（应用数学专业论文）摩擦市场下的投资组合问题的研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 投资组合的优化理论研究是投资者在权衡风险最小化的基础上最大化自身 效益的方法。现代投资组合理论的提出，使金融投资理论从描述性的定性分析阶 段上升到科学严密的定量分析阶段，也使得二十世纪后半期的金融学发生了两次 革命性的变化。这一理论自产生起就一直处于当代金融投资理论的前沿，金融投 资已经成为我国经济生话的一个重要组成部分，深入研究这一理论无疑有十分重 要的理论意义和现实意义。 当今投资组合是金融界研究的热点之一，受到了国内外许多学者的重视，已 有许多研究成果。但绝大部分研究结论都未考虑交易费用和税收等摩擦条件，而 在实际投资组合中，交易费用和税收是不可避免的，忽略这些摩擦条件可能会导 致无效的投资组合方案，针对这些问题，本文研究了一般摩擦市场条件下的投资 组合模型，主要工作有； 1 研究了含v 型交易费用的均值一方差模型，并推广到更一般摩擦市场条 件下的其他的模型：如一般摩擦市场下的自融资均值一方差模型和一般摩擦市场 下的凸借款成本均值一方差模型等。 2 在风险函数为绝对偏差和平均绝对偏差时下，研究在一般摩擦市场条件下 交易费为v 型均值一绝对偏差投资投资组合模型和均值平均绝对偏差投资组 合模型，并做实证分析。 3 在一般摩擦市场下交易费用函数为凹函数时，给出了均值一绝对偏差模型 和均值平均绝对偏差模型在此条件下的求解算法。 关键词：投资组合、摩擦市场、绝对偏差、平均绝对偏差、凹函数、v 型交易费 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo p t i m i z a t i o nt h e o r yo fp o r t f o l i os t u d i e st h a tm a x i m i z i n gt h ei n v e s t i n g b e n e f i to nb a s i so ft h em i n i m i z e dr i s k m o d e mp o r t f o l i ot h e o r ys u g g e s t i n gt h a t 。 m a k e st h ef i n a n c i a li n v e s t i n gt h e o r yc h a n g ef r o mt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i ss t a g et o s c i e n c eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i ss t a g e ，a n dt w of i n a n c eh a p p e n e di nt w e n t yc e n t u r i e s t 1 l i st h e o r yh a sb e e nt h ef r o n t i e ro ft o d a y si n v e s t i n gt h e o r ya ss o o na sc o m i n gi n t o b e i n g , i n v e s t i n gi sa l r e a d yb e c o m i n g ai m p o r t a n tc o m p o n e n to fo u rc o u n t r ye c o n o m y l i f e ，s oi ti sn od o u b tt h a ts t u d y i n gd e e pt h i st h e o r yi so ft h es i g n i f i c a n tp r a c t i c a l m e a n i n g t o d a yp o r t f o l i oh a sb e e nah o to n eo ff i n a n c i a ls t u d i e s ，d u et om a n yd o m e s t i c a n df o r e i g ns c h o l a r sa t t e n t i o n , a n dg e t t i n gm a n yr e s e a r c hr e s u l t s b u tm o s to ft h e c o n c l u s i o n so ft h es t u d yd i dn o tc o n s i d e rt r a n s a c t i o nc o s t sa n dt a x e sf r i c t i o n ，a n dt h e a c t u a li n v e s t m e n tp o r t f o l i o ，t r a n s a c t i o nc o s t sa n dt a x e sa r ei n e v i t a b l e i g n o r i n gt h e s e