（计算数学专业论文）限制子空间的扰动及其应用.pdf

摘要 子空间的扰动，如特征子空间、奇异子空间、标准子空间，有着极其广泛的应用本 文从最小二乘一总体最小二乘( l s - t l s ) 、等式约束最小二乘( l s e ) 以及约束总体最小二乘 ( c t l s ) 问题出发，讨论了 1 ) 1 2 和2 1 分块矩阵，在( 1 ，1 ) 块子矩阵秩不变的条件下，几个子空间的扰动及其应 用 2 ) 2 2 分块矩阵在只有( 2 ，2 ) 块子矩阵秩变化的条件下，几个子空间的扰动，以及应用此 结果得到的推广的的降秩最佳逼近定理的扰动分析 关键词：限制子空间；扰动；奇异值 p e r t u r b a t i o na n a l y s i so fs u b s p a c e s ，s u c ha se i g e n s p a c e s ，s i n g u l a rs u b s p a c e s ，a n dc a n o n i c a l s u b s p a e e s ，h a v eav e r yw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s r i s i n gf r o mt h el e a s ts q u a r e s t o t a ll e a s ts q u a r e s ( l s - t l s ) p r o b l e m ，t h ec o n s t r a i n e dl e a s ts q u a r e s ( l s e ) p r o b l e m ，a n dt h ec o n s t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s ( c t l s ) p r o b l e m ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o b e m sa sf o l l o w s ： 1 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a e e so f1 2a n d2 1b l o c km a t r i c e s i nw h i c ht h e r a n ko f ( 1 ，1 ) b l o c ks u b n m t r i c e sa r eu n c h a n g e d ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s 2 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a c e so f2x2b l o c km a t r i c e s ，i nw h i c ho n l yt h er a n k o f ( 2 ，2 ) b l o c ks u b - m a t r i c e sc a l lb ec h a n g e d ，a n dp e r t u r b a t i o na n a l y s i so f t h ee c k a r t - y o u n g i i r s k y t h e o r e m k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e ds u b s p a c e s ；p e r t u r b a t i o n ；s i n g u l a rv a l u e 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的研 究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的已公 开发表或末公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名：纰丝磊 m 7 年6 月日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其他 手段保存论文；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：和渺导师签名： 7 9 呷年月日 弘叼年6 月3 7 日 第一章引言 子空间的扰动就是通过一定的度量来衡量子空间与扰动后子空间之间的偏离程度孙继 广在【1 1 】中介绍了如下子空间的度量： 设z ，w c r ，令 历= z ( z 日z ) 一i h = w ( w 8 彤) 一 定义 e ( r ( z ) ，r ( w 7 ) ) = a r c 0 0 8 ( z f m - 砰z 1 ) c 。m 对于谱范数。