（计算数学专业论文）一维守恒型方程（组）的熵耗散格式.pdf

2 0 0 5 上海大学博士学位论文 摘要 本文考虑的一维双曲守恒律方程( 组) 我们给出了一种设计高分辨率格式的 方法此格式是g o d u n o v 型的，用的是分片线性重构。与传统的g o d u n o v 型格式 不同的是此格式在计算过程中不仅计算数值解还计算了数值熵在每个网格中线 性重构函数的斜率是根据熵耗散得到的，它要求此网格上重构函数熵的网格平均 应与此网格上的数值熵相等数值解是根据有限体积法( f i n i t e - v o l u m e ) 求得的， 同时数值熵计算的时候格式中有一熵耗散项，它在计算过程中耗散熵通过这种 方式为数值计算引入了适当的粘性，稳定了计算 在2 5 中我们对于特殊的熵函数分析了格式的精度本文中对于一般的熵函 数，我们分析了格式的精度，格式在远离极值点附近为二阶精度，在极值点附近 为一阶精度。因为格式与传统的守恒型格式不同，所以我们给出了它的相容性定 义和l a x - w e n d r o f f 定理，定理说如果用我们的数值格式求得的数值解收敛，则它 一定收敛到方程的满足熵条件的弱解。 设计这样一种格式的一个重要动机是期望用此类格式来克服守恒型方程组的 数值模拟中，线性特征场上的数值耗散问题。为此对于线性传输方程，我们用不 带熵耗散函数的格式进行了一些数值实验，以研究数值熵对消除线性耗散问题的 作用在此研究的基础上，我们设计了两种格式，一种格式中我们仍给线性方程 或方程组的线性特征场以一定的熵耗散以稳定计算另一种格式中我们保持线性 方程或方程组的线性特征场上的熵守恒，同时为数值解的重构设计了一种所谓的 “极大值减少极小值增”( m i n i m u m s - i n c r e a s e - a n d m a x i m u m s d e c r e a s e 或m i m d ) 斜率控制因子以消除间断附近的非物理振荡 最后我们分别给出了用带线性熵耗散的格式和不带线性熵耗散但在数值解的 重构中运用了m i m d 斜率控制因子的格式进行数值实验，包括单个方程的和方程 组的从中我们可看出熵耗散因子是如何抑制非物理的振荡的，以及格式对计算 的有效性。 i i 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 关键词： 守恒律，数值熵，熵耗散因子，数值耗散，m i m d 斜率控制因子 2 0 0 5 上海大学博士学位论文 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w si no n es p a c e d i m e n s i o n w ed e s c r i b eam e t h o dt od e s i g nh i g hr e s o l u t i o ns e h e m e sf o rt h ee q n a - t i o n s t h ed e s i g n e ds c h e m ei so fg o d u n o v - t y p ew i t hp i e c e w i s e - l i n er e c o l t s t r u c t i o n d i f f e r e n tf r o ma l lo t h e rg o d t m o v - t y p es c h e m e sf o rt h ec o n s e r v a t i o nl a w s ，o u rs c h e m e c o m p u t e sn o to n l yt h en u m e r i c a ls o l u t i o nb u ta l s oa na p p r o x i m a t i o nt 。t h ee n t r o p y , c a l l e dn u m e r i c a le n t r o p y i nt h es c h e m et h er e c o n s t r u c t i o no fs o l u t i o ni sp e r f o r m e d b yr e q u i r i n gt h ec e l l - a v e r a g eo ft h ee n t r o p yo ft h er e c o n s t r u c t e ds o l u t i o nt ob ee q u a l t ot h en u m e r i c a le n t r o p yi ne a c hg r i dc e l l b o t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o na n dn u m e r - i c a le n t r o p ya r ec o m p u t e di