f r i c t i o nc o n d i t i o n sm a yl e a dt oi n v a l i dp o r t f o l i o i nt h i sp a p e r ，u n d e rt h ef r i c t i o n c o n d i t i o n si nt h eg e n e r a lm a r k e tu n d e rt h ep o r t f o l i om o d e la r ec o n s i d e r , t h ep r i n c i p a l t a s k s ： 1s t u d i e dw i t hav - t y p et r a n s a c t i o nc o s t sm e a n = v a r i a n c em o d e l ，a n dp r o m o t i n gt o m o r eg e n e r a l l yf r i c t i o nm a r k e tc o n d i t i o n ss u c ha sm e a n - v a r i a n c em o d e li nt h eg e n e r a l m a r k e tf r i c t i o nc o n d i t i o n sa n dac o n v e xc o s to fb o r r o w i n gm e a n - v a r i a n c em o d e li n t h eg e n e r a lm a r k c tf h c t i o nc o n d i t i o n sa n ds oo n 2i nr i s kf u n c t i o na s t h ea b s o l u t cd e v i a t i o na n dt h ea v e r a l g ea b s o l u t ed e v i a t i o n c o n d i t i o n s 。s t u d y i n gt h a tt h et r a n s a c t i o nf e e f o rt h ev - f r i c t i o ni nm o r eg e n e r a lm a r k e t c o n d i t i o n sa n dt h em e a n - v a r i a n c ea b s o l u t ep o r t f o l i om o d e la n dm e a n - a v e r a 【g e a b s o l u t ev a r i a n c ev o t ep o r t f o l i om o d e la n de m p i r i c a la n a l y s i s 3kt h ef u n c t i o no ft h et r a n s a c t i o nc o s t sb e i n gc o n c a v ef u n c t i o na n dm o r eg e n e r a l m a r k e tf r i c t i o nc o n d i t i o n s ，g l v i n gaa l g o r i t h mo fm e a n a b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e la n d t h em e a n - a v e r a g ea b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e lu n d e rc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：p o r t f o l i o ，f r i c t i o nm a r k e t ，t h ea b s o l u t ed e v i a t i o n , t h ea v e r a g ea b s o l u t e d e v i a t i o n ，c o n c a v ef u n c t i o n ，v - t r a n s a c t i o nf e e 武汉理工大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 日期： 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 武汉理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 投资组合问题的提出 1 9 5 2 年，美国经济学家i i m m a r k o w i t z 在他的题为“证券组合的选择”“1 博士论文中，提出了“收益一风险”模型，即著名的m a r k o w i t z 模型。该论文的 发表，开创了现代证券投资理论的先河，标志现代投资组合理论形成。