（计算数学专业论文）21维孤立波方程的多辛格式.pdf

摘要 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子 体物理，非线性光学，经典场论等领域有着广泛的应用。尽管近年来孤立子方 程的理论研究已经取得了丰硕的成果，例如反散射法的发展和应用，但是，数 值方法仍是研究孤立子方程必不可少的重要手段。 奉论文致力于研究孤立子方程的数值方法，我们研究了关于著名的k o r t e w e g - d ev r i e s 方稃的两个维扩展方程：k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方稗 i l z a k h a r o v - k u z i l e t s o v ( z k ) 方程，这两个方程都足2 + 1 维的孤立子方程。关于这两个方程， 前人已经给出了一些数值研究。最近，m a r s d e n 和b r i d g e s ：等人先后从不同的 角度提出了多辛结构和多辛格式的概念。众所周知，有两个基本的多辛格 式：p r c i s s m a n 格式 l ：l e u l e rb o x 格式。其中p r e i s s m a n ：格式是紧致的，而e u l e r b r x 格式是非紧敛的。最近一段时间内，关于p r e i s s m a m 洛式的研究相当多，也 取得了很多重要的成果。大量数值实验验证了p r e i s s m a n 格式在k 刚问运算上 的高效性。但是对于e u l e rb o x 格式研究较少，我们不禁行这样的疑问，在长 时间运算上，非紧致的e u l e rb o x 格式是否有和p r e i 8 8 m a n 格式一样好的数值表 现。该问题埘十多辛格式的理论发展和实际麻朋都非常重要，分析和验证多 辛e ，t i e rb o x 格式的优越性本身就是在完善多辛格式理论，同时也说明多辛结构 的保持对偏微分方程的数值方法的性能提高有很大的帮助，增加了人们广泛 应用多辛格式的信心。因此，本文讨论，k p 方程* n z k 方程的多辛e u l e rb o x 格 式，分别得到了两个方程各自的一个新的多辛格式。在本文中，我们在前人已 经将这两个方程写成了多辛形式的基础上，把, e l d e rb o x , 格式应用到了这两个方 程中，分别得到了一个新的多辛格式，1 6 点格式和1 0 点格式。这两个格式具有 以下优点：对非线性项不需要进行迭代，存这个意义下，这两个格式都是显格 式，而由p r e i s s m a n 格式m 发得到的格式都是全隐格式，因此，e u l e rb o x 格式 较p r e i s s m m - j 瞎战更易于在计算机上实现，运行速度更快。关于这两个格式的后 误差分析显示，其修正方稃不是多辛的，但却足关于修正结构的多辛偏微分方 程的一个高阶逼近。最后，给出了一些数值实验，结果证明，非紧致的e u l e r b o x 格式的数值表现在长时间运算上和紧致的p r e i s s m a n 格式一样优秀。 关键词：k p 方程；z k ：y 程；多辛格式；e u l e rb o x 格式；后误差分析。 a b s t r a c t t h es o l i t o nt h e o r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm a t h e - m a t i c a lp h y s i c s i th a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nf l u i dm e c h a n i c s ，n o n l i n - e a ro p t i c s ，c l a s s i c a la n dq u a n t m nf i e l d st h e o r i e se t c t h o u g hm a n yi m p o r t a n t p r o g r e s so fs o l i t o nt h e o r y , s u c ha 8t h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，h a v eb e e nm a d e i nt h er e c e n ty e a r s ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sa r es t i l lv e r yi m p o r t a n ta n da b s o l u t e l y n e c e s s a r yi ns t u d y i n gt h es o l i t o ne q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，h i g h e r - d i m e n s i o n a le x t e n s i o n so ft h eu b i q u i t o u sk o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) e q u a t i o na r ei n v e s t i g a t e d o n ei s t h ez a k h a r o v - k u z n e t s o v ( z k ) e q u a t i o n ，a n dt h eo t h e ri st h eg e n e r a l i z e dk a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) e q u a - t i o n ，t h e ya r eb o t ht h e2 + ld i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n s r e c e n t l y , m a r s d e n ， p a t r i ka n ds h k o l l e ra n db r i d g e sa n dr e i c hp r o p o s e dt i l ec o n c e p to fm u l t i s y l n p l e c t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) a