（光学专业论文）非马尔可夫库中谐振子系统的三模纠缠和压缩.pdf

摘要 量子纠缠在量子传输及量子通讯方面扮演着重要的角色，但是在分析连续变 量通道时，由于系统不可避免地与外界相互作用，必需将退相干和耗散考虑在 内，因此研究开放系统的纠缠特性是个重要的课题，引起了人们的广泛关注。 在开放量子理论中，系统的动力学性质是由主方程的约化密度矩阵来描述 的。本文推导了三个全同的谐振子系统与一个非马尔可夫库相互作用时满足的非 马尔可夫主方程，并在此基础上讨论了系统的三模纠缠和压缩。这种非马尔可夫 主方程方法并没有采用玻恩近似和马尔可夫近似，而是把环境看做是谐振子的非 马尔可夫库。为了简化求解主方程的过程，我们对位置算符和动量算符执行么正 变换，使得系统在新的变换基下只有一个谐振子与库耦合，而其它谐振子都与库 退耦合。由此可以在w i g n e r 表象中给出系数随时间演化的协方差矩阵元的耦合一 阶常微分方程组。以三模压缩真空态为初态，用龙格库塔法进行数值计算，求解 出协方差矩阵元的时间演化。该方法比计算福克普朗克方程更简单。然后通过计 算负本征值得到纠缠演化，并用局域压缩变换计算三模压缩随时问的演化。 分析比较纠缠和压缩的特性，最终得出以下结论：三个全同谐振子的三模纠 缠和压缩不仅依赖于谐振子的初态，还与库的性质，系统和库的耦合强度密切相 关。同时还发现当谐振子之间存在三模纠缠时，也将存在三模压缩；当谐振子处 于分离状态时，三模压缩也随之消失。 关键词：纠缠，连续变量，高斯态，非马尔可夫，谐振子 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e ds t a t e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h eq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n d q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e b u td u et ot h eu n a v o i d a b l ei n t e r a c t i o nw i t ht h ee n v i r o n m e n t , w es h o u l dt a k ed e c o h e r e n c ea n dd i s s i p a t i o ni n t oa c c o u n tw h e nw ea n a l y z e c o n t i n u o u sv a r i a b l eq u a n t u mc h a n n e l s t h e r e f o r et h er e s e a r c ho ft h ed y n a m i c so fe n t a n g l e m e n t i no p e nq u a n t u ms y s t e m sh a sb e c o m ea 、，i t a lt o p i ca n dh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n w i t h i nt h et h e o r yo fo p e nq u a n t u ms y s t e m s ，t h ed i s s i p a t i v ed y n a m i c sa f em a i n l y d e s c r i b e db ym a s t e re q u a t i o n so ft h er e d u c e dd e n s i t ym a t r i x w eu s et h ep e r t u r b a t i v e m e t h o dt od e r i v em a s t e re q u a t i o no ft h ed e n s i t ym a t r i xo fas y s t e mc o m p o s e do ft h r e e c o u p l e di d e n t i c a lh a r m o n i co s c i l l a t o r ss i m u l t a n e o u s l yi n t e r a c t i n gw i t l la c o m m o ne n v i r o n m e n t w ed on o tm a k et h er o t a t i n g w a v ea n dm a r k o v i a na p p r o x i m a t i o n so nt h ei n t e r - a c t i o nh a r n i l t o n i a na n dt r e a tt h ee n v i r o n m e n ta san o n m a r k o v i a nr e s e r v o i rt ot h eo s c i l l a - t o r s t os