（应用数学专业论文）拟法曲线和双类空法曲线的特征.pdf

硕：l 学位论文 摘要 研究m i n k o w s k i 空间的曲线既有具体的物理背景，又有很深的数学上的理论意 义。本文主要研究四维m i n k o w s k i 空间中的拟法曲线和三维双m i n k o w s k i 空间的双 类空曲线。 本文首先给出了四维空间拟法曲线的定义；讨论了类时拟法曲线的特征；得 到了类时曲线在黎曼球上的充要条件；证明了类时拟法曲线一定在黎曼球上，反 之黎曼球上的类时曲线一定是类时拟法曲线。另外讨论了一类类空曲线一伪零曲 线是拟法曲线的特征，以及这类曲线在黎曼球，黎曼曲面以及类光锥上的充要条 件，然后讨论了主法向量和第一副法向量是类空向量的一类类空曲线，同样讨论 了它是拟法曲线的特征以及曲线在黎曼球和黎曼曲面所满足的充要条件。最后研 究了三维双m i n k o w s k i 空间上的曲线，证明其上的双类空法曲线的特征，以及曲 线在双黎曼球和双黎曼曲面上所要满足的充要条件。 关键词：m i n k o w s k i 空间：双m i n k o w s k i 空间：拟法曲线：双类空法曲线 l l 拟法曲线和双类空法f f h 线的特征 a b s t r a c t s t u d i n gc u r v e si nm i n k o w s k is p a c en o to n l yh a st h ea c t u a lp h y s i c a ls i g n i f i c a n c e ， a sw e l la st h e o r e t i c a lv a l u ei nm a t h e m a t i c a l o u rr e s e s r c hd i s c u s s e sq u a s i n o r m a l c u r v e si nm i n k o w s k i4 - s p a c e ，a n dd u a ls p a c e l i k ec u r v e si nd u a lm i n k o w s k i3 - s p a c e f i r s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h eq u a s i n o r m a lc u r v e s ；d i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft i m e l i k eq u a s i n o r m a lc u r v e s ；g e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h e n t h ec u r v e sl i eo np s e u d o s p h e r e ；w ef i n dt h a tt i m e l i k eq u a s i n o r m a lc u r v e sm u s tl i eo n p s e u d o s p h e r e ，a n dt i m e l i k ec u r v e si np s e u d o s p h e r em u s tb et i m e l i k eq u a s i n o r m a l c u r v e s n e x t ，w ed i s c u s st h ef e a t u r e so ft h ep s e u d on u l lc u r v e sw h e ni ti sq u a s i - n o r m a l ， a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e nt h ec u r v e sl i eo np s e u d o s p h e r e ， p s e u d o h y p e r b o l i cs p a c ea n dl i g h tc o n e t h e n ，d i s c u s sa n o t h e rs p a c e l i k ec u r v e s ，t h e p r i n c i p a ln o r m a lv e c t o ra n dt h ef i r s tb i n o r m a lv e c t o ra r es p a c e l i k ev e c t o r ，s i m i l a r , w e c a ng e tt h ef e a s t u r e sa n dc o n d i t i o n s t h el a s tp a r to ft h ep a p e ri st os t u d yc u r v e si n d u a lm i n k o w s k i3 - s p a c e ，w ec a ng e tt