构造函数在解题中的应用(论文).doc

(论文)构造函数在解题中的应用构造函数在解题中的应用陶华君（河南省中牟县第二高级中学，451450）5 / 5在本刊高中数学教与学2011年第4期第20页有这样一道例题：实数为何值时，不等式对任意恒成立？文中给出的解法是“直接构造”辅助函数，笔者认为两种解法学生都不太容易接受，如能采用22页提到的“构造一对函数”，并借助函数图象，学生理解起来就容易多了下面，笔者就从这道题出发，并结合近几年来的高考题，谈谈构造函数在解题中的应用一、在不等式题目中构造函数例1实数为何值时，不等式对任意恒成立？解析：不等式两边可构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图1所示，当时，即在点处的切线的斜率，在点处的切线方程为，正好是时的函数图象从图1可以看出对任意恒成立的条件是，也即满足题意的实数的取值范围为例2（2010全国，理13）不等式的解集是_解析：不等式两边移项后可构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图2所示yx图11yx图22原不等式的解集等价于的解集且当时，易得0或2，从图2可以看出成立的条件是，即原不等式的解集是yx图4y1y2确52确评注：在不等式题目中构造出两个函数，然后在同一平面直角坐标系中作出函数图象，利用数形结合，很易解决此类问题二、在方程题目中构造函数例3（2008湖北，文14）方程的实数解的个数为_解析：方程两边移项后可构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图3所示当时，0 ，2，从图3可以看出、的函数图象有两个交点故方程的实数解的个数为图5yx02例4（2009辽宁，理12）若满足，满足，则解析：由得，构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图4所示 yx图32当时 ，当时，从图4可以看出由得 ，构造函数 ，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图5所示当时 ，当时，从图5可以看出，故本题的答案选例5（2010上海，理17）若是方程的解，则属于区间. . . .yx图6解析：构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图6所示当时，；当时，从图6可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即方程的解属于区间，故本题的答案选评注：在方程题目中构造函数，体现了数学思想中的方程与函数的思想，同时利用数形结合，很容易解决此类问题构造函数来解答方程题目是我们应该掌握的解题技巧，同时也明确了确定方程近似根以及相关函数近似零点的方法三、在函数题目中构造函数 例6（2009山东，理14）函数有两个零点，则实数的取值范围是_解析：构造函数和，则函数有两个零点等价于和的函数图象有两个交点当时，在同一平面直角坐标系中分别作出和的函数图象，如图7所示由图7可知，函数和的图象只有一个交点，不符合题意；yx图7当时，在同一平面直角坐标系中分别作出和的函数图象，如图8所示当时， ，从图8可以看出和的函数图象一定有两个交点故满足题意的实数的取值范围是图8yx0例7（2010天津，理2）函数的零点所在的一个区间是 解析：构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图9所示yx图9当时，；当时，从图9可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的零点所在的一个区间是，故本题的答案选例8（2010天津，文4）函数的零点所在的一个区间是 解析：构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图10所示yx图10当时，；当时，从图10可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的零点所在的一个区间是，故本题的答案选例9（2011全国新课标，文10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为. . .解析：构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图11所示yx图11当时，；当时，从图11可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的零点所在的区间为，故本题的答案选例10（2011陕西，理6）函数在内.没有零点.有且仅有一个零点.有且仅有两个零点.有无穷多个零点解析：构造函数，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图12所示由图12可知，在内函数和的图象只有一个交点，即函数在，内有且仅有一个零点，故本题的答案选yx图12评注：函数是中学数学中最重要的基本概念之