（应用数学专业论文）一类奇异椭圆方程解的存在性.pdf

西南大学硕士学位论文 中文摘要 一类奇异椭圆方程解的存在性牛 学科专业：应用数学 指导教师：吴行平教授 研究方向：非线性分析 研究生：廖家锋( s 2 0 0 5 0 9 6 6 ) 摘要 本文首先考虑奇异半线性椭圆问题 一u = u 一7 + 9 ，u ) ， t 正 o z q z q 。 lu = o ， z a s 2 ， 其中，qcr ( 23 ) 是具有光滑边界a q 的有界区域，y o 是一个正常 数，g ：q r _ r 是一个c 0 7 n t 膨d d d r 3 ，函数，即：对任意的s r ，g ( z ，s ) 关 于z 是可测的；对几乎所有的z q ，夕( z ，s ) 关于s 是连续的我们的具体做法 是利用变分方法和极小作用原理 主要结果如下： 定理l 假设函数夕( z ，s ) 满足如下条件； ( m ) 存在两个函数o l 袅( q ) 和6 厶鸶( q ) 满足 i 夕( z ，占) f 口( z ) + 6 ( z ) i 占i ， 对一切的s r 和几乎所有的z q 成立， 渤) 存在一个正常数m ，使得 1 i m 旦! 竺! 型：仇 5 + + o os 对几乎所有的z q 成立 如果m a 1 ，那么问题( 1 ) 在c ) n ( n 嘧( q ) ) 中有个解存在，其 1 p o ， 霉q ，( 2 ) l 【u = o ， z a q ， 这里，qcr ( 1 ) 是一个有界区域并且具有c 2 佃边界a q ，7 、a 和p 是 三个非负常数，七是定义在q 上的非负函数，其中o a 1 本文利用上下解 原理得到问题( 2 ) 正解的存在性 定理3 设函数詹c ( q ) nc ) 并且后( z ) o 且七o 如果o ，y l 、 o o 和p o ，问题( 2 ) 在c 2 ( q ) ng ( 囝中没有解存在 最后，本文利用上下解原理考虑了比问题( 2 ) 更一般的椭圆问题 一“+ 七( z ) ，( 牡) = a 扩， 珏 0 u = o z q z q z a q 其中，qc 冗( 1 ) 是有界区域并且具有c 2 + q 边界a q ，a 和p 是两个非负 常数，七是定义在q 上的非负函数，是定义在( o ，+ 。) 上的非负的、非增的函 数 i i 西南大学硕士学位论文 中文摘要 主要结果如下 定理5 设函数七( q ) ng ( 国并且老( 。) o 且是o ，o 尹 1 假设 函数，( o ，o o ) 且满足 ( ) ，( s ) d s o ，问题( 3 ) 在c 2 ( q ) ng ( 孬) 中没有解存在 关键词：奇异椭圆方程；极小作用原理；临界点；变分方法；上下解原理 i i i 西南大学硕士学位论文英文摘要 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rac l a s so fs i n g u l a r e l l i p t i ce q u a t i o n s 1 m a j o ria p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ： n o l i n e a ra n a i y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f w ux i n g - p i n g a u t h o r ：l i a oj i a f e n g ( s 2 0 0 5 0 9 6 6 ) a b s t r a c t ht h i sp a p e r ，f i r 8 t l y w ec o n 8 i d e rt h ef o l l 鲫i n gs i n g u l 甜s e m n i n e a re l l i p t i cp r o b l e m 三三三_“一7+g(z钍) i nq ， i nq ， i n 踟， ( 1 ) w h e r eqc 兄( 3 ) i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d 竹ya q ，yi sap o s n