h ef e a t u r e sw h e nd u a l s p a c e l i k ec u r v e si s n o r m a lc u r v e sa n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e nt h ec u r v e sl i eo nd u a l p s e u d o s p h e r e ，d u a lp s e u d o h y p e r b o l i cs p a c e k e yw o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ；d u a lm i n k o w s k is p a c e ；q u a s i - n o r m a lc u r v e s ；d u a l s p a c e l i k en o r m a lc u r v e i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 作者签名：粥局 日期：0 7 年多月华e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：琚镅 导师签名：) 口7 备 日期： 吵年石月仁日 日期： o y 年否月p e l 硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 狭义相对论用具有标准l o r e n t z 结构的四维m i n k o w s k i 空间为背景时空来描 述的，根据m i n k o w s k i 时空的测地线方程，我们知道任一惯性观者的世界线都是类 时测地线，反之也一样于是物理上的惯性观者的世界线对应于数学上的类时测地 线，或者说惯性观者的世界线就是类时测地线从数学角度看，类时测地线是最特殊 而又最简单的一类类时线；从物理角度看惯性观者是最特殊而又最简单的一类观 者，于是把惯性观者与类时测地线相对应是很自然的在相对论中，类光微粒作为观 测点在时空中形成类光曲线，( 见【l 】，【2 】) 更一般地，从微分几何的观点出发，研究零 曲线也有它自己的几何兴趣 早在1 9 6 0 年，r s m i l l m a n 等人就已经研究了微分几何的曲线曲面【3 j ，1 9 6 9 年，w b b o n n o r 4 1 讨论了m i n k o w s k i 时空的零曲线，证明了其存在性与一致性定理， 并引入了c a f t a n 标架来研究零曲线的动态行为，1 9 7 2 年，y c w o n g 【5 l 拍l 具体地刻画 了欧氏空间里球面曲线的一些性质可在随后几年里，这一方面的研究并不是很活 跃直到1 9 9 4 年，a b e j a n c u l 7 】讨论了l o r e n t z 流形的类光曲线，给出了研究l o r e n t z 流形和子黎曼流形上的零曲线的一种方法，1 9 9 5 年，j w a l r a v e 引在他的博士论文里 详细地研究了m i n k o w s k i 空间里曲线与曲面的性质，至此，又有不少相对论数学工 作者对此产生了兴趣1 9 9 8 年n e k m e k c i ，k i l a r s l a n 9 1 研究了l o r e n t z 空间中正则曲 线的高维曲率1 9 9 9 年，k l d u g g a l ，d h j i n 研究了零曲线的几何l l0 1 2 0 0 0 年，m p e t r o v i c t o r g a s e v 和e s u c u r i v i e t l 讨论了三维m i n k o w s k i 空间的伪双曲面上的曲 线，2 0 0 1 年研究了伪球面上的类时与零曲线 j 2 1 2 0 0 2 年，他们又在文【1 3 】中对 m i n k o w s k i 时空的w 一曲线进行了完全分类同时，还有很多人研究了零曲 线，a f e r r a n d e z ，a g i m e n e z 和p l u c a s 总结了l o r e n t z 上的c a r t a n 标架【1 4 1 ，最近，也研 究了在指数为2 的子黎曼流形上的零曲线几何【i 5 】【l6 1 零曲线在物理学上的重要性 我们可以看出1 7 u 1 8 】1 9 u 2 0 1 另外存在一个完全基于零曲线几何上的微粒模型 2 h 12 2 1 刘会立等人研究类光锥上的曲面旺引，曲线例和双曲面 2 5 1 研究类光锥上的子流形 也是很重要的 2 6 1 1 2 7 m 引2 0 0 3 年，b y c h e n t ”1 讨论了位置向量落在从切平面上的曲 线，同年，c c a m c i ，k i 1 a r s l a n 和e s u c u r i v i c 啪l 根据文 1 4 的思路讨论了四维 m i n k o w s k i 