a a + d7 0 f p v ( ，_ q q + ) v p f 即c o v d y f c o v k b 。l 由d y f 的任意性，即知k b 。l 是k b l 在矩阵非负定意义下的b l u e 下证唯一性 设k b l 也为k b l 的b l u e ，由( t 2 ) 式 存在卢，使 k b 7 l = k a + y ，( j c + c ) q + v c + l k a + y ( ，一 9 奠i ! 丈 i i ：二、：、 c + c ) ( ，一q + q ) 卢 贝qk b 。l k b7 l = k a + y ( ，一c + c ) ( f q + q ) 而e ( k b 。l k b7 l ) = k a + a b c ( ，一c c ) ( ，q + q ) z = 0 又c o w ( k b 。l k b7 l ) = c o v k a + y ( ，一c + c ) ( f q + q ) 弘 = ( k a + o ( j c + c ) ( f q + q ) 卢 ) ( f o v 2 ) ( k a + ) 7 0 ( f c + c ) ( ，一q + q ) “ = k a + ( k a + ) 7 q f7 ( f q + q ) ( j c + c ) v 2 ( ，一c + c ) ( f q + q ) p ( j q + q ) ( j c + c ) v 2 ( j c + c ) ( j q + q ) = ( ，一q + q ) q7 q ( i q + q ) = 0 c o w ( k b 。l k b7 l ) = 0 故在概率1 意义下，( 1 2 ) 的b l u e 唯一 以下推证均采用记号：q = v ( ，c + c ) ，p = c ，= v 2 证毕 c c m = l p = l c 由引理2 1q + = ( q q ) + q7 。q7 ( q q7 ) + ，容易推出 b 。= a + y f m ( m m ) + m c +( 1 7 ) 相应地( 1 3 ) 式可写为 k b 。l = k a + y j m ( m m ) + m c l( 1 8 ) 注：( 1 7 ) ，( 1 8 ) 式的优点在于用把b + 和k b 。l 表达出来，而( 1 3 ) 、( 1 4 ) 式是用v = 来表达 推论在模型( 1 2 ) 中，若= y 2 0 ，b 可估，则 b 。= a + y 一1 c 7 ( c 一1 c 7 ) + 证明当= v 2 o 时，由( 1 4 ) 式 b 。= a + y v 。1 卜一( ，一c + c ) q + v c + 1 n 1 、5 鼍七 ；、 “7 、t 、 ! 池j 二 、：i j ：j 、 = a + y y 一1 ，一v ( ，一c + c ) q + v c + = a + y v 一1 ( f q q + ) v c + 由引理2 4 ，( c v 1 ) + = ( ，一q q + ) v c + 有 b = a + y y 一1 ( c v 。1 ) + = a + w 一1 ( v 1 c7 ) ( c v 一1 v 一1 c ) + = a + w 一2 c ( c v 一2 c ) + = a + y 一1 c ( c e 一1 c 7 ) + 这与文献 1 6 的结果是一致的 三最小二乘估计的有效性 由于实际问题中常常未知，因此常用a b c 的l s ea b c 代替其b l u e ， a 白c 是无偏的，但却不定是最佳线性无偏估计，这样用l s e 代替1 3 l u e 就 会造成估计精度的损失，因而研究l s e 相对于1 3 l u e 的有效性就成为必要 记五= a 自c ，p 。= a b + c ，这里自，b 分别为模型( 1 2 ) 中参数阵口的 l s e 和b l u e 关于五和p 。的关系的研究主要集中在两个方面，一是找出五= 芦+ 的充要 条件，二是建立五和p 。的偏差估计式，下面依次讨论这两个问题 3 1 均值矩阵的l s e 与b l u e 相等的充要条件 引理3 1 1在模型( 1 2 ) 中，记五= a b c ，。= a b c ，若b 可估，则唐 = b 甘五= 产 证明必要性显然 下证充分性 。b 可估时，b = a + y c + ，b + = a + y ，一( ，一c + c ) q + v c + 1 l 5 j ! - ”；? 王! ? 。j i ：l 、 n 。4 4 一q 。 a b c = a a + y c + c ，a b 。