naf i n i t e - v o l u m ef a s h i o nw h i l et h ec o m p u t a t i o no ft h e l a t t e ri n v o l v e sas o - c a l l e de n t r o p yd i s s i p a t i o nt e r m ，w h i c hs i m u l a t e st h ev a r i a t i o no f t h ee n t r o p y i nd o i n gs o ，t h en u m e r i c a ld i s s i p a t i o ni si n t r o d u c e di nt h es c h e m et o s t a b i l i z et h ec o m p u t a t i o n t h ed e f i n i t i o no fc o n s i s t e n c yo ft h es c h e m e si sg i v e na n dal a x - w e n d r o f ft h e o r y f o rt h es c h e m ei sa l s og i v e n ，w h i c hs a y st h a ti ft h en u m e r i c a ls o l u t i o nc o n v e r g e s ，i t c o n v e r g e st oa ne n t r o p ys o l u t i o no ft h eo r g i n a le q u a t i o n s i n c eam a j o rm o t i v a t i o no fd e s i g n i n gt h i sk i n do fs c h e m ei st ot r yt oo v e r c o m e t h en u m e r i c a ld i s s i p a t i o ni nt h el i n e a r l yd e g e n e r a t e dc h a r a c t e r i s t i cf i e l di nt h es y s t e m c a s e ，w ec o n d u c tan u m e r i c a ls t u d yo ft h es c h e m ew i t h o u te n t r o p yd i s s i p a t i o nt e r m o i lt h el i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o nt oi n v e s t i g a t et h ew a yi nw h i c ht h en u m e r i c a l e n t r o p ye l i m i n a t e st h el i n e a rd i s s i p a t i o n b a s e do nt h i ss t u d y , w ed e s i g n e dt w o s c h e m e so ft h et y p e i no n eo ft h es c h e m e s ，c e r t a i ne n t r o p yd i s s i p a t i o nt e r mi ss c i l l i n v o l v e di nt h ec o m p u t a t i o no ft h ee n t r o p yi nt h el i n e a r l yd e g e n e r a t e dc h a r a c t e r i s t i c f i e l d ；t h u s ，t h en u m e r i c a le n t r o p yi sn o tc o s e r v a t i v et h e r e i nt h eo t h e rs c h e m e ，w e s e tt h ee n t r o p yd i s s i p a t i o ni nt h el i n e a rf i e l dt ob ez e r os ot h a tt h en u m e r i c a le n t r o p y i sc o n s e r v a t i v ei nt h i sf i e l d ，w et h e nd e s i g nas o c a l l e d “m i n i m u m s i n c r e a s e - a n d - m a x i m u m s d e c r e a s e ”( m i m d ) s l o p e - l i m i t e ri nt h er e c