o l v et h em a s t e re q u a t i o n i nas i m p l ew a y , w em a k eau n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no f t h ep o s i t i o na n dm o m e n t u mo p e r a t o r s ，a n dw ef i n dt h a ti nt h en e wt r a n s f o r m e db a s i st h e s y s t e mi sr e p r e s e n t e db yas e to fi n d e p e n d e n th a r m o n i co s c i l l a t o r s 、i lo n l yo r l eo ft h e m c o u p l e dt ot h ee n v i r o n m e n t w o r k i n gi nt h ew i g n e rr e p r e s e n t a t i o no f t h ed e n s i t yo p e r a t o r , w eg e tas e to fc o u p l e df i r s to r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ec o v a r i a n c em a t r i x e l e m e n t sw h o s ec o e f f i c i e n t sc h a n g e dw i t ht i m e w ef i n dt h a tw o r k i n gw i t ht h ed i f f e r e n - t i a le q u a t i o n sf o r t h ec o v a r i a n c em a t r i xe l e m e n t si ti se a s i e rt of i n dt h ed e n s i t yo p e r a t o ro f t h es y s t e mt h a nw o r k i n gw i it h ef o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n s o l v i n gf o r t h et i m ee v o l u t i o n o ft h ec o v a r i a n c em a u i xe l e m e n t sb yt h en u m e r i c a lm e t h o d so fr u n g e - k u t t aa n ds e t t i n g t h r e e - m o d es q u e e z e dv a c l l u ms t a t e 舔i n i t i a ls t a t e ，w ec a nt h e no b t a i nt h ee n t a n g l e m e n t d y n a m i c st h r o u g ht h ec o m p u t a t i o no ft h en e g a t i v i t ya n dg e tt h es u mo ft h ev a r i a n c e so f t h ep o s i t i o na n dm o m e n t u mo p e r a t o r st h r o u g hl o c a ls q u e e z i n gt r a n s f o r m a t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a tt h r o e - m o d ee n t a n g l e m e n tn o to n l yd e p e n d so nt h ei n i t i a ls t a c b u ti sa l s oc l o s e l yr e l a t e dt ot h en a t u r eo ft h ee n v i r o n m e n ta n dt h ec o u p l i n gs t r e n g t h b e t w e e ns y s t e ma n dt h ee n v i r o n m e n t i na d d i t i o n ，w es h o wt h a tt h et h r e e - m o d ee n t a n g l e m e n t c a nb ep r e d i c t e db ys u i t a b l yt r a n s f o r m e ds q u e e z e df l u c t u a t i o n ss ot h a ta n y w h e r e t h e r ei ss q u e e z i n gb e t w e e nt h eo s c i l l a t o rm o d e st h e r ei sa ne n t a n g l e m e n t k e yw o r d s ：e n t a n g l e m e n t , c o n t i n u o u sv a r i a b l e s ，g a u s s i a ns t a t e s ，n o n - m a r k o v i a n ， h a r m o n i co s c i l l a t o r s i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外。