i v e c o n s t a n t ，夕：q 忍_ r 主sac a r a t h 6 0 d o vf u n c t i o n ，t h a ti s ，夕( z ，s ) i sm e a s u r a b l ei n zf o re v e 巧s ra n dc o n t m u o u si nsf o ra e z q t h ep r o o fi sd o n eb yu s i n gt h e 、御i a t i o n a lm e t h o da n dt h el e a u s ta c t i o np r i n c i p l e t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n gt h e o r e m 8 t h e o r e mls u p p o s e9 ( z ，s ) s a t i s 6 e st h ef o l l o w 蛔gc o n d i t i o n s ( 吼) t h e r ee x i 8 tt w of u n c t i o i l 8 口l 箍( q ) a n db l 号( q ) s u c ht h a t 1 9 ( z ，s ) ls 口( z ) + 6 ( z ) l s l f b ra e z qa n de v e r ys r ( 眈) t h e r ee ) ( i s t sm rs u c ht h a t l i i n 趔：m s + o os f 研a e z q a 龉啪e t h a tm a 1 ，t h e np r o b l e m ( 1 ) h 嬲a s 0 1 u t i o ni nc ( 砭) n ( nw 翟( q ) ) ， l p w h e r e 入1d e n o t e 8t h ea r s te i g e n 、协【u eo ft h eo p e r a t o r 一w i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e t c o n d i t i o n 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t l l r ms c i f o u n 妣i o no fq i i n a ( n o 1 0 7 7 n 7 3 ) t h e o r e m2a 潞眦et h a t 夕 ，s ) s a t i s 丑船( 夕1 ) i i lt h e o r e m1 觚dt h ef o l l o w i z l g a 8 s u m p t i o n ( 9 3 ) t h e r ee x i 8 tap o s i t i v em e 弱u r a b l e te 王nqa n daf u n c t i o n l 1 ( q ) s u c ht h a t ( t ) g ( 刚) 一三小2 一一o o ， 弱i s i _ 。of o ra e o e ， ( 积) g ( z ，s ) 一去入1 s 2 危( 。) ， f o ra l ls ra n da e z q ，w h e r eg ( z ，s ) = 劈9 ( z ，t ) 蹴，t h e nt h ec o n c l u s i o no f t h e o r e mla l s oh o l d sf o rp r o b l e m ( 1 ) n e 斌，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o 璐f b rt h ef o n o w i n gs i l l g u l a re h i p t i ce q u a t i o n 三三三_七zu一一2a驴三兰， ( 2 ) w h e r eqc 冗( 1 ) i 8ab o u n d e dd o m a i nw i t hc 2 + 口b o u n d a u r yf o rs o m e 口( o ，1 ) ， 入，7a n dpa r et h r