o n s t r u c t i o ns t e po ft h es c h e m e t oe l i m i n a t et h en o n - p h y s i c a lo s c i l l a t i o nt h e nc a u s e d ， i v 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e so ft h es c h e m e sw i t ht h el i n e a re m r o p yd i s s i p a t i o n a n dt h es c h e m ew i t h o u tt h el i n e a re n t r o p yd i s s i p a t i o nb u tu s i n gt h em i m ds l o p e l i m i t e ri nt h er e c o n s t r u c t i o nf o rb o t hs c m a rc o n s e r v a t i o nl a w sa n dt h ee u l e rs y s t e m o fg a sd y n a m i c sa r ep r e s e n t e dt os h o wh o wt h ee n t r o p yd i s s i p a t i o nt e r ms u p p r e s s e s n o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n sn e a rd i s c o n t i n u i t i e sa n dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e s c h e m e k e yw o r d s c o n s e r w t i o nl a w ，n u m e r i c a le n t r o p y ，e n t r o p yd i s s i p a t i o nt e r m ， n u m e r i c a ld i s s i p a t i o n ，m i m ds l o p e - l i m i t e r 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名，爿专，夺日期： o ”呔罗乙 签名使z 。嚣嗍：判咄7 己 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇奄崤导师繇芳咏啉沁罗： 2 0 0 5 上海大学博士学位论文 第一章前言 随着计算机科学技术的飞速发展，计算流体动力学自2 0 世纪6 0 年代中期已 形成一门独立的学科分支，成为研究流体运动规律，解决很多工程实际问题的三 大手段( 理论，实验和计算) 之一。计算流体动力学( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ， 简称c f d ) 是利用计算机和数值方法求解满足定解条件的流体动力学方程( 组) 以 获得流动规律和解决流动问题的专门学科。而守恒型方程( 组) 及其数值方法做为 计算流体动力学的一个重要的组成部分也得到了快速的发展。它所关心的是对具 有如下形式的守恒型方程组 进行数值模拟。该守恒型方程( 组) 是由物理定律的积分形式得到的。其在工程技术 领域有着很广泛的应用，很多重要的物理和力学现象都可归结为守恒型方程组。 其中最著名的是e u l e r 方程组( 2 , 2 6 ) ，它是由物理中的( 质量，动量，能量) 三大守 恒定律得到的是空气动力学的基本方程组，其在航空，航天及大气科学等领域 中都有着很广泛的应用 守恒型方程( 组) ( 1 1 ) 是拟线性双曲型方程( 组) 。对于它，无论所给的初值及 边值条件如何光滑，它的解都会产生间断，而且间断既可以产生( 自发生激渡) 又 可以消失。另外解还有连续部分，它可以是简单波，如压缩波，稀疏波等间断 在物理和力学中就对应着激波和切向间断。激波在流体动力学中有着双重的重要 性，它既是人们关心的一种物理现象，又是求解流体动力学方程( 组) 时需加以关 注的数学特性。以上的这些特性给求解流体动力学方程组带来了数学上的和数值 模拟上的困难。通常人们所使用的数值方法是在假设解是光滑的前提下设计的。 当解产生间断时，如果仍然用求光滑解有效的数值方法来求间断解，则往往会在 间断附近出现非物理的振荡或间断磨损。数值解在间断附近出现非物理的振荡是 因为算法非线性不稳定，而在闻断处有磨损是因为在间断附近算法含有过多的粘 性影响了精度。因此设计既稳定又是高阶精度的算法是守恒型方程( 组) 数值方法 所需要面临的问题。 求解方程组( 1 1 ) 的一类重要的数值方法为间断捕捉法。