空间的类时，类空和零曲线落在伪双曲球研上的性质 k i l a r s l a n ，e n e s o v i c ，m p e t r o v i c t o r g a s e v 3 i 】讨论了三维m i n k o w s k i 空间的从 拟法曲线和双类空法曲线的特征 切曲线的性质其后得到推广至四维1 3 2 | 2 0 0 4 年，h b a l g e t i r , m b e k t a s ，j i n o g u c h t 3 3 1 介绍了m i n k o w s k i 空间的零b e r t r a d 曲线的c a r t a n 标架并给出了它们的性质，对于 这种比较特殊的曲线还有很多人作出过研究1 3 4 1 , ”u 3 6 1 ，得到了比较好的性质2 0 0 5 年，k i l a r s l a n t 3 7 1 又讨论了三维的m i n k o w s k i 空间中类空法曲线的一些性质2 0 0 6 年，m o n d e r t 3 8 】还把m i n k o w s k i 空间推广到对偶m i n k o w s k i 空间上去，并讨论了其上 的类时法曲线与类时球面曲线 在欧氏空间e 3 中，每条正则单位曲线口：i e 3 ，i c r 至少存在四阶连续导数， 并且伴随三个互不相同的正交单位向量t n 和b ，分别称为切向量，主法线向量和 副法线向量由( 丁，忉，( 丁，b ) 和( 召) 张成的平面分别称为密切平面，从切平面和法 平面我们把位置向量口落在它们的法平面上的欧氏曲线称为法曲线因此根据 c h e nm 】的定义，法曲线的位置向量口满足方程，a ( s ) = 2 ( s ) n ( s ) + u ( s ) b ( s ) ，其中 2 ( s ) 和( s ) 是两个可微函数其中最重要的一个性质是这种曲线的绕率和曲率之 间存在的关系，在文【3 2 】中k a z i m 等人对三维m i n k o w s k i 空间中的从切曲线也得到 了类似的性质，并给出了这些曲线的参数化表示 在第二章中本人鉴于前人的思想成果，把文 3 7 】中的一些成果推广到四维 m i n k o w s k i 空间，讨论了拟法曲线的一些性质，并给出了在特定的情况下这种曲线 的三个曲率之间类似【3 7 】的一些关系 在第三章中本人把m i n k o w s k i 空间推广到对偶m i n k o w s k i 空间上去，并讨论了 其上的类空法曲线与伪球面曲线和伪双曲曲线 1 2 主要研究结果 第二章中把法曲线推到四维m i n k o w s k i 空间，记 丁( s ) ，( s ) ，马( s ) ，垦( s ) 是口中 的曲线口( s ) 的移动f r e n e t 标架，那么t ，n ，旦，垦分别称为曲线口( s ) 的切向量，主法向 量，第一副法线向量，第二副法线向量得到以下结果： 定理2 3 2 设口= 口( s ) 是曰中单位速度的类时拟法曲线，曲率毛 o 岛o ，则： ( i ) 位置函数p = 忙0 满足p 2 = ，即g ( a ，口) = ，r + ( i i ) 若等等= 口为常数，贝t j c , ( s ) 。时，曲率毛，屯，毛满足： 而1 = c i c 。s 脬丽孺+ c 2 s i l l 腼丽蕊 ( i i i ) 曲线位置向量的主法分支，第一副法分支，第二副法分支分别可以由以下方程 给出： g ( a ，忉= c i c o s 脏而碍融+ 乞s i i l 脏而爵丽 2 硕士学位论文 g ( a ，墨) =- c ls i i l 脏丽焉孺+ c 2c o s 脏丽疆面) g ( c t ，岛) - - - - a ic o s 脏丽疆丽+ a 2s i n 脏丽疆蕊 其中q = - c l a ，a 2 - - - - - c 2 a ，q ，c 2 r 反之，设t ；t = 口( s ) 是霹中单位速度的类时曲线，若满足条件( i ) 或在条件 等等= 常数，屯( s ) 。时下满足条件( i i ) ，则口( s ) 是拟法曲线或共轭于拟法曲线 定理2 3 3 设口= 口( s ) 是群中单位速度的类时曲线，则口( j ) 在唧( m ，) 上当且 仅当： ，= ( 志) 2 + 【( 志) f ( 南) 】2 + 商 卷娟南，志】i ) 2 推论2 3 4 设口= 口( j ) 是辟中单位速度的类时曲线，则口在研( 朋，) 上当且仅 当口( s ) 是矸中的类时拟法曲线 推论2 3 5 若笔等= 常数，岛( s ) 。，口在并( 聊，) 上，c l ，乞，尺，则曲率毛，乞，岛 满足： 赤2 删膈丽孺+ c z s i n 膈丽孺 定理2 3 6 设口= 口( s ) 是研中单位速度的类空曲线，主法向量n 是零向量，且 毛- 1 ，屯o ，口( s ) 是拟法曲线当且仅当主法分支和第二副法分支满足： g 似，) = - 1 ，g 位，垦) = c 且等等为常数 定理2 3 7 设口= 口( s ) 是日中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向量， 且毛= 1 ，屯o ，则口( j ) 在研( m ，) 上当且仅当满足方程： 口一肌：一一及：生盟一及 2 乞( s ) 。 