e ep o s i 乞i v ec o n s t a n t s ，七i san o n n e g a 七i v ef h n c t i o ni nq w bp r o v et h e e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 2 ) u s i n gt h es u b s u p e r s o l u t i o nm e t h o d t h em a 扭r e s u l t sa r et h ef o u o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m3 s u p p 0 6 e 七( 该( q ) nc ( 孬) ，后oa n d 后o a 鹃u m et h a t o7la n do oi i l 丽i f y l ，p r o b l e m ( 2 ) h a sn os o l u t i o ni 1 1c 2 ( q ) nc ( 砭) f o ra l la o a n dp o a “粥t ，、阳c o n s i d e ram o r eg e n e r 以p r o b l e mt h a np r o b l e m ( 2 ) b yt h e8 u b _ 8 u p e r s o l u t i o n v 西南大学硕士学位论文英文摘要 m e t h o d w bs t u d yt h ef o u 钾，i n gp r o b l e m 三三三_七缸)，(t)=入妒， i l lq ， i i lq ， o na q ( 3 ) w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni 1 1r ( 1 ) w i t hc 2 + nb o u n d a z y ，aa n dpa r et 、 ，0p 0 8 i t i v ep 缸a m e t e r s ，七i sn o n n e g a t i v ef u n c t i o ni i lq ，i san o n n e g a t i v ea n dn o n i n c r e a s i l l g f u n c t i o ni n ( o ，+ o o ) 。 t h em a i nr 骼u l t sa 托t h ef o u o 丽n gt h e o 舱m s t h e o r e m5s u p p o s e 忌( 该( q ) nc ( 孬) ，oa n d 后o ，o p 1 a 船8 u m e t h a t ，c ( o ，。) 8 a t i 8 丘e st h e 五国o w i n ga s s u m p t i 孤s ( ) ，( s ) 幽 oi n 孬i f ，c ( o ，。o ) s a t i s l i e st h ef o l l a w i n gc o r l d i t i o n ( ，3 ) ，( s ) d s = + o o ， p r o b l e m ( 3 ) h a sn os o l u t i o ni nc 2 ( q ) n c ( 孬) f b r 甜la oa n dp o k e y w o r d s ：s i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n ；l e 鹪ta c t i o np r i i i c i p l e ；c r i t i c 虹p o i n t ； 、，a 匹i a t i o n a lm e t h o d ；s u b s u p e r s o l u t i o nm e t h o d 学位论文题目： 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：再蒙铎 签字日期： 扫。