本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承扭。 作者签名： 吾心列韬日期：2 0 0 7 年5 月多j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保帘、使用学位论文的规定，印：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：弓4 千j 易彳 日期：2 0 d 7 年5 月引日 导师签 日期：年月 e l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童论塞埕窑匡进卮! 旦坐生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：孙和) 老彳 日期：印7 年岁月弓1 日 导师签 日期： 项士学位论文 m s t e r st h e s i s 引言 在过去十年里的量子通讯研究中，量子隐形传输【1 - 3 】及量子密码学【4 ，5 】结 合了量子纠缠理论，引起了人们广泛的重视。从理论上讲两极化光子、两二能 级原子或两电子自旋等离散变量量子纠缠态【6 ，刀与量子光学中的两压缩光场连 续变量量子纠缠态【8 】在量子通道中传输量子纠缠态具有同样的作用。但是实际 上，连续变量量子纠缠态比起离散变量量子纠缠态更为实用，因为它对单粒子退 相干效应不敏感，并且光场压缩纠缠态已经通过光学非线性过程被实验实现，也 是实际操控各种量子通讯协议中的一个关键量子纠缠源。 但是量子系统绝不是孤立于外在环境的。系统与环境之间的相互作用引发了 退相干现象，这种退相干效应对量子叠加和量子纠缠有破坏作用，这就是实现量 子计算和其它量子装置的主要障碍。另外，最近许多实验为利用退相干和耗散来 产生纠缠和量子态的叠加铺平了道路。为了更好地理解退相干的本质，这使得在 开放系统中研究连续变量量子纠缠动力学成为一个很热门的课题。 传统上研究开放量子系统通常采取马尔可夫近似【9 - l l 】和玻恩近似。马尔可 夫近似要求环境的迟豫时间比系统演化时间短很多，这时系统流失到环境中的信 息和能量不会再回到系统中去，而是很快地扩散开来。玻恩近似要求系统与环境 之间的相互作用与系统自身演化相比可以看作非常弱的作用。这两种近似并不是 在所有的情况下都成立。特别是对于系统与环境之间的相互作用较强的固体量子 系统，比如光子带隙材料中原子的衰减f 1 2 】和量子点【1 3 ，马尔可夫近似不再成 立。同样在原子激光【1 4 中库与单模腔相互作用也是非马尔可夫的。或者当我们 只对演化的初始阶段感兴趣，甚至对那些库的记忆时间比系统的特征时间还要小 得多的马尔可夫系统而言，我们更有必要研究开放量子系统中的非马可夫动力学 理论。 近年来已有好几个研究组对连续变量量子纠缠态的非马可夫动力学进行了研 究。p r a u z n e r 等人研究了连续变量纠缠态在单个非马尔可夫库【1 5 ，1 6 】中的动力学 行为，m a n i s c a l c o 等人研究了连续变量纠缠态在两个非马尔可夫库【1 7 _ 2 l 】中的动 力学行为。人们发现系统在与共同的非马尔可夫库耦合时产生的纠缠更容易保 存，并且此时两个子系统间可能产生新的纠缠。 在此背景下，高斯态起着重要的作用。高斯态是指具有高斯形式的特征函数 或准概率分布函数的量子态。多模高斯态作为光学量子态的典型代表，对量子信 息处理和量子计算有着潜在的而又重要的作用。s i m o n 讨论了三模高斯态的可分 项士擘住论文 m s t e r st h e s i s 离性【2 2 ，2 3 1 ，c i r a c 等人提出了三模高斯态的可分离判据【2 4 ，用这些判据来描述 三模高斯态的纠缠特性有着许多优点。由于三模连续变量纠缠态是研究多模连续 变量纠缠态中最简单又重要的实例，因此深入研究谐振子系统与非马尔可夫库相 互作用的三模纠缠和压缩性质是一个既有理论意义，又有实际价值的重要课题。 本文的主要内容如下： 在第二章中，简单介绍了本文所需的基本知识，主要包括开放量子系统的理 论介绍、连续变量的纠缠的概念及纠缠判据。 在第三章中，研究了初始处于三模连续变量纠缠态的系统共同与一个非马尔 可夫库相互作用时的三模纠缠和压缩。通过求解系数随时间演化的协方差矩阵元 的耦合一阶常微分方程组，用负本征值分析了三模纠缠；通过局域的单模压缩变 换，得到了三模压缩的涨落。