n dm u l t i s y m p l e c t i cs c h e l n e st h a tc a n b ev i e w e da st h eg e n e r a l i z a t i o no fs y m p l e c t i cs c h e m e s a sw ek n o w t h e r ea r et w o b a s i cm u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e s ：t h ep r e i s s m a ns c h e m ea n dt h er u l e rb o xs c h e m e t h ep r e i s s m a ns c h e m eh a sb e e nh o ti nt h el a s ty e a r s ，h o w e v e r ，l i t t l ew o r kh a s b e e nd o n ew i t ht h er u l e rb o xs c h e m e w ek n o wt h a tt h ep r e i s s m a ns c h e m ei s c o m p a c tw h i l et h ee u l e rb o xs c h e m ei sn o ts o ，w ew a n tt ok n o ww h e t h e rt i l e n o n - c o m p a c te u l e rb o xs c h e m eh a sa sg o o dan u m e r i c a lp e r f o r m a n c ea sh a st h e p r e i s s m a ns c h e m e ? t h ee u l e rb o xs c h e m ei 8a l s oa ni m p o r t a n tc o n c e p to ft h e r n u l t i s y m p l e c t i ct h e o r y s o ，w ei n v e s t i g a t et h en o n c o m p a c te u l e rb o xf o rt h et w o e q u a t i o n s a1 6 - p o i n ts c h e m ef o rt h ek pe q u a t i o n ，a n da1 0 - p o i n ts c h e m ef o r t h ez ke q u a t i o na r ed e r i v e d t h e ya r eb o t he x p l i c i ts c h e m e si ns e n s et h a tt h e y d on o tn e e di t e r a t i o ni ne a c ht i m ei n t e g r a t i o n f u r t h e r m o r et h en e ws c h e m e s c a nb ee a s i l yc a r r i e do u t ，s ot h e ym a yb eu s e f u lt o o l sf o re n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t os t u d yt h ek pa n dt h ez ke q u a t i o n s t h er e s n l t so fb a c ke r r o ra l i a 1 y s i sf o r t h ee u l e rb o xs c h e m es h o wt h a tt h em o d i f i e de q u a t i o n sa s s o c i a t e dw i t ht h en e w s c h e m e sa r en o tm u l t i s y m p l e c t i cb u to fh i g ho r d e ra p p r o x i m a t i o n st ot h em u l t i s y m p l e c t i cp d e sw i t ht h em o d i f i e ds t r u c t u r e s a tl a s t ，n u m e r i c a lr e s u l t so i ls o m e w a v e sa r er e p o r t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h em u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e s k e yw o r d s ：k pe q u a t i o n ；z ke q u a t i o n ；m u l t i s y m p l e c t i cs t r u c t u r e ；e u l e r b o xs c h e m e ；b a c k w a r de r r o ra n a l y s i s v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 k o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n m a n yy e a r sa g o ，k o r t e w e ga n dd ev r i e s 【 d e r i v e da ne q u a t i o ne q u i v a l e n tt o u + ( 3 u 2 ) 。+ 仳。= 0( t 0 ，一o 。 