墨年午月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ， ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：呵不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位敝懈鲐寥解 签字日期：西略年午月习日 导师签名：象衍平 签字日期：励吕年中月文多日 西南大学硕士学位论文第1 章引言与文献综述 第l 章引言与文献综述 1 1 引言 各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛重视非线性分析已经成为 现代数学中的重要研究方向之一常用来研究非线性问题的方法主要有：变分方 法，半序方法，拓扑度方法，它们是处理非线性问题的重要和有力工具在处理应 用学科提出的各种非线性积分方程、偏微分方程问题中发挥着不可替代的作用 变分法足一种将自然界中的人量问题( 称为变分问题) 归结为某个泛函在一 定条件下的极值问题或临界点问题的方法，其中极值问题和条件极值问题是变分 原理中最简单又最基本的问题而临界点问题是极值问题的进步发展，它主要 研究泛函临界点的存在性与多重性以及临界点附近的拓扑性质近年来变分原 理在数学、经济管理、优化与控制理论和经典力学等各个不同的领域都得到了广 泛的应用，并取得了许多有重大意义的成果。上下解方法是半序方法系统的应用 于b n 佗n c 空间上的非线性积分方程、微分方程的重要成果，它直接通过比较的 方法来求解方程。它解决了在理论上和应用中出现的许多缺乏紧性或缺乏连续性 的非线性问题，如：无穷维空间中的微分方程和积分方程，无界区域上的各种方 程人都不具有紧性；而与脉冲、突变、断裂等问题相联系的方程人都不具有连续 性。拓扑度是- 个与映射，和区域q 有关的整值函数，它表示，在q 内部的零 点的某种“代数个数”，并且这个“代数个数”具有一些基本性质，如区域可加 性、同伦不变性以及当这个“代数个数”不为零时，在q 内必有零点等拓扑 度方法就利用这些性质来导如非线性方程解的存在性、多解性，在物理、力学、 偏微分方程等学科中得到广泛应用。 ( 参见文献【3 4 】和【3 6 】) 奇异椭圆方程起源予各种应用学科中，例如：核物理、气体动力学、流体力 学、边界层理论以及非线性光学等由于应用学科的需要，从上世纪七十年代后 期奇异椭圆方程就开始受到人们的关注正足奇异产生的困难，我们常用来解决 一般的微分方程的方法犬都很难直接应用，这就逐渐激起许多科研工作者的兴 趣在近j 十多年的研究中，无论是有界区域还足无界区域上的奇异椭圆问题正 解的存在性和非存在性都出现了精彩的结果由于此类问题起源于应用学科，其 正解的仔在性和非存在性结果都是很有意义的本文分别用变分方法和上下解原 理获得一类奇异椭圆方程正解的存在性结果 西南大学硕士学位论文 第l 章引言与文献综述 考虑如下奇异椭圆边值问题 1 2 文献综述 一t = 乱 0 t 上= 0 ，( z ，牡) ，x q ， x q x a q 这里，q 是r ( 1 ) 中的有界的具有光滑边界的区域，对于切的z q ， 当s o 时，( z ，s ) 有奇异性质这类奇异微分问题起源于各种应用学科中，如 核物理，气体动力学，流体力学，边界层理论以及非线性光学等。 早在1 9 7 7 年，c r a n d 2 l l l ，勋b i n n o w i t z 和t a r t e r 在文献c 5 l 中运用上下解方法 就得到该问题经典解的存在性。随后，c o c l i t e 和p a h n i e r i 在文献【4 】中将文献【5 】 的结果进一步拓展从那以后，奇异椭圆问题的研究开始逐渐深受科研工作者的 关注然而，由于奇异产生的困难，直到上世纪末，大量的1 二作是围绕在，( z ，s ) = 后( z ) s 一1 ( 7 o ) 展开讨论的，当惫( z ) 和7 满足一定条件时，无论足在有界区域 上还是无界区域上，都出现了精彩的结果，如文献7 】【9 】f 1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 】【1 7 】【2 4 】【2 5 】 等，近十年来，人们突破奇异产生的困难研究了具有更般奇异项的椭圆问题，以 及有次线性项和奇异项，超线性项和奇异项共同作用的奇异椭圆方程，参见文献 【1 1 【2 】【6 】【8 】f l o 】【1 8 】【1 9 】【2 0 】f 2 1 】f 2 2 】【2 7 】【2 8 】f 2 9 】【3 0 】【3 1 】【3 2 】 3 3 1 。