为了表彰 他的贡献，1 9 9 0 年m a r k o w i t z 被授予诺贝尔经济学奖。 在该论文中，m a r k o w i t z 认为：投资者在某个时间( 称为初期) 用一笔自有 资金购买一组证券并持有一段时期( 称为持有期) ，在持有期结束时( 称为期末) ， 投资出售他在初期购买的证券并将收入用入消费或再投资。在这一投资过程当 中，一个理性的投资者不仅希望“收益高”，“而且希望收益尽可能确定”，这意 味者投资者寻求“预期收益最大化”的同时追求“收益最小的不确定性”。我们 将收益这种不确定性称为风险，在期初进行决策时必然力求使这两个相互制约的 目标达到某种平衡，m a r k o w i t z 分别用期望收益率和收益率的方差来衡量预期收 益水平和不确定性，建立所谓的均值一方差模型来阐述如何权衡这两个目标：即 投资者通过组合投资可以在投资收益和投资风险中找到一个平衡点，在风险一定 的条件下实现收益的最大化，或者收益一定的条件下风险最小化。另外， m a r k o w i t z 还认为：在组合投资中增加一些相关性较差的证券，可以有效的降低 投资组合的风险。 m a r k o w i t z 在创立投资组合理论的同时，也用数量化的方法确定了最佳资产 组合的基本模型，在以后的岁月里，经济学家开始利用数量化丰富和完善组合管 理理论和实际的投资管理方法，并使之成为投资学中的主流理论。 1 2 投资组合研究现状 自m a r k o w i t z 提出投资组合理论以来引起了国际上相关领域众多学者的关 注和研究，成为投资和优化领域研究的热点。目前，其研究现状大致分为三个方 面：新的风险度量函数的提出和投资组合模型的建立；多阶段的投资组合的研究； 摩擦市场下的投资组合的研究。 1 新的风险度量函数的提出和投资组合模型的建立 由于考虑经典的均值方差( m v ) 模型在实际应用中的局限，很多学者提出 武汉理工大学硬士学位论文 一些以新的函数为风险度量的投资组合模型，这方面的研究成果有：下半方差模 型( l s v ) ，下半标准偏差模型( l s s d ) ( m a r k o w i t z l 2 1 ) ，均值一绝对偏差模型 ( m a d ) ( k o n n o 和y a m a z a “【3 1 ) ，均值一下半绝对偏差模型( l s a v l 4 1 ) 。低于目 标风险模型模型( b e l o wt a r g e tr i s k l 6 】) ，以及极大极小模型( m i n i m a xt y p er i s k ) ( y o u n t c oe ta l i s d e n g c ta 1 1 9 】) 。 2 多阶段的投资组合的研究 如何把标准的单阶段的投资组合模型延拓到多阶段的情况下，是金融研究领 域的一个重要课题，这一研究的意义在于现代金融决策问题需要反映复杂而又互 相影响的投资环境。 m o s s l n p g 是最早考虑多阶段投资组合问题的，在1 9 6 8 年他发表了如何用动 态规划方法将m a r k o w i t z 的均值方差单阶段模型推广到多阶段情形的论文。1 9 7 2 年，m e l t o n 给出了标准的m a r k o w i t z 的均值方差模型的解析式，此后，人们给 出了更多的关于多阶段最优投资组合策略的解析式，这一领域有着大量的文献， 这里仅列举其中的一部分。m e r t o n 3 7 , 3 s l 和s a m u l e s o n l 4 0 1 构造了多阶段模型的一个 可参考的框架，c h e n ，i o n 和z i o n t s 4 1 j 改进了s m i t h 提出的模型并将其推广到多 阶段，还把这一模型与m o s s i n 3 9 】的模型进行了比较。h a l 【柚s n f 4 2 1 给出了多阶段 的均值方差分析，相关的工作还有e l t o n 和g r u b e r l 4 3 彤l ，d u m a s 和l u e i a n o 4 5 1 ， g r a u e r 和h i k i n s s o n l 4 6 1 等。最近，z h o u 和u 【4 7 1 在连续时间下，l i 和n 叠柏1 在离散 时间下把m a r k o w i t z 在单阶段的投资组合模型推广到多阶段均值方差模型并得 到了有效前沿，l i ，z h o u 和l i m l 4 9 1 讨论了卖空限制下的动态投资组合模型。 研究多阶段投资组合问题的另一种思路是序贯决策方法，这方面的工作有： c o v e t t s o j ，o r d e n t l i e h 5 1 】和w a r m u t h 5 2 1 等人以终端财富的增长倍数最大化为目标提 出了一种泛证券投资组合选择模型( u n i v e r s a lp o r t f o l i o ) 。 3 摩擦市场下的投资组合的研究 如何在摩擦市场条件下研究投资组合问题，这成为很多学者研究的一个热 点，在这方面的研究成果有：k 咖0 1 1 6 】等人讨论了m a d 投资优化模型在交易 费下的情况，p e r o l d 【1 6 1 ，a k i a 1 7 1 ，等人讨论了存在税收，红利和交易费是v 型 函数投资优化模型和求解算法。