（计算数学专业论文）一个非均匀三元s42b样条的构造.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 样条函数，就是具有一定光滑性的分片或分段定义的函数。样条函数在飞 机、船舶制造中有重要应用，己经成为计算机辘助几何设计( c a g d ) ，计算机辅助 设计及制造( c a d c a m ) 等领域中不可缺少的工具，同时又是敦乱数据插值和拟合 中重要且常用的方法之一，在小波及有限元等领域中均有较为重要的应用。另 方面，随着多元样条理论的发展，人们发现它与基础数学的一些学科，如抽象代 数、代数几何、微分方程等，亦有着千丝万缕的联系。 样条函数在许多领域得到了广泛的应用，尤其是它与小波分析的紧密联系 使之应用到了小波。样条小波就是基于样条的小波。人们对于一元和二元样条 做了深入广泛的研究，我们可以从 3 1 】找到有关小波基的结果。然而，在样条 函数的研究中将样条从2 d 空间推广到高维空间包括3 d ，有一些本质上的变化， 所以有关高维的非乘积型样条的研究非常少。虽然已经有一些关于高维样条的 研究 2 7 ，2 5 ，3 1 - 4 l 】，比如单纯形样条【2 5 】和b o x 样条 3 2 ，但大多都不便于直接应 用，从而大大限制了样条函数的应用。在许多领域都要用到高维样条如大规模科 学计算，小波分析和三维可视化等，所以研究高维空间中的样条是必要的，尤其 是非均匀剖分上的样条函数。 本文的工作就是围绕非均匀剖分上的b 样条展开的。文章共分为五章。第 一章综述了样条函数的研究，分别介绍了王仁宏先生提出的光滑余因子协调 法，b 一样条法和b 网方法以及其一些重要结果；第二章主要讨论了二维非均匀 型三角剖分上的样条函数：第三章分析了在三元b o x 样条方面所作的工作，着 重介绍了三维非均匀剖分上b 一样条的构造及其性质；在第四章中，我们应用积分 方法构造了三维空间中的硬和罐b 样条，并分析了三维空间中的型剖分： 最后，我们在第五章对本文所作的工作作了简要的总结，并提出了对未来工作的 展望。 关键词：三元b 一样条；多元样条函数；非均匀r l - 型四面体剖分 c o n s t r u c t i o no fan o n u n i f o r mt r i v a r i a t e 岛b - s p l i n e a b s t r a c t t h es p l i n ef u n c d o n ，w h i c hi sp i e e e w i s es m o o t hf u n c t i o n ，p l a y si t si m p o r t a n tr o l ei n t h ef i e l d so fa i r c r a f tm a n u f a c t u r e ，s h i pd e s i g n i n ga n di th a sb e c o m eau n r e p l a c a b l e a b l e t o o li n 巴蜒d ，c a d ，c a ma n ds 0o i lm e a n w h i l e ，i ti so n eo fb a s i cm e t h o d sf o rt h e a p p r o x i m a t i o n o rf i t t i n go fs c a t t e rd a t aa n di tc a l lb ea p p l i e dt ot h ef i e l d so fw a v e l e ta n d f i n i t ec l e m e n t o nt h eo t h e rh a n d , a st h ed e v e l o p m e n to ft h et i n n yo fm u l t i v a r i a t es p l i n e f u n c t i o n s i ti sf o u n dt h a tt h es p f i n ef u n c t i o nh a sv a r i o u sr e l a t i o n s h i p st os o m eb a s i ca “淞 o fm a t h e m a t i c s s u c ha sa b s t r a c ta l g e b r a , a l g e b r a i cg e o m e t r y , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d s o o n i ti sw e l lk n o w nt h a ts p l i n ef u n c t i o n sh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di nm a n ya r e a s ，e s p e c i a l l yw i t hi t sa p p l i c a t i o nr a n g eg r e a t l ye x t e n d e db yi t