由于奇异产生的困难，奇异 椭圆方程对应的泛函是不具备连续性的在以往的众多工作中，人们大多是运用 上下解原理来得到奇异椭圆问题正解的存在性，如文献【2 7 】【2 8 】 2 9 】 3 0 】 3 l 】【3 2 】【3 3 】 等及其参考文献。近年来一些工作者开始尝试运用变分方法去研究奇异椭圆问 题，如文献【l 】【2 】 2 0 】【2 1 】【2 2 】等特别地， c a n i n o 和d e g i o v a n t 在文献【1 】运用变 分方法来解决了一类奇异椭圆问题为了克服奇异产生的困难，作者f j 重新构造 了一个新的泛函：即为一个凸的且下半连续的泛函与“个c 1 类泛函的和，再通 过变分不等式这个中问桥梁，构建起这个新泛函的极小值点与我们要考虑的奇异 椭圆问题解的关系随后c a n i n o 在文献【2 】中利用这个工具得到了这类问题的多 解性 本文首先运用文献f l 】中的工具变分方法补充了文献【2 】中的结果接 着本文运用上下解原理将以往工作者所研究的一类奇异椭圆问题中奇异项系数 函数作了一个简单的推广，并同样能得到比较好的结果 2 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 为了后文叙述的方便，在这节中简单介绍一些相关的概念和引例 引理2 1 ( f 3 5 】) ( 极小作用原理) 假设x 是一个自反的b o n 口c 空间，：x ru + 。) 并且，+ 。，如果，在x 上是弱下半连续的，则，在x 一定能达 到极小值 引理2 2 ( 【2 3 】) 设x 是一个实b 帆o c 九空间，是x 上的一个函数， ，= 圣+ 里如果西是c 1 ，r ) ，皿：x r u ( + 。 是凸的、下半连续的且雪o ， 则，的局部极小值点也就是j 的临界点其中我们称u x 为j 的临界点，如果 u d ( 皿) 且满足不等式 ( 垂( u ) ，v u ) + 皿( ) 一皿( u ) ob 勺x ， 这里d ( 皿) 表示皿的有效定义域 记入1 为下面特征值问题的第一个特征值 尝? ：茎募， 在q 中妒1 o 是其对应的特征值函数，则妒1 c 2 + 。( 孬) 引理2 3 ( 【1 4 】) 上衍( z ) 如 一1 记e 为如下方程的唯一解 三_ 1 x q x a q 则e c 2 佃( 砭) 且在q 中e o 假设o 0 ，x q ， t = o ，x a q ， 第2 章预备知识 其中qcr 是有界区域且具有光滑的边界a q ，c ( q ( o ，o o ) ) 且关于第 二个变量是连续可微的 、 定义2 1 我们称笪为问题( 4 ) 的一个下解，如果型c 2 ( q ) nc ( 豆) 并满足 一笪，( z ，! 生) ， 墅 o ， ! 曼= 0 ， z q z q 。 z a q 定义2 2 我们称面为问题( 4 ) 的一个上解，如果豇萨( q ) nc ( _ ) 并满足 一豇，( z ，豇) ， 面 0 ， 豇= 0 i nq i nq o na q 根据c 位的文献【6 】的引理3 ，我们很容易得到问题( 4 ) 的经典解的存在性 定理 引理2 5 ( 【6 】) ( 上下解原理) 假设函数，( q ( o ，。o ) ) 且关于第二个变量 是连续可微的如果问题( 4 ) 存在一个上解面和一个下解笪使得 ! 生( z ) 面( z ) ， 对所有的z q 都成立，那么问题( 4 ) 至少存在一个解t g 2 + 口( q ) n c ( 孬) 并且 有不等式 墅( z ) t ( z ) 豇( 茹) ， 在z 丽中都成立 4 西南大学硕士学位论文 第3 章主要结果 第3 章主要结果 3 1 一类奇异半线性椭圆方程解的存在性 本节考虑如下半线性奇异椭圆问题 一t 上= t 一7 + 9 ( z ，t ) ， 缸 0 x q 。 x q ，( 1 ) 【乱= o ， x 抑， 其中，qcr ( 3 ) 是具有光滑边界a q 的有界区域，7 o 是一个正常 数，9 ：q r r 足一个c n r n 聪d d d r 可函数，即。