我国学者在这方面的成就有刘海龙，孙良，潘 德惠l 关于具有固定交易费用的证券投资决策问题讨论，胡证国，李楚霖【矧 2 武汉理工大学硕士学位论文 的考虑交易费用的证券组合投资问题的研究，刘善存，邱菀华，汪寿阳1 3 3 】的带 交易费用的泛证券组合投资策略。 1 3 本文的结构 第一章 主要介绍投资组合的问题提出，研究现状，以及论文结构。 第二章 2 1 介绍经典m a r k o w i t z 投资组合模型，以及一些基本概念( 如交易费，效 用，税率，无风险资产) 。 2 2 建立含v 型交易费经典投资组合模型。 2 3 建立一般摩擦市场条件下的投资组合模型，并对模型进行同解转化，并 用数值进行计算。 2 4 建立一般摩擦市场下的自融资均值一方差模型，并对模型进行同解转 化。 2 5 建立一般摩擦市场下的凸借款成本均值一方差模型，并对模型进行同解 转化。 第三章 3 1 给出均值平均绝对偏差投资组合模型，并与均值一绝对偏差投资组合 模型比较( 发现该模型适合保守投资者) 。 3 2 建立一般摩擦市场条件下的均值平均绝对偏差和均值一绝对偏差投资 组合模型，并比较这两种投资组合模型的有效前沿。 第四章 4 1 在交易费用函数为凹函数时更一般摩擦市场下建立均值平均绝对偏差 和均值一绝对偏差投资组合模型。 4 2 给出了均值平均绝对偏差模型在此条件下的求解方法。 第五章展望 如何求解交易费用为凹函数时摩擦市场经典投资组合模型，如何在与真实市 场更接近的摩擦条件下对投资组合模型进行研究( 包括实证分析) ，如何将摩擦 市场条件下投资组合模型由单阶段推广到多阶段等。 3 武汉理工大学硕士学位论文 第二章摩擦市场条件下的均值一方差模型 2 1 m a r k o w i t z 均值一方差模型 2 1 1 基本概念 1 投资的收益 投资的收益包括现金收入( 分红) 和由证券价格的增值( 或贬值) 所带来的 资本得利( 或损失) 这两部分，现金收入和资本得利表示成初始投资额的一个百 分比，这样，投资收益通常以一个投资额的百分比来表示一个时间周期的收入与 资本得利，收益率表示为： ，w t - w o + d w e 其中表示证券在一个周期期初的价格，m 表示证券在一个周期期末的价格，d 表示证券在这个周期中得到的分红。 对于投资者来说，他在购买证券时，并不知道证券在持有期末确切的收益率， 这是因为在持有期内宏观经济环境，市场因素，股份公司自身经营业绩等都会影 响红利收益及资本得利。因此，持有证券的期末收益率具有不确定性，换句话说， 它是一个随机变量。这样一来，投资者可以用期望收益率作为对投资收益率的预 期值。 若收益率的概率分布为离散型，则收益率的期望值等于各种可能出现的收益 率值与发生的概率的乘积之和，即： e ( r ) 。善档 其中，；为第i 种市场条件下的收益率值，号为第i 种市场条件出现的概率。 若收益率是可能取值于一区间上的连续型随机变量，则收益率的期望值为 e ( ，) 一c ，。p ( r ) d r 其中，伊( 厂) 为收益r 概率密度函数。 一般来说，我们一般用n 个历史周期收益率的样本平均值来f 一专耋估计 4 武汉理工大学硕士学位论文 期望收益率。 2 投资的风险 。 投资的风险用投资收益率的不确定性( 或波动) 来表示，一般来说，收益率 的不确定性越大，其取值的离散程度就越大，描述离散程度最有效的方法采用方 差或标准差。因此，投资收益率的方差或标准差可作为衡量投资的风险的指标。 若收益率的概率分布为离散型时，则方差为： 砉 一刖】2 异 若收益率的概率分布为连续型时，则方差为： 盯2 一c 【一e ( ，) 】2 妒( r ) 咖 方差的平方根就是标准差，显然，方差大则标准差也大。因此，方差和标准 差都可以作为度量投资的风险的指标。 假如认为证券的收益的分布是稳定的，则可以用历史上统计数据来估计方差 或标准差。而且这种估计是有效的和可信赖的。标准差估计的公式为； 岳耋_ ) 2 、而刍i p 7 j 其中c 为第i 个历史周期的收益率。 3 投资组合的收益 设有n 中证券组成的组合，第i 种证券的收益率为o 一1 2 ，疗) ，由n 种 证券构成的组合收益率为。投向证券的资金比例为墨( 善- 1 ) 则组合的期 望收益率为： e 吒) - 薯e g ) 从上式可知，一个组合的期望收益率是它的成份证券期望收益率加权平均。 当投资者希望获得高的收益时，就应该为组合选择期望收益率高的证券，然而事 实并非如此，因为投资者还须考虑这些证券组合后的投资风险，投资者就是在不 断在寻求收益率最大化和风险最小化二者的平衡。 5 武汉理工大学硕士学位论文 4 投资组合的风险 投资风险通常用收益率的方差或标准差来衡量，以此来反映收益率偏离其均 值的程度。根据以上的条件，我们可以计算出n 种证券组合的风险。 组合的方差：露= e 【r ，一e ( r ，) 】2 _ e 塞薯以一e “) ) 】 = 善n 五e n e g ) r + 妻毫j 卢k e g ) 】h 一砘) 】 2 荟群彳+ 善五荟善，嘞 2 善毛荟_ 嘞 组合的标准差：q = 其中当f j ，嘞- e 一e n ) n e q ) 】称为证券i 和证券j 的协方差 协方差是衡量两种证券收益率的同向性，即同动程度的指标。