定理2 3 8 设口= a ( s ) 是矸中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向量 且毛- - 1 ，足：o ，则口( s ) 在硪( 蜥，) 上当且仅当满足方程：口一m = 了f 一岛 定理2 3 9 设口= 口( s ) 是矸中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向量 且毛= 1 ，乞o ，则口( j ) 在类光锥c ( 朋) 上当且仅当满足方程：口( s ) = 一岛( 5 ) 定理2 3 1 0 设口= 口( s ) 是曰中单位速度的类空拟法曲线，且n ，蜀为类空向量 局 o ，哎o ，则： ( i ) 位置函数p = 忪0 满足p 2 ；，即g ( o t ，口) = ，r 拟法曲线和双类卒法曲线的特征 ( i i ) 若争= 口是常数 厩 ( a ) ( 器) 2 l 时有关系式： 志2 删h 肟丽蕊+ c 2 s i i l h 肟丽孺 曲线位置向量的主法分支，第一副法分支，第二副法分支可以由以下方程给出： g ( a ，忉= 一q c o s h 胍丽面袖一c 2s 劬膈酉焉丽 g ( 口，4 ) = 一选唑k ：c s ) 【c is i i l l l 膈酉葡动+ c 2c o s h 胍而鬲融) 础圳一器志 = 叩s h 膈酉硒袖+ 吒s i n h 4 k 2 ( s ) - k 2 ( s ) d s ) 其中q = - - c l a ，口2 - - - - - - c 2 a ，c i ，c 2 r ( b ) ( 器) 2 。时满足条件( i i ) ，( i i i ) ，则口( s ) 是拟法曲线或共轭于拟法曲线 定理2 3 11 设口= 口( s ) 是f 中单位速度的类空拟法曲线，且n ，骂为类空向量 k a 0 , 如 。，若( 乏暑) 2 = c l ，c 儿令卜( 乏) 2 = ：1 ，口尺曲线的位置向量为非零 向量，则： ( i ) 曲线口的位置向量是类空的当且仅当曲线在伪球面口( m ，) 上，且有： 志= 肛c 。s h 脚沪】出+ c s i i l l l 脚沪m ( i i ) 曲线口的位置向量是类时的当且仅当曲线在伪曲面硪( 朋，) ，且有： 石茜2 石2 一口，2 c 。s hj i 岛2 ( s ) 一如2 ( 叫凼+ c s i i l l lj i 乞2 ( s ) 一屯2 ( 咖出 w k c l i 舶r d 介绍过双数，双数有以下形式二= 口+ 卯，其中口和口是实数，s 是 个满足占2 = 0 的双数，我们定义用集合d 来定义双数： d = - = 口+ 占口：口，口尺，占2 = o ) 定理3 2 2 若友o ) 为研中单位速度的双类空法曲线，丙为非双零向 量，毛o ) 0 ，岛( s ) 0 ，贝0 ： ( i ) 曲率毛( s ) ，屯( s ) 满足关系式： 志2 云砌( 压( + 互s i n h ( 厨 ( i i ) 曲线位置向量的主法和次法分量分别可以由下方程表示出： g ( 云，_ ) = - - c o s h ( 压( 州，) 一i s i n h ( 厍( j ) 凼) g ( c t ，b ) = 一c is i n h ( i 也( s ) 出) 一乞e o s h ( i 包( s ) 凼) 其中q = q + 占c l ，c 2 = c 2 + 占乞d ，c i ，c l ，c j ，岛r ( i i i ) 若曲线的位置向量为双零向量，则曲线云( s ) 在类光锥否( 鬲) 上，曲率石( s ) ，乏( j ) 满 足： 雨1 = 和h ( 膨凼) s i i l l l ( 脚出) 】 反之，若曲线云( s ) 为研中单位速度的双类空曲线，丙为非双零向 量，毛( s ) o ，k d s ) o o 若( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 的任一条件成立，则曲线d ( s ) 为法曲线或共轭于 一条法曲线 推论3 2 3 方程( 3 2 2 ) 的实数和双数部分分别可以如下给出： 5 拟法曲线和双类窄法i f f i 线的特征 而1 2 c ic 。