（应用数学专业论文）毒素脉冲输入对种群动力学行为的影响.pdf

e f f e c to np o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o rw i t hp u l s e t o x i c a n ti n p u t b y l i uy u a n m i n b s ( c h a n g z h iu n i v e r s i t y ) 2 0 0 s at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gc a n y u n a p r i l ，2 0 1 1 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：交4 ；序憎艮日期：2 矿，f 年占月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名：赳珊i 敏 导师签名：兹贸与厶7 ， 一 。、 日期：2 0 1 1 年莎月箩日 日期：如，年多月石日 录 i i i 的两种群竞争系统的持久性 2 3 数值模拟和讨论 第三章 环境污染下具有阶段结构的h o l l i n g - 功能反应的捕食食饵系统的持 久性 1 7 3 1 模型介绍及相关引理1 7 3 2 主要结果1 8 3 3 主要结果的证明1 9 第四章 环境污染下具有周期生态系统的最优脉冲收获策略 2 5 4 1 模型介绍及相关引理2 5 4 2 最优脉冲收获策略2 6 结论 3 1 致谢 3 6 附录 3 7 1 1 5 8 8 1 41 上1 l 分条件 最后，研究了污染环境中单种群周期生态系统的最优脉冲控制问题，运用脉冲 微分方程理论、单种群l o g i s t i c 方程的某些性质和分析方法得到了全局渐进稳定正 周期解的存在性再利用最优脉冲控制原理得到了最优收获努力度，并得到相应的 最优种群数量和最大年产量 关键词：环境污染；脉冲；毒素；持续生存；最优控制 i n p u to ns y s t e mi sc o n s i d e r e d ，a n dt h et h r e s h o l d sb e t w e e np e r s i s t e n c ea n d e x t i n c t i o n o fe a c hp o p u l a t i o na r eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e d t oi l l u s t r a t eo u rt h e o r e t i cr e s u l t s s e c o n d l y , w es t u d yt h ep e r m a n e n c eo fp e r i o d i cp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g e s t r u c t u r ef o rp r e yi nap o l l u t e de n v i r o n m e n t t h ee f f e c t so fp u l s et o x i c a n ti n p u t o np r e d a t o r p r e yn o n - a u t o n o m o u ss y s t e mi sc o n s i d e r e d b ya p p l y i n gt h e o r e mo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dc o m p a r i s o nt h e o r e m ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d f i n a l l y , w ec o n s i d e ro p t i m a lc o n t r o le f f e c tw i t hi m p u l s ef o ras i n g