若两种证券对 市场上条件的变动，其收益率表现为同向性( 同增或同减) ，那么，它们的协方差 就是正值，否则就为负。关于协方差的估计，我们可以利用n 个历史周期数据， 估算的公式为： 嘞。专善k e ( ) 】n e 奶) 】 其中，珞和h 分别表示证券i 和j 在第t 个周期的收益，e 也) 和e ( 0 ) 分别是证券 i 和j 在n 个周期的期望收益。 另外，我们记矩阵 z _ o 1 o - 2 1 d i l0 1 2 称为投资组合的方差一协方差矩阵。 组合的方差由其成份的方差加权平均和成份证券各自协方差和所占组合比 6 吒； 武汉理工大学硕士学位论文 例乘积的和，只要知道组合中n 种证券的方差一协方差矩阵以及在组合中比例， 就可以直接计算出组合的方差。如果组合中n 种证券对收益的随机事件的反映不 尽相同，那中n 种证券收益的部分波动相互抵消了，从而减少了组合的风险。 5 证券的相关性 在统计学中常用相关系数来反映随机变量之间的相关性，即变动的趋向性 o l 岛- 上 a p j 其中风表示证券i 和j 的收益率之间的相关系数，它在1 和+ 1 之间取值。 p 。+ l 说明证券的收益率是完全正相关的，p 一1 说明证券的收益率是完 全负相关的，p - 0 说明证券的收益率是完全不相关的。 正相关证券投资组合的标准差是其成份证券标准差的加权平均，即这种组合 只能实现成份证券风险的平均化。 由负相关证券组成投资组合，成份证券的风险能够部分或者全部抵消，因此， 在投资组合中，应该尽量选择负相关的证券，这样可以在给定收益率条件下，尽 量减小风险。 将不相关的证券进行组合，结果可以显著的降低投资组合的风险，当组合中 有足够多的证券时，风险会趋向入零，这就是通常所说的保险原理。 6 效用函数 在经济学中，效用定义为精神满足感与财富之间的关系，在投资分析中，是 用来描述不同的投资者为什么选择不同的投资对象，以尽可能增强其精神满足感 的概念，换句话说，效用是一种衡量精神收益的尺度。所以，效用可以简单定义 为一种投资给投资者带来的满足程度。 投资者在进行投资活动的基本目的就是要使其个人满足感最大化，即效用函 数u 最大化。由于投资活动中存在很多不确定性因素，所以，我们认为投资者 在投资活动一般遵循期望效用最大化原则，用公式表示为： e w ) - ，( e ( r ) ，盯) 7 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 2 原始的m a r k o w i t z 均值一方差模型 m a r k o w i t z 认为，理性的投资者总是在寻求这样的投资组合( 畸，x 2 ，毛) ，它 满足在投资组合风险一定的条件下，收益最大。即： m a x r 7 z s l t t - x j c r o 善为- 1 墨之o , i - 1 , 2 ，l ，厅 或者在满足收益一定水平，；下，使投资组合风险的风险最小，即： m i nx 7 t a j j ，x - r o 善为- 1 再2 0 , i - l 2 , ，疗 其中向量z 一( 五，而，毛) r 表示投资策略，r 一( ，r 2 , - - - , ，：) 7 表示n 种证券的收益 率，x 7 盟表示投资组合的风险。 2 2 含v 型交易费用的均值_ 方差模型 2 2 1v 型交易费用函数。 假定现在有一个1 1 种证券所组成的投资组合，在投资者进行投资决策前，投 资者对第i 种证券的持有量为砰，投资者执行决策后，投资者对每种证券的持有 量为薯( i - 1 , 2 , ，押) 。 投资者在执行投资决策过程当中，需要对n 种证券进行买进或者卖出，调整 它们在投资组合中的比例。无论是买进或者是卖出资产都要支付交易费用( 对第 i 种资产，我们假定其交易费用q - k , k 一秽i ，其中t 为单位风险资本f 的交易费 用) 。而且交易金额越大交易费用越高，我们一般认为交易费用函数呈现v 字型， 图2 2 1 显示的是交易费用率为常数的v 型交易成本函数： 8 武汉理工大学硕士学位论文 j q 。 r o z 葺 图2 2 1v 型交易成本 2 2 2 含v 型交易费用的均值方差模型 在给定风险水平下，含v 型交易费用函数均值一方差模型为： 一r r x z 屯k 一# 3 l x l t x z - 1 五o , i - 1 , 2 , l ，以 其中t 为单位风险资本f 的交易费用( i 一1 ，2 ，栉) ，# 表示投资者在开始时所拥 有资产i 的数量。 2 3 一般摩擦市场下的均值一方差模型 由于在现实资本市场中，除了交易费用以外，还存在税收，红利等摩擦，已 有的研究表明，忽略这些摩擦条件，将导致无效的投资组合。因此，本节在以期 望效用最大化原则上建立摩擦市场条件下的投资组合模型，并对模型进行求解。 2 3 1 模型的建立 考虑这样一个摩擦资本市场，在市场中有1 1 种风险资产c ( 其收益率为随 机变量r ) 和一种无风险资产e 。