最后根据p e t e rl o o c k 提出的三模纠缠的必要条件，讨 论了三模纠缠和压缩之间的关系。 在第四章中，对本文作了总结和展望。 2 项士擘位论文 h 吣t e r st 腿s i s 1 1 开放量子系统 第一章基础理论知识介绍 1 1 1 开放量子系统 开放量子系统是指宇宙分为系统和环境两部分构成。由于系统和环境之间的 相互作用，开放体系容易丧失内部相干性、降低纠缠度，因而失去很多量子信 息。因此我们有必要研究开放量子系统理论。 1 9 6 3 年f e y n m a n 和v e r n o n 【2 5 】假设环境开始处于某一温度的热平衡态，由 于只对系统感兴趣，可以把环境变量积分掉，然后用路径积分的方法得到约 化密度矩阵的随时间演化方程，从这个方程式可以看出此过程是非马可夫 的。1 9 8 3 年c a l d e i r a 和l e g g e t t 【2 6 假设环境为欧姆库，他们得到了在高温近似和 马可夫近似条件下的约化密度矩阵的演化方程，这一方程和古典布朗运动模型 的l a n g e v i n 运动方程相似。从这个方程式可以看出开放量子体系理论【2 7 】的一个 典型模型是量子布朗运动：假设在整个体系中，作为开放系统的一个粒子与任意 温度下的环境之间存在线性相互作用，耦合强度为入，而环境则是由大量互不耦 合的谐振子构成。这个模型广泛地应用在许多物理环境中，比如：它描述了在线 性电介质中传播的量子电磁场f 2 8 ，与耦极近似电磁场相互作用的粒子【2 9 ，受 人造色噪声影响的单个囚禁离子【3 0 1 。除此以外，量子布朗模型还应用在核物理 【31 1 和量子化学【8 】中。1 9 9 2 年h u ，p a z 和z h a n g 【3 2 才得到约化密度矩阵在任意温 度下，非马可夫过程中的演化方程。它显示出非马可夫的效应的重要性，并且在 某些情况下与马可夫近似的结果显著不同。 1 1 2 非马尔可夫主方程方法 对开放量子系统做研究时均采用的是开放量子系统的主方程模型【3 2 ，3 3 1 。由 于整个宇宙是一个封闭系统，它满足量子力学的动力学方程，由此可以写下整个 宇宙的密度矩阵所满足的方程式。然而如果所感兴趣的只是系统s 本身，可以把环 境的动力学变量积分掉，从而得到剩下来的系统s 的约化密度矩阵所满足的方程， 即主方程，它是决定量子开放系统的约化密度矩阵在环境影响下随时间演化规律 的方程。一般来说，复合系统( 开放系统加上环境) 的哈密顿量，由三个部分构 3 成： h = h s + h c + v 1 ( 1 1 ) 其中风和刀：分别为系统和库的哈密顿量，y 是系统与库之间的相互作用哈密顿 量。在相互作用表象下，总密度矩阵甜的量子刘维方程可写为： 主碡= 【矿( ) ，训， ( 1 2 ) 这里露= 罐丹和v - ( t ) = t r o t y 分别表示在相互作用表象中的总密度矩阵和相 互作用密度矩阵，其中 = 唧 掣 m 3 ， 假砹系统与庠z 1 日j 阴相且作用很，j 、，口j 以圯布甘且作用坝v 看厩傲扰。从t - u 秋 分到t = t 结果为： 屏( t ) = 屏( 。) + i 1 o 。出渺( 1 ) ，屏( - ) 】 ( 1 4 ) 由迭代思想可以获得屏( ) 的近似解： 砷m ( 0 ) + 萎新“厂州新嘲删 v c a 删】( 1 5 ) 这个级数称为戴森级数。可以用这个级数对库求迹来计算二阶约化密度矩阵。 磊( 亡) = 去巩i 矿( 晚屏( 。) 】一两1z 。出玑【矿( 吐吵( 柚，磊( 。) 】 ( 1 6 ) 假设初始系统与库之间没有关联，也就是说总的初始密度矩阵是形式 为肼( o ) = p ( o ) 依( o ) 的张量积。而从薛定谔表象中变换到相互作用表象中屏( o ) = 肼( o ) ，也就是说屏( o ) = p ( o ) o 纯( o ) ，将此式代入方程( 1 6 ) 中可得 辱(t)5磊1玑f矿(t)，p(o)p风(o)】一嘉z出ltr芒fl(t)1 ，吵( 1 ) ，p ( o ) p 纯( o ) 】 1h 4 项士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 同理可以用方程( 1 4 ) 替换方程( 1 7 ) 中的p ( o ) 并将结果展开到二级近似有 屏( 亡) = 熹巩( 矿( ) ，痧( t ) 。戊( 0 ) j j lf o 疵。玑【矿( t ) ，【矿( z ) ，反z ) 。风( 0 ) 】j + 去z 出玑【矿( 班玑( 【矿( 柚，卢( ) q 风( 0 ) 】) 固风( 0 ) 】， ( 1 8 ) 这就是相互作用表象中主方程的一般表达形式。可以用方程( 1 8 ) 代入到薛定谔表 象中得到薛定谔表象中的主方程。 值得注意的是，这里仅仅只做了两点假设： 第一，用微扰方法根据系统与库的耦合常数展开到二级近似； 第二，假设初始无关联。 除了这两点假设以外，并没有对量子光学主方程做旋波近似和马尔可夫近 似。所以所获得的主方程是非马尔可夫方程。