sc l o s er e l a t i o nw i t hw a v e l e t a n a l y s i s s i n c ee x t e n s i v es t u d yh a sb e e nc a r r i e do u to i lu n i - a n db i v a r i a t es p l i n e s ，m a n y r e s e a r c hr e s u l t so nt h eg e n e r a l i z a t i o no fw a v e l e tb a s i sc a nb ef o u n di n 3l 】h o w e v e r , o w i n gt os o u l ei n t r i n s i cd i f f i c u l t i e si ns p l i n er e s e a r c hi ne x t e n d i n gf r o m2 d t oh i g h c rd i m e n s i o n s ，i n c l u d i n g3 d ，t h e r e s e a r c ho nn o n - i l o q a s o rp r o d u c ts p l i n e si sq u i t el i m i t e d a l t h o u g h t h e r eh a v eb e e ns o i i 】er e p o r t so i lh i g h e rd i m e n s i o n a ls p l i n e s 2 7 ，2 5 ，3 l - 4 i 】，s u c ha ss i m - p l e xs p l i n e s 2 5 】a n db o xs p l i n e s 3 2 ，f e wr e s u l t sa l es u i t a b l ef o rd i r e c ta p p l i c a t i o n w h i c h g r e a d yr e s t r i c t st h ea p p l i c a t i o n so fs p l i n e s s i n c et h ea p p l i c a t i o no fh i g h e rd i m e n s i o n a l s p l i n e si sr e q u i r e di nm a n yf i e l d ss u c ha sl a r g e s c a l es c i e n t i f i cc o m p u t i n g ，w a v e l e ta n a l y s i sa n d3 dv i s u a l i z a t i o n ，t h er e s e a r c ho nh i g h e rd i m e n s i o ns p l i n e si se x t r e m e l yn e c e s s a r y , e s p e c i a l l yt h er e s e a r c ho l ls p l i n e l l l g t i o l k qo nn o n u n i f o t l i lp a r t i t i o n 皿em a i nw o r ko ft h i st h e s i si so nt h eb - s p l i n eo nt h en o n - u n i f o r mp a r t i t i o n i ti n c l u d e sf i v ec h a p t e r s c h a p t e ro n es u m m a r i z e st h ep r e v i o u sr e s e a r c ho i ls p f i n e f u n c t i o n sa n di n t r o d u c e st h et h e o r yo fs m o o t hc o f a c t o r sb yr h w a n ga n dt h eb s p l i n e m e t h o da n dt h eb - n e tm e t h o d c h a p t e rt w od i s c u s s e sb i v a r i a t es p l i n ef u n c t i o n so nt h e n o n - u n i f o r mt y p e - 2t r i a n g u l a t i o n s a n dw es t u d i e dt h eu i v a r i a t eb o xs p l i n e si nc h a p t e r t h r e e ，e s p e c i a l l yt h ei r i v a r i a mb s p l i n eo i ln o n - u n i f o r mp a r t i t i o n t h e n ，i nc h a p t e rf o