对任意的s r ，9 ( z ，s ) 关 于z 是可测的；对几乎所有的z q ，夕( z ，s ) 关于s 是连续的我们的主要结果 如下： 定理3 1 假设函数夕( z ，s ) 满足如下条件： ( 9 1 ) 存在两个函数n l 燕( q ) 和6 l 暑( q ) 满足 夕( z ，s ) i n ( z ) + 6 ( z ) i s i ， 对一切的s r 和几乎所有的z q 成立， ( 肋) 存在一个正常数m 使得 1 i l i l 幽：赢 掌+ + s 对几乎所有的z q 成立 如果m o 七( z ) t 正一- y = 入t 俨， z q ， z q lu = o ， z a q ， 这里，qcr ( 1 ) 是一个有界区域并且具有c 2 + a 边界a q ，7 、a 和p 是 三个非负常数，舟是定义在q 上的非负函数，其中o a 1 我们主要的结果 如下： 定理3 3 设函数后) n c ( _ ) 并且七( z ) o 且七o 如果o 7 l 、 o o 和p o ，问题( 2 ) 在c 2 ( q ) nc ( 孬) 中都没有解存在 注4 文献【2 7 】中定理2 得到当庇( z ) 三1 时问题c2 解的不存在性，从而我们书 其结果得以推广 接下来我们考虑了比问题( 2 ) 更一般的奇异椭圆问题 一t + 七( z ) ，( t ) = 入t 俨， 0 ， z q ， z q ， lt 2o ， z a s 2 ， 其中，qc 冗( 1 ) 是有界区域并且具有c 2 + 口边界a q ，入和p 是两个非负 常数，膏足定义在q 上的非负函数，是定义在( o ，+ o o ) 上的非负的、非增的函 数我们主要结果如下： 定理3 5 设函数后( q ) nc ( _ ) ，并且在q 中忌( z ) o 且七o ， o p 1 假设函数，( o ，。) 且满足 ) z 1m 汹 o 和p o ，问题( 3 ) 在c 2 ( q ) nc ( 孬) 中都没有解存在 ，= 仁一札_ 颉 吼 其中为任何大于零的常数，z o a q ， d = 出口仇( q ) 全m l z 一! ，i lz ，童，豆】 8 西南大学硕士学位论文 第4 章主要结果的证明 第4 章主要结果的证明 定理3 1 的证明我们利用文献f 1 】中构建的变分方法来证明首先，我们构 造一个新泛函 依据文献【2 1 ，记为讧l ( q ) nc ( q ) 如下问题的唯一解 一“= t 一，y ，x q ， u 0 ，x q ， lu o ， x 执2 ， 其中7 o ，我们说在a q 上t so ，如果钍咄( q ) ， ( u e ) + 嚼，2 ( q ) 这里魄2 ( q ) 是一个赋以范数 = ( 上附出) 。 的s d 6 d z e u 空间，对一切的z q ，( t 一e ) + = m a x 【u e ，o ) 半连续的凸函数，口：冗一ru + 。o ) p c s ，= 二：2 1 蹴 二三二 对一切的 o ，有 我们先定义一个下 g o ( z ，s ) = ( t 0 ( z ) + s ) 一p ( u o ( z ) ) + 占酊1 ( z ) ， 其中，y o 为常数事实上，由p 的二阶导数大予零，很容易得到卢是一个凸函 数我们只需验证p 是一个下半连续的假设p 在r 上不是下半连续的，则存 在一个序列 & ) cr ，使得当礼一o o 时，晶一岛，但 l i m 耐卢( 瓯) p ( 岛) ( 4 ) 由一岛及( 4 ) 式知，存在 【岛 的子列我们不妨仍记为 晶) ，使得 岛_ 岛，n o o ， 1 i m i i l f p ( ) o 由于渤) 条件成立，对上述的，存在一个常数m o ，使得 1 g ( z ，s ) 去( m + 5 ) l s l 2 对几乎所有的z q 和 m 都成立由仇的定义和( 7 ) 式知 g l ( ”) 三( m + s ) l t 0 + s 1 2 l l ( 8 ) 西南大学硕士学位论文第4 章主要结果的证明 对几乎所有的z q 和i s i 都成立，其中= m + i i 咖i l 由条件( 夕1 ) 知 ，暑 g l ( z ，s ) =夕l ( z ，t ) d t ，o = z 1 曲) 础 、 i s i l 夕( z ，t 0 ( 卫) + s 亡) i d t ，0 z 1 | s i 【口 ) + 6 ( 功f 咖 ) + 酬】d t i n ( z ) l 坻+ ) ( z ) l + 圭1 6 ( 圳墙 = 【| n ( z ) l + 1 6 ( z ) ( z ) i + 去i 6 ( z ) l 蜗】 =口1f z ) 对几乎所有的z q 和一切的h 都成立，其中记铆( z ) = a 知f | 口( z ) i + 1 6 ( z ) i l 让。