（学前教育学专业论文）57岁儿童对初步的乘法关系理解和应用的发展研究.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e ei n2 0 1 0 u n i v e r s i t y c o d e ：1 0 2 6 9 e n r o l l m e n tn u m b e r ：51 0 7 0 9 0 2 0 3 3 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h e s t u d yo nt h ed e v e l o p m e n t o f u n d e r s t a n d i n ga n d u s eo fm u l t i p i c a t i o n i ny o u n gc h i l d r e na g e d5 。i _ _ _ 7 d e p a r t m e n t ：p r e s e h o o le d u c a t i o nd e p a r t m e n t m a j o r ：p r e s e h o o le d u e a t i o n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx i nz h o u a u t h o r ： y a j i ez h a n g a p r i l 2 0 1 0 郑重声明：本人呈交的学位论文5 7 岁儿章对初步的乘法关系理解和应用 的发展研究，是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：妻笼盈是 日期：砌口年厂月，夕同 华东师范大学学位论文著作权使用声明 5 7 岁儿章对初步的乘法关系理解和应用的发展研究系本人在华东师范 大学攻读学位期问在导师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并 向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版 和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数掘库被查阅、借阅；问意 学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位 论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文宰， 于年月r 解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 奉“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范人学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，朱 经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文， 均适用上述授权) 。 一r 赵叫 弛啤 名 剃沙 人 芩 丞垩态硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 周兢教授华东师范大学主席 钱琴珍副教授华东师范大学 黄瑾副教授华东师范大学 论文摘要 本研究的目的是考查5 7 岁儿童对初步乘法关系理解和应用的发展状况和年龄 特点，以及初步乘法能力和重复加能力发展之间的关系。被试是从河南省某市三所 普通幼儿园和一所小学随机抽取1 8 0 名儿童( 5 7 岁) 。研究所采用的工具是根据格 里尔( g r e e r ，1 9 9 2 ) 和安吉莱瑞( a n 曲i l e r i ，1 9 8 9 ) 的整数乘法的基本类型中的相等 小组题目和矩形排列任务改编而成的相等小组任务工具，以及改编自索菲安和马德 里( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) 的许多对一任务工具。重复加任务的工具由帕克和努涅斯 ( p a r k & n u n e s ，2 0 0 1 ) 的重复加任务改编。研究用描述性统计的方法考查了5 7 岁儿童对初步乘法关系理解和应用的发展状况；采用多元方差分析的方法考查了5 7 岁儿童对初步乘法关系理解和应用的年龄发展特点和性别差异问题；采用相关分析 的方法考查了5 7 岁儿童初步的乘法能力与重复加能力之间的相关关系；最后讨论 了5 7 岁儿童初步乘法关系理解与应用的发展状况以及年龄发展特点所蕴含的教育 意义。 结果表明：5 7 岁儿童对初步乘法关系的理解和运用的能力随年龄的增加逐渐 增加，其中一年级和大班的差距明显大于大班和中班的差距，说明儿童对初步乘法 关系的理解从大班到一年级有了较大的发展；5 7 岁儿童对初步乘法关系的理解和 运用未出现明显的性别差异；5 7 岁儿童对乘法关系的理解和运用受实物的影响较 大；在策略使用上，5 7 岁儿童使用的有效策略明显增加，由加法思维向乘法思维 过渡；5 - 7 岁儿童在重复加任务中表现更好，说明重复加只是解决初步乘法关系问 题的策略。 