间断捕捉法的特点 是t 在计算的过程中不考虑间断的存在而在整个流体的任何地方都用几乎同样的 数值格式。借助方法所固有的数值耗散性效应( 或者数值粘性效应) ，自动地捕获 2 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 到所要计算的间断，它期望间断在数值解中表现为很窄的过渡层。该类方法的思 想比较简单，便于编写程序。古典的人工粘性法以及各种具有数值耗散性的有限 差分方法都属于此类。 一阶单调格式，象l a x - p r i e d r i c h s 格式，g o d u n o v 格式尽管在计算过程中不会 出现非物理振荡，并且能保证非线性稳定性，但是在求解中尤其是间断附近不能 保证很满意的精度，会出现对间断解的严重磨损。高阶格式，象l a x - w e n & o f f 格 式，在计算过程中会出现非物理振荡从而影响计算。因此在设计高阶格式的时候， 需引入保证非线性稳定性的机制，以控制间断附近的非物理的振荡，实现计算的 稳定性。这些机制为格式引入恰当的耗散或数值粘性。当解光滑时这些耗散项是 网格大小的高阶量，当解发生间断时它为o ( 1 ) 的。这些年来，人们建立了很多高 分辨率( h i g h r e s o l u t i o n ) 的格式，它们在解的光滑区域具有高阶精度，在间断附近 为很陡的结构而非振荡，( 见卧【1 3 ，f 3 6 】， 1 2 】，【1 0 ，f 1 1 1 ，【1 5 ，【3 3 】，【4 1 】，【4 2 ， 4 3 】， f 3 9 ，f 3 5 】 f 2 9 ，f 2 7 】，f 3 0 ) 和本文参考文献中的其他文献。 众所周知，众多有物理背景的守恒型方程组都具有熵，它是一个有实际意义 的物理量，而且是检验一个解是否是物理解的标准。由此，在守恒型方程组的数 值方法的研究之中，格式是否满足一定的熵条件，也是一个十分关心的问题，并 由此引发了很多研究。一阶的l a x - f r i e d r i e h s 格式，g o d u n o v 格式都是满足熵条件 的，见【2 0 1 和( 2 1 。另外，也有一些高阶的格式满足熵条件，如见f 2 l 。然而，在所 有这些格式中，计算的都只是数值解，它是对精确解的逼近。在讨论熵条件时， 数值熵都是依赖于数值解的，在格式中它们并没有被作为一个独立的量来计算。 另外，熵条件也只是被视为一种重要的性质，希望在设计格式时能保留它。 在本文中，我们将给出一个有限体积差分格式然而和所有以往的格式不同 的是我们所设计的格式不仅计算了数值解，同时还计算了数值熵，它是对解的熵 函数的逼近，这是一个在格式中独立计算的量数值解和数值熵都是按有限体积 法( f i l 。i t e - v o l u m e ) 的方式计算的，详见本文第三章但是和解不同，解的熵函数可 能不守恒，例如跨过非线性间断时。因此数值熵的计算过程中伴随着一个所谓的 熵耗散函数，它模拟了时空网格上熵变化。从本文后面的讨论( 见第三章) 可看出 熵耗散函数能为计算引入一定的数值粘性，从而能耗散数值解以起到稳定计算的 作用这个熵耗散函数在我们的格式中起着重要的作用，它的设计好坏直接影响 到了格式的质量， 2 0 0 5 上海大学博士学位论文3 然而人们可能要问，当今我们已有如此之多的高分辨有限体积格式，并已发 展了众多设计高分辨格式的有效方法，诸如t v d ，e n o ，w e n o ，n t 等等，现在 设计如上所述的格式，其意义何在? 为了回答这一个问题，我们得先来看一下， 目前对守恒型方程组的数值模拟中还存在哪些问题。 圉11 线性传输方程的带间断的行渡解，实线为精确解，为用逆风格式算得的数值解 如前所述，所有的有限体积差分格式都引入了数值粘性以稳定计算。但这带 来的负面效应是间断都被磨损了。激波由于有两边有压力差，在数学上表现为其 两边的特征线走向激波，因此它们的磨损情况还不是很严重。其还是可以接受的 然而对于切向间断或二维流动中的滑移线，由于它们两边没有压力差，因此其数 值磨损的程度就严重得多它们会以0 ( 、，伍) 的速率随时问的增长不断地磨损。一 个典型的情况如图1 1 所示。这儿所考虑的微分方程为 毗+ “。= 0 ( 1 2 ) 图中所示为方程的一个带间断的解及用逆风格式计算的数值解。从图中可清楚地 看到线性间断被磨损的情况，而且随着时间的发展磨损会越来越严重。高阶高分 辨的格式结果可能会好一些，但间断随时间增长不断磨损的情形是一样的。众多 的数值实验表明，格式中的粘性不仅磨损解中的间断，也磨损解的光滑部分，这 表现在经过长时间的计算之后，解的光滑部分的结构也会丢失，见本文3 4 节的讨 论 我们设计如此的同时模拟解和熵的格式，很重要的一个动机是希望这类格式 能克服线性数值耗散我们的思想如下众所周知对方程( 1 2 ) 不仅其解是守恒的， 4 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 其熵也是守恒的，这对间断解也是对的。