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摘要 v 。 6 5 1 1 7 9 在传统的单厂商垄断市场里，商家对一个单一产品只提供一种价格，我们把 这种定价策略称作“单一定价策略”。本文还讨论了一种与之相对应的定价策略， 即“分层定价策略”，这种策略给顾客提供了多种价格选择，而每种价格又跟商 家的承诺供货时间相挂钩。顾客可以根据自己对商品的急需程度选择其中一种价 格和时间的组合。一般地，商家承诺供货时间越长，那么对应的商品价格就会越 低。同时，本文也考虑了商家承诺供货时间对库存策略的影响。 本文分别建立了单一定价模型和分层定价模型，并为模型提供算法和算例。 结果表明，分层定价策略远远优于传统的单一定价策略。这种方式的采用会大大 影响商家的业务，同时提高顾客的满意度和商店的利润。 关键词：承诺供货时间、分层定价策略、随机库存、模拟 a b s t r a c t i nt r a d i t i o n a lm a r k e t ，am o n o p o l i s ts e l l sas i n g l ep r o d u c tw i t ho n l yau n i q u ep r i c ef o r c u s t o m e rt oc h o o s e w ec a l ls u c ha p r i c i n gs t r a t e g y “s i n g l e - e c h e l o np r i c i n gs t r a t e g y ” f u r t h e r m o r e ，t h i sp a p e rd i s c u s s e sm u l t i - e c h e l o n p r i c i n gs t r a t e g y t h i ss t r a t e g yo f f e r s m o r et h a no n ec h o i c e 的c u s t o m e r sa n de a c hc h o i c ec o m p o s e sa p r i c ew i t h a p r o m i s e d s u p p l yt i m e g e n e r a l l y , l o n g e rp r o m i s e ds u p p l y t i m ec o r r e s p o n d st ol o w e rp r i c e m e a n w h i l e ，w e c o n s i d e rt h ei m p a c to f p r o m i s e ds u p p l y t i m et ot h ei n v e n t o r y s t r a t e g y w eb u i l dm o d e l sf o rb o t hs i n g l e e c h e l o na n dm u l t i - e c h e l o np r i c i n gs t r a t e g i e s ，g i v e a l g o r i t h m s f o r c o m p u t a t i o n a lp u r p o s e sa n da p p l y i tt on u m e r i c a l e x a m p l e s t h e r e s u l t ss h o w e dt h a tm u l t i - e c h e l o n p r i c i n gs t r a t e g yo u t p e r f o r m s t h et r a d i t i o n a l s i n g l e e c h e l o n p r i c i n ga p p r o a c hs i g n i f i c a n t l y i t i s e x p e c t e d t h a ts u c c e s s f u l i m p l e m e n t a t i o no