( z ) l + | 6 ( z ) i 】，则口1 l 鹅( q ) 由( 8 ) 式和( 9 ) 式，我们有 g 1 ( z ，s ) 丢( m + ) l t l 0 + s 1 2 + 口l ( z ) ( 1 0 ) 对一切的( z ，s ) q r 成立根据p o i l l c a r 6 不等式，h i j l d e r 不等式和( 1 0 ) 式， 我们有 嘶) = 一三丘g z ( 删) 如 一圭厶( m 删l 蜘刊2 + 口( 圳如 一旦笋 一丢上。c ，如 芝一罨睾m 1 2 一q i l u | i 一旦芳l l 呦旧一q i i 口- j i 耘， 14 n 1 对一切的u 嚼，2 ( q ) 成立，其中c 1 和q 为两个正常数，这里| 1 1 f p 表示妒( q ) 0 o ) 空间的范数从而我们有 ，( u ) 去( 1 一暑一击) f 1 2 a 陋一笋j i 如惦一q f | 口，鹣 对一切的t 耐，2 ( q ) 成立因此证得，在孵2 ( q ) 上是强制的 最后，引理2 1 和引理2 2 知，在魄2 ( q ) 中存在一个临界点，不妨记作 牡。耐，2 ( q ) 根据文献【1 1 中的定理4 1 和推论4 2 以及( 9 1 ) 条件成立，我们得 1 2 西南大学硕士学位论文第4 章主要结果的证明 到让= 乱。+ 如c ( 孬) n ( n 嘧( q ) ) 为问题( 1 ) 的一。个解从而我们完成了定 l s p 理3 1 的证明 定理3 2 的证明定理3 2 的证明与我们定理3 1 的证明类似，我们只需要 证明泛函，在孵2 ( q ) 上是强制的就可以了 对任意的u 略2 ( q ) ，令 ， 面= ( v t v 妒l c b ) 妒l ， 磊：= t 一面， ，n 则有冠e ( a 1 ) ，面e ( a 1 ) 上，其中e ( a 1 ) 为a l 对应的特征空间，e ( a 1 ) 上为e ( a 1 ) 的直交补空间，这里我们令i | 妒1 i i = 1 我们假设，在吲2 ( q ) 上不是强制的，则 存在一个常数c 和序列 u n ) c 蝣，2 ( q ) ，使得当n _ 。o 有 8 | i - + o 。 ，( u n ) c ， ( 1 1 ) 对一切的n 成立由s d 6 d z e t ，7 s 不等式知 去上i v u l 2 出一圭上m 2 如= 圭上l v c 色+ 酬2 如一去上l 面+ 舀1 2 如 之三( ，一劬训2 q ( 1 2 ) 由( 9 3 ) 成立及咖l ( q ) ，则对g 1 ( 。，s ) 同样有：存在一个正测度集e 7cq 和 一个函数l 1 ( q ) 满足 ( t 7 ) 当l s i 一+ o c i ， g l ( z ，s ) 一去入1 s 2 叫一。o ， 对几乎所有的$ 成立， ( 蕾t 7 ) g 1 ( z ，s ) 一去a 1 s 2 7 ( z ) ， 对一切的s 冗和几乎所有的z q 都成立，其中g l ( z ，s ) = 片夕l ( z ，t ) 出因此， 我们有 岛，( ) = 三上i v u n l 2 如+ 丘g 0 ( z ，) 如一上g ( z ，) 如 去上i v u n l 2 如一萼上i 1 2 出一上( z ) 出 圭( ，一等) 悔n | 1 2 一点坝z ) 如， 1 3 西南大学硕士学位论文第4 章主要结果的证明 这就意味着 【缸n 】是有界的令= 1 黼，则i l u n i l = 1 ，记 = 上v v 妒，出， 则有雷竹= 妒l ，i i i i 妒lj | = 1 从而 有子列( 不妨仍记为【) ) 收敛到 口冗由( “) 是的有界性知：孔_ o ，因此，当扎一o 。