图1 1 所示的数值解虽然被耗散了，但它 还是守恒的，也即数值解的离散和婶和精确解的在区域上的积分r “( 甄) 出是 相等的。这是因为数值解是由守恒格式计算的。但如果考察熵的话情况就不一样 了。如果取熵函数为u ( “) = u 2 ，则无论怎样定义数值熵我们都会发现其离散和要 小于熵函数在区间上的积分。而且随着时间的发展，数值熵不断减少。其原因是 因为格式中有数值粘性，它在间断附近的大小为0 ( 1 ) 。是粘性在不断地减少熵， 从而不断地耗散数值解。显然，如果我们能设计一个格式，对方程( 1 2 ) 它既能保 持数值解守恒又能保持数值解的熵守恒，或则对熵的减少不那麽严重，那麽它就 有可能克服数值解的线性耗散问题 和所有以往的格式不同，在我们的格式中。熵也是作为一个独立的量被计算 的。我们的想法是是否可以合适地设计格式中的熵耗散函数，使得数值熵在跨过 线性间断时其减少得很少，甚至保持守恒。然后我们用算得的数值熵来重构数值 解，由此可消除计算中的线性耗散问题。当然在重构数值解时会遇到非物理振荡 的问题，我们试图采用一些数值技巧来消除间断附近的非物理振荡本文3 ，4 和 3 5 节的讨论表明这样的思想是可行的，尽管我们的结果还不是很完美的。 本工作实际是从【2 5 】和【2 4 l 开始的。在【25 ，作者的硕士学位论文中我们第 一次对一维单个守恒律方程设计了一个二阶的这样的格式在那篇文章里我们对 格式给出了相容性的定义及关于格式的l a x - w e n d r o f f 定理。定理说如果用此格式 求得的数值解收敛。则一定收敛到方程( 1 1 ) 满足熵条件的解。在那篇文章里我们 仅对特殊的熵函数u ( u ) = u 2 分析了格式的精度，格式在远离极值点的地方为二 阶精度，在极值点附近为一阶精度。相应的一些结果及其的一些改进发表在2 4 1 和【2 3 】但当时的工作中还没有意识到要用这样的格式来克服线性间断的磨损问 题，只是考虑可通过模拟和控制熵来设计稳定的格式 本文的主要工作t ( 1 ) 将该算法推广到了方程组情况。其关键是熵耗散函数的设计。其应对三种 间断都起作用，且作用于各间断的部分应相互不影响 ( 2 ) 对方程组的情况给出了格式的相容性定义及l a x - w e n d r o f f 定理。事实上它 们和单个方程时的几乎没什磨两样。我们对一般的熵函数分析了格式的精度。 ( 3 ) 由于我们试图用这样设计的格式来克服线性耗散问题，因此对线性传输方 2 0 0 5 上海大学博士学位论文5 程( 1 2 ) ，用不带熵耗散函数的格式进行了一系列数值实验，由此来考察数值熵对 克服线性耗散所起的作用实验表明对于光滑解的数值结果非常理想。线性数值 耗散被完全克服，虽经过长时间的计算数值解没有丢失结构对于含间断的解。 数值结果在间断处出现非物理的振荡。但和l s x - w e n d r o f f 类型的格式的数值振荡 不同，这些振荡显然不是由于格式的散射特性引起的，它们局限在间断附近，显 然可通过一些数值手段来控制它们。 ( 4 ) 基于( 3 ) 的研究，我们设计了两种格式。一种格式中我们仍给线性方程或 方程组的线性特征场以一定的熵耗散以稳定计算。另一种格式中我们保持线性方 程或方程组的线性特征场上的熵守恒，同时为数值解的重构了设计一种所谓的“极 大值减少极小值增”( m i n i m u m s - i n c r e a s e - m i d m a x i m u r a s d e c r e a s e 或m i m d ) 斜率控 制因子以消除间断附近的非物理振荡 应该说，我们所设计的两种格式都还不是十分完美的，线性耗散问题并没有 完全克服，所设计的格式还存在着这样和那样的问题。但我们毕竟设计了一种新 的，用完全不同的机制来实现稳定性的格式。且和其它的二阶格式相比，数值结 果表明它在好些方面有优越之处。我们的研究还在进行，更合理的嫡耗散函数及 函数重构还在寻找和研究之中，以期最终克服方程组中的线性耗散问题。 我们注意到在f b o u c h u t 的文章【1 中，其格式的设计有相似的思想。在该文 中，作者给出了一个也包含熵近似的差分格式它是一个被独立计算的量在格式 中，近似熵的计算也伴随着熵的耗散以此来更好地稳定计算然而f b o u c h u t 在 文章中的思想主要是想通过这种方式来改进【6 】中的格式，来消除f 6 】的算例中出 现的阶梯型结构因此，这种思想没有被进一步发展 本文的结构如下t 第一章是引言；第二章描述了流体力学中的守恒型方程( 组) 及有限体积法中 的有关的一些基本的概念和理论知识；第三章第一节详细而又系统地描述了对于 一维守恒律方程( 组) 熵耗散格式的设计；第二节对方程组的情况给出了格式的 相容性定义及l a x - w e n d r o f f 定理，对于一般的熵函数分析了格式的精度；第三节 数值地分析了熵耗散因子应满足的条件并给出了一种具体的构造方式；第四节是 对线性方程( 1 1 ) 用不含熵耗散的格式进行数值实验，以分析数值熵对克服线性耗 散的作用；第五节设计了两种处理线性特征场熵的计算的方法，其中一种用到了 m i m d 斜率控制因子使得格式在线性区域保证熵守恒，在非线性区域引入恰当 6 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 的熵耗散；第四章对于单个方程和方程组，分别给出了用带线性熵耗散的格式和 不带线性熵耗散但在数值解的重构中运用了m i m d 斜率控制因子的格式进行数值 实验；第五章是结论。 