下面假设一个简单并有趣的相互作 用哈密顿量： y = ( & 昂+ 畿磅) ， ( 1 9 ) 其中& 和r 分别是作用在系统和库的希尔伯特空间上的两个算符。那么薛定谔表 象中的主方程可以写为： 声( t ) 2 袁【凰，纠+ 袁【( r ) & + ( 霹) & ，纠 h 2 n mz 出 砖t ) 限，瞰( 卜删 + k 窘) ，n ( z ，t 1 ) & ，砖0 1 一t ) ，纠 + k - 1 3 ) m ( t ，t 1 ) 【& ，【( t 1 一t ) ，j 9 1 】 + k 窘) m ( z ，t x ) 【晶，鼠 l t ) ，纠+ h c ， ( 1 1 0 ) 其中磁) m 由库的双时关联函数决定。 碟( “z ) = 三( r ( t ) ，砩( t 。) ) 一( 日) ( 硪) 礁( t ，j 。) = 丢( 陬( t ) ，磙( t 1 ) 】) 5 硕士学位论文 a s t e r st h e s i s g c 裂c t , t o = 去( r ，m ) ) 一( b ) ( ) 碟( 啦- ) = 三( 隰( ) ，啄( 枷 1 2 连续变量的纠缠判据 对于密度算符为p 的双模高斯态，用w i n g e r 特征函数表示为【3 4 】： 矿( 入，k ) = 打p e 印( 入- a - 一入；越+ 入2 屯一砖a 1 ) = 打p e 印讵( 碍金- + 入釉+ a ；圣2 + 入孰) 】) ， ( 1 1 2 ) 其中参数= 碍+ 主譬，湮灭算符鸟= 去( 岛+ 谚) ，正交振幅每，岛满足对易 式【奶，岛，】= i 如，0 ，歹7 = l ，2 ) 。对于高斯态，w i n g e 带征函数矿( 入l ，入z ) 是弩和入；的 高斯函数。不失普遍性，我们可以把p ( a 1 ，a 2 ) 写成如下形式： 矿( h = e x p 扣礤砖世) 螂强哟t ( 1 1 3 ) 那么高斯态的关联特性完全由4 4 的对称协方差矩阵m 来决定，其表达式为： f ，g tc 、 沪g 2 ( 1 1 4 ) 这里g l 、岛、c 都是2 2 的实矩阵，c r t 为c 的转置矩阵。由于局域操作不改变 体系的纠缠大小，并且任何局域操作可以通过压缩变换和旋转变换的组合实现 3 5 1 ，所以我们可以通过局域的b o g o l i u b o v 幺正变换，将高斯态变换为标准形式 来研究其分离特性： y 。= a l 0o 0 ) 6 ( 1 1 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s ( 1 1 6 ) 段路明等人证明了高斯态的充分且必要条件为：当且仅当协方差矩阵元满足上述 标准形式，并且下面两个e p r 算符 卢= 蛹一下c 。1 lq 1 x 2 ，痧= a 只一南三b ， 满足方程 ( 卢) 2 + ( 痧) 2 矿+ 刍 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 其中矿= 黯= 、= b 2 - 了1 ，那么这个高斯态就是独立的。对于双模高斯态， n = 1 ，其量子态为纠缠态的充分且必要条件也可以表述为( 卢) 2 + ( 痧) 2 1 ，库称为超欧姆库：如 果7 1 , 1 ，库称为亚欧姆库。 当系统与库相互作用时，随着截止频率a _ ，频移q 奄( t ) 是发散的，所 以没有物理意义。因此可以把原始哈密顿量中的频率q 看成是有限的归一化频 率q ，但是事实上这个哈密顿量并不是有限的。为了保证可观测的频率与谐振子 的裸频一致，必须加上自相互作用项消除发散的频移 三莓箍靠刁1 啦2 咐_ - 2 ， 偿2 - ) 使得哈密顿量珥= 凰+ 趣+ y 具有c a l d e i r al e g g e r 模型的形式 珥= 嘉+ 扭葫+ 莓睁1 卜等) 2 这个过程称为频翠的归一化过程。 对于量子布朗运动模型，在这种情况下的哈密顿量珥可以写为： 珥= 嘉+ 1 2 m 9 2 q - 2 + ( 嘉+ 互1 m n 以蠢+ 何k 籼) + 1 2 m 曜蟊，( 2 2 3 ) 式中的最后一项可以看做是频- v 反转项，其频率定义为： 睁莓箍= 2 z 掣 亿砷 可以看出在长时间的条件下频移壶斋( ) 等于g 。令噬= 凑，则有理= 2 n 忘警q 2 3 特征函数及协方差矩阵元 下面，在w i g n e r 表象中来讨论主方程( 2 1 1 ) 式的解。考虑作用在三维希尔伯 特直积空间上的分别代表三个模的玻色系统，定义每个模的湮灭算符为a j2 ( 象+ 磊) 以相应的每个模的复振幅为吩= 侮+ 西) 以。 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 玻色场的高斯态的特征函数可定义为【3 8 】： 舷) = e x p ( 一三戈y 又r ) ， ( 2 2 5 ) 与之对应的w i n g e r 函数是归一化的高斯分布函数： w ( x ) = 厕1e 印( 一三文又t ) ， ( 2 2 6 ) 这里矢量 贾= ( 翕，爹，翕，南，氟，方) ，x = ( 甄，a ，面，而，氟，声) ，( 2 2 7 ) 协方差矩阵元v 定义为： k j = t r ( ( 咒，鼍) 声) ， ( 2 2 8 ) 其中： x ，恐 = 互1 ( a x i a x j + a x r x , ) ，x = 五一( 咒) ， ( 2 2 9 ) 因此根据定义( 2 2 8 ) 和主方程( 2 11 ) 可以获得系数随时间演化的协方差矩阵元 的耦合一阶常微分方程组。