s h 亿( s + c 2s 劬ko 灿 一糍= 一心( s ) 烈c l s i i l l l 化( s ) 出+ 巳c o s h 仁( s 灿】 + c i - c o s h 化( s ) 凼+ 五s i n h 亿o 相似的，我们可以得到( 3 2 3 ) 的实数和双数部分分别可以如下给出： g ( a ，b ) = - g c o s h 化o ) d s - c 2s i n h 亿( s ) g ( a ，b ) + g ( 口，召) = 一心o ) d s qc o s h ：k 2 ( s ) d s + c 2s i h j 岫】 + 彳s = hj k 2 ( j ) d s + c ；c o s hn o 灿 和 g c a ，n ) = - c , s i n h ，k 2 ( s ) d s - c 2e o s h 仁( s ) g ( a ，n ) + g ( 口，) = 一肛o ) d s gs 址p ：o ) d s + c 2 e o s h 化( s 灿】 + g e o s hi k ：( j ) 凼+ 五s i n h 化( s 其中口，n ，b 和口，矿，b 分别是口，n 和b 的实数部分和双数部分 定理3 2 4 若云( s ) 为研中单位速度的双类空法曲线，丙为非双零向 量，i ( j ) o 乏( s ) o 曲线云( s ) 的位置向量为非双零向量，则： ( i ) 曲线云( s ) 的位置向量是双类空的当且仅当曲线云在砰( 而，7 ) 上且： 二兰= 孑+ p 尹c o s h ) l 丽凼+ i s 曲胁 一p ) ( i i ) 曲线云( j ) 的位置向量是双类时当且仅当曲线否在日( 而，7 ) 上且： 二兰；孑一口尹c o s h 降+ c s i i l l l 降 局( s ) 推论3 2 5 方程( 3 2 1 5 ) 的实数和双数部分分别可以如下给出： 熹= 后c 2 + e r 2g o s h 化。灿+ c s i l l l l 化( s 灿 毛( s ) 一糍= 一脚俳抗e 禹n i l i k 2 ( s ) d s + c c o s hi k 2 ( 渊 厂。 、孑+ p 尹c o s h 化( s ) 凼+ c s i n h 化。灿 6 硕一f ：学位论文 2 1m i n k o w s k i 空间 第2 章拟法曲线 设研是一个具有标准l o r e n t z 度量的四维m i n k o w s k i 空间，其l o r e n t z 度量为： g = 一研+ 蟛+ 蹦+ 踞， 其中( ，x 2 ，毛，) 是研中的直角坐标 由于g 是不正定的，所以对于向量y 矸有三种可能：若g ( v ，1 ，) 0 或y = 0 ，称为 类空向量；若g ( v ， ，) 0 ，如( s ) 0 ，那么下面命题成立： ( i ) 曲率k l ( s ) ，如0 ) 满足下列等式 志2 c ic o s h ( i k 2 ( 呦+ c 2s i n h ( 亿) ，c l ，c 2 醐 ( i i ) 曲线位置向量的主法分量和次法分量可以由下方程表示出： g ( 口o ) ，n ) = 口ic o s h ( i 屯o ) ) + 口2s i n h ( i 如o ) ) ； g ( 口p ) ，曰) = a ls i n h ( j 岛( s ) ) + a 2c o s h ( j 七2 0 ) ) ，a i ，a 2e r ( i i i ) 若曲线的位置向量是零向量，口( s ) 在类光锥c ( m ) _ j x ，曲率白( s ) ，如( s ) 满足： 志2 “c o s h ( p z ) + s 讪( n ) 】 相反的，如果a ( s ) 是研中单位速度的类空曲线，主法向量n 是类空或类时向量， 曲率毛( s ) o ，如( j ) 0 ，若满足( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 中的任一条件，则曲线a ( s ) 是一条法曲线 或共轭于一条法曲线 定理b 设口( j ) 是日中单位速度的类空法曲线，且位置向量非零，主法向量n 是 类空或类时向量，曲率k l ( s ) o ，如o ) 0 ，则满足： ( i ) 位置向量口是类空的，当且仅当曲线口在黎曼球砰( 肌，) 上且满足： 志2 厢删) + c s i n h ( ) c 咄p = l ； ( i i ) 位置向量口是类时的，当且仅当曲线口在黎曼曲面瑶( m ，) 上且满足： 高= 石2 叫2 c o s h ( 化) 懈i n h ( ，k 2 ( 呦艇肌= l 反之，若口( s ) 是日中单位速度类空曲线，主法向量n 是类空或类时向量，曲率 毛o ) 0 ，乞( j ) 0 若能满足( i ) ，( i i ) 中的任一结论，则曲线口( s ) 是法曲线或共轭与一条 法曲线 定理c 设a ( s ) 是曰中的单位速度的类空法曲线，法向量n 是零向量，毛= 1 则 i o 硕l ：学位论文 口( s ) 是法曲线当且仅当主法向量和次法向量的分量可以表示为： g ( a ，忉= - 1 ，g ( a ，b ) = c 9 c r 2 3 主要研究结果的证明 本章主要将定理a ，b ，c 推到四维m i n k o w s k i 空间目，由于目的f r e n e t 公式远比 研复杂得多，故我们先考虑n 为类时向量的情况，由于计算的复杂性，我们考虑了一 部分比较特殊的情况 定义2 3 1 弧长参数曲线口( s ) 称为拟法曲线，如果它的位置a ( s ) 向量满足方 程口( s ) = 力( s ) ( s ) + ( s ) 置( s ) + ，( s ) 垦( s ) ，其中力( s ) ，( s ) 和，( s ) 是关于弧长参数s 的 可微函数 定理2 3 2 设口= 口( s ) 是曰中单位速度的类时拟法曲线，曲率k l o 乞o ，则： ( i ) 位置函数p = i b l l p 2 = ，即g c a ，c t ) = 1 ，r + ( i i ) 若豢- 口为常数，贝蝴渺0 时，曲率，毛满足： 丽1 = c l c 。