l ep e r i o d i c s y s t e mi np o l l u t i o ne n v i r o n m e n t b ya p p l y i n gt h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e st ol o g i s t i ce q u a t i o n ，w eo b t a i na nu n i q u ep o s - i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e a n du s i n go p t i m a l i m p u l s i v ec o n t r o lp r i n c i p l e ，w eg e tt h eo p t i m a lh a r v e s t i n ge f f o r tm a x i m u m ，t h ea n - n u a lb i o m a s sy i e l da n dt h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a lp o p u l a t i o nl e v e l k e yw o r d s ：e n v i r o n m e n tp o l l u t i o n ；i m p u l s i v e ；t o x i c a n t ；p e r s i s t e n c e ；o p t i m a l c o n t r o l 第一章绪论 1 1 研究背景 世界中在着成千上万种自然的或人造的化学物品，生物通常是暴露在这些 化学物存在的空间里，非常容易受到毒素的侵袭尤其是在现代工业污染如此严重 的环境下，研究毒素对生物种群的影响就显得十分重要当前，环境污染问题日益严 重，其造成的种种恶果已经凸现出来，特别是对生态系统的危害，已经成为全世界各 界人士关注的重要问题 研究环境污染对生物种群的影响是属于生态毒理学( e c o t o x i c o l o g y ) 的范畴e c 伊 t o x i c o l o g y 这一词汇是 扫t r t t h a u t 在1 9 6 9 年创造的【1 】它是由毒理学( t o x i c o l o g y ) 与生 态学( e c o l o g y ) 结合而成顾名思义，可知这是毒理学向生态领域的发展毒理学通 常是研究毒素对生物个体的影响，而生态毒理学则是研究释放在环境中的毒素对生 物种群、群落乃至生态系统的影响通常毒素是直接地或通过改变环境来影响生物 个体，但从生态毒理学的观点来看，着眼于种群例如，某一种群由于受到污染物的 影响，有一大半的成员死掉了从个体的角度来说，已经是相当严重的问题了，但从 整个生态系统的方面来说，可以认为所造成的影响很小甚至没有什么影响相反，虽 然污染物没有毒死生物个体，但由于延缓了其整体发展，或改变了他们的生存环境， 也可能导致严重的生态后果 生态毒理学在很大程度上是以推断为基础的【2 一，常常从毒素向环境的输入率 去推断其对种群的影响；从一个受毒素侵袭的系统推断另一个；从实验室的实验和 微观世界的研究去推断现场情况这就需要了解化学物在环境中的传播过程以及种 群的变化规律，因而需要建立数学模型，进行推理和运算 b r a n s o n 、t h o m a n n 等人提出生物体内毒素浓度随环境中毒素浓度的变化可用 下述一阶微分方程组来描述： 攀裂! ：z 然：“k c o m m l ， l 穹萨= u ( t ) + 9 c 。( ) z ( z ) 一 ( t ) z ) 一危c e ( ) ， 、“1 7 其中z ( 亡) 表示t 时刻种群的密度；c o ( ) 表示t 时刻生物体内毒素的浓度；c c ( 芒) 表示t 时 刻环境中毒素的浓度；七龟( ) 表示t 时刻个体对环境中毒素浓度的吸收率；g c o ( t ) 表 示t 时刻个体体内毒素的排泄率；m c o ( t ) 表示由于新陈代谢作用t 时刻个体体内毒素 的净化率；g c o ( t ) z ( t ) 表示由于生物体的排泄使有毒物质重新进入到环境中而造成环 境中的毒素浓度提高的速率；k c o ( t ) x ( t ) 表示由于生物体的吸收而使环境中的毒素浓 度降低的速率；h c 。