f t h i sw o r kw i l li m p a c tf i r m sl i k er e t a i l e rs i g n i f i c a n t l yb y i n c r e a s i n g t h ec u s t o m e rs a t i s f a c t i o na n d p r o f i t s k e y w o r d s ：p r o m i s e ds u p p l yt i m e ，m u l t i e c h e l o np r i c i n gs t r a t e g y , s t o c h a s t i c i n v e n t o r y , s i m u l a t i o n 1 1 研究背景 随机库存环境下带承诺供货时问的定价策略 第一章绪论 假如你想在亚马逊网上书店( a m a z o n c o r n ) 购书，你可以上网查询到你想要 的。如果你觉得网上所列的价格可以接受，把它放进购物箱。在结帐之前，你会 被要求在以下三种送货方式里选择一种：标准运输、第二天空运和隔天空运。如 果你能等一些日子，那么你会选择标准运输：如果你马上就想得到书，那么你会 选择快一点的送货方式。在根据自己的需要对三种选择进行权衡之后，你选择其 中一个然后向a m a z o n c o m 下订单。假设你需要的书在亚马逊书店的某个配送中 心有库存，那么你会在经过一段配送时间后收到你想要的书。 从公司操作的角度来看( 假定运输服务外包给第三方负责) ，不同的送货方 式都是一样的：配送中心一旦收到客户的订单就会尽快送货的。然而有些购书的 顾客需要立即得到书，而有些顾客则愿意延期假如因此而能得到一定的折扣的 话。这就给公司创造了一个市场分割的机会：不愿意等待的顾客支付原价，而愿 意延期送货的顾客就可以得到一定的折扣。 当公司得到一个愿意延期的订单时，它就获得了一个提前需求( a d v a n c e d d e m a n d ) 信息，也就是一个需求预期。这个信息可以被用来减少公司的库存。 最优的价格折扣当然应该与此提前定购的信息价值相一致。 c h c n ( 2 0 0 1 ) 1 1 研究了这种市场细分定价策略所带来的效益。他构建了这样一 个模型：一个垄断商家出售同质商品给不同质的顾客。根据等待厌恶的程度，顾 客可以分作不同类别：他们愿意支付的最高价格，也就是初试定购的价格( 没有 折扣) ，随着等待时间的延长购买商品享受的折扣越多，所以不同类别的顾客就 会选择不同的定购价格，同时也选择了不同的承诺供货时间。所谓承诺供货时间， 就是指商家承诺给顾客从顾客下订单到顾客得到货物那段时间，如果顾客最终收 到的商品超过商家的承诺供货时间，那么商家需支付赔偿金，这个也就是本文所 假定的缺货成本。文章的目标就是要通过定价和补货( r e p l e n i s h m e n t ) 决策使得 公司长期利润最大。c h c n 文提出了解决这个问题的启发式方法，同时也提供了 大量的例子表明在有些情况下，通过允许顾客自我选择他们愿意支付的价格以及 配送的时间，公司将能获得更多的收益。 本文的研究思路跟c h e n 文一致，但在解决问题的方式上存在差异。首先是 关于需求的前提假设，c h e n 文假定定价过程中顾客需求总量保持不变，即需求 为固定需求。他把顾客的购买过程分两个阶段。在第一阶段，商品是无折扣的， 3 p r i c i n g s t t a t e 刮w i t h p r o m i s e d s u p p l y m m e i n n i c p r e s e n c e o f s t o c h a s t i c i n v e n t o r y c o n s i d e r a t i o n 也就是说只有一个价格，这个时候的价格决定了顾客的总需求，然后在第二阶段， 商家推出根据承诺供货时间提供不同价格的分层定价( m u l t i - e c h e l o np r i c i n g ) 策 略，这个策略里面包含原单一定价策略，所以顾客在第二阶段不会流失，因为至 少那个第一阶段的定价是顾客的一种可行选择。