( 其收益率为常数，：l + 。) 。x 一( 五，而，毛，+ 。) 9 武汉理工大学硕士学位论文 是一个投资策略，x ；表示投资在资产f 的数量，记x 。一( 冀，0 ，也) ，# 表示 投资者在开始时所拥有资产i 的数量。我们假定有买空及借贷限制，即x 。苫0 i 1 ，2 ，玎+ 1 。 市场有摩擦存在使得投资者在交易过程中需考虑税收( 包括资本所得税和基 本收入税) ，红利和交易费用。记， 为资本所得税，t o 为基本收入税； t 为风险资本f 的红利率( 等于红利除以期初价格，) ( i - 1 , 2 , ，n + 1 ) ； t 为单位风险资本f 的交易费用o - 1 2 ，n ) ； 因此我们可得到，投资组合的资本收入为：而足。 投资组合的基本收入为。善而吐+ n “。 投资组合的除去税收和交易费用的净收入为： ( 1 - t o ) 【妻喀+ “】+ ( 一) 砉薯墨一蹇毛i 玉一砰i = 善n + l 鼍蜃一荟n 也k 一# l 其中耳- ( i t 。) 吐+ ( 1 一o ) 墨为风险资产i 的税后收益率，其期望值 亏一( 1 一f o ) d ；+ ( 1 一气) ( i - 1 , 2 , ，肛) 。 瓦。- ( t 一) 。是无风险资产的税后收益率，其期望值亏+ 。一( 1 一f o ) 投资组合的除去税收和交易费用的净收入的方差( 即投资组合的风险) 为： 砟一e 【薯t 豆一妻t i 鼍一f i e ( 萋蜃一耋t k 一# 1 ) 】 - e 【薯薯蜃一e ( 薯玉豆) 】2 一e 毫而乓一e ( 妻五豆) 】2 - l - t , ) 2 砉薯套硼 武汉理工大学硕士学位论文 其中嘞为证券i 和证券j 的协方差。 我们在这里假定期望效用函数为e u r p 一丢k 露，其中表示投资组合的期 望收益率k 为常数，且k 2 0 。 因此，摩擦市场条件下的期望效用最大化原则的均值一方差模型为： 一一耋岛i 薯一讣却一) 2 塞五薹_ 咱 豇荟而- 1 n 为o , i 一1 ，2 ，以+ 1 该模型两个约束条件分别表示资金全部都分配到风险资产和无风险资产以 及在投资过程当中限制买空和借贷资金。 2 3 2 模型的求解 考虑 m a x 蓍n + l 五百一x 三1 k ( ，一) 2 塞妻z ，嘞 豇善而 ( 2 ) 艺电i 薯一# 卜 葺o , i 1 ，2 ，l ，厅+ 2 模型( 1 ) 与模型( 2 ) 等价，即以f 定理成立。 定理1 如果( ，+ 。) 是模型( 1 ) 的最优解，则存在+ z 一砉毛k 一# f ， 使得( i ，z ，。+ ：) 是模型( 2 ) 的最优解。同理如果( i ，五，。+ ：) 是模型 ( 2 ) 的最优解，那么( i ，+ 。) 是模型( 1 ) 的最优解。 证明： 如果( i ，+ 。) 是模型( 1 ) 的最优解，显然( i ，z 。z + ：) 是模型( 2 ) 的一个可行解，其中+ ：。意也k 一# l 。 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 如果( ，z ，。) 不是模型( 2 ) 的最优解，则存在模型( 2 ) 的可行解 ( 亏，乏，亏) 使得： 薹夏i 一夏+ ：一i 1 k ( t 一) 2 塞毛骞z - 霎i i 一+ ：一三k ( ，一) 2 妻骞工，嘞 又因为夏+ ：之砉毛k 一# i ，所以。 萋亏i 一妻t k 一# i j 1 k ( 一) 2 耋五荔n 茗，嘞 善n + l i 丐一耋也k 一圳一i 1 k ( t 一) 2 塞五套_ 嘞 这与假设( i ，。) 是模型( 1 ) 的最优解矛盾。充分性得证。 如果( ，x i ，。+ ：) 是模型( 2 ) 的一个最优解，显然( i ，+ 。) 是模型 【l j 刖j 仃胼。 如果( i ，+ 。) 不是模型( 1 ) 的最优解，则存在模型( 1 ) 的一个可行解 ( 墨，夏，夏) ，使得 善n + l 夏i 一骞t k 一# i 一丢k ( t 一。) 2 砉而。x f o 蓍n + l i 丐一骞向k x ：l 一吾k ( t 一) 2 砉毛毫_ 嘞 定义瓦+ z - 砉毛k 一砰i 且注意到+ ：2 砉与k 一# | o 则： 霪i i 一夏+ ：一i 1 k ( t 一) 2 妻五薹善，q 薹i i 一+ ：一i 1 k ( 一f 1 ) 2 砉五再n _ 这与假设k ，z 。z + ：) 是模型( 2 ) 的最优解矛盾。 定理得证。 我们引入变量吖_ 垃二兰掣，布i 照二型2 蔓二盟 i - 1 , 2 , - - , n 武汉理工大学硕士学位论文 易镪：d ：+ d ；一b i 一遗d ：一d i x 。- g 。a d ：d ：一q ，d ：急o ，d ：o 。 m 积萋t i - x 2 - ( - 一t e ) 2 塞而毫_ 豇z 而- 1 窆与( 冒+ 酊) s 毛+ ： d ：一d ；- x t 一 d ：d i 一0 d ：2 0 ，d ；2 0 , i - 1 , 2 , l ，n 五芑o , i - 1 2 ，l ，n ，1 + 2 定理2 如果( i ，墨，。