( 亡) 表示由于生物转移、挥发、细菌的退化与死亡，以及光合作用 等因素所引起的毒素量的损失率 1 毒素脉冲输入对种群动力学行为的影响 在环境容量较大的情况下。由于生物体内的吸收和排泄对环境中毒素浓度的变 化影响非常小，b p g c o ( t ) x ( t ) 一k c 。( t ) x ( t ) 0 ，因此为了研究的方便，在模型中可以 将这两项移出，这样模型( 1 1 ) 就简化为下面的模型： 善蓑以掣) - - g c o ( 一c o ( ) ( 1 2 ) l 掣= 乱( 亡) 一h c 。( t ) r 一7 利用动力学的方法建立数学模型来研究毒素对生物种群的影响是从上个世纪8 0 年代才开始的t g h a l l a m 及其同事【4 - 7 1 连续发表了三篇论文为这方面的研究揭开 了序幕在三十多年的研究中，已有很多的研究成果 8 - 1 2 1 ，但在以前所建立的数学 模型中都是假设污染物的流入是连续的，但实际上许多污染物的排放都是不连续的 一个例子是化学杀虫剂的使用，化学杀虫剂在农业和森林中经常使用，它可以使害 虫的数目迅速地降低，有时它是防止经济损失仅有的可行办法但是杀虫剂所造成 的污染问题也日益严重、不仅仅对家禽和野生动物，甚至对鱼类、鸟类、哺乳动物和 人类的健康都造成了巨大的威胁为了有效地控制害虫同时考虑到环境污染、杀虫 剂可以每隔一段时间定期喷洒一次另一个例子是某些重金属物的排放，许多重金 属物的排放对河流的污染从而对土壤的污染都是由人类制造工业引起的重金属物 排放到环境中严重的影响了人类和其他生物种群的生存，例如在文【1 3 ，1 4 】中提到的 铜污染事件因此，在这些情况下模型中污染物的连续流入应该被离散的瞬时流入 代替，脉冲微分方程给这类具有离散的瞬时流入的模型提供了一个自然的描述，这 时尽管毒素( 污染物) 的排放是瞬时的，但是它对种群的影响却是连续的人类在不 断掠取自然资源的同时，也要考虑与生态环境和谐共存，使濒临灭绝的种群得以延 续的问题已成为科研工作者研究中要考虑的重要因素 而脉冲微分系统是非线性微分系统不可或缺的一个重要分支脉冲常微分方程 的研究始于二十世纪六十年代，经过五十年来的研究，得到了很大的发展特别是到 八十年代，许多重要成果相继问世，并由v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n o v 与p s s i m e o n o v = 人所总结，这标志着这一方面基本理论已经形成【1 5 - 2 0 1 脉冲微分方程描述的是某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃 它是对自然界的发展过程更真实地反映经过近三十年的发展，脉冲微分方程的理 论已经得到深入的发展【2 1 - 2 4 ，但是这些理论在实际中很难应用对于种群动力学模 型的研究，人们一直用连续或离散的模型来进行研究，而忽略了外界的干扰脉冲系 统正是对一些生物现象较为贴切的客观表述 模型( 1 2 ) 中假设外界向环境中输入有毒物质的过程是连续的然而，在实际生 活中污染物的排放往往不是连续不断的，在更多情形下常常表现为一种周期性的定 时排放，因此可以视为一种脉冲排放在这些情形下，用脉冲微分方程 2 5 l 来描述这种 2 硕士学位论文 瞬间变化的影响更为确切此时相应的模型变为： 攀三笺 卜m c d l 卜， 3 ， 掣= 一k ( 亡) ，厂广馆 ( 1 3 ) i c o ( t ) = 0 ，c c ( t ) = b ，) t = 亿， 这里亿表示外界相邻两次向环境中输入有毒物质时的时间间隔，6 为外界每次向环境 中输入有毒物质时造成环境中毒素浓度增加的量 l i u 和z h a n g 2 6 提出了环境污染下脉冲投放毒素的l o t k a v o l t e r r a 竞争系统模 型： f 掣= z ) 【r l o r 1 1 c 口o ) 一口1 1 z ( ) 一a 1 2 y ( ) 】，1 攀三认：黔r 以2 1 c o ) ( 一t ) - a 2 1 x ) ，( 咄硝。 