关键词：儿童乘法关系许多对一重复加 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i ss t u d yw a st oi n v e s t i g a t et h ed e v e l o p m e n t a lc h a r a c t e r i s t i c s i ny o u n gc h i l d r e n su n d e r s t a n d i n ga n du s eo fm u l t i p i c a t i o n as a m p l eo f1 8 0c h i l d r e n a g e d5 - 7w a sr a n d o m l ys e l i c t e df r o mt h r e eo r d i n a r yp r e s c h o o l sa n do n ep r i m a r ys c h o o li n ac i t yf r o mh e n a np r o v i n c e t h et e s tt oa s s e s sy o u n gc h i l d r e n se q u i v a l e n tg r o u p si nt h i s s t u d yw a ga d a p t e d f r o mt h em e a s u r ec r e a t e db yg r e e ra n da n g h i l e r i ( g r e e r ， 1 9 9 2 ；a n g h i l e r i ，1 9 8 9 ) ，a n dt h eo t h e r t e s tt oe x a m i n a t ey o u n gc h i l d r e n sm a n y - t o - o n e w a sa d a p t e df r o ms o p h i a na n dm a d r i d ( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) ，a n dt h et e s tt o e x a m i n a t ey o u n gc h i l d r e n sr e p e a t e da d d i t i o nw a sa d a p t e df r o mp a r ka n dn u n e s ( p a r k & n u n e s ，2 0 0 1 ) t h es t u d ye x a m i n e dt h es t a t u e so fy o u n gc h i l d r e n sm u l t i p i c a t i o nb y m e a n so fd e s c r i p t i v es t a t i s t i c s ；t h ee f f e c t so fa g ea n dg e n d e ro nt h e i rp e r f o r m a n c e so ft h e m u l t i p i c a t i o nu s i n gm a n o v a ；t h er e l a t i o n s h i pa m o n g t h e i rm u l t i p i c a t i o na n dr e p e a t e d a d d i t i o nt h r o u g hc o r r e l a t i o na n a l y s i s t h ei m p l i c a t i o no ft h es t u d yw a sa l s od i s c u s s e d t h er e s u l t si n d i c a t e dt h a tw i t ha g ei n c r e a s i n g ，t h eu n d e r s t s n d i n ga n du s eo f m u l t i p i c a t i o no fy o u n gc h i l d r e na g e d5 - 7i m p r o v e d t h ed i f f e r e n c eb e t w e e na g e d6 a n d7 j u s tg r e a t e rt h a na g e d5a n d6 ；b u tn og e n d e rd i s c r i m i n a t i o nw a sf o u n do nt h ec h i l d r e n s m u l t i p i c a t i o n ；t h eu n d e r s t s n d i n ga n du s eo fm u l t i p i c a t i o no fy o u n gc h i l d r e na g e d5 - 7 w a si m p a c t e db ym