u r 岛a n d 母b s p l i n e si nt h e 斧s p a c e 黜c o n s t r u c t e dv i ai n t e g r a t i o nm e t h o d - a n dt y p e - 3 t e t r a h e d r o np a r t i t i o ni si n t r e d u c e di nt h i sc h a p t e r a tl a s t , w es u m m a r i z et h ew o r kw e h a v ed o n ea n dl o o kf o r w a r dt ot h ef u t u r ew o r ki nc h a p t e rf i v e k e yw o r d s ：t r i v a r i a t eb s p l i n e ；m u l t i v a r i a t es p l i n ef u n c t i o n s ；n o n - u n i f o r mt y p e 3t e t r a - 一n 一 大连理工大学硕士学位论文 一一 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研 究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明 并表示了谢意。 作者签名：瓣日期：蛰叫二d 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：銎量里 导师签名：起! 塾塑 盟年月互日 4 5 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 样条函数，就是具有一定光滑性的分片或分段定义的函数，如果在每片 或每段上定义的函数是多项式，则称为多项式样条函数。样磊函数的研究已 有六十多年的历史，它的引入是研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题 为背景的。1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统地建立了一元样条函数的 理论基础。但是s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视。从6 0 年代开始， 随着电子计算机技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应 用。1 9 6 6 年h b c u r r y 和l j ，s c h o e n b e r g 在文【8 】中提出了一元b 样条函数，是一种 定义b - 样条函数的几何直观方法。1 9 7 5 年王仁宏采用函数论与代数几何的方法， 建立了任意剖分下的多元样条函数的基本理论框架，并提出了所谓的光滑余因子 协调法。1 9 7 6 年，d c b o o r 将对一元b 样条的几何解释推广到多元样条。但这种几 何定义的推广不便于理论的研究，直到便要研究的泛函数形式推广的出现，多元 b 样条函数的研究才开始活跃起来。其泛函数形式的推广有单纯形样条，b o x 样 条积锥样条等，分剔由m i c c h e u i ，d eb o a r - d ev o r c 和d a h m e n 等人给出。 样条函数与现代工业造型设计有着直接的联系，在传统飞机，船舶制造中广 泛采用的模线样本法的数学表示就是三次样条函数，利用样条函数构造磨光基函 数等等正因为如此，样条函数己经成为计算机辅助几何设计( c a g d ) ，计算机辅助 设计及制造( c a d c a m ) 等领域中不可缺少的工具，同时又是散乱数据插值和拟会 中重要且常用的方法之一，在小波及有限元等领域中均有较为重要的应用。另一 方面，随着多元样条理论的发展，人们发现它与基础数学的一些学科，如，抽象 代数、代数几何，微分方程等，亦有着千丝万缕的联系，更为有趣的是，产生于 逼近论的多元样条与研究离散对象的组合数学亦有密切关系。 由以上我们可以看出，样条函数无论在理论上还是应用中都具有十分重要的 意义。由于客观事物的多样性和复杂性，多元样条函数的研究就极为重要。近年 来，人们一直致力于多元样条函数的研究，多元样条函数方法已经在诸多方面得 到应用。下面我们首先介绍一下我们要用到的样条函数的有关结论。 1 1 多元样条的发展及研究方法 样条函数的研究已有五十多年的历史，它的引入是以研究无穷区间上的等距 节点数据的平滑问题为背景的。最早提出样条函数概念以及比较系统的建立样条 函数一般理论的是i j s h o e n b e r g1 9 4 6 年的工作【7 】。 样条函数，就是具有一定光滑度的分片或分段定义的函数，在每片或每段上 定义的函数是多项式，则称为多项式函数。样条函数与现代工作造型设计有着直 接的联系。在传统飞机，船舶制造中广泛采用的模线样板法的数学表示就是三次 样条函数。