而实际上，当商家推出第二阶段 的分层定价策略时，市场上的顾客需求总量是有可能增加的，原先对第一阶段那 个单一定价不能接受的顾客也许能在第二阶段的分层价格中可以找到自己能接 受的价格。本文把这种定价策略可能导致的市场总需求变化考虑进去，即认为市 场需求是有弹性的，当顾客认为商品的效用超过他的预期效用的时候，顾客就接 受购买，否则顾客放弃购买。 本文跟c h e n 文的另一个主要差别是对库存和缺货成本的描述。c h e n 文直接 应用了z i p k i i l ( 2 0 0 0 ) 2 】的需求提前期( d e m a n dl e a d - t i m e ) 正态分布情况下的近似 公式，本文则保留原函数的复杂形式。 基于以上本文和c h e n 文的主要差异，c h e n 文所提供的算法在本文已不再 适用。所以本文提供了几种针对性的解决方法，包括启发式算法和随机模拟优化 方法，并提供了相应算例。 现有大量的相关文献来研究顾客分类，这实质上是一种市场策略，采用对商 品和市场强度的理性的和精确的调整以满足不同的顾客需求( s m i t h ( 1 9 5 6 1 3 1 和 h a l e y ( 1 9 6 8 ) 一1 ) 。这个策略也引起了前所未有的生产线增值( q u e l c ha n dk e n n y ( 1 9 9 4 ) 5 1 ) 以及近来的大规模定制，也就是大范围地提供个性化商品( p i n e ( 1 9 9 3 ) 6 1 ) 。关于商品差异的研究是基于这样的概念：商品可以被视作一系列特征 及属性的组合，而顾客对于商品感兴趣的不是商品的本身而在于商品所拥有的属 。i 生( l a n c a s t e r ( 1 9 7 9 ) 1 7 1 ) 。比如，有些人喝桔子汁是为了获取维生素c ，但有些人是 为了钙。不同的顾客偏好不同的商品属性的结合，那么问题就在于一个公司该怎 么在属性方面定位它的商品。有许多文献已经从不同的角度讨论了这个问题，比 如h o t e l l i n g ( 1 9 2 9 ) 1 8 i 、m u s s aa n dr o s e n ( 1 9 7 8 ) 1 9 1 、h a u s e ra n ds i m m i e ( 1 9 8 1 ) 1 1 0 i 、 m o o r t h y ( 1 9 8 4 ) 1 ”、e l i a s h b e r g a n d m a n r a i ( 1 9 8 9 ) 1 1 2 1 、l a n c a s t e r ( 1 9 9 0 ) 1 1 ”、d e g r o o t e ( 1 9 9 4 ) h j 、n a n d a ( 1 9 9 5 ) 【1 5 1 以及c h ，e l i a s h b e r ga n dz i p k i n ( 1 9 9 8 ) 1 “。但是这些作 者都只是关注商品的的物理属性( 比如尺寸、颜色、甜度等等) ，而本文把商品 的供货时间也作为是商品差异的一个有用的属性( 见h o a n d t a n g ( 1 9 9 8 ) 1 1 7 】，商 品差异管理领域里最新研究) 。 在考虑颓客分类的同时，同时考虑库存系统的文献有不少，比如h a ( 1 9 9 7 ) f 1 8 ，n a h m i a sa n dd e m m y ( 1 9 8 1 ) 2 0 1 ，d e s h p m a d ee ta 1 ( 2 0 0 0 ) 2 1 1 等。所有上 述文献都论述了基于满足不同优先级分类顾客的库存策略。比如d e s h p a n d e 等把 顾客分成高价值和低价值两类，并给出了这样一种服务策略：当手头的库存低于 4 随机库存环境下带承诺供货时间的定价策略 一定量的时候，停止对低优先级顾客类别的服务，而只满足高优先级( v i p ) 顾 客的需求。h a 也做了类似的研究，并着重强调了最优库存策略- ( o p t i m a li n v e n t o r y p o l i c y ) 结构的描述。