时，有= + 一n 妒1 且i 口l = l 在嚼，2 ( q ) 中成立从而有 _ 口妒1 当n o 。 在己1 ( q ) 中成立， 这就意味着：( z ) 对几乎所有的z q 依测度收敛到口妒1 由r i e 8 2 7 s 定理知， ( z ) 有一个子列( 不妨仍记为口。( 。) ) 使得 ( 2 ) _ 8 妒1 ( z )当靠一o 。， 对几乎所有的z q 成立因此，当n 一。时对几乎所有的z q 有，i ( z ) l 一 + o 。由l e 6 e s 夕“e f 口t d 让引理及( 1 2 ) 式得 1 眺f ，( ) g 1 1 眺f 厶( g t ( z ，u n ) 一三a u ：) 如一上i ( 删如 _ + o o 。 这与( 1 1 ) 式矛盾。从而我们有：，在嚼，2 ( q ) 上是强制的定理3 。2 证毕 定理3 3 的证明第一步我们用上下解原理证明问题( 2 ) 解的存在性 首先找到问题( 2 ) 的一个上解 设o 0 ，x q ， lu = o ， x a q ， 的一个解，其中o o ，令 面：入南t 。 1 4 塑童盔堂堡主堂垡堡壅! ：! ：= = ：竺垦叁童墼墅童量墼垩里 很容易验证面是问题( 2 ) 的一个上解 然后，找到问题( 2 ) 的一个下解 设m o 为一个正常数，令型：m 妒声，下而我们证明型是问题( 2 ) 的一个 下解由日0 p ，s 极大值原理( 参见文献【1 1 1 ) ，存在6 o 和o o 使得 1 v 妒1 i 之6 ， z s 2 2 ， p 1 最 茹q 7 ， 成立，其中q ，全【z q l 豳t ( z ，a q ) o 】- 对于_ 切的七c ( 孬) ，记i 全 m a x f l 七( z ) ilz 孬) 选取m 舰垒( 心唔铲) 而，则我们有 熹笨妒聋， ( 1 3 ) m 1 咿j + 1 1 l 在z q ，上成立；再选取m 地全( 蟛瞪幕；2 三) 南使得 嵝堑型掣， ( 1 4 ) 百至r 、1 7 j 汀1 妒i 再 ( 1 + ，y ) 2 妒i + 1 在z q q ，中成立因此我们选取m m a x m 1 ，施) ，然后固定m ，让 a a ，全丛晔i l 妒lj l 当孚，由( 1 3 ) 式和( 1 4 ) 武得 一墅+ 詹( z ) 墅一7 ：一m 妒声+ 县 = 一m ( 搿酬2 妒 岛+ 南p # 蛳) + 嚣 = 筹妒丰+ 嚣一掣 s 筹妒声 sa ( 掰妒声) p = 磴 因此，我们证得：对一切的a ，笪：m 妒声是问题( 2 ) 的一个下解依据我 们的引理2 4 ，存在一个正常数c 使得 妒l ( z ) c 札+ ( z ) 在z 孬中成立令a 芝全( m c i | 妒1 | l 矛) ，我们有 l 一1 、l p 瓦= 入南u + 墅= m 妒i + 7 l一 西南大学硕士学位论文 第4 章主要结果的证明 在z q 中成立因此，我们选取入+ = m a x 一r ) ，由上下解原理引理2 5 知， 对于一切的a r ，问题( 2 ) 至少有一个解u a c 2 扣( q ) nc ( 孬) ，并且在z 孬 中满足不等式 笪( z ) s 乱a ( z ) 砭( z ) 第二步证明u j l 1 ( q ) 因为对一切的入之”，有 t 入( z ) f 妒i + 1 ( z ) ( 1 5 ) 在z 丽中成立显然一晶 一l ，因此由( 1 5 ) 式和引理2 3 在，我们得到 小，如上( m 妒声) 一如 5 南以妒，1 + 7 ( 班6 = 一，旧 l z - z 肘7 。，nh 、。 oi 问题( 2 ) 至少有一个解u a ) ， 并令天= i 1 1 f c r ，则弦，+ o 。) c 矿，页久因此我们只需要验证：如果久o 盯，那 么【入o ，+ o o ) c 即假设a 入o ，则问题( 2 ) 至少有一个解我们不妨假设u a 。 为问题( 2 ) 对于入= a o 的一个解显然义寸于每一个固定的入 入o ，u 入。足问题 ( 2 ) 个下解由于对于一切的a o ，瓦= a r 与缸始终都是问题( 2 ) 一个上解 于是对于一切的入 入o ，我们有 入向u ( z )