正因为如此，样条函数已经成为计算机辅助几何设计( c a g d ) ，计算机 辅助设计及制造( c a d c a m ) 等领域中不可缺少的工具；在应用于求线性和拟线性 常偏微分方程( 组) 的近似解中，计算方便，效果良好。 样条函数无论在理论上还是在应用中都具有十分重要的意义。由于客观事务 的多样性和复杂性，多元样条函数方面的研究就极为重要。近年来，人们结合广 泛的实际背景，多元样条函数方法已经在诸多方面得到应用。 虽然多元样条函数方法在思想上是一元样条函数的推广，也由一定的联系， 但是它决不是一元样条函数的简单推广，两者之间存在着本质的差别，它要比一 元情况困难的多，复杂的多。这不仅是由于区域的多维性及多元函数区域的复杂 性，而且多元样条函数空间的结构还依赖于剖分的拓扑性质和几何性质，这使得 多元样条的研究变得十分复杂和困难，以致于在一个较长的时期内，多元样条函 数，尤其是非c a r t e s i a n 乘积型多元样条函数的研究没有实质性的进展。 当前研究多元样条有多种方法，但在总体上可以分为三类。1 光滑余 因子协调法( 又称代数几何方法) ，以王仁宏f 5 ) 为代表：2 b ，网方法，代表人 物是f a 血 1o 】；3 b 一样条方法，亦称投影子法，代表人物是s c h o c n b c r g 8 】、d e b o o r i g 和m e c c h e l l i 【2 5 】等。每种方法都有十分丰富的结果。 光滑余因子协调法是一种经典的代数几何方法，这一方法产生的标志是王仁 宏1 9 7 5 年发表的文【5 】。王仁宏、c h u i 、s c h u m a k c r 、何天晓及施锡泉等学者大量 应用这一方法，得到了丰富的结果。此方法刻画了多元样条函数光滑连接的内在 本质，并建立了光滑连接所应满足的协调方程，从而沟通了多元样条函数与代数 问题的等价关系，为用代数方法研究多元样条函数提供了条件，从这种基本观点 出发，多元样条函数的各种问题均可转化为与之等价的代数问题来研究。因而此 方法具有高度的概括性和适用性。 研究样条函数的另一种方法是b 一网方法，此方法是利用单纯形上 的b c r n s t c i n 多项式来表示多元多项式的所谓的b c z i e r 网作为出发点，并利 用相邻单纯形上b e z i e r 坐标之间的相互关系来刻划多元样条函数的光 滑性，这是一种局部坐标方法。b 网的系统刻划是由g f a r i n 在1 9 8 0 年 的博士论文【lo 】中完成的，自五十年代以来，d ec a s t e l j a u 、b c z i c r 、d e b o o r 、f a r i n 、s c h u m a k e r ，m a n s f c l d 、c h u i 等学者应用b 一网方法解决了很多样条 函数问题。苏步青、刘鼎元、贾荣庆等学者佟了许多有意义的工作。值得指出的 是，对单纯形剖分而言，此方法与光滑余因子方法是等价的。但它只适用于单纯 形割分，又由于它是一种半插值方法，因此它在三角剖分上的多元样条表达方面 具有一定的优越性。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 b 一样条法( 又称投影子法) 是最早用于研究多元样条函数的方法，它起源 于c u r r y 和s h o e n b e r g 的关于一元样条的工作【1 0 】，是一种定义b 样条的几何直 观方法。其本质是研究高维样条空间中的多面体( 如立方体，单纯形等) 在较 低维空间投影的测度函数，由于b 样条具有简单面便利的递推公式，使得 方法具有较大的灵活性，但它仅适用于正规剖分。除c u r r y 和s c h o e n b e r g 夕 ，d e b o o r 、d e v o r e 、m i c c h e l l i 、h o l n g 、d a h m e n 及贾荣庆、王仁宏等学者对此方法的 发展起了重要的作用。 1 2 光滑余因子协调法 光滑余因子协调法又称作代数集合法。它的标志是王仁宏1 9 7 5 的工作【5 】。这 里介绍这种方法的基本思想和主体框架。 设d 为二维e u c l i d 空间帮中的给定区域，以r 记二元k 次实系数代数多项式集 合； 七k - 1 最：= o = z 矿1 耐 i = 0 j = o 一个二元多项式p 岛称为实不可约多项式，如果除常数和该多项式自身外 没有其他多项式可整除它( 在复数域中) 。代数曲线 r ： f ( f ，! ，) = 0 ，l ( z ，y ) f _ 称为不可约代数曲线，如果f ( 霉，们是不可约多项式。显然，直线是不可约代数曲 线。 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，于是d 被剖分为有限个子区 域d i ，d l ，上) ，他们被称为d 的胞腔，形成每个胞腔边界的线段称为网线，网 线的交点称为网点或顶点。若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点为相 邻网点。位于d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点。