他们对顾客的分类都是基于公司对顾客的评估，而并没有 从顾客的效用及自身选择出发。本文强调顾客的效用和自身选择，这与上述文献 在顾客分类方面有较大区别。 1 2 研究方法的应用可行性 本文模型应用于实际的难点主要在于顾客效用函数的确定，这跟顾客的消费 习惯、生活背景甚至性格都有关系。这类信息的取得在以前往往非常困难。但i t 技术的发展特别是i n t e m e t 的出现使得商家对顾客进行了解的手段越来越多样 化。除了从客户的购买行为中分析并获得信息，i n t e r n e t 也使在线供应商能通过 价格测试以更好的了解市场需求的特征( b a k e r 等( 2 0 0 1 ) 2 2 】) 。很多公司都成功地 运用这个方法改善了它们的定价策略，这包括通用电气、p e n s k e 、h o t w i r e 以及 敦豪快递。 离线价格测试要花费大量的资金并且需要几个月豹时间才能完成，而网上的 实时价格测试几乎不需要什么成本。比如说，一个供应商可以对每5 0 个顾客提 供不同的价格，然后跟踪一段时间。然而，在需求估计中，供应商必须预先决定 采用哪些价格、哪些产品阻及多长的时间间隔进行测试来确定一个新的价格点， 而这往往是相当复杂的，并且会对价格测试的有效性及需求估计的准确性产生重 大的影响。如果价格变化过于频繁，那么每个价格点所能观察的数据就会比较少， 而如果价格变化过少，那么就需要相当长的时间才能测试完一组价格数据。由于 许多产品的生命周期都相当短，那么相对于价格实施的时间长度来说价格测试又 该用多长时间来做，这也是个问题。较长的价格测试时间会使得需求估计较为 准确，但是剩下的销售时间就会缩短。相反，假如测试时间比较短，那么需求估 计往往就会不够准确。对于动态定价来说，价格测试可以通过最优规划和0 r m s 方法得以改进。 另外，数据仓库和数据挖掘技术的提出，使人们获得顾客分类和顾客效用信 息越来越方便。数据挖掘最早被应用于金融业并产生了很多成功的例子，现在数 据挖掘开始被应用于零售业。一般认为。顾客的消费心理和消费模式在一段较长 的时间内会保持不变，所以对于历史数据的挖掘可以使预测变得越来越准确。 因此，本文构建的模型是具有可操作性的，当然，具体应用的过程，也可以 是模型不断修正的过程。模型为应用提供支持，而应用反过来可以完善模型，两 者是相辅相成的。 p r i c i n gs t r a t e g yw i t hp r o m i s e ds u p p l yt i m e i nt h ep t c s c n c co f s t o c h a s t i ci n v e n t o r yc o n s i d e r a t i o n 1 3 研究的内容和意义 对不同顾客提供不同商品或服务是客户关系管理( c u s t o m e rr e l a t i o n s h i p m a n a g e m e n t ) 的一种思维方法，而且如果商家的策略得当，顾客和商家双方都 能获利。本文关注的重点是对顾客市场进行细分，为顾客提供多种消费选择模式。 一般来说顾客乐意看到自己拥有更多的选择权，并选择适合自己的消费模式。 本文在考虑库存的情况下，分别建立了单一定价模型和分层定价模型，并给 出了相应算法。通过两者的数值算例发现，分层定价模型能为商家带来更大的利 润。 本文的研究结果表明了采用分层定价方法提高商家利润的可能性，并为找到 这种定价策略给出了具体方法。 1 4 本文结构 文章共分为九个部分： 第一部分“绪论”介绍了目前跟本文相关的研究成果，并介绍了本文研究的 内容和文章的框架。 第二部分“符号和基本假设”集中了本文涉及的主要数学符号，指出了它们 表示的意义，并给出文章建模的一些基本前提。 第三部分“分类顾客的效用和商家的定价策略”描述了顾客效用函数的具体 特征，共给出了顾客和商家两者在追求各自效用最大化过程中的联系。 第四部分“带需求提前期( d e m a n dl e a d t i m e s ) 的随机库存策略”阐述了最优 库存策略的选择，并得到库存成本和缺货成本的计算方法。 