c = a a + y f 一( f 。- 一j ， - 。_ 口” 一c + c ) q + v c + c 由五= 弘有a a + y c + c = a a + y 【f ( f c + c ) q + v c + c 上式两边左乘a + ，右乘c + 得： a + y c + = a + y 卜一( ，一c + c ) q + v c + 即b = b + 证毕 由此引理可知，在b 可估时，研究亩= b 的等价条件与研究五= 。的等 价条件是一样的 引理3 1 2对于模型( 1 2 ) ，以k b 。l ，k b l 分别记可估参数函数k b l 的b l u e 和l s e ，则 k b l = k 3 l k a + y ( ，一c + c ) q + v c + l = k b l k a + y m ( m m ) + m c + l 这里q = v ( j c + c ) ，m = j - 一c + c 证明由定理2 1 可得 特别地，显然a b c 是可估的，故有 推论卢。= 五一a a = 二一a a 定理3 1 1 在模型 y ( j c + c ) q + v c + c y m ( m m ) + m c + c ， 1 2 ) 中，五= 。当且仅当下列条件之一成立： 1 ) ( j c + c ) q + v c + c = 0 2 ) ( f c + c ) c + c = 0 3 ) p ( c7 ) p ( c 7 ) 这里= v z 一o ，q = v ，一c + c ，口( a ) 表示由矩阵a 的列向量张成的 线性空间 证明先证五= 卢铮( 卜- c + c ) q + v c + c = 0 1 2 硕i ，：主! 三文 、l 、) ，、i 、：、 “# ”由引理3 1 2 的推论显然 “辛”若三= i t 。即对任意y 有a a + y ( ，一c + c ) q + v c + c = 0 上式按行拉直有a a + o ( 卜一c + c ) q + v c + c 7 7 3 e c ( y ) = 0 由y 的任意性，有a a + o ( j c + c ) q + v c + c 7 = 0 ( ，一c + c ) q + v c + c = 0 1 ) 甘2 ) q = v ( ，一c + c ) ，q + = q7 ( q q7 ) + 且( q + ) - - i t ( q 7 ) 又由q7 ( q ) + q = q 有q = q + q q 7 卢( q ) 卢( q + ) 故i t ( q ) = 弘( q + ) q + z = 0 甘q 0 = 0 则( ，一c + c ) q + v c + c = 0 ( j c + c ) c + c = 0 2 ) 甘3 ) 。( j c + c ) c + c = 0 q c + c = c + c c + c 目c7 = c7 c “c 7 镑p ( c7 ) p ( c 7 ) 3 2 均值矩阵的l s e 和b l u e 的偏差估计 引理3 2 1 2 4 设a = d i a g ( l ， 2 ，a 。) ， 1 2 。 o ，z 是”维 单位向量测淼竿 引理3 2 2 设a 为n 阶对称阵，则有 t r ( a 2 ) 鲥 证明+ a = a 存在正交阵r ，使得 一颧一 r a r = d i a g ( “j ，。2 a 。) 令a = ( 8 1 ，n2 ，。) ，b = ( 6 l ，b 2 b 。) 7 由c a u c h y s c h w a r z 不等式有 ( 。善n r 6 ，) 2 ( 。善n ；) ( 。善6 ；) 特别地，取6 ，= l ，i = 1 ，2 n ，则有 ( 。誊) 2 白。擎 又t r a = n ：，t r a 2 = 口； 故有t r ( a 2 ) 上( t r a ) 2 引理3 2 3 2 7 设h 是n xr 的列正交阵，a = d i a g ( l ， 2 ，a 。) ， l 2 。 o 脯 ，一t r ( h a 2 h ) 攀杀半 其中= r a i n r ，一r 引理3 2 4 3 2 1 ( p o i 月c n w 分离定理) 设a 。为对称阵，p 为，l k 列i f 交阵，即p7 p = l 女，a 。为矩阵a 的第i 顺序特征根则 a 。( p a p ) a ，( a )i = l ，2 ，k a 女一，( p ， p ) 。一，( a ) j = 0 1 ，女l 定理3 21 对于模型( 1 2 ) ，记；= a 白c ，。