2 0 0 5 上海大学博士学位论文 7 第二章基本的概念和理论 作为对以后几章的准备，在本章的第一节我们将给出流体力学中的有关守恒 型方程组的一些基本的概念；在本章的第二节我们给出了求解守恒型方程组的有 限体积法中的一些基本的概念和理论，并介绍了g o d u n o v 型方法。本章的主要概 念和理论可参见【4 7 ， 3 】 【2 0 ，【2 1 】和 17 】。 2 1 守恒型方程组 如引言中所描述的具有如下形式的一维空间的偏微分方程组 称为守恒型方程组，其中“= ( ? a 1 ，u 2 ，u 。) 是关于z 。t 的m 维的矢量函数，称 为守恒量，或状态变量，如流体动力学中的质量，动量和能量。更精确点就是q 是第j 个状态变量的密度函数j 署u j ( x ，t ) d x 表示的是该状态变量在区间 w l ，x 2 中在时刻t 的总量我们称这些状态变量是守恒的指的是f u j ( x ，t ) d x 关于t 是 不变的，( “) = ( ，i ( n ) ，矗( ”) ，厶( “) ) 称为流函数当m = 1 时，( 2 1 1 ) 式即为单 个守恒律守恒型方程组是由物理定律在任意两点。1 和x 2 之间的如下积分形式 杀u ( ? ，t ) 出= f ( u ( x l ，t ) ) 一，( “( t ) ) ( 2 1 2 ) z 1 得到的( 2 1 2 ) 表示在区间陋i ，。2 】中总的流体的量( 如质量，动量，能量等) 的变 化仅仅与两端点处的流有关，这就是守恒的基础，其中，( “( t ) ) 和，( u ( 。2 ，t ) ) 分 别表示在x 1 和。2 点的流入流出的量。 方程组( 2 1 1 ) 在下述意义下是双曲型的：若mxm 的j a c o b i a n 矩阵 脚) = ，b ) = 船 有m 个实的特征值，并满足以下条件 a 1 ( “) a 2 ( u ) 兰a 。( “) f 2 1 - 3 日) 8 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 并且有一个由m 个线性无关的右特征向量构成的完备集 r 1 ( “) ，r 2 ( ”) ，一，r 。( “) ) 。 著有 a i ( u ) a 2 ( u ) 1 时，方程组( 2 1 1 ) 有m 类( 族) 特征线。此时解“( 乩t ) 不可能在每类 ( 族) 特征线上都为常数如果在所考虑的区域内，对于某一，1 k m ， o 百a k o ， ( 2 1 1 2 ) 乩 、 ( 这里等= ( 象，差) 而n 为该特征场上的r i e m a n n 不变量) 。则称方程组 ( 2 1 1 ) 对于特征值h 是真正非线性的，如果( 2 1 1 1 ) 对于所有的k 都成立，则称 方程组( 2 t 1 ) 是真正非线性的。如果 o i a k = 0 ， ( 2 1 1 3 ) 则称方程组( 211 ) 对于特征值札是线性退化的 2 1 2 简单波 在( ) 平面中的某个区域上。如果方程组( 2 1 1 ) 的某一族特征线上的r i e m a n n 不变量是同一十常数即该族各条特征线上的r i e r a e n n 不变量彼此相等，这种流动 就称为简单波可以证明简单波区域中的特征线是直线，并且该流动是连续的。 简单波分稀疏波和压维波穿过压缩波时，不论是向前还是向后其直线族特征线 是聚拢的；而穿过稀疏波时，其直线族特征线是散开的 2 1 3 间断解及r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 2 1 3 问断解及r a n k i n a - h u g o n i o t 关系 2 0 0 5 上海大学博士学位论文9 从而解u ( x ，t ) 在特征线上为常数如果方程为线性的即线性传输方程，即，( “) = a u ， 此时，其特征线为平行的直线。如果方程为真正非线性的即， f 2 1 1 0 、 ( 2 1 1 1 1 其中，( “) 是u 的非线性函数，此时特征线的斜率为，。( “) 与“有关，所以其特征 线尽管还是直线，但互相不平行。详细情况可参见【3 】，【4 8 】和【4 4 】。 当m 1 时，方程组( 2 1 1 ) 有m 类( 族) 特征线，此时解u ( 。