a t e r i a lo b j e c t s ；t h ee f f e c t i v es t r a t e g yi m p r o v e dd u r i n ga g e d5 - 7 ，a n d t h es t r a t e g yd e v e l o p m e n tf r o ma d d i t i v et om u l t i p l i c a t i v et h i n k i n g ；t h ec h i l d r e nd ot h e b e t t e rp e r f o r m a n c eo nr e p e a t e da d d i t i o n ，a n dt h er e p e a t e da d d i t i o ni so n l yas t r a t e g yt o s o l v et h em u l t i p i c a t i o n k e yw o r d ：c h i l d r e n m u l t i p i c a t i o nm a n y t o o n er e p e a t e da d d i t i o n 第三节试验程序3 3 第四节数据的收集与处理方法3 3 第五节信度和效度3 5 第四章研究结果与分析3 7 第一节5 7 岁儿童初步乘法关系理解和运用的发展3 7 第二节5 7 岁儿童解决初步乘法关系问题运用的策略分析4 5 第三节5 7 岁儿童初步乘法关系理解和重复加运算之间的关系5 0 第五章讨论5 3 第一节5 7 岁儿童解决初步乘法关系问题能力发展的年龄特点5 3 m 第二节5 7 岁儿童解决初步乘法关系问题运用的策略5 8 第三节5 7 岁儿童初步乘法关系理解和重复加运算之间的关系6 1 第六章结论、教育建议和不足之处6 3 附录一测查题目6 7 附录二测查程序及指导语6 9 附录三记录表7 1 参考文献7 2 后记”8 0 图表目录 表3 5 1 各任务之间的柯龙贝( c r o n b a c h ) q 系数3 5 表3 5 2 各个任务及总分之间的相关3 6 表4 - 1 15 7 岁儿童相等小组任务中得分频率及百分比3 7 表4 - 1 2 许多对一任务中得分频率及百分比3 8 表4 - 1 35 7 岁儿童在解决乘法关系问题和重复加中的得分均数和标准差4 0 表4 1 45 7 岁儿童解决初步乘法关系问题的每一个项目的得分均数和标准差4 1 表4 1 - 55 7 岁儿童相等小组任务和许多对一任务之间的相关4 2 表4 - 1 65 - 7 岁儿童男女得分的均数和标准差4 3 表4 - 1 7 乘法对年龄和性别的多元方差分析检验结果4 3 表4 - 1 85 - 7 岁儿童解决初步乘法问题中各项任务能力对年龄和性别的多元方差分 析表4 4 表4 - 1 95 - 7 岁儿童解决初步乘法问题中各项任务能力年级间平均差的多重比较结 果4 5 表4 2 15 - 7 岁儿童解决初步乘法关系问题使用的策略出现的频次和百分比4 6 表4 2 25 7 岁儿童使用策略出现种类的频次和百分比4 7 表4 2 3中班对不同任务策略选择的频次和百分比4 7 表4 2 - 4 大班对不同任务策略选择的频次和百分比4 8 表4 2 5 一年级对不同任务策略选择的频次和百分比4 9 表4 3 1 重复加任务的得分频率和百分比5 0 表4 3 25 7 岁乘法关系任务和重复加任务之间的相关5 1 表4 3 3 儿童完成重复加任务所采用的策略频次和百分比5 2 5 第一章绪论 在人类智能结构中，数学能力是最重要的基础能力之一。数学是参加社会生 活、从事生产劳动以及学习、研究现代科学技术等方面必不可少的工具，而且可 以培养人们的思维能力，形成思维敏捷、表达严谨、言简意赅的良好思维品质。 研究表明，儿童期是人类数学能力开始发展的非常重要的时期，是掌握数学概念、 进行抽象运算以及开始形成综合数学能力的关键时期。如果在这一时期，儿童能 够得到科学、系统并且具有个性化的训练、培养，个体的数学能力会得到很好的 发展。否则就会造成发展不足，影响今后各种能力的发展。抽象性是数学的一个 显著特点，如果儿童不具备一定的抽象能力，就无法抽象出问题的本质，在一定 程度上就会影响数学的学习。 幼儿园与小学是两个连续又存在差异的教育阶段，从儿童身心发展上看，这 一时期是儿童身心发展的重要过渡期。从学前期过渡到学龄期，儿童既保留了学 前期幼儿的某些特征，又拥有学龄期刚刚出现的某些特征。儿章在进入小学之前 就已经对数学具有了相当多的感性认识和非正式的数学经验。已经能够运用多种 方式来解决加减乘除的运算问题。学前期的儿童在记录和表征数量的过程中就获 得了一些有关数学符号的理解( 查尔斯沃斯，2 0 0 7 ) 。到了大班年龄段的幼儿的 数学知识与技能已经呈现出一定的发展水平，而这种知识和技能的发展会在很大 程度上影响他们在小学阶段的数学学习。因此，研究学前以及学龄初期的幼儿数 学学习的发展特点，以期为幼儿数学教学提供理论与实践方面的指导和参考，就 显得十分必要了。 