= a b c 假定卢( c 7 ) 曼p ( m - 声川i 五刈揣叫j 这里 i ， 。分别是的最大特征根和最小特征根，| | ai 2 = r a ，a 证明五一“= a a + ( y 一五) m ( m e m ) + m c + c 5 士# ? 。j f 、 _ _ _ _ 一_ _ - _ _ 一一 i i 二一“i i = t r c + c z m ( m z m ) + m ( y k ) a a + ( y p ) m ( m e m ) + m z c + c 1 ( a a + ) a 1 ( m ( m z m ) + m e c + c z m ( m m ) + m ) i iy 一五i i 2 又a 1 ( a a + ) = 1 ，c + c = j m 故m ( m m ) + m c + c m ( m m ) + m = m ( m m ) + m 2 m ( m m ) + m m ( m m ) + m m 令= n 7 d n ，。= f ：g , a = d i a g ( ) n 为p 阶正交阵，记t = n m n 7 则m ( m m ) + m 2 m ( m m ) + m = n 。t n ( n 。t n n d n n 。t n 、n t n n 。d 2 n n t n t n t d t n 、+ n 。t n = n7 1 、( t d 丁) + t d 2 t ( t d t ) + 丁n m ( m m ) + m m = n t n t n4 t n n 。d n n t n 、n t n n d n n 。t n j = n7 t ( 丁d 丁) + t d t n 由p o i n 定理有 1 ( m ( m z m ) + m c + c e m ( m m ) + m ) l ( t ( t d t ) + t d 2 t ( t d t ) + 丁一t ( t d t ) + t d t ) ( 1 ) 记s ；= p 正= 。+ = 00 ，s ：训一，t 测t = s t + s 2 由f ( c 7 ) 芦( ) 有c + c 产( ) 故n c + c n 7 卢( n n 7 ) = 产( d ) 而n c + c n7 = i n m n = i t p d ( 卜一t ) = 卜一t 斟p d p d t = i t 誉 又( f p d ) s l = 0 故s 2 = i p d 显然s j = s i ，即s l 是对称幂等阵 令丁= 限t l l 列1 2 则s 。= 如下= l 孵：公1 公二 丁1 2 = 0 且丁 l = t 1 1 t 1 10 1 故s 。= il 【0 0j 则由( 1 ) ，a l ( m ( m m ) + m c + c m ( m m ) + m ) l ( ( t l l a t 儿) + t “a2 t 1 l ( t l l a t l l ) + ( t l l a t i i ) + t l l a t h ) 令t 1 1 = h h 7 。其中h 为k t 阶矩阵，满足h h 2 f ， 则( t l l a t “) + = ( h h 么h h ) + = h ( h o h ) 一1 h a ，( m ( m m ) + m c + c m ( m m ) + m ) a i ( ( h 7 a h ) - 1 h 2 h ( h 7 n h ) 一1 一j ) = a 1 ( ( h a h ) 一2 ( h 02 h ) ) 一1 矾( ( 叭h ) _ z ( h a 2h ) ) = 鸿篇篇淼鹧揣= 口02 。 鸿五瓦了 由引理3 2 1 可得 。( ( h 么h ) 一z ( h 么z h ) ) q 南寻者羔 黼峙”群i i y 一刘2 刚伊p 钏恭刊5 证毕 1 6 5 l 一! ? - ：j j 、1 f h 由定理3 1 1 容易推出五= 产+ 甘( c + c c + c ) 2 = c + c 2 c + c 所以用专篓裂来度量l s e 的有效性是合理的 州产邯) = 鬈黑 定理3 2 2 对于模型( 1 2 ) ，假定_ “( c7 ) 互p ( ) ，r k = 户，r k c 。t ， a 为的由大到小的第i 个特征根 则 4 a 囊+ l ( 。+ a + 1 ) 2 p ( p i 五) l 其中m = m i n t ， 一t 证明由0 ，c + c 1 0 ，令= n d n ，其中n 为p 阶正交阵， 。