相似的，可以定义 内网线及边界网线。 对区域d 实施剖分以后，所有以某一网点v 为顶点的胞腔的并集称为网 点v 的关联区域或星形区域，记为s t ( v ) 。 多元样条函数空间可定义为： 碟：= 和g 1 ( d ) i s i d , 最，t = 1 ，2 ，) ( 1 2 ) 一3 一 事实上，s 罐( ) 为一个在d 上具有p 阶连续偏导数的分片k 次多项式函数。 光滑余因子协调法是基于下面著名的b e z o u t 定理 定理1 1 ：若次数分别为m ，n 的两条曲线有多于n a n 个交点，则它们必有公因子存 在。 借助于上面的定理，王仁宏在文【5 】中提出了样条函数光滑连接的内在结构， 表现为如下的定理： 定理1 2 ：设z = s ( x ，y ) 在两相邻胞腔玖，b 上的表达式分别为 z = 只( ，) ；z = 弓( z ，| ，) 其中只( z ，掣) ，弓( ，y ) r 。为使s ( z ，y ) c ( d i ud j ) ，必须且只须存在多项 式q o ( x ，y ) 最一( 时f ) d ，使得 r ( z ，y ) 一b ( ，) = ：【! 西( 。，v ) l “十1 q t j ( z ，y ) ( 1 3 ) 其中d 。易的公共内网线为 r 巧：2 巧( z ，掣) = 0 且不可约代数多项式1 , 3 ( z ，y ) 忍 在讨论过程中，我们规定： r 玎一l f ；b ( z ，y ) = b 0 ，y ) 由式( 1 - 3 ) 知：如上的光滑余因子坼0 ，毫，) 与l i 上的光滑余因子 ，掣) 有 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ，y ) = 一奶；扛，可) ( 1 6 ) 设网点p 为内网点，p 的关联区域s t ( p ) 有p 个胞腔_ d l ，d 2 ，d ，；其 中n ，d t + 1 的公共网线记为r 1 ：2 1 ( z ，y ) = 0 ，i = 1 ，2 ，d 心十1 一d l ( 如图1 i ) 由式( 1 3 ) 不难得到 飓 啦( z ，y ) 阶，) 】计1 = o t = 1 4 ( 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 图1 1 p 点的关联区域s f f p ) f i 9 1 1 而e 趟a t e d m a o f p 其中吼( z ，f ) r 一i ) d 。式( 1 7 ) 称为样条函数s 甓( ) 在内网点p 处的协调条 件。 下面的定理建立了多元样条的基本框架 定理1 3 ：对给定的剖分，存在样条函数8 s f ( ) 的充分必要条件是在每一条内 网线上存在光滑余因子，且每个内网点处满足协调条件( 1 7 ) 式。 事实上，各内网线上光滑余因子的存在性等价于该多项式的伊光滑连续性， 各内网点处的协调条件被满足，即整体协调条件被满足，又等价于该分片多项式 函数在整个区域上的单值性，所以定理i 3 成立。 由式( 1 7 ) 决定的是一个关于吼( z ，) 的各系数的齐次线性方程组。若以n 记过a 点的所有内网线的条数( 自然数n 2 ) ，则该齐次线性方程组未知数的个数为 1 m = 去( 缸一p ) ( 七一p + 1 ) 因此，只要k 适当的大，m 就可以大于该方程组中的方程个数 ( k + 1 ) ( 七+ 2 ) 2 从而该齐次线性方程组必有非零解存在。 作为b 一样条存在的必要条件，王仁宏还得到了： 命题1 1 ：对于给定的剖分，若口( ，y ) 罐( ) ( o 弘k 1 ) 是一个以凸多边 形f 为支集的b 样条。设a 为f 的任一给定的定点，过a 的且在f 内( 含f 边界) 的网 一5 一 二尘韭塑塑兰耍盛里= 壁墨堕塑堕 线数为，则 舰 ( k + 1 ) ( a p ) ( 1 8 ) 从理论和应用两个角度看。分片多项式的k 越高，则s 仕，y ) 鲜( ) 的参数就 越多，并r s ( z ，y ) 的凸凹现象也就越严重，而这些正是人们所不期望的。所以在 多元样条函数的理论和应用中的一个重要的问题是：对于给定的剖分和指定的 光滑度p ，如何选取尽可能低的次数k ，使得非退化的s ( o ，们s t ( ) 得以存在。 由定理可以看到，欲求样条空间硝( ) 的维数和基底，只需求解协调方程即 可。但是。对于一般的割分。协调方程的解需要采用特定的方法才能实现，而对 较特殊的剖分，可得到较好的结果。 1 3b 一样条方法 b o x 样条提供了一个能够构造一类具有可变形状和可变局部支集的完美的数 学框架，它是进行各种重建或重构工作的有力工具。关于样条的一般性讨论比较 复杂，有关这些讨论的结果我们可以从 3 中找到。 1 3 1b o x 样条的定义及性质 一个b o x 样条可以由一组向量来定义，同时这组向量也决定了支集的 形状和样条所张成函数的光滑阶和精度。这些方向向量经常以矩阵的 形式表示。在舒空间中的b o x 样条是由n s 个向量来定义的，可以表示 为e = e l ，e 2 ，e f l ) 该b o x 样条的支集就是z 酽中使得。