在学龄初期，加减乘除这些数学运算能力在儿童的数学学习中一向占据着非 常重要的地位，运算能力在小学阶段主要表现为具体运算水平。中国孩子从一入 学，运算能力就一直贯穿于数学能力培养的全过程。在我国的基础教育中，计算 能力的培养仍被放在首位。对于发展学生的数感，改善学生的思维品质，培养学 生数学思维能力及探索、创新能力都起着重要的作用，这也是素质教育的重要内 容之一。小学数学大纲对学生计算能力的要求是：“准确、快速、灵活、简便 。 教师们为了达到这个“八字 要求，往往通过一些程式化的计算教学和大量的机 械训练使学生达到这个目标。许多家长和教师将儿童能够进行加减乘除运算视为 数学水平高低的重要评价标准，却忽略t j l 童如何理解数学运算中存在的各种关 系。而儿童对运算关系的理解更能反映儿童抽象思维发展的水平。 第一节研究的背景和意义 一、研究的理论意义 在儿童的数学学习中，理解数字和形成计算方法之间的关系成为当今学习的 焦点，取代了传统课程所要求的“四则运算 。尽管得到的数字结果通常与过去 一样，但是现在的学习过程需要孩子们自己建构计算方法。重在培养儿童的数学 思维。 皮亚杰( p i a g e t ，1 9 5 2 ) 认为，儿童对数的理解来自于逻辑思维能力的泛化 和整合，儿童在逻辑运算思维能力发展之前无法理解数目或者数数的含义。学前 儿童不仅在数数的一一对应能力上发展很快，他们还具有较好的多个对一的对应 能力，这种对应要求儿童对无法感知的对应进行推理，并需要他们克服在数数惯 例上的一个数词和一个物体相对应的做法，因此比一一对应的情况更抽象。研究 表明，儿童能运用数词来对看不见的对应做出推理。他们既能跟踪分给每一个娃 娃的数词，又能跟踪一共需要的数词，说明儿章已完全理解与这一数学活动相关 的概念和对基数概念的熟练掌握( b e c k e r ，1 9 9 3 ) 。 儿童从加法到乘法运算的转变过程中，对许多和一对应关系的理解占据了非 常重要的位置。乘法经常被作为重复的加法来研究，但乘法作为更高层次的思维 活动，有着比加法更复杂，更抽象的思维结构。研究表明，儿章在日常经验中所 拥有的对乘法关系的初步理解也在逐渐发展起来( a n g h i l e r i ，1 9 8 9 ) 。 关于乘法的研究很多，但大多数都是研究小学生对乘法关系的理解以及乘法 的策略。关于学前儿童初步出现的对乘法关系的理解的研究较少，主要有贝克尔 ( b e c k e r ，1 9 9 3 ) ，索菲安和马德里( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) ，布罗特等( b l o t e ， 2 0 0 4 ，2 0 0 6 ) 做的关于许多和一对应的研究。研究学前儿童对许多和一对应关系 的理解有着非常重要的意义。首先是许多和一的对应在早期儿童的日常生活中是 非常常见的活动，早在4 岁儿童就已经能够理解简单的许多和一的对应( b e c k e r ， 1 9 9 3 ；b l o t e ，2 0 0 4 ，2 0 0 6 ) ，儿童对许多和一对应关系的理解标志着儿童思维抽 象能力的进一步发展。但儿童对许多和一对应关系的理解尚处于初级阶段，对许 2 多和一对应关系问题的解决也是靠数数来完成，这种经验为他们今后的乘法的学 习打下重要的基础。 幼儿期是智力发展的关键期，数学内在的抽象性、逻辑性、辩证性以及广泛 的应用性对发展幼儿的思维具有特殊的价值。数概念是学前数学教育内容的一个 部分，却是很重要的部分，它是学前和小学低年级甚至整个小学数学教育的重点 ( n c t m ，2 0 0 0 ) 。儿童在学前期掌握的数概念和数量关系是有益于儿童思维发 展的积极因素，在学习和应用这些概念和关系时，儿童的抽象思维能力和推理能 力也得到同步发展。数与数之间的关系和规律是看不见摸不着的，涉及对数的抽 象的逻辑关系的理解，也涉及掌握和运用人类发明的抽象的数学符号系统。研究 表明在正式教学之前，儿章拥有相当多的数学理解，这种理解来自于儿童身处其 中的r 常生活情境( g e l m a n ，1 9 7 2 ；g i n s b u r g , 1 9 7 7 ；h u g h e s ，1 9 8 1 ；c a r p e n t e ra n d m o s e r , 1 9 8 4 ) 。9 0 的5 6 岁儿童能使用有效的策略解决大多数基本的乘法问题 ( c a r p e n t e r , 1 9 9 3 ) 。库巴发现3 0 的一年级学生以及7 0 的二年级学生能解决简 单的相等小组问题( k o u b a ，1 9 8 9 ) 。玛丽根也发现儿章成功解决简单的乘法问题 比率持续增长，从二年级的5 0 增长到三年级末的9 5 ( m u l l i g a n ，1 9 9 2 ) 。 在中国，普遍重视数学运算能力的培养，一般会将儿童能够熟练进行运算视 为数学水平高低的标准。家长和老师往往只关注到数学的程序性知识的学习，而 忽略了儿童如何理解这些概念的本质，如何理解数学运算中的关系。而这些恰恰 是儿童数学能力发展的重要方面。数学学习不仅只包括准确的运算，而且包括理 解这些运算所涉及的概念和原则，后者更能反映儿童的抽象思维发展水平。