，z + ：) 是模型( 2 ) 的最优解，则存在吖，d 7 。使得 ( ，工：，。z 。露，酊) 是模型( 3 ) 一个最优解； 反之，如果 ( i ，# 。彤，酊) 是模型( 3 ) 的一个最优解，则我们可知道 i ，z t q9 。z + ：) 是模型( 2 ) 的一个最优解。 我们可以用证明定理1 的方法来证明定理2 ，所以我们在这里不需再累赘。 定理3 如果( ，五，z 。吖，d f - ) 是模型( 4 ) 的最优解，则存在吖d i ， 使得( ，。吖，d i l 是模型( 3 ) 的最优解，另一方面，如果 i ，墨，。，。吖，d i ) 是模型( 3 ) 的最优解，则它也是模型( 4 ) 的最优解 m 缸薹薯i 一+ ：一i i k ( ，一) 2 砉薯套一嘞 盯葛而- 1 妻毛( 露+ 酊) 墨毛+ ： d ：一d ；一x t - g 露0 ，d i o , i - 1 ，2 ，珂 鼍o , i - 1 2 ，n + 2 武汉理工大学硕士学位论文 证明：设( ，z ，z 。群，酊) 是模型( 4 ) 的最优解，假定一个指标集i ， 对于它中任意元素i ，有吖d 之o 。 任取f ，如果吖，酊定义吖- d ；一酊，酊- 0 ；如果酊，吖定义 d i d ；一d ：，d ：- 0 对任意f 隹，定义d ? - 吖，酊- 町，则( i ，五，z 。，町) 是模型 ( 3 ) 的一个可行解 如果( # ，z ，z 。，z 。d ? ，d i ) 不是模型( 3 ) 的最优解，则存在模型( 3 ) 的一 个可行解( 毛，屯，。毛。d ? ，酊) 满足： 薹而i 一+ ：一吾k ( ，一) 2 妻而套z ，嘞 ，萋靠毛z 一却一。) 2 砉而套_ 又因为( 墨，屯，毛。，七) 是模型( 4 ) 的一个可行解，因此可得 萋i i 一+ ：一三k ( ，一。) 2 骞薯套工，嘞 ，薯毛i 一_ + ：一丢k ( 一r 。) 2 耋薯骞z ， 得出矛盾，即可知k ，z 。群，酊7 ) 是模型( 3 ) 的最优解。 如果( ，z ，茸。z 。，酊) 是模型( 3 ) 的最优解， 则 ( ，z ，。z 。茚，町) 也是模型( 4 ) 的可行解。若( ，五，。茸。吖，酊7 ) 不是模型( 4 ) 的最优解，必存在模型( 4 ) 的可行解( _ ，屯，。吖，町) ，满足： 萋五丐一毛+ ：一丢k ( ，一) 2 砉而套工，嘞 ，- 羹z i z + ：一三k ( ，一) 2 蠢毛羹_ 由以上证明可以知道，存在满足一定条件的，耳7 ，使得 ( 墨，屯，毛。，七) 是模型( 3 ) 的可行解，由于( # ，五，。吖7 ，d i ) 是 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 模型( 3 ) 的最优解得： 薯搬t ：一i 1 k ( - 一) 2 砉而套_ 吩 ，薹薯i 一+ z i 1 k ( - 一) 2 耄薯毫_ 嘞 得出矛盾，即l ，五，。吖，e l ： 也是模型( 4 ) 的最优解。 定理得证。 通过上述一系列等价变换，我们将模型( 1 ) 转换成单目标线性规划的模型( 4 ) ， 对于模型( 4 ) 的求解计算，我们一般利用一些求解线性规划的数学软件如l i n g o 和i l j n d o 来进行计算即可。 下面给出一个数值例子来验证这四种模型的等价性。 n - 3 , t s 一0 ，k o 6 ，毛。屯一屯- 0 0 0 5 ，i 一0 2 5 ，巧- 0 2 0 ，巧一o 1 8 ，i 一0 1 0 f 0 2 5 o 1 0 0 1 7 # - 霹- 霹- 0 , 0 - l o 1 0 0 2 1 0 0 5 i 【o 1 7 0 0 5 o “j 在l i n 9 0 8 0 上分别对这四种模型进行测试，所得结果如表2 - 3 - 卜- 2 3 - 4 表2 3 1 v a r i 脚，1 ev l u er e d u c e dc 0 5 t x 10 7 4 3 5 8 9 70 0 0 0 0 0 0 】臣o 2 5 6 q 1 0 3d 0 0 0 0 0 0 】o 0 0 0 0 0 0o 1 6 6 1 s 3 b t 一0 1 】h0 0 0 0 0 0 00 1 8 0 7 6 9 2 e - 0 1 表2 3 2 v a r i a b l ev l u er e d u c e dc o s t x 10 7 辱3 5 日9 7 0 0 0 0 0 0 0 x z0 2 s 6 q 1 0 30 0 0 0 0 0 0 x 3 0 0 0 0 0 0 00 1 6 6 1 5 3 e e - 0 1 x q0 0 0 0 0 0 00 1 8 0 7 6 9 2 e 一0 1 x so 5 0 0 0 0 0 0 t 一0 2o o 0 0 0 0 0 表2 3 3 武汉理工大学硕士学位论文 v j 暖i 曲l ev t l u er e d u c e dc o s t x 1o 7 3 5 8 9 70 0 0 0 0 0 0 】20 2 5 6 4 1 0 30 0 0 0 0 0 0 j 0 0 0 0 