= e t 的所有的点，其 中t r 且0 白1 ，1 i 礼也就是说，b o x 样条的支集是这些方向向量的凸 组合。 最简单的b o x 样条是由乱= 8 个向量形成的。这个b o x 样条是它的支集的特征 函数。 f-l，z：髓，t(o，1)ntdetei 如( z ) = 一”叫”“ ( 1 9 ) 1 0 ， o t h e r w i s e 从公式( 1 9 ) 可以看出上述b o x 样条在支集边界是不连续的。最简单的一维b o x 样条 等于区问【o ，1 ) 的指示函数。 一般情况，当方向向量个数n s 时，样条函数有如下递归定义： 如u 。( z ) = k 屈( z ) = 危p t e k ) d t ( 1 1 0 ) 大连理工大学硕士学位论文 从这个定义，我们可以看出从方程( 1 9 ) 所示的基函数开始，定义域会沿着新加的 方向扩大。由此可知，下面两个b o x 样条的卷积形成了一个新的b o x 样条： 盔u 岛( z ) = ( 向$ 经) ( z ) ( 1 1 1 ) b 0 x 样条是一个至多扎一s 次的分片多项式。如果从e 中除去最少p 个向量便不能张 成空间彤，那么南e p 2 ，其中c ”为空间中m 次可微的光滑函数。 作为一个二维空间中的一个例子，最简单的b o x 样条可以由下面的向量组定 义： 们。，= 埘 这个函数是单位正方形f o ，1 】2 上面的指示函数。该b o x 样条在砰上生成了非连续的 样条空间。 1 3 2z w a r t p o w e l lb o x 样条 在岛的基础上加上一个方向向量e 3 = 【ll 】t ，定义域会由单位正方形沿着对 角线方向延展，见图1 2 。因为最初的b o x 样条是单位正方形上的常函数，所以沿 对角线积分的结果为一个一次样条，记作【晶，e 3 1 ，它的支集见图1 2 b 。该b o x 样 条是这个支集上的二元一次分片多项式。它产生一个伊上的样条函数空间，其 中p = 2 在上述b o x 样条的基础上再加上一个方向向量，就能得到一个二次b o x 样条。 选方向向量e 4 = 【一11 】t 能产生一个对称的八边形b o x 样条，i ! 1 z w a r t - p o w e l l 元 素。积分的过程如图1 2 c d 所示。 髓元素包含二元二次多项式，达到了二维空间中a 1 光滑c o = 3 ) 。 4 重心坐标和b 网方法 如果四面体t 的四个顶点为a , b 。c ，d ，那么空间中的一点r 舻可以表示为 r = n a + 他b + 乃c + 心d ，7 1 + n + 乃+ q = 1 ( n ，您，乃，r ) 称为点r 对于? 的重心坐标。次数小于等于n 的三元多项式p 总能写成 一7 一 下面的形式 口 毒 图1 2由一次b o x 样条构造z w a r t - p o w e l l 元素 f i 9 1 2c o n s t x u c t i o no f z w a r t - p o w e l le l e m e n tf r o ml i n e a rb o xs p l i n e p ( r ) ，铆淼椭童矗 “j + 十l ：，l o 其中 q 材，i + j + 七+ l = n 称为p 关于t 的b e z i e r 系数。 定理1 4 ：若r 栅r 分别为定义在两个相邻胞腔。，6 上的多项式 且。和b 的四个顶点分别为a ，b ，c ，d 和e ，b ，c ，d 。 ( r ) = 萎，嚼鲥高靠矗砖7 件j + “ 一。 p b ( r ) i ，淼制 件j + k + l - - - - - n 。 其中r = n a + t 2 b + 丁3 e + d ，r = n e + z 2 b + 诒g + r 4 d ，那么p 1 和m 是光滑拼 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 接的当且仅当 岛斟= 南斛，+ 忌+ 2 = n ， 南辩= m 封+ 您岛+ i 斟+ 蚀秀t + ”+ 饥喝埘+ i l 。1 3 ) 其中e = r l a + 蚀b + c + 7 4 d 关于b 一网方法的更详尽的资料可参见 2 h 。 1 5 本文主要工作 本文对非均匀型剖分上的样条函数作了简要的介绍，然后在前人的工作基 础之上，利用积分方法构造了三维空间中型剖分上的霹和舒b 样条，并分析 了型剖分的空间结构。文章在第二章中综述性的介绍了二维非均匀b 样条的 一些主要结果；在第三章，讨论了三维空间中的型剖分下的b 样条函数【1 4 】， 第四章是对本文工作的详细介绍，我们给出了m 型剖分下的b 样条函数的构 造。最后是对全文总结和对未来工作的展望。 ，9 2 二维非均匀b 一样条 2 1 某些非均匀三角剖分上的样条函数空间 剖分 所谓非均匀i 型剖分和一型三角剖分【6 】，是指用以生成这些剖分的原始矩形 是非均匀的，即，若记 a = 知 z 1 一 d = 蜘 暑f 1 z m + 1 。b ， 。+ l = d ， h = 一2 5 i 一1 ，如2 珊一驺一1 则诸琏未必相等，诸码亦未必相等e 采用光滑余因子协调法，可以证明形如图2 1 的支集上的砖( 瓣) 中b 。