数学 运算技能的发展并不一定会带来相应的对数学概念的理解，不能简单地根据儿童 数学运算技能来判断其对数学概念的理解也呈现相应水平。皮亚杰指出，会做和 理解不是一回事。我们可能会做乘法题，而并不理解其中所涉及的概念。1 对许 多对一关系理解的建构是儿童数概念发展的一个里程碑，是一种初级的推理能力 的出现。 美国全国数学教师委员会( n c r m ) 于2 0 0 0 年正式出版的学校数学的原 则和标准提出了五个内容标准和五个过程标准。内容标准就包括了数与数的运 算标准，同时也是儿童早期数学学习内容的核心。五个过程标准包括了解决问题， 1 ( 美) r w 柯普兰著，李其维，康清辘译( 1 9 8 5 ) ：儿童怎样学习数学，上海：上海教育出 版社，p 5 0 。 3 推理和证明等，反映了数学学科在促进儿童的思维能力方面所起到的特殊作用。 标准把学前儿章的数教育纳入整个中小学的数教育体系，学前阶段作为整个中小 学数学基础教育的一部分，为儿童的数学教育的前后的连贯性和整体性考虑提供 了一个重要的保证和前提条件。在数与数的运算标准里提出：能理解运算的含义 及相互之间的关系。1 在学前到二年级这段时间中，儿童开始学习有关乘除的概 念，并通过相同数的重复加来理解乘法概念。 基尔帕特里克等( k i l p a t r i c k s w a f f o r d ，2 0 0 2 ) 在帮助儿童学习数学中 指出：“理解和运算是数学精通程度的两个重要方面，理解是指理解数学概念、 运算和关系，即知道数学符号、图表和程序的含义，运算是指执行数学程序，如 灵活、准确、有效和适当地进行加、减、乘、除。 2 我国的数学课程标准 ( 教育部，2 0 0 1 ) 也明确提出在小学一到三年级要掌握数的基本运算，探索并理 解简单的数量关系。学前儿童的教育中存在着一些对学前数学教育的歧义理解， 把数学教育理解为算术教育或计算教育，而忽视了儿童早期对数概念及数关系的 真正理解。本研究从初步乘法关系的理解这一视角进行研究，以期为学前数学教 育提供更宽泛的视域。学前儿童的数学学习正是把非正式数学学习和正式的数学 学习结合的一个起点，是在生活和活动的过程中学习的。因而，在学前期提供给 儿童初步乘法的情境，既可以适合幼儿园整合课程的特点，又能够很好的建立儿 童对数学的好奇心和吸引力。考察儿童对初步乘法的关系的理解与运用，为儿童 认知发展的理论研究积累更多实证的资料。 国内对于乘法的研究主要集中于小学乘法教学经验研究，教学设计，乘法口 诀的教学，小数及分数乘法，乘法运算定律的教学等具体的教学研究，缺乏对学 前儿童的最初的对乘法关系认识的认知发展的实证研究。本研究拟考察我国5 7 岁儿童对初步乘法关系理解的发展状况和发展规律，为较好地理解儿童的认知发 展，并为学前期开展相关的教育活动提供理论上的依据和实践上的建议。 二、研究的现实意义 已有的研究大部分是针对小学生的，较少关注学前期的幼儿。而大量研究表 1 n c t m ( 2 0 0 0 ) p r i n c i p l e sa n ds t a n d a r d s f o rs c h o o lm a t h e m a t i c s r e s t o n ，v a ：t h en a t i o n a l c o u n c i lo ft e a c h e r so fm a t h e m a t i c s ，i n c p 7 8 。n a t i o n a lr e s e a r c hc o u n c i l ( 2 0 0 2 ) h e l p i n gc h i l d r e nl e a r nm a t h e m a t i c s m t h e m a t i c sl e a r n i n g s t u d yc o m m i t t e e , j k i l p a t r i c ka n dj s w a f f o r d ，e d i t r e s c e n t e rf o re d u e a t i o n ，d i v i s i o no f b e h a v i o r a la n ds o e i a ls c i e n e e sa n de d u e a t i o n w a s h i n g t o n ，d c ：n a t i o n a la e a d e m y p r e s s p 9 4 明，儿童在进小学前就已经对数学具有了相当多的感性认识，特别是接触心算和 笔算的几率逐渐提高，幼儿的数学知识和技能已经呈现出一定的发展水平，而这 种知识技能的发展会在很大程度上影响他们在小学阶段的数学学习能力。因此， 研究学前及一年级幼儿初步乘法能力的发展，以期为幼儿数学教学提供理论和实 践方面的指导或参考，就显得十分急迫和重要了。 以往的研究表明，儿童对初步乘法关系的理解能力是逐步提高的，并且对乘 法关系的理解至少在5 - 6 岁儿童的最近发展区内。如果本研究也能得出类似的结 论，证明对初步乘法关系的理解和应用在5 6 岁儿童的最近发展区范围内，这有 助于我们去了解儿童对初步乘法关系的理解是如何出现的。