t n r , n ez +kc g cm c o ( t( 1 4 ) 掣= 。( t ) 一。( ) 一 ) ， f ( 1 4 ) i 掣= 一h c 。( ) ， j la x ( t ) = 0 ，a y ( t ) = 0 ，a c o ( t ) = 0 ，c e ( t ) = b ，) t = n 丁，佗z + 文中利用脉冲微分方程理论【2 7 】和- - _ - 此l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的基本性剧勰】， 得到了两种群持续生存和灭绝的充分条件，并且发现了脉冲周期和毒素浓度都会 影响到种群的命运在文献 2 6 的启发下，为了更贴近现实，本文的第二章讨论了在 相同的环境下不同种群体内所含的毒素浓度不同时，两种群持续生存和灭绝的问题 众所周知，生物种群所存在的环境是随着时间的变化而改变的，因而更符合时 间的模型系数应该是时变函数，也就是非自治种群系统模型实际上，种群所处的 生态环境是相当复杂的，无论是考虑种内关系还是种间关系，非自治模型比自治模 型更具有实际意义 y m g 等【2 9 】提出并研究了如下具有阶段结构的h o u i n 曾反应函数的非自治捕食 食饵模型： f 掣= n ( 亡) z 2 ( ) “( 亡) z t ( t ) 一d ( t ) x 2 1 ( t ) 一搿辫( 亡) ， 幽d t = 卢( ) z 1 ( t ) 一弛) z ；( t ) ， ( 1 5 ) l 掣= 可( t ) ( 一7 ( t ) 一搿鬻一g ( t ) 可( 亡) ) ， 利用微分系统比较原理，并且在一些假设条件下，得到了系统( 1 5 ) 持久性的充 要条件本文的第三章就是结合模型( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，讨论了环境污染下脉冲投放毒素 时，该系统的持久性问题 在脉冲微分系统中，系统的状态在瞬间发了很大的变化，导致系统的解是不连续 的，关于脉冲微分方程的存在性、唯一性、解对初值的连续性、解的稳定性、l i a p u n o v 方法、边值问题解的存在性与唯一性、周期解以及解的动力学性质、分支理论、极 限集理论，泛函脉冲微分方程等，几乎对应于常微分研究的所有领域 3 毒素脉冲输入对种群动力学行为的影响 另外，人们发现有许多生物现象的发生以及人们对某些生命现象的优化控制并 非是一个连续的过程，不能简单的用微分方程或差分方程进行描述目前对具有脉 冲效应的种群动力学模型的研究已经取得了丰富的结果，主要有以下几个方面：疾 病的脉冲免别，3 1 | ，癌细胞的化疗【3 2 1 ，营养基的脉冲注射，生育脉冲 3 4 5 1 ，种群 生态学郾，3 7 1 近些年来，具有代表性的研究是在控制中有广泛的用途为此，人们开始寻找间 断型的控制以避免种群动力系统中连续型控制的不足，这种控制就是脉冲控制在 种群动力学模型中，脉冲控制问题把控制论和脉冲微分方程有机地结合起来，形成 了脉冲控制理论关于脉冲控制理论方面的研究，b l a q u i e r e 给出了脉冲微分系统的 最优控制原理( 3 8 j ；c o h e n 把b l a q u i e r e 的最优脉冲控制原理应用在种群对食物的最优 捕获中【3 9 】；还有一些文章研究了种群动力学系统的脉冲控制及最优化问题【4 0 ，4 1 1 可 见，脉冲控制在生物方面，尤其在种群动力学系统方面已有了广泛应用 随着经济的日益发展，在生态系统中考虑捕获以获得经济效益已经越来越受到 人们的关注但是，为了生态系统的可持续发展以及人们生活所需的经济利益，我们 应该考虑系统的最优控制策略，已达到生态和谐的目的关于最优控制的研究，在很 早以前就受到了学者们的关注最初的最优控制策略是最大可持续产量( m a x i m u m s u s t a i n a b l ey i e l d ，通常缩写为m s y ) ，它保证了捕获产量的最大，又可以使得生物资 源最终不丧失生产能力【4 2 】 但是m s y 