下面具体以n = 3 y 了例进行分析讨论，协方差矩阵元的 耦合一阶常微分方程组的表达式如下： 玩，= 云。 b 22 击k 2 一 f q i l k 32 壶( 3 + 4 ) 叱2 击k 4 一m f t y 1 3 52 击( 5 + k 6 ) 玩6 = 击砼6 一m ( q ；+ 矗；( ) + q c 3 2 ) k 5 2 7 3 ( t ) v 1 6 蜣2 ：一2 m q ：v 1 2 1 4 硕士学位论丈 m a s t e r st 腿s i s 5 刍坛一m q ；m 3 咄= m a f y , 4 一m 啦 坛2 击6 一m q ； 吆= m q ；k 6 一m ( 绣+ 矗；( t ) + q 冬) 5 2 蚀0 ) 蚝= 云比 屯= 击一m q ；瓦 比2 击( + ) 咄2 击一m ( 孵+ 递( ) + 2 ) k 5 2 7 3 ( t ) v 船 玩= 一2 m q ；魄 2 击k 6 一m f 2 ；v 3 5 吨= 一m q ；蚝6 一必( 噬+ 壶； ) + q 毛) 一2 7 3 ( t ) v 4 6 k 5 2 云 比2 击坛一m ( q i + 绣( ) + 噶) 5 2 7 z ( t ) v 弱一( t ) 吨= 一2 m ( q ；+ q ；( t ) - i - q 轰) k 6 4 ，y 3 ( t ) 一萨d 3 0 ) ， 这里运用了k l = k 2 ，2 = ，v 4 3 = 等1 5 个对称关系，所以只需要结合初态 求解2 1 个微分方程组就可以了。 2 4 压缩真空态 假设用三模压缩真空态作为此模型中三个子系统的初态，则可以用下面的协 方差矩阵完全描述： vro=l耋至。)y。墨00 00 0 。，童0 0 0000 0 。， i2 ( 0 ) l ( ) 1 5 ( 2 3 0 ) 考虑两种情况： ( 1 ) 假设系统制备在纯三模压缩真空态l 妒1 ) = u l1 0 6 。，o b ，0 6 3 ) 【3 9 】，其中： 矾= 唧hm 醍+ 6 t 砖+ t 叱t ) 卜( 6 t 2 + 6 t 2 + 碹2 ) - h c ) ( 2 3 1 ) 这里r 为压缩因子，这个态已经被两个小组在实验中实现 4 0 ，4 1 。 此时：1 ( o ) = ( o ) = k 6 ( o ) = 互1 c - - 2 r ，2 ( o ) = ( o ) = v 5 5 ( o ) = 互1 e 2 r 。 ( 2 ) 假设系统制备在三个囚禁离子在单模腔中的三模压缩真空态l 如) = 巩1 0 6 1 ，0 b ) 【3 7 ，其中： 踢= l 妒) = 唧 一，- t tttt t ；一h c ) ) ， 此时： ( 2 3 2 ) ( o ) = ( o ) = 主e - - 2 rk 。( o ) = ( o ) = 互1 e 2 r ，k 5 ( o ) = 三e 4 r ，k 6 ( o ) = 互1 e 一4 r ( 2 3 3 ) 由于协方差矩阵元的耦合一阶常微分方程组的系数较为复杂，所以很难求出 协方差矩阵元的解析表达式，这里可以用数值解法得到各协方差矩阵元的随时 演化。然后将协方差矩阵v 从( 蠡，乒l ，q 2 ，p 。2 ，磊，西) 表象变换到( g l ，p l ，q 2 ，p 2 ，9 3 ，船) 表 象，我们发现有下列对称的形式，这将在后面的讨论中用到。 v ，( t ) ) ( 亡) ) ( ) 吆 t ) ( t ) t ) ( t ) t ) ( t ) 吆 t ) ( t ) 吆 2 5 纠缠随时间的演化 t ) ) 吆 t ) t ) t ) t ) ( 2 3 4 - ) c , i e a k e 等人提出t - - 模高斯态的纠缠判据【2 3 】i 当且仅当条件 d y ) r j 一尹1 o o = 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 5 ) 1 6 、liliilllliii， 、t，、l，、l，、l，、l，、l， t tt亡 ，f，、，、，f、，i，j 坛吆吆 、t，、l，、-，、l，、l，、l， t t 坛 比 同时满足时，三模高斯态是完全不可分离的。这里变换矩阵r 表示对第j 个模做转 置。比如对三模高斯态的第三个模在相空问作部分转置， r _ r 3 x t = ( q l , p 1 ，q 2 ，p 2 ，啦，船) 盯= ( 喜丢曼) ，q = ( 二三) 。