，) 不可能在每类 ( 族) 特征线上都为常数。如果在所考虑的区域内，对于某一k ，1sks m ， 豢r k o ， ( 2 _ 1 1 2 ) a “ 7 ”、7 ( 这里等= ( 鬻，象) 而化为该特征场上的r k m a l l n 不变量) ，则称方程组 ( 2 1 1 ) 对于特征值h 是真正非线性的，如果( 2 1 1 1 ) 对于所有的k 都成立，则称 方程组( 2 1 1 ) 是真正非线性的。如果 娑n ：o ， ( 2 1 1 3 ) 孔” 刚称方程组( 2 1 1 ) 对于特征值札是线性退化的。 2 1 2 简单波 在( z ，t ) 平面中的某个区域上，如果方程组( 2 1 1 ) 的某族特征线上的r i e m a n n 不变量是同一个常数，即该族各条特征线上的r i e m a n n 不变量彼此相等，这种流动 就称为简单波可以证明简单波区域中的特征线是直线。并且该流动是连续的。 简单波分稀疏波和压缩波穿过压缩波时，不论是向前还是向后其直线族特征线 是聚拢的；而穿过稀疏波时，其直线族特征线是散开的 2 1 3 间断解及r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 1 0 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 满足方程组( 2 1 1 ) 的连续可微的解称为古典解但众所周知方程组( 2 1 1 ) 的 古典解可能不存在因为即使所给的初值u o ( x ) 十分光滑，( 2 1 1 ) 的解随着时间的 发展也可能产生间断，在物理和力学中就对应着激波和切向间断的产生和存在 含有间断的解不再按古典意义满足偏微分方程组( 2 1 1 ) ，因为此时解连古典意义 的导数都不存在为理解间断解，人们拓广了解的空间，允许间断解的存在。由 此提出了弱解的概念。 定义2 1设是( 。，t ) 空间上半平面t 0 内具紧支集的一阶连续可微函数， 即s u p p ( ) 怛r + 】如果对所有四汜月+ 】，都有以下关系成立 r r + o d，+ o o ( u 也+ ，( “) 如) d x d t + “o ( z ) ( z ，o ) d x = 0 ，( 2 1 1 4 ) j 0j 一j 一。c 则称u ( z ，t ) 是方程组( 2 1 1 ) 的弱解，其中u o ( x ) = u ( z ，0 ) 。 当解产生间断时，含有间断的解在间断面处不再按古典意义满足偏微分方程 组，而是要满足一定的间断面关系式，也即如下的r a n k i n e - h u g o n i o t 跳跃条件( 见 【2 0 】和【2 l 】) t 8 = ，( “) ，( 2 1 1 5 ) 其中s = 害为间断传播速度，z = 。( t ) 是方程组( 2 1 1 ) 的解的间断线。 u 】= 一u ， ，( 训= ，( q ) 一，) 分别称为量u 和，( u ) 穿过间断线时的跃度，而啦和“，分别 是间断线两侧的解伽= u ( ( t ) 一o ，t ) ，嘶= ”( z ( t ) + 0 ，t ) 。 田2 1 ( a ) 中同族特征线平行形成切向间断 ( b ) 中同族特征线相交并回到初始值而形成激波 2 0 0 5 上海大学博士学位论文 一般可将间断面分为两种：切向间断与激波阵面。切向间断是线性间断，即 其为线性退化的特征场中的间断间断的传播速度就是特征速度，即切向间断两 侧的特征线与间断线相互平行，如图2 1 ( a ) 所示。而激波是同族特征线相交形成 的，即激波两侧的特征线必须相交，并且由激波两侧出来的特征线必须能够回到 初始值，如图2 1 ( b ) 所示 2 1 4 熵函数和熵条件 众所周知，方程组( 2 1 1 ) 的弱解可能不唯一，数学上可能存在非物理意义的 激波，所以必须有附加的条件来加以判断所求得的弱解是否符合实际物理意义 流体力学中的一个重要的物理量一一熵，它是衡量系统混乱状态的一个量熵的 一个最重要的性质是在连续流动中熵沿着粒子的每一条轨线都是常数，而只有在 跨过激波时熵才会有跳跃，并且必须是增加的这也是判断具有实际物理意义的 激波的一个物理的条件。 数学上对守恒型方程组定义熵函数u ( 4 ) 和熵条件如下t u ( “) 为“的凸函 数，并且对于光滑的解u ，u ( 4 ) 满足 u ( “) t + f ( ) m = 0 ，( 2 1 1 6 ) 其中f ( u ) 称为熵流函数因为“光滑，则有 u 。( “) 啦+ f ( “) “。= 0 ( 2 1 1 7 ) 将方程组( 2 1 1 ) 的拟线性形式( 2 1 4 ) 乘以u7 ( u ) 并与( 2 1 ，1 6 ) 比较可得 f ( ) = u ( u ) ( u ) ( 2 1 1 8 ) 所以f ( u ) 是u ( u ) ，( u ) 的一原函数即： f ( u ) ：i q u ( 。) ，o ) d r ， 其中c 为常数。