这个概念在经济学上有着严重的不足那就是，它只是单纯的顾及资 源的收益，完全忽视了捕捞的成本费用所以在此基础上，学者们开始考虑最优捕 获策略( o p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c y ) 如文献 4 3 ，4 4 】，讨论了自治单种群捕获模型，以 最大可持续捕获量为管理目标，得到了最优捕获策略但几乎所有的最优捕获策略， 都是在种群的增长方程和生产函数不随着t 变化假定下所得到的，这与客观事实不 尽相符在现实世界中，情况往往更加复杂，例如由于季节，食物供应，温度等原因， 种群的增长方程和生产函数往往会随着t 变化而变化如文献【4 5 ，4 6 讨论了一些具 体的非自治周期系数的单种群捕获模型，以获得最大可持续捕获量，而得到最优捕 获策略 最优控制问题一般的提法是：对于某个由动态方程所描述的系统，在某些初始 和终端条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统 性能目标函数( 泛函) 达到最优 最优控制问题描述如下：设受控系统的状态方程及给定初态为 z = fi x ( t ) ，u ( t ) ，t 】 x ( t o ) = z o 4 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 硕士学位论文 规定的目标集为 m = x c t l ) ：x ( t 1 ) 彤，9 【z ，) ，艺，】= 0 ，危f z ( t ，) ，艺，】so 。( 1 8 ) 求一个容许控制u ( 芒) 以亡 t o ，亡，】使得受控系统( 1 6 ) 式从给定初态( 1 7 ) 式出发， 在某一末态时刻f t o 转移目标集式并使性能指标 ， j = 西【x ( t s ) ，亡，】+ l 陋( 亡) ，u ( 亡) ，亡】出。 ( 1 9 ) ，t o 为最小 解决最优控制问题的常用方法有：庞特里雅金的最大值原理、贝尔曼的动态规 划方法、古典变分学的基本必要条件等其中，p o n t r y a g i n 的最大值原理，在生物控 制论中有着非常广泛的应用 一般来说，具有常值或连续型状态的反馈控制经常被人们想到，但这样的最优 控制实施起来是有一定难度的，也会浪费很大一部分的人力和物力同时，由于某 些物种的出生是有规律性的，有的可能是几小时，有的可能是几年生育一次；某些鸟 类或鱼类每年在固定的时候迁移到其他地方；渔业生产中，鱼苗的投放和成鱼的收 获；林业管理中，树木的种植和砍伐；农业对害虫的治理中，农药的喷洒和天敌的释 放都不是连续的而是有规律的描述这些现象，脉冲替代连续才更符合实际情况，模 型才更合理 x i a o 等【4 7 】提出了具有周期生态系统的最优脉冲控制模型： j 掣= r ( 亡) 酬1 一q ( ) c d ( 亡) 一端】，芒亿，( “o ) 【z ( t ) = z ( 亿) ( 1 一e k ) ，亡= 、7 利用最优脉冲控制原理和脉冲微分方程的周期性理论，给出t l o g i s t i c 周期生态 系统的最优脉冲控制受文献【2 6 和【4 7 】的启发，本文的第四章讨论了受到环境污染 时周期生态系统的最优脉冲控制问题所得到的结果可能会对生物资源的管理提供 一定的理论指导 1 2 预备知识 为了后面推理的需要，我们在这小节里以定义和引理的形式给出若干个已知结 论作为工具 设以下系统： 鲁= 邢，巩坤0 ) - 以z 钟 ( 1 1 1 ) 5 毒素脉冲输入对种群动力学行为的影响 满足解的存在唯一性定理的条件，其解z ( t ) = z ( t ，t o ，x 0 ) 的存在区间是( 一。o ，+ o o ) ， 另外，厂( t ，z ) 还满足条件： ，( t ，z ) = 0 即z ( t ) = z + 是( 1 1 1 ) 的解 定义1 - 2 1 若对任意给定的 0 ，都存在6 = 6 ( e ，o ) ，使得当0z o z + 0 o ) ，那么种群z ( t ) ( 或可( 亡) ) 是弱平均持续生 存的 定义1 2 6 如果1 i 理s u p x ( t ) = 0 ( 或。