= 1 ，2 ，3 ， ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 对于此系统，因为方程中的关联矩阵( t ) 满足对称交换性，所以矩阵的负本征值 渤= 1 ，2 ，3 是相同的，记为耻，它描述了三模高斯态的纠缠特性。 2 6 压缩随时间的演化 对于三模量子态，如果正交算符的涨落y ) 互1 ，那么可以说态出现了三模 压缩，并且最小的涨落对应着最优的三模压缩【4 2 。在玻色子a 1 、a 2 和0 3 的表象 中，三模谐振子系统随时间演化的特征函数为： ，1 x ( 矗，：，已。，t ) = e x p ( 一吉 m - ( 受。+ 毫+ 已) + c c 】 - + m 2 ( 已。厶：+ 已。已3 + 已。已。+ c c ) + m 3 ，。+ 矗：艺+ 矗。) + 碱( 已。矗+ 矗。肇+ 矗：。+ c - c ) ) ) ， ( 2 3 8 ) 这里：仇t = ( 一- - 2 i v ；f ；2 ) ，m 2 = 一吆一i ( v h + ) ，m 3 = + ，d 2 4 = + 吆。通过局域的单模压缩变换【4 3 】： 云1 = 口1 c o s h ( r 1 ) c o s h ( r 2 ) 一e 2 ( 妒一) s i n h ( r 1 ) s i n h ( r 2 ) 】 + 0 i e 一胡 c o s h ( r 1 ) s i n h ( r 2 ) 一e 一班( i p 一) s i n h ( r 1 ) c o s h ( r 2 ) 】， 而= a 2 e e c o s h ( r 1 ) c o s h ( r 2 ) + e 2 ( p 口) s i n h ( r 1 ) s i n h ( r 2 ) 】 一畦e 一 c o s h ( r 1 ) s i n h ( r 2 ) + e 一麓( i p p ) s i n h ( r 1 ) c o s h ( r 2 ) 】， 堍= 奶( 2 3 9 ) 1 7 硕士学位论文 m a s t e i rst h e s i s ( 2 4 0 ) 这里矢量卢= ( y 。l ，x 。l ，y 一2 ，奎2 ，蟊，孟3 ) ，易和奶u = 1 ，2 ，3 ) 是与算符奶所对应的相空间 变量的实部和虚部，关联矩阵为： g = 其中： e 2 r l = h l e 抽0h 2 e 2 r 2 0 e 她0 0h i e 一2 您0 h 3 e 一2 圪0h s e 一2 r 2 碗e 如0h l e 抛0h 2 e 2 r 2 0 0h s e 一2 r 20h l e 一2 r 20 h a e 一2 r 2 h 2 e 2 r 2 0h 2 e 籼0h l e 2 r 20 0 h s e 一2 您0h s e 一2 r 20 1 e 一2 2 ，e 2 r 2 = ( 2 4 1 ) h l = - 2 h ，h 2 = 2 ( i f l i 一五) ，加= - 2 ( 1 f l i + 五) = m 2 c o s h 2r ) + 仇；e 钳妒s i n h 2 ( r ) + m 4 e 饿。 s i n h ( 2 r ) 厶= 三( m 2 e - - 2 i 驴+ m ；e 蕊妒) s 饥h ( 2 r ) + m 4 c o s 九( 2 r ) = ( r o l e - 2 咖+ m ：e 蕊妒) s i n h ( 2 r ) + m 3 c o s h ( 2 r ) m l = i m l l 矿妒， = l i e 2 谢 ( 2 4 2 ) 可以求出算符磊= 锈b 一 ( 钇+ 铂) 】的量子涨落( ( 磊) 2 ) ，和算符西= 狐慨+ i h + 册) 的量子涨落( ( 磊) 2 ) 。根据p e t e r v a i ll o o c k 提出了三模分离态的必要条件 2 3 1 ，可以判定当( ( 牙1 ) 2 ) + ( ( 西) 2 ) 1 4 8 9 时，负本征值始终小于零，说明系统之间始终存在纠 缠。这里7 _ = 1 4 8 9 是系统的三模纠缠出现突然死亡的临界值，与双模情况中的临 界值相同。所以当r ) k 7 于这个临界值时，环境处于非经典关联，系统在演化过程 中尽管其纠缠不断的减小，但是其纠缠不会消失，最终系统演化为与环境相同的 态，所以负本征值为一个恒定的值；同时根据p e t e rv a nl o o c k 提出的三模纠缠的必 要条件( ( 甄) 2 ) + ( ( 函) 2 ) 1 可知存在三模纠缠时必定存在三模压缩。 比较图2 2 和图2 3 ，我们发现随着系统与库之间的耦合增强，当r 1 4 8 9 时，系统始终存在纠缠，但是纠缠出现了振荡现象。 比较图2 3 和图2 4 ，我们发现当系统与库之间的耦合很大时，系统的三模纠缠和压 缩增强，并出现了较强的振荡现象。这使得7 较小时，纠缠也出现突然死亡和恢复 现象。但是系统始终保持有纠缠的时候就有压缩，有压缩的时候就有纠缠。 