有等式 0s i n e ( 兄( z ) ，冗( 矿) ) 0 = i i p r ( z ) 一p i i ，v z ，w c ? “ 其中b t ( z ) ，b “w ) 为相应子空间上的正交投影子空间扰动的内容非常丰富，包括特征子空间 的扰动、奇异子空间扰动和标准子空间的扰动等等国内外许多专家、学者已经对它们作过 研究，对于h e r m i t e 矩阵特征子空间的扰动d a v i s 和k a h a nf l 】得出如下结果： 定理1 1 设a ，彳c n x n 皆为h c r m i t e 矩阵，并假设x = ( x l ，x 2 ) ，贾= ( x l ，兑) 砜， 五，豆c n 。( 1 l n 1 ) ，使得 x 日a x = a 1 1 二二) ，贾”互碧= ( 乏1 乏) ， 其中a 1 l 五1 c b “，令 r = 积1 一x l a l l 以及 a = 【n ，用c r ，a = r ( 口一占，卢+ 6 ) ，6 0 如果 a ( a 1 1 ) c a ，a ( 五2 ) c a 第一章引言 ( 或者a ( a 1 1 ) c ，a ( 五2 ) c ) ，则对于任一酉不变范数，有 us i n e ( n ( x - ) ，r ( 豆) ) i l 丁i f r f t 关于标准子空间的扰动。首先我们给出相关的定义 定义1 1 2 7 设a 世”，b r ”“，且 r = m i n p = r a n k ( a ) ，q = r a n l 【( b ) ) 矩阵对( a ，b ) 的标准相关以，b ) ，西，b ) 定义如下 a ，c a ，b ，= 血m 。，a 。x 。；。；毒需品= 勰， 鲋，b ) - 舭嚣哗。高尚 ：稳j _ 2 ， 2 丽功面丽酬， 其中假设最大值在巧和协处取得，掣= s p a n a x l ，以巧) ，5 字= s p a n b y l ，b y j i ( j = 1 ，r ) 单位向量 a x j l l 血j l l ，b y j i i b y j l ij = 1 ，r 称为( a ，b ) 的标准向量，而 川如i | ，g , j i i b y j l i 称为标准权对于任意矩阵g ，g ，= g - i - a g r 一”且r a n k ( g ) = r a n k ( g ) = r ，令 p n ( 矿) = i g g t ，定义 目( g ) = r a i n 1 ，i 马f ( 1 l p m d * ) a a d ) l li i ( g d ) i i ) ， 1 n f ( 0 j ) ( g 一) g d ) ( g d ) 0 ) ) 这里的下确界是在正定对角矩阵集d 里取的定义妒t = 讥d j n ( 够( ，a ，) r ( b ) ) ，仍= 以i i i n ( 够( b ，b ，) r ( a ，) ) ，这里够，a 7 ) 是n ( a ) nr ( a ) 在r c a ) + r ( a ) 中的正交补，够( 8 ，) 是r ( b ) n 兄( ) 在r ( b ) + r ( b ) 中的正交补 第一章引言 魏木生和d ep i e r r o 【2 6 】得出了 定理1 2 设a ，= a + a a r ”“，b ，b = b + a b r 。且 p = r a n k ( a ) = r a n k ( a 7 ) q = r a n k ( b ) = r a n k ( b 7 ) 令( a ，b ) 和( ，) 的标准相关简记为以兰巩似，b ) ，叽i 以( ，b ) ，并作如下排序： o 1 唧0 ，一，0 如，b 蚴和a ，b ，彰u = 1 ，力分别为，b ) 和( ，f ) 的标准向量定义 y ( a ，b ) = c 0 8 妒l 焉2 ( a ) + c o s 妒2 仨磊c 当i = 1 ，20 5 a ( o l 一 嘏1 盈 2 y ( a ，b ) 号 0j = 1 ，2 i ts i n o , ( a , a i ) 1 1 0 证明由于a ”a c ? “是半正定矩阵，其特征值皆为非负实数，记为砰，2 ，并设它 们满足口l 听 0 ，听+ 1 = = 靠= 0 设u l ，分别为a 耳a 的属于砰，砖 的标准正交特征向量，并令k = ( 口l ，姊) ，= ( 坼1 i ) ，v = ( m ，k ) ，l = d i a g ( q 1 ，西) 则有 a 圩a h = ：，阿a 日a = i a 汀a k = 0 ，v 尹a 日a k = 0 于是 = 0 令巩= a u i 1 ，则畔矾= 取踢c ”。( 一”，使u = ( 仉，巩) 为酉矩阵 贝有 u ”a y = ( 筹：芝筹三苌) = ( 荔：i ：。