如果儿童对初步乘法 关系的理解是来自于儿童同常生活中和同伴以及成人之间的相关的游戏，那么将 儿童的早期数学发展和社会经验相联系就变得十分重要，相应的一些活动也可以 被投放到幼儿园的教学中来，同时也可以给家长提供相应的教育建议。这样有助 于儿童获得更多的具体直观的感性经验，从而帮助儿童更早地建立对初步乘法关 系的理解，提高整体的数学能力。 本研究在整理和思考关于儿童最初的乘法关系的理解和运用的研究文献的 基础上，了解了相关的研究现状和研究方法，发现儿童最初的乘法关系的理解是 建立在许多对一关系理解的基础上，是儿童数学学习领域中非常重要的方面，对 儿童数学思维的发展和对数关系的理解起到重要的作用。国内对乘法关系的理解 和运用的研究还局限于小学阶段，学前阶段的研究还处于一种空白，已有的关于 学6 i ) l 章数学发展的研究表明，儿童已经获得大量感性的有关初步乘法关系的数 学知识和经验。因此对5 7 岁儿童初步乘法关系的研究，可以为儿童的数学教育 提供更广阔的视野，为儿童的数认知的发展研究提供实证的支持，并试图给予教 育实践一定的现实启示。 第二节研究的问题 本研究拟解决的主要问题包括： i 5 7 岁儿童对初步乘法关系的理解和运用有怎样的年龄特点? 是否存在性别 差异? 2 5 7 岁儿童对初步乘法关系的理解和运用与重复加运算技能之间有何关系? 5 3 5 7 岁儿童在解决乘法关系的问题是采取什么样的策略? 4 5 7 岁儿童在解决乘法关系问题时呈现实物是否会有助于儿童对初步乘法关 系的理解和运用? 第三节论文结构 本论文分为六个部分： 第一部分：绪论。主要阐述本研究的研究背景和意义，研究的主要问题及论文结 构。 第二部分：文献综述。概述了国内外关于初步乘法关系理解和运用以及采取的策 略等研究的进展情况，分析已有文献的不足，进而提出本研究的研究课题。 第三部分：研究方法。介绍研究对象的选取情况、测查工具的情况，数据的收集 和处理方法以及测查的信度问题。 第四部分：研究结果和分析。运用统计软件对获得的相关数据进行客观呈现和描 述。 第五部分：讨论。结合已有研究成果，对照测查结果分析对比，提出自己的观点。 第六部分：结论、教育建议和不足之处。总结本研究的主要结论，提出教育上的 建议并对研究进行反思。 6 第二章文献综述 乘法在现代汉语词典( 1 9 9 6 ) 中是这样解释的。乘法是数学中的一种运 算方法，最简单的是数的乘法，即几个相同数连加的简便算法。如2 + 2 + 2 + 2 + 2 ， 5 个2 相加，就是2 乘以5 。1 乘法课程的开设一般在二年级上学期( 人教版， 北师大版，苏教版，青岛版) 。乘法一般作为求相同加数和的简便运算来进行教 学，而在儿童正式学习乘法之前，他们已经具备了怎样的对初步的乘法关系的理 解呢? 现有的研究集中于以下几个问题：许多对一关系的研究；乘法基本概念的研 究；关于乘法关系与重复加关系的研究；乘法结构的研究；解决乘法问题的策 略研究；乘法的直觉模式研究。以下就这几部分内容做一综述。 第一节关于乘法和许多对一关系的研究 许多对一关系是在一一对应关系理解的基础上发展而来。在儿童理解一一对 应关系的基础上，他们对许多和一对应的关系的理解也在萌芽。许多和一对应的 数数被看作乘法的早期阶段。儿童理解了许多和一对应的关系，也就初步理解了 乘法关系。在这个早期阶段，要依次数分配的每一个物体，如我们给儿童4 个娃 娃，要给每个娃娃分两块饼干，一共需要多少饼干? 甚至4 岁的儿童也能学会用 数数的方法解决这个问题( a n g h i l e r i ，1 9 8 9 ；b e c k e r , 1 9 9 3 ；b l o t e ，v a no t t e r l o o ， s t e v e n s o n ，& v e e n m a n ，2 0 0 4 ) 。通常，许多和一对应的数数是在儿章开始数单元 ( u n i t ) 之后，学习正式的乘法之前发展起来的。研究表明，起初儿童在乘法中 将两个物体合到一起有困难。在他们试图解决乘法问题的时候他们仅仅考虑问题 中两个数量之中的一个，例如，在贝克尔( b e c k e r ，1 9 9 3 ) 和布罗特( b l o t e ，2 0 0 4 ， 2 0 0 6 ) 的研究中。儿童在回答给4 个娃娃中每个人分3 个卡片，一共需要多少卡 片的问题时，回答要么是4 要么是3 。索菲安和马德里( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) 发现，当要求儿童解决要和较大积木组成的高度一样，需要几块小积木时( 大积 木是小积木的3 倍) ，一些7 岁的儿童也会犯同样的错误。在他们研究的基础上， 1 现代汉语词典( 1 9 9 6 ) 北京：商务印书馆。p , 1 6 2 。 7 索菲安得出结论，用连续的许多和一的对应来心算总数，是许多和一对应数数中 的主要问题。 一、关于许多和一对应关系的研究 贝克尔( b e c k e r ，1 9 9 3 ) 研究了儿童是否能运用数词来对当时不能感知到的 许多和一的对应关系进行推理。他使用了两种测查方法，一种是隐藏物体任务， 一种是需要物体任务。