假设三个子系统之间的耦合强度a = 0 8 ，下面同样取不同的压缩因子和初态 ( 1 咖) 和i 也) ) 进行分析： 从图2 5 图2 7 中我们可以看出当系统之间存在耦合时，三模纠缠与压缩呈 现出相同的变化规律：系统与库的耦合强度越大，系统的三模纠缠增强，越 2 0 硕士学位论文 m a s t e r lst h e , s i s 萼 ： 寻 ( a ) 初态为i 妒1 ) 初态为i 妒2 ) 图2 5 三模纠缠耻的的演化和三模压缩( 磊) 2 与( 西) 2 的和随时间的演化，伽= 0 0 5 ，a = 1 0 0 ，佗= 1 ，入= 0 8 ，r = 1 0 ( 实线) ，仁1 4 8 9 ( 虚线) ，r = 2 0 ( 点线) j 1 2 s b 争 一 孽 ； 套 鲁 ( a ) 初态为l 妒1 )c o ) 初态为i 也) 图2 6 三模纠缠叩一的的演化和三模压缩( a 0 1 ) 2 与( 蛎) 2 的和随时间t 的演化，7 0 = 0 5 ，a = 1 0 0 ，佗= 1 ，入= 0 8 , r = 1 0 ( 实线) ，# 1 4 8 9 ( 虚线) ，r = 2 o ( 点线) 容易出现纠缠的突然死亡和恢复现象；压缩因子越大，出现周期性突然死亡 的时间越短：系统存在三模压缩的同时也存在了三模纠缠，三模压缩消失的 同时三模纠缠也消失。但是我们也看到了不同的现象，那就是当系统之间存 在耦合时，出现突然死亡和恢复的频率变小。这个可以从自由谐振子演化的频 率g = 丽兰q f ，i = l ，2 ，一1 中可以看出，当入增加时，频率g 减 小。 2 l 专 毒 轻 s l 冉 争 ( a ) 初态为l 砂1 )( b ) 初态为l 也) 图2 7 三模纠缠7 7 一的的演化和三模压缩( 亘1 ) 2 与( 西) 2 的和随时间的演化，伽= 5 ，a = i 0 0 ，n = 1 ，a = 0 8 ，f 1 o ( 实线) ，仁1 4 8 9 ( 虚线) f 2 o ( 点线) o o o - o 0 2 _ 0 0 4 一 - o 0 6 旬0 8 - o 1 0 5 5 2 0 2 d 3 0 3 0 图2 8 三模纠缠7 7 一的的演化和三模压缩( 辱1 ) 2 与( 邸。) 2 的和随时间的演化，7 0 = 0 5 ，a = i 0 0 ，入= 0 8 ，初态为i 砂1 ) ，n = o 8 ( 实线) ，n = 1 0 ( 虚线) n = 1 2 ( 点线) 若将图2 2 2 。7 中的( 口) 图与( 6 ) 图进行比较，可以发现当压缩因子r 相同时，对 于不同的初态三模纠缠和压缩的情况也不一样。当初态为j 如) 时，与初态j 砂1 ) 相 比，系统出现了较强的非马尔可夫效应。这是因为初态为1 1 ；f 7 ) 时，三模压缩真空 态保持一定的对称性，这一对称性使得相应部分的纠缠态具有无退相干效应；而 当初态为f 锄) 时，三模压缩真空态具有不对称性，因此非马尔可夫效应较强。 2 2 8 6 4 2 o o o o 0 o h毽姜蟹v 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 当改变n 值时，库的性质发生了变化。如果取l 妒，) 为初态，调整参数为7 0 = 0 5 ，= 2 ，a = 0 8 。从图2 8 中可以看出：这时系统间的纠缠同样出现了突然死亡 和突然恢复现象。但是不同的库对三模纠缠和压缩的动力学影响在不同的时间 点明显不同，特别是在库的特征时间内，出现了非马尔可夫效应，说明耗散与 涨落对纠缠态的影响更为明显。当库为亚妪姆库时，出现了较强的非马尔可夫 效应；当库为超欧姆库时，由于对库频率改变最多，其非马尔可夫效应最强。 说明超欧姆库有较强的记忆作用，从而对纠缠态产生最大的破坏作用：当库为 欧姆库时，我们发现耗散效应随时间的交化减弱，纠缠态在此库中能保持更好 的相干性。同时可以注意到当( 磊) 2 ) - i - ( ( 磊) 2 ) 1 时，系统处于可分离状态，与此对应的时间段里系统存 在三模压缩。 项士学位论文 m a s t e l r st h e s i s 第三章总结与展望 纠缠在量子计算铒】、量子通讯【1 3 】及量子加密【4 ，5 】中有着重要应用，在 退相干理论【4 5 】和量子测量过程【4 6 】中也扮演着重要的角色。由于系统与库的相 互作用，导致了退相干现象，使得人们希望能找到一种较好的纠缠判据来很快地 判断一个量子态是不是纠缠态，并且纠缠程度如何。因此许多研究小组开始研究 在开放系统中的量子纠缠的动力学问题。比如：k - l l 和h - s g 用对数本征值方法 研究了两个谐振子体系分别与两个独立的非马尔可夫库以及共同的非马尔可夫库 相互作用下的纠缠演化【3 7 。 ； 本文在此基础上用负本征值法探讨了三个谐振子体系与共同的非马尔可夫库 相互作用下的纠缠演化，并通过局域压缩变换分析了三模压缩性质。当玻色场初 始态为三模压缩真空态时，通过求解系数随时间演化的协方差矩阵元的耦合一阶 常微分方程组发现谐振子间的三模纠缠和压缩不仅与库的性质、系统之间的耦合 强度、系统与库的耦合强度有关，而且与库的初态也密切相关。如果不考虑系统 与环境的耦合，纠缠将会减弱，在压缩因子r 较小的情况下会出现纠缠的突然死 亡现象；当系统与环境的耦合较强时，谐振子间形成的三模高斯纠缠态出现了突 然死亡和恢复现象。通过比