第五部分“基于随机库存策略的定价模型”是本文的核心，分别建立了单一 定价和分层定价模型，并为求解这些模型给出了算法和算例。 第六部分“随机模拟优化算法”是解决第五部分建立的模型的另一种有效方 法，这种方法有利于模型的扩展。 第七部分“总结和展望”总结了全文，并且说明了进一步研究的方向。 第八部分“附录”把本文用到的一些主要方法列于其中。 第九部分“参考文献”列出了本文所有引用的文献。 6 2 1 符号索弓 随机库存环境下带承诺供货时间的定价策略 第二章符号和基本假设 m ：顾客类别索引标号； m ：顾客总类别数； n ：商家定价模式索引标号； ：商家定价模式总数； p ：商品定价； f ：商家承诺供货时间； 0 ，r 。) ：第m 类顾客的选择价格模式； ( p “，f “) ：商家提供的第n 个价格模式： r 。：商家补货提前期( s u p p l yl e a d t i m e ) ，也即商家策略中承诺供货时间的上界 c ，：单位库存成本； c ，：单位缺货成本： s ：基础库存或安全库存( b a s es t o c k o rs a f e t ys t o c k ) ； 兄：总的顾客到达率； d ：总的需求量； a 。：第m 类顾客的到达率； d 。：第m 类顾客的需求量： “：顾客愿意接受的最低效用； u ( p ，f ) ：顾客对于定价模式( p ，f ) 的效用。 2 2 基本假设 假设1 本文考虑单商品的库存和定价问题 假设2 顾客对于商品的选择只基于两个因素：商品价格和商家的承诺供货时间。 即顾客的效用只由这两个因素共同决定，本文把顾客效用函数表示为u ( p ，r 1 ， 其中p 为商品价格，f 为商家承诺供货时间。 假设3 顾客订单的到达是随机的p o i s s o n 流，且每位顾客对产品的需求只有一个 单位。 假设4 商家的定价跟承诺供货时间相结合，即p 和_ r 成对出现，本文把一种组 合( 以f ) 称为商家的一个定价策略。 假设s 顾客分类的依据在于顾客本身的背景信息，比如年龄、性别、收入、家 7 p r i c i n g s t r a t e g y w i t hp r o m i s e d s u p p l y t i m e i n t h e p r e s e n c eo f s t o c h a s t i c i n v e n t o r y c o n s i d e r a t i o n 庭背景等等，而跟商家的策略无关。属于同一类别的顾客具有相同的效用函数， 而且这种性质具有稳定性，不会随外部因素的改变而改变。在具体应用中，这种 分类可以通过对历史数据进行聚类分析( c l u s t e r a n a l y s i s ) 而得到。 假设6 顾客的效用函数u ( p ，r ) 为连续的凹函数，且是关于p 和f 的减函数。 假设7 本文考虑的商家在市场中是垄断的，没有其他商家与之相竞争。 8 随机库存环境下带承诺供货时间的定价策略 第三章分类顾客的效用和商家的定价策略 篡一 一一一一 蝴 重席脑 捌引昭臻 。 一一一一 辫愀椰删挣刊悔的 一一一一 p i l i n g s t r a t e g y w i t h p r o m i s e d s u p p l y t i m e i n t h e p r e n c e o f s t o c 2 t a s t i c i n v e n t o r y c o n s i d e r a t i o n 商品本身的价格，而对商品的送货急迫性要求不高：第三类顾客介于前两者之间。 这三类顾客的等效用线表现在( 图3 1 ) 中分别如( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 所示，( i ) 最陡， 而( 1 1 ) 最平坦。假设6 假定各类顾客的效用函数u 。( p ，f ) ，v m 都为凹函数。关于效 用函数具体形式的选取，在3 5 有详细论述。 3 2 商家的定价策略 针对影响顾客效用的两因素p 和f ，商家推出各种价格和承诺供货时间的组 合供顾客选择。