z 0 ，一( 3 0 z ，y 0 ，o o z ，y t y p es o l i t a r yw a v ea tt = 1w i t h a x = o 1 ，a y = 0 2 ，a n da t = o 0 0 0 0 5 f i g 2 3 9 t h ee r r o rb e t w e e nt h ei m m e r i c a is o l u t i o na n dt h ee x a c ts o l u t i o no f l u m p t y p es o l i t a r yw a v e 砒t = 1w i t ha x = 0 1 a y = 02 a n da t = 0 0 0 0 0 5 a c c o r d i n gt o ( 2 4 j ) ，t h i sl u m pt y p es o l i t a r yw a v ow i l lm o v et ot h ep o s i t i v eg d i r e c t i o nw i t hv e l o c i t y3 “2 f i g u r 2 3 7a n d2 38s h o wt h em o v i n go ft h el u m p t y p es o l i t a r yw a v e c h a p t e r3 ai l e wm u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e f o rt h ez a k h a r o v k u z n e t s o v ( z k ) e q u a t i o n 3 1z k e q u a t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ed e a lw i t ht i l ez ke q u a t i o no ft h ef o r m ： 时扣) 。+ u x x x i f u x y y = o ( 3 1 1 ) w h i c hi sat w od i m c n s i o n a 1g e n e r m i z a t i o no ft h ek d ve q u a t i o n i tw a sf i r s t d e r i v e db yz a l & a r o va n dk u z n e t s o v ( 1 9 7 4 ) h 】i nt h r e ed i m e n s i o n a lf o r mt o d e s c r i b en o n l i n e a ri o n a c o u s t i cw a v e si nam a g n e t i z e dp l a s m a ，17 】 毗+ m b + ( 饥) 。一0= + 瑶+ ( 3 12 ) av a r i e t yo fp h y s i c a lp h e n o m e n a ，i nt h ep u r e l yd i s p e r s i v el i m i t ，a r eg o v e r n e d b yt h i st y p eo fe q u a t i o n ；f o re x a m p l e ，t h er o s s b yw a v e si nr o t a t i n ga t m o s p h e r e m ，a n dt h ei s o l a t e dv o r t e xo ft h ed r i f tw a v e si nt h r e ed i m e n s i o n a lp l a s m a 】 a l t h o u g he q ( 3 1 1 ) i sn o te v e ni n t e g r a b l e ，q u i t eal o ti s n o wk n o w na b o u ti t 8 n o n l i n e a rw a v ea n ds o l i t o ns o l u t i o n s f o rn u m e r i c a la n da n a l y t i c a lr e s u l t so fe q ( 3 1 1 ) ，s e e 1a n d 【1 r e c e n l ，l y ，c h e n 卜】，f r o mt h ep r e i s s m a ns c h e m ef o rr e a l t i s y m p l e c t i ee q u a - t i o n s ，d c r i v e dam u l t i s y m p l e c t i cn u m e r i c a ls c h e m ef o rt h ez ke q u a t i o nt h a tc a n an e wm u l t i s y m p l e c t i cs d l e m ef o rt h ez a k h a r o v - k u z n e t s o v ( z k ) 3 0 e q u a t i o n b es i m p l i f i e dt oa ni m p l i c i t3 6 一p o i n ts c h e m e ： w h e r e u ( i , 2 f 2 瓦) 2 u r , ( 3 ，n ) 2 札h = 兰! ! 2 ：兰! 二兰! ! 塑! ! ! 二! 。1 2 a t2塑- - 2 当- - 2 业+2 o u + 2 ，0 ，n ) 一3 u i + 1 ，0 ，n ) + 3 u l ，u ，n ) 一u i 一1 ，u ，n ) z 3 塑曼坐l 二兰粤塑! 二蜊：o a x a y 2 。 + 五l l + 2 j + 1 + 2 u l + 2 j + + 2 j l + 3 u 0 1 j + l + 6 0 1 j + 3 扎0 l ，卜l 3 “易h + 6 “：j + 3 “b l + “f l l j + 1 + 2 “l 1 j + 越一1 j 1 ) ， f = n 一1 ，n + 1 ， ；( ( 峨州) 2 + ( “。n - 砖5 州) 2 + ( 端卜 ) 2 ( t i p ) 2 ) ，m = i 一1 ，i + l ， 1 x 酣n ，j + + 1 1 + 2 乱嚣1 + ”n + 一1 1 + 2 札z n l + 4 吃+ 2 乱一l 1 i _ ny + 1 l + 2 “z 了1 + u h n t ，i 1 1 ) ， r = i t ，i ，i + l ，i + 2 ， 去( “件n + 。i ，+ 2 u 算。，+ 嘶n + - - ：1 ，+ n + + 如l 一“i i l 一a n + 1 ，一2 “：1 j a n ，- 1 ) + 2 耳l 一+ u n1 一一： 1 2 “? 。 