样条的 存在是有条件的。 定理2 1 ：d ae f l 2 1 所示的多边形是空间砖( 瓣) 中一b 样条的支集，必须且只须 砖( i l 九件1 ) 4 = 砖( 患p l + 1 ) ，i = 1 ，2 ，3 并且当上述条件被满足时，该b 样条由图2 2 中指出的信息所确定，而鼹( 蹴) 中 任意一个以所示多边形为局部支集的样条函数均为它的常数倍。 以上事实表明，非均匀三角剖分上的样条函数并不能由均匀三角剖分上的样 条函数经简单交换而得到。 对于非均匀的n 型三角剖分( 鼢) 在【1 1 王等利用光滑余因子协调法得到了一 个支集如图2 2 所示的融f 黝) 上的b 样条函数，该局部支集所涉及的垂直线和水 平线分别为 和 z = 趣一l ，= 戤，2 = z 、l ，z = z 件2 暑，譬珊一l ，可= 协，掣= 聊+ 1 ，! ，= 协+ 2 1 0 一 大连理工大学硕士学位论文 7 西8 1 慕p佾# 、 i ，1 j 1 尹压一 为考商 簧哆忑 唾f m q 4 _ x 4 q ! ! 西 沙 v 图2 1 非均匀m 型剖分 f i 鳐1 an - u n i f 0 1 1 1 1t y p e - 2c i _ o s $ 以( 。，) 记该b 一样条函数，因任一二元2 次多项式被其在三角形三条边中点 和三顶点上的值所唯一确定，b , j ( z ，) 可表现为如图2 2 其中 - 叁签 ， 餐 扣城 一一 澎 圈2 2 7 非均匀型割分上的一个局部支集 f i 9 2 2 al o c a ls u p p o r ta r f lo nn o n - u n i f o r mt y p e - 2c r o s s a = 志，4 = 丽h i t - 1 易= 忐，彰= 焘 b 一样条函数王0 ( 。，封) 的性质可以概括于如下的定理中【6 】。 定理2 2 ：设 则 z 2 一l 拄= - t o 工m + l = b 丑帆+ 2 z 仍+ 3 弘2 ( 可一1 c = y o 弘汁l = d + 2 o 是常数。则以下事实成立 1 6 c - l 当凳。耻珐( 。，秽) 磁( 霉，芗) 】- 1 ，( 。，秽) d 2 0定义 ，n竹 上( ，) = c - - 1 f ( x i ，缈) 嗡( 删) + 易( 刎) 】， i = 0 j = o 则对一切，( z ，) e ( d ) ，有 i i l ( f ) 一，l i o 。u ( ，日) 其中日= u 丽i ，而u ( ，) 表示，的连续模数。 对于非均匀的黥，j f f 1 7 l 定理2 4 ：对任意给定的剖分鼎来说，不总存在一组正数噶，使得下式成立 硝( 础) 三1 ，( 删) d ， j ，七 该定理表明，“单位分解性质”并不是“天然”被满足的。 在文献 1 9 】中，王绍铭针对非均匀型三角剖分企黧上的f r a e i j sd ev e u l k e - s a n d e r 四边形元，给出了显式的插值多项式的表达式。根据他所给出的公式，人 们容易把这个霹( 瓣) 模型应用于有限元和计算机辅助几何设计中。特别应该指 出的是，对于如上产生的插值算子( 分片多项式算子) t ( ，) ，王绍铭 19 】得到了误 差估计式：设，( o ，y ) c 幢( 瓣) ，则 8 d 5 ( t ( ，) 一f ) l l 。= 0 ( 酽1 ) 一1 7 一 一个非均匀三元岛b 一样条的构造 其中h 为中最大的网线长度。【1 9 】中还指出了上面估计中的具体系数。 2 2 二维非均匀b 一样条的构造 赵国辉曾用积分的构造样条的方法构造了二维非均匀m 型三焦剖分上的样条 函数，并分析了上面的拟插值算子。下面我们将介绍一下这种构造b 一样条函数的 方法。 如图2 5 所示，记s 为型剖分上的一个四边形，记 ( l y j + 1 ) 。 y j )( i i “y j )i 1 m ) ( x j ( 幽_ 1 ) 图2 5非均匀n 型剖分上的四边形 f i 9 2 5 t h eq u a d r i l a m r a lo nl l o n - d d i f o r mt y p e - 2t r i a n g u l a t i o n h i 2 戤+ l 一双， 也= y j + l 一珊， 我们在四边形s 上面定义一个常数函数知( 。，) ， ，= 其中s 是以( 盈，) 为中心， ! 木 ! z 件1 一o t 一1 协+ l 一鲍一1 7 ( z ，y ) s 0 ， o t h e r w i s e ( z t 一1 ，y j ) ，( 。件1 ，鲥) ，( 规，鲫一i ) ，( 如，蛳+ 1 ) 为顶点的四边 大连理工大学硕士学位论文 如果我们沿着x 轴方向对，( z ，可) 进行积分，记作 厶，p ，) = ， + t ，y ) d t ，o j 一 同理，沿y 轴方向对，( 。