h 理s u p y ( t ) = o ) ，但z ( ) + = 0 ( 或y ( ) = t - + 十e 一十 o ) ，那么种群z ( t ) ( 或y ( t ) ) 是勉强持续生存的 引理1 2 1 令v ：凰x 册一4 且y v o 假设 ! d + y ( 亡，z ) ) 9 ( ，y ，z ( 亡) ) ) ， t 亡七， ( 1 1 2 ) iv ( t ，z ( + ) ) 钆( v ( t ，z ) ) ) ，t = t k ， 、。 其中，夕：r + x4 一皿在( 如一1 ，纠上连续，对任意的z r + ，l i m ，、夕( t ，y ) ( ，) - ( t 毒，z ) = g ( z 吉，z ) 存在；以：r + _ 皿非减令7 ( t ) = r ( t ，0 ，呦) 为脉冲微分方程 i u ( t ) = g ( t ，乱) ，t 如， 让( t + ) = 饥( “( t ) ) ，t = 靠， ( 1 1 3 ) i 孔( 0 + ) = 咖 日( z ( t ) ，t ，u ( ) ；a ( 亡) ) = 夕( z ( 亡) ，t ，乱( ) ) + a ( ) 厂( z ( 亡) ，t ，乱( 亡) ) ， 其中入( 亡) 是一个附加的未知函数，称为伴随变量最大值原理对所有的t ，存在满足 下式的a ( ) ： 等= 一筹= 一瓦o g n a 幻鬈， 一= 一一= r - 一 d t8 z8 zv 。8 z j 日( z ( 龇让( 啪( 。) ) 2 u m 酬a x 日( z ( 龇u m ) ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 微分方程( 1 1 5 ) 称为伴随方程若达到最优控制的u 落在u ( t ) 的内部，即不是边界， 式( 1 1 6 ) 意味着： 娑：0 ( 1 1 7 ) r 、 、一， 最大值原理说明：可以通过状态方程( 1 1 4 ) ，伴随方程( 1 1 5 ) 和最大值原理( 1 1 6 ) ，来 确定最优控制时的z ( 亡) ，乱( 亡) ，a ( 芒) 7 第二章环境污染下具有脉冲毒素投放的两种群竞争系统的 持久性 2 1 模型介绍及相关引理 随着现代工农业的快速发展，各种污染物被排放到大自然中，严重污染了生态 环境，也威胁到生物种群的生存为了合理的使用和管理这些化学物品，我们必须 通过研究毒素对种群的影响，并且找到决定种群生存或灭绝的阈值 近年来，利用数学模型研究毒素对生物种群影响的结果有很多【9 ，1 1 】在这些模 型中一般都是假设毒素的排放是连续的然而，在实际情况中毒素是每隔一段时间 排放的例如，杀虫剂是定期喷洒的化工厂也是定期向河流，土壤和大气排放污染 物的因此，我们应该用脉冲投放毒素代替连续投放毒素【1 0 1 在文献【2 6 ，刘和张研 究了环境污染下脉冲投放毒素对生态系统的影响，并且得到当脉冲周期小于某一临 界值时，种群就会灭绝，否则，种群将持续生存，并且持续生存的条件是存在唯一正 周期解但是，以上假设的都是两种群体内毒素浓度相同而在实际生活中在相同的 环境下，不同种群体内所含的毒素浓度是不同的，并且在同一时刻两种群所含的毒素 浓度也是不同的本文是在文献【8 ，2 6 的基础上，通过引用脉冲微分方程理论【2 7 l ，比 较理论和一些l o t k a ，v o l t e 玎a 竞争系统的基本性质嘲，分别得到了两种群弱持续生 存和灭绝的阈值 下面，考虑环境污染下两竞争种群的模型： 乌= z ( 古) p l o r i l e l ( 孟) 一a 1 1 z ( 芒) 一口1 2 ( 古) 】，1 百d y c t ) = 可 ) p 加一r 2 1 c 2 ( 亡) 一q 2 1 z ( 亡) 一a 2 2 y ) 】，l 幽d t = 七1 c e ) 一夕1 c l ) 一m l c l ( 亡) ， 亡佗丁， 掣= 忌2 c e ( ) 一仍c 2 ( t ) 一m 2 c 2 ( z ) ， i ( 2 1 ) 掣= 一h c c ( ) ，j z ( t ) = 0 , a y ( t ) _ 0 ， i 扛眠 其中，a x ( t ) = z ( t + ) 