0 0 00 1 6 6 1 5 3 8 e 一0 l z 40 0 0 0 0 0 0o 1 8 0 7 6 9 z e 0 1 x 50 s 0 0 0 0 0 0 e 0 20 0 0 0 0 0 0 d 1 p0 1 4 3 5 8 9 7o o 0 0 0 d 2 p0 2 5 6 4 1 0 30 0 0 0 0 0 0 d 3 p0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 9 - 0 1 d l 矗0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 d 2 矗0 o o o 0 0 00 0 0 0 0 0 0 d 3 矗 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 表2 3 4 、r r i a 由ev l u er e d u c e dc 0 8 t x lo 7 4 3 5 e 9 7o 0 0 0 0 0 0 x zo 2 5 6 4 1 0 30 0 0 0 0 0 0 x 30 0 0 0 0 0 00 1 6 6 1 5 3 8 z o l 】ho ，0 0 0 0 0 00 1 8 0 7 6 9 z e 一0 l z s0 5 0 0 0 0 0 0 e 一0 20 0 0 0 0 0 0 d 1 p0 4 3 5 8 9 7o 0 0 0 0 0 0 d 2 po 2 5 6 1 d 3o 0 0 0 0 0 0 d 3 po 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 o e 一0 1 d l 五0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 z - 0 1 d 2 互o 0 0 0 0 0 0o 1 0 0 0 0 0 0 e - 0 1 d 3 墨0 0 0 0 0 0 00 o 0 0 0 0 0 从表2 3 1 2 3 4 可以看出四种模型最优投资组合比例为( q 能嘲叼凹话n c e l d ，说 明这四种模型是等价的。 对于模型( 1 ) 、( 2 ) 的目标函数或约束条件里含有绝对值，对于大型的投资 组合问题，经典的优化方法难于处理此类不光滑的问题，相比之下模型( 3 ) 、( 4 ) 光滑性更好，模型( 4 ) 在模型( 3 ) 的基础上去掉了部分约束，因此比模型( 3 ) 更简单，更易于求解。 2 4 一般摩擦市场下的自融资均值一方差模型 自融资投资组合是净投资为零的投资组合。我们仍考虑一个与2 3 节相同的 摩擦资本市场，在市场中有n 种风险资产q 和一种无风险资产q 。 x o - ( 冀，x o ，0 + 。) ，秽表示投资者在开始时资产f 的比例并且# 苫o ，用葺表 示第f 种资产比例的改变量f - 1 , 2 , ，n ，n + l 。我们假定没有卖空限制，即对于任 意的资产i ，砰+ 而50 是可行的。这样，我们建立如下的摩擦市场下的自融资均 值一方差模型： 武汉理工大学硕士学位论文 一智、。* jx 。o + 墨) i 一荟t k i m 缸( ，一。) 2 妻( # + 而) 套( z ，0 + 工，) 嘞 豇z 五一o 墨，f _ 1 ，2 ，l ，一，n + 1 其中豆- o - , o ) d , + ( 1 一o ) r 为风险资产i 的税后收益率，其期望值 i - ( 1 一t o ) d ，+ ( 1 - t s ) r l ( i - l 2 , ，雄) ，恧。- ( 1 - t o ) r + ，是无风险资产的税后收益 率，其期望值瓦+ 。- ( 1 一f 0 ) 吒，q 分别表示第i 种资产比例的改变量上下界， 它们的值由投资者在科学决策基础上确定。 这是一个双目标优化问题，投资者一致希望收益能最大化，同时有希望所承 担的风险最小。 为了求解模型( 5 ) ，我们将其转化为一个单目标优化问题。 取0 s a s l ，我们得模型( 6 ) m 强a 薯( # + 而) 亏一羹南k i 一( ，一a ) ( 一) 2 耋( # + 五) 套( z ，o + _ ) 豇蓍毛- 0 s 薯s u i , i - 1 , 2 ，l ，n ，n + 1 显然，模型( 5 ) 的最优解等价于模型( 6 ) 的最优解，所以，我们只考虑求解模 型( 6 ) 即可。 我们在这里可以将a 理解为投资者的风险偏好因子，a 值越大，表明投资者 越厌恶风险。反之，j ；l 值越小，表明投资者越偏好风险。 善( f + 而) 丐。善玉i + 善# i 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 耄( # + 毛) 薯( 工，0 + _ ) 。善毛善工，+ 善五荟z 7 + 善# 荟x ，嘞+ 善# 荟工概 _ 善毛荟工，吩+ 善# 荟工觏 因此，我们就可以将模型( 6 ) 转化为以下的模型( 7 ) ： 一a 黔一砉也k 卅f 1 ) 2 砉套确 n 善墨- 0 而u t , i