对于单个守恒律，( 2 1 1 6 ) 有无穷多个解( u ( u ) ，f ( u ) ) 但对于方程 组。( 2 1 1 8 ) 变为v f ( 4 ) = ，( u ) v u ( u ) ，这里u 和f 仍为纯量函数，但是v f ( u ) 和v u ( u ) 为函数f 和u 相对于u 求梯度的行向量， v 脚h 筹，甏，器 ， 1 2 一维守恒型方程( 组) 的熵耗散格式 并且此时，( ) 是m m 的j a c o b i a n 矩阵一般( 2 1 1 8 ) 是关于u 和f 的含有m 个方程的方程组对于方程组u ( “) 为凸函数相当于它的h e s s i a n 阵u ”为正定的。 当m 2 时方程( 2 1 1 8 ) 可能无解。但可庆幸的是一些具有物理意义的方程组都有 熵函数，包括e u l e r 方程组( 其熵函数详见2 1 6 ) 。对于对称型方程组，其均具有 熵函数u ( u ) = “7 “，( 见【8 ) 。相反的，如果方程组有一凸熵，则它的h e s s i a n 阵 旷可以将方程组对称化，( 见m ( 4 0 i ) 。 若u ( 。，t ) 是方程组( 2 1 1 ) 的间断解，如果对于所有的熵函数u ( “) 和对应的熵 流f ( ”) 在弱形式的意义下满足不等式 f 2 1 ，1 9 、 则称“( z ，t ) 是方程( 2 1 1 ) 的满足熵条件的弱解注意，在数学上人们习惯于将熵 函数取为凸的，此时跨过间断时熵增加而非减少( 2 1 1 9 ) 的弱形式为t 对于所 有的口( z ，t ) 饼( r r + ) 且庐( ，t ) 0 有 f 0 0f 。毋( 。，t ) u ( 豇( z ，t ) ) + 庐；( ，t ) f ( 珏( 。，t ) ) d z 出o ( 2 1 2 0 ) j u ，一。 成立我们知道当解跨越间断时，方程的弱解解满足r a m k i n e - h u g o n i o t 跳跃条件： s ( 乱，一u 1 ) = ，( r ) 一，( q ) 相应地，跨越间断时，熵函数和熵流函数满足下面不等式t s ( u ( ) 一u ( 珏1 ) ) 2f ( 撕) 一f ( t 乩) ， ( 2 ，1 2 1 ) 因此可得，运动速度为s 的间断解为满足熵条件的解当且仅当( 2 1 2 1 ) 成立( 见 【2 0 ，【2 1 ) 。在下面构造我们的熵耗散格式时，主要用到了上面这两个熵的关系。 作为对熵的较完整的讨论，下面再给出l a x 的熵条件形式 l a x 熵条件；单个守恒律方程，8 为间断速度，饥和n ，分别为间断线两侧 的状态，如果： ，( h ! ) s ，) ，( 2 1 、2 2 ) 则称该间断满足l a x 熵条件。这里，( “) 为特征速度。如果解中所有的间断( 激 波) 都满足( 2 1 2 2 ) ，则解也是满足l a x 熵条件。对于严格双曲型方程组( 2 1 1 ) ， 2 0 0 5 上海大学博士学位论文 1 3 s 为间断速度，u f 和u ，分别为间断线两侧的状态，如果第k 类特征值满足以下不 等式： 札( “f ) 8 a k ( u ，) ，( 2 1 2 3 ) 则称其满足l a x 熵条件。这时第k 类特征线相交于间断线上，而其他类特征线则 穿过间断线， ( u 1 ) 3a n d ( 蛳) s f o r j ， ( 2 1 2 4 ) 当跨越一间断时，熵的改变量为d ( u l ，嘶) = 8 ( u ( 4 ，) 一u ( 4 1 ) ) 一( f ( u ，) 一f ( ) ) 在下面设计格式时我们需要估算这个量利用h o g o n i o t 轨线的知识( 见【1 6 ，【4 8 ) 可算得其为t d ( u l ，嘶) = 一；s 姒硼“( i ) ) 7 ( ( 碱4 t ( 珊3 ， ( 2 1 2 5 ) 其中d 为连接和“，的间断轨线上的参量，u ( o ) = i 和u ( 6 ) = 蚧j 是0 和6 之 间的一值在单个守恒律时我们注意到 1 ) 当f ( 4 ) = a 4 为线性函数时，此时8 ( ) = 口，所以s ( “) = 0 ，d ( u l ，嘶) = 0 这表明跨过间断时解是守恒的，而熵也是守恒的。 2 ) 当( 4 ) 为非线性函数时，此时不难算得s 协( _ ) ) = f l j ( f ) ，这而f 为和“， 中间的某一值此时0 ( 4 j ，4 ，) 不为0 ，由此跨过间断时熵是真正在变化的。 在方程组时也有类是情况。跨过激波( 此时真正非线性) 时熵是真正改变的， 而跨过切向间断( 此时线性退化) 时，熵守恒。在下面的格式构造讨论中，我们会 用到这一事实。 2 1 5 r i e m a n n 问题 守恒型方程组( 2 1 1 ) 的r i e m a n n 问题是具有如下形式初值的初值问题 州扣iu