一z ( t ) ，a y ( t ) = y ( t + ) 一可( t ) ，c ( t ) = c i ( + ) 一c ( t ) ( i = 1 ，2 ) ， c e ( t ) = c e ( + ) 一c e ( t ) ，0 c 10 = 1 ，2 ) ，0 c e 1 初始条件是z ( 0 ) 0 ，y ( 0 ) 0 ，q ( 0 ) 0 ( i = 1 ，2 ) ，c e ( 0 ) 0 x ( t ) 和y ( t ) 分别表示t 时刻两种群的 密度；q ( t ) ( i = 1 ，2 ) 表示t 时刻生物体内的毒素浓度；c e ( t ) 表示t 时刻环境中的毒 素浓度；7 - ：表示外界相邻两次向环境中输入有毒物质时的时间间隔；b 表示外界每 次向环境中输入有毒物质时造成环境中毒素浓度的增加量；7 o ( i = 1 ，2 ) 表示两种 群在无污染情况下的内禀增长率；n 1 ( i = 1 ，2 ) 表示两种群在有污染情况下的增长 8 硕士学位论文 率；a q ，a i i ，觑( i = 1 ，2 ) ，鲰( i = 1 ，2 ) 和讹( i = 1 ，2 ) 均为正常数；佗z + 为方便起见，以后将引用下面的符号： k 2 丽磊k ：b 而 = 1 ，2 ) ，= a l i a 2 2 一a 1 2 a 2 1 ，a 1 = r l o a 2 2 一a 1 2 伽， a 22r 2 0 a l l a 2 1 t 1 0，12r 1 1 a 2 2 一a 1 2 t 2 1，22 t 2 1 a 1 1 一a 2 1 t l l ， 7 = r l l r 2 0 一锄，7 = r l o r 2 1 一r 2 m 1 ，羽= z ( s ) d s ， 丽= 。三s u p i 1j 。tz ( s ) d s ，顼= 槲l i r a u u i 1j 。tz ( s ) d s 现在给出这个系统的子系统的一些基本性质， 穹妒= h 岛( 亡) 一9 1 c 1 ( 亡) 一m l c l ( 亡) ， 生d 垃t= k 2 c e ( t ) 一现c 2 ( t ) 一m 2 c 2 ( 亡) ， 掣= 一h c e ( 亡) ， q ( t ) = 0 ( i = 1 ，2 ) ，c c ( t ) = b ，) 亡 n 7 - ， ( 2 2 ) 引理2 1 1 1 2 7 系统( 2 2 ) 有唯一正周期解( 石( ) ，历( ) ，乏( 艺) ) t ，并且对系统( 2 2 ) 的每 个解( c 1 ( 亡) ，c 2 ( t ) ，c e ( ) ) t ，当亡一+ o 。时，有q ( ) 一磊( 亡) a = 1 ，2 ) 和c e ( 亡) 一五 ( t ) 如果c i ( 0 ) 茜( 0 ) ( i = 1 ，2 ) 和c 。( 0 ) 瓦( o ) 成立时，对所有t 0 ，c i ( t ) 茜 ( t ) ( i = 1 ，2 ) 和c 。( t ) 磊( ) 都成立其中 五( t ) = 五( 0 ) e - ( e ，+ m z ) o n 下) + 历( t ) = 历( 0 ) e 一渤+ m 。) ( t m ) + e 一( g l + m 1 ) ( t n 1 ) 一e h ( t n r ) 磊( ) = 了b e - 刁h ( t - = 广t ) ， 五( o ) = 嵩骘亲筹斋格， 历( o ) = 篇篇嘉箸未褊， 五( 0 ) = 雨bf ， 其中t ( 佗7 - ，( 仡+ 1 ) 7 - ) 通过简单计算，能够得到 ? + 。下茜( 亡) 出= i 石三善磊西= k 。