如( 图3 - 1 ) 所示，商家的定价策略用曲线h 来描述，线上的每 个点都表示商家的一种定价模式( p ，f ) ( 假设4 ) ，图中曲线h 的斜率为负数， 即送货越及时的商品对应的价格也越高，这在现实生活中很好理解。 图中的临界点表示商家愿意提供的最低价格，比如无论顾客的需求提前期 多长，商家都不愿提供比边际成本更低的价格。临界点“等于商家的补货提前期 r s u p p l yl e a d t i m e ) ，也就是说，如果顾客的需求提前期( d e m a n dl e a d - t i m e ) 超过 商家的供货提前期，那么商家就能完全预测顾客在需求发生时刻的信息，这样就 能做到零库存，所以当顾客的需求提前期超过k 时，更长的订货提前时间对于商 家己没有意义，这时候商家的定价就不会随着r 的增大而改变。 设商家的定价模式曲线h - - ( e ( r ) ，f ) ，其中 ，、f ，o ) ，当0 _ r _ c r o 肌卜b 。，当r 氓 函数，加) 为关于r 的凸函数，且为减函数。如果商家的定价策略是离散的，那么 函数p 0 ) 的定义域取离散值，本文记商家离散定价模式总数为n ，即此时 h 。 ( p 1 ，f 1 ) ，( p 2 ，f 2 ) ，( p ”，t ”) ) 。 3 3 顾客选择的最优性条件 顾客对于多属性商品的选择一般可以用离散选择模型来描述，如a m e m i v a ( 1 9 8 1 ) 1 2 3 1 、b c n 和l e r m a n ( 1 9 8 5 ) 【2 4 】等。常见的带随机因素的离散选择模型有l o g i t 模型和p r o b i t 模型( 见d o w 和e n d e r s b y ( 2 0 0 4 ) t 2 5 】1 。 本文为了方便起见，不考虑顾客选择的随机因素，即顾客能明确分辩并会在 商家提供的众多价格组合中选择对自己效用最大的组合。如( 图3 - 1 ) 所示，当 曲线( i ) 跟曲线h 相切时，第一类顾客达到自己的最大效用，以此类推，第m 类 顾客的最优选择可以写为 ( p ，f 。) = a r g m a x 【，( p ，f ) i ( p ，r ) 6 h ( 3 - 1 ) 1 0 3 4 顾客选择下的总需求量 随机库存环境下带承诺供货时间的定价策略 商品的需求直接由顾客的效用函数通过自身选择来决定，而顾客的效用又由 p 和f 共同决定，所以，需求量可以表示成p 和r 的函数。记巩( p 。，靠) 为第m 类顾客的市场需求量，下面分别讨论固定需求和弹性需求两种情况。 3 4 1 固定需求 本文所指的固定需求是一种相对的概念，就是商家在一定的定价策略空间范 围内。各类顾客对商品的总需求量保持不变，或者总需求量变化很少，但他们会 根据自己的偏好选择不同的价格组合。在一个垄断的市场，这种情况比较常见。 比如当顾客不得不选用某样商品的时候，价格或供货时间的因素对需求的影响就 会很小。 在很多地方，商品是只有一个价格的，而厂商供货是即时的，也就是说给顾 客的承诺供货时间为0 。这种定价方式被大部分商家所采用，但这种定价方式对 库存的压力比较大，商家必须保持足够的库存来对顾客的需求进行即时反应。本 文将讨论更多的价格组合选择将有效缓解商家库存的压力，从而通过降低成本来 提高利润，但同时并不降低顾客对于产品的效用。 在固定需求假设下，定价模式( p 。，k ) 的单位时间内需求量即为第m 类顾客 的平均到达率丸，即有d 。( p ，靠) 1 九。 3 4 2 弹性需求 在弹性需求假设下，商品的总需求量不是固定的，可能会随商家定价策略的 变化而导致有些顾客在买与不买之间徘徊。这种情况下，我们把所有顾客的效用 值统一在一个标准下，这样不同类的顾客之间的效用就可以进行比较。 不妨假设各类顾客愿意接受的最低效用为，当某类顾客对商品的效用低于 砜时，此类顾客将会流失，弹性需求假设下的d 。由下式可以得到 啪 ，i 寓骘苗 仔z ， 在一般的经济学模型研究中，需求都是被假设有弹性的，因为这个假设更符 合实际情况。 