在隐藏物体任务中，给儿童呈现排成一排的四个娃娃和8 张卡片，请他们给每个娃娃分2 个卡片，然后用一个木板盖起来不让他们看见。 实验者问儿童木板下面有多少卡片? 隐藏物体任务让儿童最大限度的理解卡片 和娃娃的对应。因此，它比需要物体任务要容易，它没有要求用一种预期的方法 来使用数字。在需要物体任务中，首先给儿童六个娃娃排成一排，让儿童给两个 娃娃每人分2 张卡片，放到一边。然后实验者问，给其他的娃娃每人分2 张卡片， 一共需要多少卡片? 然后给儿童一些他们自己说的需要数量的卡片，让他们分给 娃娃。 结果表明，许多学前儿童都能理解许多和一对应的数数，儿童完全理解数数 与给每一个娃娃分发2 个或3 个物体之间的关系。贝克尔( b e c k e r , 1 9 9 3 ) 研究表 明年龄大的儿童比年龄小的儿童表现好。二对一的情境要比三对一的情境表现 好。在贝克尔( b e c k e r ，1 9 9 3 ) 隐藏物体的任务中，一半的4 岁儿童采用了许多 和一对应数数的方法，所有的4 岁半和5 岁儿童都采用了许多对一数数。在需要 物体任务中有一半的4 岁半儿童和所有5 岁儿童都采用了许多对一数数。儿童指 着娃娃前面的地方( 不存在物体的假定位置) 清楚地点数2 或3 次。 贝克尔的研究关注的是4 5 岁儿童对于许多对一关系的一个初步理解，运用 的数量较小，仅涉及2 对1 、和3 对1 的情境。4 岁半和5 岁的儿童基本都能完 成测查任务。因此，索菲亚和马德里设计了数量较大，更为抽象的任务来考察儿 童的许多对一关系的理解和运用。 在索菲安和马德里( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) 关于儿童的许多对一关系的研究 中，他们认为这种对应关系是加法和乘法关系之间的连接。在一个许多和一的对 应中，一些相同的物体与许多对一形式下的目标物体中的每一个相对应。相同物 体的数量需要与一些目标物体相对应，每一个目标物体对应的相同物体的数量乘 以目标物体的数量( 3 4 = 1 2 ) 。像许多整数乘法一样，它可以由一系列的加法来 8 计算，或者继续数几组需要的相同物体的数量。在近来的研究中，儿童在解决许 多和一对应中的问题的困难，是如何实现从加法到乘法概念的转换。索菲安的实 验主要采用图片的方式，在纸上画上大积木和小积木的关系。例如，一块大积木 和3 块小积木一样高，旁边散放几个大积木。问儿童如果要和4 块大积木一样高， 要用几块小积木? 在训练中强调许多和一对应的重复性能帮儿童有效地理解在 这些对应中的乘法关系。5 岁和6 岁的儿童完成该任务的比例分别是3 和1 ， 7 岁儿童完成的比例是1 9 。而7 岁儿童在接受了简短的许多和一对应重复的训 练过程后，取得了显著的成果，完成任务的比例上升到4 3 。 儿童将许多和一的对应作为一一对应来考虑，这对儿童来说是一种极具挑战 的进步。特别是，幼儿好像发现考虑几个一一对应比一个许多和一的对应要容易 些，而总数是相等的。例如，皮亚杰( p i a g e t ，1 9 5 2 ) 提到在几个花瓶中，每个花 瓶放两朵花。如果每个花瓶放一支红花，放一支蓝花，而不是同放两支红花或者 同放两支蓝花。5 岁的儿童在这种计算中成功的几率大得多。利用不同颜色的花， 让儿章考虑两个一一对应的过程，( 例如，先数红色花，再数蓝色花) 而不是考 虑一个二和一的对应。 维诺( v e r g n a u d ，1 9 8 3 ) 提出乘法关系的组成，以及乘法问题中的数值是数 量的不同的类型( 但是在加法和减法问题中数字都代表了相同的数量类型) 。如 在四个花瓶每个花瓶插3 朵花中，就存在两种数量类型，3 朵花和4 个花瓶。而 在加减问题中，3 朵花加上5 朵花，或者6 朵花减去2 朵花，只有一种数量类型。 莱蒙( l a m o n ，1 9 9 3 ) 也重视在乘法关系中的比率变量。同样，维诺和莱蒙提到 的乘法问题中许多和一对应关系，将在很大程度上对儿童提出了挑战，因为它需 要用数来表征两个集合之间的对应关系。组合单元( c o m p o s i t eu n i t s ) 的构成( 例 如两朵或三朵花) 考虑的计数的两个水平：单个物体，( 1 2 朵花) 和一组，每一 组由相同数量的个体组成( 四个三个一组的花) 儿童早期对乘法问题的解决，是 让儿童解决一种层面的一一对应的数数同时，也解决在另一层面上的许多和一的 对应。例如，看幼儿在解决乘法和除法问题中采用的策略。卡朋特等( c a r p e n t e r , a n s e l l ，f r a n k e ，f e n n e m a ，& w e i s b e c k ，1 9 9 3 ) 在一个除法问题中问儿童，如果要把 1 5 只小鱼( 总数) 放在罐子里，每个罐子放3 只，( 组的大小) ，需要几只罐子? 观察到的儿童采取的主要的策略是数1 5 个筹码，将他们分成3 个一组，然后数 9 组的个数。这里最后一步是组的一一对应数数。但因为每一组有几个筹码，它也 是一和许多对应的数数，也是对儿童建立组的概念的数数。相同的儿童来解决一 个乘法问题，有三包口香糖，每包六条，一共有几条? 儿童出色地完成了数出三 组，每组六个筹码，然后数出所有的筹码。