= 1 ，2 ) 根据引理1 ，能够推断出垤 0 ，对任何t 0 ，不等式 5 ( t ) 一 t o 时， 厂( 亡) 满足不等式 l n f ( t ) 0 和m 2 0 使 得0 x ( t ) m 1 和0 0 ，a 2 0 和业a 2 1 业r 2 0 0 2 2 a 1 _ _ 2 2 注5 ，y 0 ，0 垒a 1 等；一y = 0 ，垒a 1 2 m r i o = 盐1 2 1 = 爱；一y 0 ，0 警掣州 ，-i-j l - - 一， 硕士学位论文 i i i_i ii i i ii 2 2 竞争系统的持续生存和灭绝 定理2 2 1 假设7 蛆m 等寻世也成立，那么z 是弱平均持续生 存；如果7 ：甄黑，那么z 是勉强持续生存；如果下 a 2 2 r 1 1 k 1 - ，a 1 2 r 2 1 k 2 ，任取一个e 0 ，那么6 = l 一纽皿纽笋幽 根据注2 ，可知z ( 亡) 和可( 芒) 是有界的那么 和 l i ms u p t + + 0 ， 熙呻 h 器姐 成立根据式( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 7 ) 和式( 2 9 ) ，有 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) a 。研+ 。2 甭一r l l 研r m - r l l ( 一5 ( t ) + e ) = 啪一r 。1 了k 1 - - r 1 1 e o ( 2 1 1 ) 所以 a 1 1 x ( t ) + a 1 2 y ( t ) 0 ( 2 1 2 ) 可推断出虱矿 0 我们反设虱矿= 0 和虱矛 0 e h ：f 7 0 ，并且有口a ：n ， 鬻 薏这样鬻( o ，r 2 0 ) ( i ) 如果等( o ，老) ，那么l 0 根据式( 2 7 ) 0 2 2 - - 式( 2 8 ) xa 1 2 ，可得 吻 h 器咱2 h 器 根据式( 2 9 ) 和式( 2 1 3 ) 有 飞骧唧 h 端 = 一( m 凸2 2 丽一哪2 丽) 1 一h 0 2 2 永矿一r 2 1 n 1 2 丢莉 z ( 啦( 2 1 3 ) 。一【r 。血2 2 ( 磊可f + e ) 一t 2 1 口- 。( 磊虿f + ) 】 = 1 一 0 ， a 2 2 t 1 1 k 1 一a 1 2 f 2 1 k 2 一t|， 一1 那么，t 璺s u p - z ti n ，v 、( t ) j o 矛盾 ( i i ) 如果等( 薏，鬻) ，那么 0 根据式( 2 8 ) x r l l - - 5 戈( 2 7 ) x t 2 1 ，可得 1 1 一 z z nl 1 一t 毒素脉冲输入对种群动力学行为的影响 钆昙h 器咱，昙h 器 = 7 + a 2 x ( t ) 一a l y ( t ) 一( t i l t 2 1 c 2 ( t ) + r 2 i r n c l ( t ) ) 根据式( 2 9 ) 和式( 2 1 4 ) 可得 m l i m s u p ：ll n 蜞y t u ) t + r o h 一五而 由于，y 0 ，存在t 0 使得石两百两一e ， 对所有t t 成立 根据式( 2 7 ) ，可得 1 1 1 端m m 丽+ r i l e n - 羽， 可转化为 i n 蔫a t a l l z ( s ) d s ， 其中a = r i o r 1 1 百瓯+ r i l e = r i o r l lk 1 + r i l e 假设7 i = - g - 1 m r n ，入= r i l e ，利用 引理2 1 2 ，得到下面的不等式， z ( t ) + 由于足够小，有虱矿0 但是虱矿 的 a r i l e 一= = 一 a l la l l ( 2 1 5 ) 0 ，所以双矿= 0 ，可知z 是勉强持续生存 ( 3 ) 如果7 - 0 ，使得6 = 一r 1 0 t + r l l k l r l l e t 0 根 据( 2 7 ) ，可得 。里l 。h 1 端仙一钆而一) a 1 2 y ( t ) 。 a 2 2 r 1 1 k 1 万- a 一1 2 r 2 1 k 2 ，那么z 是弱平均持续生存的； 如果7 - = 凰黑，那么z 是勉强持续生存的；如果7 - 0 和a 2 0 ，可推断出1 0 和2 0 成立也就容易证 得筹= 等= 署= 爱，根据式( 2 1 2 ) ，可得z ( 亡) 0 反设z ( ) + = 0 ，和可( 亡) 4 0 成立，t 里i 11 1 1 器0 ，由于l i 十r a x ( t ) = 0 任取 0 ，存在t 0 ，使得 l 2 z ( ) i