s = j 一1 ，j ，j + 1 i nt h i sc h a p l e r ，t h em u l t i s y m p l e c t i ce u l e rb o xs c h e m ef o rt h ez ke q u a t i o ni s i n v e s t ，i g a t e da n da ne x p l i c i ts c h e m ei sd c r i v e d 3 2d e r i v a t i o no fan e w e x p l i c i ts c h e m ef o rt h e z k e q u a t i o n i n t r o d u c i n gt h ep o t e n t i a l = u ，e q ( 3 1 1 ) i se q u i v a l e n tt o + 妒z z + 埘z + 妒船f = 0( 32 1 ) b yu s i n gt h ec o v a r i a n tl e g e n d r et r a n s f o r m a t i o n ，w ec a nd e s c r i b et h ez ke q u a - t i o ni nt h em u l t i s y m p l e c t i ch a m i l t o n i a nf r a m e w o r kw h i c hw a sf i r s ti n t r o d u c e d b yb r i d g e si n ) ，s e ea l s o 【。， 】t h en m l t i s y m p l e c t i ch a m i l t o n i a nf o r m u l a - t i o np o s s e s s e sac o m p l e t e l yl o c a lm l l l t i s y n l p j e c t i cc o n s e r v a t i o nl a wa n dt h e r e f o r e 3 2d e r i v a t i o no fai l e we x p l i c i ts c h e m ef o rt h ez k e q u a t i o n 3 1 d e s c r i b e st h es y s t e mi n o r ed e e p l y t h es y s t e m ( 3 2 1 ) c a nb er e f o r m u l a t e da st h e f o l l o w i n gf i r s t o r d e rs y s t e m ：一】 2 “， l i 仇+ + w y2 p 毗一u y = 0 ， 一互1 t m = o ， - - u x 十2 一仃， 一口z 一= 一叫 f 3 2 2 1 w h i c hc a nb ew r i t t e na sam u l t i s y m p l e c t i ch a m i l t o n i a ns y s t e m 蔚磊+ 露乏+ 毛= v a f t ) ，( 3 2 3 ) w h e r e m k = l = 霎 2 1 2 尸+ “扣 邀 陆 j j 1 j o o o o o 0 0 0 0 0 0 ( 1 0 o o 0 0 o o 一o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 020 o o o 0 0 o o 1 一 0 o o o 0 一 o o o o o o 0 o o o 0 o o o o 0 m 0 ，fi一， al l e wm u l t i s y m p l e c t i cs c h e m ef o rt h ez a k h a r o v - k u z n e t s o v ( z k ) 3 2 e q u a t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ec o n s i d e ra b o u tad e g e n e r a t i v em u l t i s y m p l e c t i cs y s t e mj u s t f o rc o m p u t i n gc o n v e n i e n c e t h es y s t e m ( 3 2 2 ) c a nb er e f o r m u l a t e da sf o l l o w s 妒z = 钍， 1 1 。 互忱+ ”z + ”2 p 一互“。 一产1 一m = o 一札z = 一 ， - - 2 t y 2 一 w h i c hc a nb ew r i t t e na sam u l t i s y m p l e c t i ch a m i l t o n i a ns y s t e m w h e r e a n d m 互+ k z 。+ l z p = v ：s ( z ) z = 仞，“，q ，妒，削，埘) t ， s c z ) = 叩一l ( v + w 2 ) m = l = ( 3 2 1 ) ( 3 2 5 ) f o re q ( 3 2 5 ) ，o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i ci st h a ti ts a t i s f i e s t h en m l t i s y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o nl a w 警+ 丝+ 面o q 8 x 扎 ( 3 2 6 ) 出。 巩 、，、lll、j 叭o。吖、o o 。o o，叭叫_吖 0 o o o 0 o l o o o o o o o o o 三2 0 0 0 1 0 0 0 o o o o 0 0 o o 2 0 o o o o o o o o o 0 o 0 o o o o o 一0 o 0 0 o o 0 一， 3 2d e r i v a t i o no fan e we x p l i c i ts c h e m ef o rt h ez ke q u a t i o n3 3 w h e r e ”= l ( d z a m d z ) ，七= ；( d z a k d 2 ) ，g = ；( d z a l d 。) ， ( 32 7 ) a r ed i f f e r e n t i a lt w o - 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