，轳) 进行积分，记作 ，仁，鲈) = ，0 ，y + t ) d t r o j - - o r e 下面我们对以( 魏，协) 为中心的四边形上所定义的函数进行积分， 厶a 舒= ( 厶a 巧) 对相邻4 个四边形积分的结果叠加起来，便得到一个毋的b 样条： s ( z ，y ) = 厶与( 知一a + i j a t j + i + 九+ 1 j + 1 ) 我们通过改变积分限和相邻积分相减的方法，构造出了非均匀网格上的p - z 元 素支集。 一1 9 3 几个三维空间中的b 样条 自从s h o e n b e r g ，c d eb o o r 等将一元样条推广到多元样条函数以来，许多学 者都对此问题进行了大量的研究，并得到了一些比较深刻的理论结果，如以王仁 宏【6 】为代表的代数几何方法。由于多元样条函数严重依赖于定义域剖分的几何 性质，因而呈现处十分复杂的情况，人们大量的工作集中在相对简单的二元的情 形，并给出了一系列较好的性质和方法。人们对于三维空间中的样条函数的探讨 较少。三元样条在最优网格采样，三维重建以及缨分的理论研究中都有一定的应 用价值和理论价值。下面将介绍几种三元b 样条 1 2 ，2 0 。 3 1 三元均匀钾和畿b o x 样条的构造 a l j r c z a 等在【1 3 】中将二维空间的z p 元素推广到三维空间中的b o x 样条。由 于z p 元素是由正方形及其对角线四个方向形成的，所以在三维空间中构造的对 应的b o x 样条也是由立方体的三条边及其四条体对角线所得的，见图3 1 。与此 同时，还可以只选择四个对角线方向来构造b o x 样条，这样就可以得到一个研 的b o x 样条。所选的7 个方向可以由下面的矩阵表示： e = f e l e 2 ，e 3 ，e 4 ，岛，e 6 ，e 7 】 10 01 o1o 一1 o 01 一l 一1 11 l一1l 一1l1 7 一方向的b 0 x 样条形成了伊连续的空间因为q ，e 4 和e 7 线性无关，p = 7 3 = 4e 它具有和三元三次b s p l i n e 一样的光滑性，但该7 一方向样条是由四次多项式组 成，而三元三次b s i 1 1 e 是由九次多项式组成的。 注意到前三个方向与三个坐标轴重合，后四个方向位于正方体的体对角线 上。可以把这些向量分成两组： 晶= 10 0 olo oo1 马= 一2 0 1 1 11 1 1 一ll 一1 111 大连理工大学硕士学位论文 图3 1b o x 样条的7 个方向前三个方向和坐标轴平行，构成一个立方体，后四个方向为四条 对角线方向，形成一个菱形十二面体 f i 9 3 1 t h es e v c nd i r e c t i o n so f t h eb o xs p i i n e t h ef i r s tt h r e ed i r e c 6 0 n sa r ea x i sa l i g n e da n df o r ma c u b e t h el a s tf o u ra r et h ea n t i p o d a ! d i a g o n a ld i r e c t i o n s a ) 图3 2 四方向的b o x 样条的支集为菱形十二面体( b ) 7 - 方向的b o x 样条支集为一个截断菱形 十二面体，是立方体和菱形十二面体的卷积 f i 9 3 2a ) t h ef o u rd i a g o n a ld i r e c t i o n sc o n s t i t u t eab o xs p l i n ew h o s es u p p o r ti sar h o m b i cd o d e c a h e d r o n b ) t h es u p p o r to f t h e $ e v e rd i r e c t i o n a lb o xs p l i n ei sat r a n c a t e dr h o m b i cd o d e c a h e d r o nw h i c hi st h e c o n v o l u t i o no f t h ei n d i c a t o rf u n c t i o no f ac u b ea n dr h o m b i cd o d e c a h e d r o n 一2 l 一 二竺斐望塑三耍譬星二壁垒堕塑垄 根据公式厶。u 如( 。) = ( 如， ，如) ) ，7 一方向b o x 样条可以写成如下卷积的形式： 尼( 卫) = ( ，殴+ ，磁) ( z ) 我们知道厶，是三维空间的b o x 函数，或者叫作区间【0 ，1 ) 3 上的指示函数，而，8 2 是 一个一次b o x 样条函数。，岛的支集( 中心位于原点) 是一个位于区间【- 2 ，2 ) 3 上的菱 形十二面体，见图3 2 ( a ) 。为了确定如的支集，注意到，它是，岛和，岛的卷积。因 此，这两个b o x 样条的卷积的支集在区间f 一5 2 ，s 2 ) 3 上。 由于危的支集是菱形十二面体( r h o m b i cd o d e c a h e d r o n ) ( 如图3 2 ( a ) 所 示) ，而z 酯的支集是立方体，敖危的支集是这两个b o x 样条的卷积，为一个截断 菱形十二面体( m m c a t c dr h o m b i