当商家只对顾客提供一种价格模式选择的时候，整个市场的需求曲线可以通 过( 图3 - 2 ) 来表示，为方便说明，这里假定市场中只有三类颇客( 多类顾客的 情况也一样可以推广) ，而且把商家价格策略里面的价格p 和承诺供货时间f 两 p r i c i n g s t r a t e g y w i t hp r o m i s e d s u p p l y t i m e i n t h e p t e s e n c eo f s t o c h a s t i c i n v e n t o r y c o n s i d e r a t i o n 个因素整合成一个变量b ( 可以是某种线性组合) ，相应地，这里把对应的顾客 效用记为u 陋) 。由图可知，当商家的定价组合b ，b 1 的时候，没有顾客需求， 即所有顾客的效用均小于“：当b ：t bs b ，时，第一类顾客接受购买，显然此 时第一类顾客的效用满足u ，( b ) u 。，而其他两类顾客的效用均未达到u 。，此 时的市场需求量是d ，：当b 3 0 ，要么q ( p + ，f 。) t0 。所以必定存在 足够小的a p ，0 ，p 1 一p + 印，保持q ( p 。，) 的正负号不变，即保持市场总需 求量不变的情况下我们找到了更高的定价p ，所以p 并不是最优定价，即原假 设不成立。定理5 1 得证。 于是我们可以得到以下最优定价策略算法。 【算法5 1 】 a 由u 。( p 。，) 一u 。确定第k 类顾客愿意接受的临界价格n ： b 对每个相应的定价p 。，确定愿意接受价格n 的顾客类别集合 爿。 i u 埘( 仇，) 苫u 。) ，计算出总需求量d 忙) 一了 ； c 计算每个定价n 所对应的商家目标利润e ( p 。一善；) d ) ； d 求得l , n a r g m a xk ，即得到最优定价为p 一p 。，最优利润为y 。- 匕。 1 9 p r i c i n g s t r a t e g y w i t h p r o m i s e d s u p p l y t i m e i n t h e p r e s e n c e o f s t o c h a s t i c i n v e n t o r y c o n s i d e r a t i o n 5 1 2 即时供货模式定价模型和算法 即时供货是一种快速反应模式，即商家在顾客下达订单的同时马上供货，用 我们假设的( p ，f ) 定价组合来描述的话，就是满足r 0 。显然，商家对于顾客的 这种订货要求没有任何的预知信息，商家必须通过足够的库存才能应付这种紧急 需求。5 1 1 是顾客对供货时间要求宽松的一种极端，在这种情况下，所有的需 求信息对商家来说都是可观察的；而本节所讨论的情况则是顾客对供货时间要求 的另一个极端，此时，商家对于顾客的需求信息完全不可观察。与5 1 1 一样， 这里只考虑弹性需求的情况。 定理5 1 在商家即时供货模式下依然成立，但这里与5 1 1 的区别在于库存和 缺货成本c ( r ) 不再为0 ，而是由式( 4 3 ) 的c ( d ，工) 得到，此时l 。一r - 0 ，所以 有三t l s l 。一一f 0 ，所以库存和缺货成本为c ( d ，) 。 与 算法5 1 】相似，我们可以得到商家即时供货模式下最优定价策略的算法。 【算法5 2 】 a 由u 。( p 。，f 。) 一u o 确定第k 类顾客愿意接受的临界价格p t ； b 对每个相应的定价p 。，确定愿意接受价格p 。的顾客类别集合 a 一枷i ( p 。，r 。) ，。 ，计算出总需求m ：d ( k ) 一孓 ： c 用一维搜索f i b o n a c c i 方法( 见附录8 1 ) 近似确定商蒙i 的最优安全库存s ： d 计算每个定价p 。所对应的商家目标利润 k 一( 以一c o ) d ( 七) 一c ( d ) ) ； e 求得m 。a r g m a xk ，即得到最优定价为p 。p 。，最优利润为y z l 。 5 1 3 单一定价模型数值算例 类似于5 1 1 和5 5 2 的最优定价算法，我们可以类似得到承诺时间为任意情 况下的定价方法。本节不仅为5 1 1 和5 1 2 两种极端情况给出算例，而且也选取