s 肟丽+ c 2 s i n 瓜丽丽 ( i i i ) 曲线位置向量的主法分支，第一副法分支，第二副法分支分别可以由以下方程 表示出： g ( a ，忉= qc o s 脏丽碍雨+ 乞s i i lj 压两币袖 g ( a ，局) = ( 邓i n 胍丽面丽+ c 2c o s 胍丽巧孺) g ( 口，岛) = 口。c o s 胍丽面融+ a 2s i i l 脏丽再雨 其中q = 叩i a ，a 2 = 一c 2 口，c l ，乞r 相反的，设口= a ( s ) 是研中单位速度的类时曲线，且满足条件( i ) 或在条件 争黑：常数，红( j ) 0 时下满足条件( i i ) ，则口( s ) 是拟法曲线或共轭于一条拟法曲线 斤3 u j 证明：首先假设口= a ( s ) 是研中单位速度的类时拟法曲线，根据拟法曲线的定 义知道曲线的位置向量口满足方程 口( s ) = 力( j ) ( s ) + ( s ) e ( s ) + y ( s ) 岛( s ) ， ( 2 3 1 ) 其中五( s ) ，( s ) 和v ( s ) 是关于弧长参数的可微函数对式( 2 3 1 ) 关于s 进行微 分，利用f r e n e t 公式( 1 2 6 ) ，得到 拟法曲线和双类窄泫曲线的特征 r 【s ) ：a ( s ) ( s ) + a ( s ) 【足。( s ) t + k 2 ( s ) b l ( s ) 】+ ( s ) b i ( s ) + ( s ) 卜砭( s ) ( s ) + 屯( s ) 垦( s ) 】 + i ( s ) 岛( s ) + 1 ，( s ) 卜屯( s ) 蜀( s ) 】 2 ( s ) k l ( s ) = 1 五( s ) 一肤( s ) = 0 ( 2 3 2 ) 也( s ) 五( s ) + ( j ) 一1 ，( s ) 岛( s ) = 0 ( s ) 恕( s ) + v - ( s ) = 0 j 心) 0 ) 屯o ) + v ( s ) ，o ) = 0 因此有 岛0 ) 0 ) 五0 ) + 0 ) 0 ) + 1 ，o ) 1 ，( s ) = 0 积分得 a 2 ( s ) + 2 ( s ) + ，2 ( s ) = ， 从方程( 2 3 1 ) ，容易得到 2 o ) 兄o ) + o ) 0 ) + ，o ) ( j ) = 0 ，r + ( 2 3 3 ) p 2 = i g ( 口，口) 1 2 p 2 + 2 + l ，2 把( 2 3 3 ) 代入到上式，g ( a ，口) = 旯2 ( s ) + 2 ( 5 ) + 1 ，2 ( s ) = ，r + ，可得命题( i ) 成立 进一步的，从等式( 2 3 2 ) 可以得到 邵，= 志 舯去，南， 小) = 驰姒萨卜。高( 志灿 ( 2 3 4 ) 于是得到下面的微分方程： 篇+ 南c 志，h 卜。志c 志灿- o 汜3 5 ) 器+ c 赤c 高，】州s ，n 。志c 南永o 令y = 志删2 丽1 方程( 2 3 5 ) 可以记为： 祟+ 湫旁y + 拍) 忙( 旁) y 。( s ) 西= o p p ) 。 改变变量，令f = f 妥d s ，可以得到： o p i s ) ) ，( s ) + p ( s ) 【p ( s ) ) ，。( s ) 】+ 七，( s ) p ( s ) 忙3 ( s ) p ( s ) y 。( s ) a s = o 1 2 硕士学位论文 若器钏为黻则变形为 y 0 ) + p 0 ) p 0 ) 少( s ) 】。+ 【乞0 ) p o ) 】2 y ( s ) = 0 y 。( s ) + ( 口2 + 1 ) y ( t ) = 0 ( 2 3 6 ) 解得朋：g c 。s x i l + a 2 t + c 2s i n 订鬲，q ，c 2 r 因此 1 i 2 c lc 0 s 毛o ) 化o ) d s + c 2 s i n 亿( s ( 2 3 7 ) - - c ic o sj 碍o ) + 碍o ) d s + c 2s i nj 霹o ) + 碍o ) d s 而且从( 2 3 1 ) 得到 触- o 鹏聊“2 击胞驴肿) 2 击( 高) 。 