在这个案例中，尽管进行的是一一对 应的数数，实际上他们也进行了小组的许多对一的数数。一些儿童使用了相同的 数数的过程，但却没有利用筹码，而是口述一列6 个一组的数字，记录口香糖的 数量( 如他们数1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 是第一包；7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 是第二包： 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 是第三包。因此三包中有1 8 支口香糖) 。这个例子就 更清楚地展示出儿童的许多和一对应的数数。因为没有筹码来作为一一对应的基 础来帮助儿童。相反，儿童能在心里表征三包口香糖，然后每一包口香糖进行了 6 次的重复。 在布罗特( b l o t e ，2 0 0 6 ) 的研究中，他考察了儿章许多和一对应关系的发 展。他将4 岁的儿童分为训练组和控制组，思考训练能帮助儿童学习许多和一对 应的数数吗? 结果表明，在许多和一对应的分配中给儿童一些物体的形象并说明 怎样一个一个数这些物体，这样的短期训练是有效的。并支持了索菲安和马德里 ( s o p h i a n & m a d r i d2 0 0 3 ) 的结论，理解物体的集合是解决许多和一对应问题的核 心，学习许多和一对应数数的策略以及正确的应用与理解物体的集合相关。例如， 给4 个娃娃中的每一个娃娃3 块饼干，一共需要几块饼干，回答这个问题就需要 通过数数来解决，在第一个娃娃那罩数1 ，2 ，3 ，在第二个娃娃那里数4 ，5 ，6 等，结果是1 2 块。 布罗特( b l o t e ，2 0 0 6 ) 为了说明这个原则在实际中是怎样应用的，假设有 x 个目标物体( o b j e c t s ) ( 例如3 个花瓶) ，每个目标物体对应y 个项目物体( i t e m s ) ( 例如4 朵花) ，我们把这种关系表示出来，固定比率原则就表示了每一个目标 物体的增加就需要更多的y 项目物体，因此，改变这个比率从1 比y ，到1 比 y + i ，x 需要更多的项目物体，在第一种情况下，分配项目物体的总数，随着y 项目物体的增长而增长，在第二种情况，是随着x 的增长而增长。起初的两个 成分与反复和固定的许多和一对应的关系相关，后面的两个分别与集合相关，在 日常生活中，儿童有机会学习这些。例如，当他们给一定数量的人按公平原则来 分饼干和石头的时候。 1 0 布罗特( b l o t e ，2 0 0 6 ) 认为，许多和一对应的数数可以看做是乘法的早期 阶段，在这个早期阶段，在分配中的每一个项目物体是数的，甚至4 岁的儿童能 够理解( a n g h i l e r i ，1 9 8 9 ；b e c k e r , 1 9 9 3 ；b l o t e ，v a no t t e r l o o ，s t e v e n s o n ，& v e e n m a n ， 2 0 0 4 ) 。通常，许多和一对应的数数是在儿童开始数单元之后，学习正式的乘法 之前发展起来的，以前的研究表明，起初的儿童在乘法中将两个物体合到一起存 在问题，在他们试图解决乘法问题的时候他们仅仅考虑问题中两个数量之中的一 个。 为了计算连续的许多和一的对应，或项目物体的集合，首先有必要在头脑中 建立两个数量的关系。事实上，在眼中实际看到的过程之前先有在头脑中思考的 过程，是儿童出现许多对一数数的先决条件( s o p h i a n ，2 0 0 3 ) 。儿童还不会加法， 也记不住乘法表，只有一个一个的数数。在一个隐藏物体任务中，儿童要数出我 们先给他们看过然后又盖起来的给一个x 分配y 个物体。在这个过程中，儿童 没有在头脑中建立分配的形象，他们只是完成一个记忆形象的继续数的过程，儿 ， 童在数的时候指着盖住的物体。 研究认为，一个x 分配y 个物体在头脑中形象的一一对应的数数是与许多 和一对应数数有着根本的不同( b e c k e r , 1 9 9 3 ；s o p h i a n m a d r i d ，2 0 0 3 ) 。这在一个 隐藏物体任务中，对项目物体的记忆形象来说确实是这样，儿章并没有注意到基 于目标物体的分配。然而，如果儿童能够在一个需要物体任务中意识到这种分配， f 他们就会在一个一个数这些物体之前对这种分配在头脑中产生形象。从他们在这 个任务中数预期的物体过程中表现的很明显( b l o t e ，2 0 0 4 ) ，他们确实在与目标物 体的联系中产生项目物体的形象。在这种情况下，他们表现出他们的许多和一对 应的知识，他们将这种乘法问题中的两个数字作为两个集合之间的对应关系，所 以，头脑中形象的出现是许多和一对应数数的关键。 帕克和努涅斯( p a r k & n u n e s ，2 0 0 1 ) 认为，许多和一对应的数数与一一对 应的数数是不同的。在许多和一对应的数数中，需要数的物体并不总是实际存在， 项目物体对应的目标物体与已经存在的一个比率相联系，许多和一对应数数的重 要的原则是比率或者两个数量之