= 憎o , a = d i a g c a i , a 2 - - , a k ， 记c + c = n 丁n 7 则c + c 2 c + c = n t d 2 t n ，( c + c c + c ) 2 = n ( t d t ) 2 n _ 卢( c7 ) p ( ) c + c f fu ( ) 则n ，c + c n e p ( d ) 令p d = d 。+ = | 0 ：j 则p d t = t 又t 2 = t 令t = ；：；笔 则t 。= 丁。，丁。：= 丁：。= 丁：= 。 故丁= f0 1 ： 令丁“= l l7 ，其中l 是女t 阶矩阵，满足l 7 l = f 。 故t r ( c + c c + c ) 2 = t r ( t d t ) 2 = t r ( l7 l ) 2 t r c + c + c + c = t r ( t d 2 t ) = t r ( l 么l ) 1 7 j 赢，“、 。 7 、， _ - 、 一- 。一 一 一一 1 于是由引理3 2 3 即得 4 。 。一。+ l i 上土一一一e ( 卢l 五) l ( 。+ a 。一，+ 1 ) 2 四b l u e 的最大概率性质 引理4 1 【3 5 1设 o e c ( e ) e c ( o ，o ，曲) ，其中v a r ( w ( e ) ) = ，o ，其特征函数为妒( f7 ( ，o ) t ) ，令y = a v e c ( e ) ，a 为任意适当阶矩阵，g = a ( j ) a7 为j ，的方差阵，则y 岛 u ，u e c ( o ，妒) 其中e c 表示椭 球等高分布， 定义4 1设x ，y 的分布函数分别为f ( d t ) 和g ( z ) ，若对切z 有f ( z ) g ( z ) 则称x 随机地大于y ，记为x y 引理42设非负随机变量x ，y 满足x y ，且e ix f c o ，e jy i y ，f i ( z ) f 2 ( z ) 又e ( x ) = 孑( 1 一f 1 ( z ) ) d z ，e ( y ) = 扩( 1 一f 2 ( z ) ) d x 贝ue x e y = f 孑( f 2 ( z ) 一f 1 ( z ) ) d f o 即e x e y 定理4 1在模型( 1 2 ) 中，设m ( e ) e c ( o ，驴) ，这里e c 表示 椭球等高分布，可估参数函数k b l 的b l u e 为k b l ，记k b l 的任一线性无 偏估计为k f 3 l ，则对任意p x p 阶非负定矩阵s 和任意实数c ，有 j p ( ( k b 。l k b l ) ) ，s ( ( k b 。l k b l ) ) c 2 p ( 7 3 e c ( k b l k b l ) ) 7 s ( 黼( k i l l k b l ) ) f 2 1 8 ；夏士 。二i l ：i 、1 j 、2 诛、1 l j h 证明k b l 可估_ l ( k7 ) c c p ( a7 ) ，( l ) 产( c ) k b l = k a + y f _ 一m ( m m ) + m c + l 则v e c ( k b l ) = k a + o ( ，一m ( m m ) m 2 c + l ) w ( y ) 而v e c y = ( a o c 7 ) b + e ( k b l ) = k a + o ( ，一m ( m m ) + m ) c + l ) ， ( a o c 7 ) b + e = k a + a o l7 c 7 + ( 卜m ( m z m ) + m ) 7 c b + k a + a o 十( j m ( m m ) + m ) c + l ) 7 e 由p ( k ) e 卢( a7 ) ，1 1 ( l ) p ( c ) 有 k a + a = k l7 c ”( j m ( m m ) + m ) 】7 c = l7 c “c 7 = l w ( k b l ) = ( k o l7 ) b + k a + o l c 。( ，- 一m ( m z m ) + m z ) 7 e 故 5 唧( k b l k b l ) = s k a + o l7 c 。( j m ( m m ) + m ) 7 e ， s ；w ( k b l k b l ) ：s k a + o l7 c 7 ( j m ( m m ) + m ) 7 ( j ) ( k a + ) ( j m ( m z m ) + m n ) c + l s ：s f o v ( k b l )