舭刮= 赤t 酱+ t 志c 志，】，卜鲻c 志，缸 故若条件器r ， 咖朋叫沪志2 懈肟丽丽+ c 2 s i nj 瓜瓣丽； 础2 赤 厕- q s i n 肟丽孺+ c 2c o s 肟丽蕊】) ( - c l s i n 脏丽碍丽+ e 2c o s 脏丽疆丽) 础圳一端c 而1 灿= 志 器+ c 赤c 志，】t ) 一器志弘c o s 肟丽丽+ a 2 s i n 膈丽蕊， 其中口i = - - c 1 w aa 2 = - c 2 口，c i ，c z r ( 2 3 8 ) 反之，若满足( i ) ，那么g ( 口( s ) ，丁( 5 ) ) = 0 ，则口( 5 ) 是拟法曲线 若争黑：口为常数，k 2 ( j ) o 且满足( i i ) ，得到： “3 t , a ， 丽1 = c i c 。s 肟丽+ c ：s i n 肟丽 对方稳求导可以得到等式 拟法曲线和双类窄法i l f i 线的特征 南t 器+ c 志c 南门) ) 一器c 志卜 应用f r e n e t 公式( 1 2 6 ) 可以得到： 知一志肛去c 高，耶，一南始+ c 志南) i 】肛o 故口( s ) 是一条拟法曲线或共轭于一条拟法曲线 若满足( i i i ) g ( 州) = 而1 = c l c 。s 肟丽丽+ c 2 s i n 肟丽孺 对卜式求导得： g ( 口，k i t ) + g ( c t ，七2 蜀) = k l g ( 口，丁) + k 2 9 ( a ，蜀) = k l g ( o t ，n + 压丽【- c ls i n 脏而焉丽+ c 2c o s 脏而焉丽】) = i l ；而【一q s i i lf 、乏l ；了丽+ c 2e o sf i l ；y 丽】) 故g ( a ，t ) = 0 则口( s ) 是拟法曲线 证毕 定理2 3 3 设口= 口( s ) 是耳中单位速度的类时曲线，则口( s ) 在研( 肌，) 上当且仅 当： 户= c 南舢志火南汗+ 墙篇小去卜去m 2 他3 刚 证明：假设口( j ) 在研( m ，) 上，由矸( 聊，) 定义得到： g ( a - m ，口- m ) = 厂z ， 连续四次微分，可以得到： g ( a ，丁) = 0 ， g ( 吼胪赢， g ( 且) 2 丽1 而1 ) ， 础圳2 南t 器+ c 南c 志) t 】) 记口( j ) = 口( j ) 丁o ) + 6 0 ) ( j ) + c ( s ) 蜀o ) + d ( s ) 岛( s ) ，则 g c a ，d = 一a ，g ( c t ，) = b ，g ( a ，且) = c ，g ( c t ，岛) = d 1 4 硕- 上学位论文 姒班赤，+ 高墙她一南t 器+ c 南c 击，。，蛐， 由g ( e c ，口) = ，2 则可得： 儿c 志) 2 + c c 南，南】2 + 赢t 器+ c 志c 志) 】t ) ) 2 反之，若有： ，2 _ c 志) 2 + c k - - 南) 志弛) + 击 器+ 赤( 南，】郫) ) 微分得： 志锱+ t 去c 志，t t c 嚣，c 志) i + t c 南h 器州志，志】i ) - o 若锯+ c 耐1 去】= o - 则曲线为二维曲线a ( s ) = 6 ( j ) ( s ) + c ( j ) b ( s ) 故c 器，c 耐1 娟志h 器州志，南n ) 。 蜘沪，一志帅h 志，南驰，一去篇+ c 志c 志) - 】郫m 则满足： 脚= h 志) 邯) 一雨1 丁喇蝴) 】- 【南( 高) 旭 一志( 志) i 吲蝴m 驰) 】- 南 器+ 【志( 志门) 啪荆】 一赢( 器+ 【南( 南】“驰， = 器c 赤，南t 器+ c 志c 志，】1 ) 驰， = 0 这就意味着聊为常数，可以得到g ( a m ，口一m ) = 厂2 所以口在矸( ，l ，) 上 证毕 由以上定理2 3 3 中证明的过程可以发现，a ( s ) 是类时拟法曲线，可以得到下面 的推论： 推论2 3 4 若设口= 口( s ) 是群中单位速度的类时曲线，则口在研( 朋，) 上当且仅 当口( s ) 是日中的类时拟法曲线 根据窑弹2 3 2 2 3 3 和椎论2 3 4 还可以得到下而的椎诊： 拟法曲线和双类守法曲线的特征 推论2 3 5 若乏等= 口为常数，乞。) 。，口在研( 朋，) , q , c 2 , r r 曲率毛，如，乞满 足： 志一c - c o s 肟丽蕊+ c 2 s i n 肟丽丽 ( 2 3 1 0 ) 下面讨论伪零曲线，即主法向量n 是零向量 若口( s ) 是类空曲线，且主法向量n 是零向量，第一曲率毛= o 或毛= 1 ，当局= o 时，口( s ) 是一条直线，因此= 且= 垦= 0 ，没有主法平面，因此，当毛= 0 时，口( s ) 不能 是拟法曲线 3 7 1 定理2 3 6 设口= 口( s ) 是口中单位速度的类空曲线，主法向量n 是零向量且 k l = 1 ，如0 ，则a ( s ) 是拟法曲线当且仅当主法分支和第二副法分支满足： 如 ) 一l 胞驴c 且器为黻 证明：由f r e n e t 方程( 2 1 5 ) 知 g ( t ，d = g ( 置，蜀) = 1 ，g ( n ，忉= g ( 垦，也) = 0 ，g ( n ，垦) = 1 ， g ( t ，n ) = g ( r ，e ) = g ( t ，岛) = g ( n ，骂) = g ( 蜀，色) = 0 若a ( s ) 是拟法曲线，则 口( s ) = 名o ) o ) + o ) 骂0 ) + j ) 展( j ) ， 对上式求导： t ( s ) = a 。( s ) o ) + 2 0 ) 红o ) 骂o ) + 。o ) 马o ) + 0 ) 【岛p ) 0 ) 一如0 ) 岛o ) 】 + v 。0 ) 岛( j ) + y o ) 【一向o ) 丁一屯o ) e o ) 】， - v ( s ) l q ( s ) = 1 兄。+ 盹( s ! ：( 2 3 1 1 ) 如o ) 五+ 。0 ) 一1 ，0 ) 毛( j ) = 0 o ) 屯o ) + v 0 ) = o 则v ( s ) = - 1 ，名= 0 , - q ( s ) = 乞( s ) 名，( s ) 如( s ) = o ，乞( j ) 0 ，故( s ) = 0 因枷加一器邓猷， 所以器为戳 口( s ) = c n ( s ) 一岛o ) g ( a ，) = g ( c n 一垦，忉= 噌( 岛，忉= 一1 ， g ( a ，e ) = 0 ， g ( a ，最) = g ( c n 一岛，b ) = c 1 6 坝士字位论义 反之若有：g ( t r ，) - - 1 ，g ( a ，岛) = c ， 微分得： g ( c t ，e ) = 0 ，g ( 一向o ) r 一岛0 ) 骂，口) = 一k l ( s ) g ( u ，t ) - k 3 ( s ) g ( a ，尽) 故g ( a ，t ) = 0 得证 证毕 定理2 3 7 设口= 口( s ) 是砰中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向 量且毛= 1 ，屯o ，那么口( s ) 在研( 肌，) 上当且仅当满足方程： 口一m ：一r z n 一曰：竺堕一曰 2 红( j ) 证明：若口在研( 厂) 上，根据定义得： g ( a m ，口一m ) = ，2 ， 对上式四次求导得： g ( r ，口- m ) = 0 ， g ( t ，乃+ g ( 毛0 ) ，口- m ) = 0 由向o ) = 1 且曲线为伪零曲线，g ( t ，d = 1 有 g ( n ，口一聊) = - 1 g ( t ，忉+ g ( 口一m ，k 2 ( s ) b , ) = 0 ， 由于k 2 ( s ) 0 ， g ( c t m ，e ) = 0 ， 再次微分得： g ( t ，b o + g ( a 一柳，屯o ) 一如o ) 垦) = k 3 ( s ) g ( a m ，垦) 一k 2 ( s ) g ( o t m ，岛) = 一k 3 ( s ) 一k 2 ( s ) g ( a 一朋，岛) = 0 故g ( 弘朋圳一器 记口一m = 口( j ) 丁( s ) + 6 ( s ) ( s ) + c ( s ) e ( s ) + d ( s ) 岛( s ) g ( c t m ，t ) = a = 0 ，g ( c t m ，) = d = 一1 ，g ( a m ，尽) = c = 0 ， g ( c t - m , b 2 ) 班一器 口一m = 口( s ) 丁( s ) + 6 ( s ) ( s ) + c ( 5 ) e ( s ) + d ( s ) b z ( j ) 又因为口- o ，6 _ 一器，c _ 州一l ， 所以铲一一器- 垦 由定理2 3 6 知业k 2 ( s ) 为俄又因糊a - m , t z - m ) _ ，2 ，故- 2 ”k 3 ( s ) ) = r 2 k 3 ( s ) ) = 一手， 1 7 拟法曲线和双类空法曲线的特征 故一i l 2 一器以 得证 反之若口一埘= 一要一岛 令一针器+ 岛 朋钉+ 器蛐即( 州驴帕) 且 = r + 屯o ) 4 一毛o ) r 一岛o ) e 故m = o ，m 为常数 所以g ( a m ，口一所) = ，2 ，且，r 曲线口( s ) 在研( 聊，) 上 证毕 定理2 3 8 设口= 口( s ) 是曰中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向量 且毛= l ，乞o ，那么口( s ) 在硪( 朋，) 上当且仅当满足方程：口一所= ；一垦 证明方法类似定理2 3 7 定理2 3 9 设口= 口( s ) 是矸中单位速度的类空拟法曲线，主法向量n 是零向量 且向= l ，乞o ，口( s ) 在类光锥c ( 肌) 上当且仅当满足方程：口( s ) = 一旦( s ) 证