0 ) = ( 0 1 ：) 口 9 第二章预备知识 分解式( 2 1 ) 称为矩阵a 的奇异值分解( s v d ) ， 以“ 0 = 再+ 1 = = m 称为a 的奇异值，其中f = m i n m ，n ) ，嘶和吩分别为矩阵a 对应于呀的左、右奇异向 量，j = 1 ：z 若设u = ( 巩，巩) ，v = ( ，) ，其中仉，m 分别是以v 的前r 列，且有 畔巩= ，k ”= ，则( 2 1 ) 式可进一步写成 a = u , e l 铲 应用s v d 可得如下分解 2 c s 分解 肛i w 1 1 w 1 2 ) 您 f 1 其中r l + r 2 = c 1 + q = n 则存在如下的分解式 肚u 1 ：o o l l 锄d 1 2 ) ( 苫0 ) ( 采) = f l 。多 c s 眙 ， o s ， s一口 ， o g 1 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ，4 ) 第二章预备知识 其中 满足 2 2 一个引理 c = d i a g ( c l ，饧，一，q ) ， s = d i a g ( s i ，s 2 ，一，却) ， 1 c 1 c 2 c f 0 ， 0 8 1 s 2 s l 0 p 一易0 = l l ( 仉，巩) ”( 巩畔一玩卵) ( 玩，玩) = i ( 一墨玩 疗2 0 ) = m a x l l p a 磅u ，i i 砖咯盼， 因此，1 2 和1 的所有的奇异值都小于1 ，即矸，l l 和w 玉是方阵，于是r = p ( 3 ) 若r a n k ( a ) r a n k ( 两，则w 1 2 的奇异值为1 的个数多于w 2 1 ，而肌2 和w j l 小于1 的正奇异值相同，则有 i i p a 劈0 0 磁叭 1 2 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 考虑1x2 分块矩阵 g 。= ( a ，b ) ，0 。= ( a ，蜃) ，( 3 1 ) 其中 ，肓= a + a a c 嚣。m ，b ，秀= b + a b c ”。m 定义矩阵如下 p = i a 砧p 差= i 一鑫 1 ，m = p 去8 。葡= p 喜 设a 的奇异值分解为 a 1 1 ：) 铲， 其中可= ( 可1 ，_ 2 ) u m ，m = ( m l ，h 2 ) u 。，可l ，k 分别为可，u 的前p l 列， a n = d i a g ( a , ( a ) ，a 2 ( a ) ，一，a n 。( a ) ) ，且口l ( a ) a 2 ( a ) a n ，( a ) 是a 的非零奇异值设百= 霹b 的奇异值分解为 百= 可f b = w ( ：1 三。) 哆， 这里w mk = ( k 1 ，2 ) k l 为k 的前耽列， 且 岛l = d i a g ( o t ( m ) ，( m ) ) b 3 2 = d i a g ( a w + 1 ( m ) ，以( m ) ) 盯l ( m ) o r n ( m ) 口m + l ( m ) m ( m ) ( 1 = m i n m p l ，他” 是m 的奇异值易知 ，“0 g l ：仉ioo i f 00引( 苫o ) ( 3 2 ) 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 仉：u d i a g ( 1 ，) ，( b 1 1 b 1 2 ) ：详b 叫辜 b l l b 2 1 0如o ) 五，= d i a g ( a ，( 勾，观( 两，a n ，( 两) 且以( 勾眈( 两唧。( 两 是肓的非零奇异值， 反。= d i a g ( 以( 厕，( 硒) ， 反：= d i a g ( + 。( ) ，以( 确) 为砑的奇异值 划分巩，玩和谚， = 1 ，2 如下， 易证 巩= ( v n ，u 1 2 ，以3 ) ，v x = ( 1 ，k 2 ) ，= ( 1 ，k 2 ) 玩= ( 玩。，反。，u 一1 。) ，访= ( 识。，y x 。) ，蟊= ( 色。，锄) p l ，p 2 ，m p l 一化p x ，n l p i ， m ，他一仡 a = 仉l a l l 皤，m = ( 仉2 ，u l s ) d i a g ( b 2 l ，b s 2 ) 谬， r a n k ( a 1 ) = r a n k ( a ) + r a n k ( m ) ，r m k ( 反) = r 砌c ( 两+ r a n k ( 厕 在以上这些条件下，我们得到如下定理 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 巩( 以 且 苎三里! 羔! 坌垫堑堕塑里型i 窒囹塑垫垫 定理3 1 设矩阵g l = ( a ，b ) ，岔1 = ( 五含) c m x ( ”l 十m ) 由( 3 ，1 ) 给定，g 1 ，反的分解式由 ( 3 2 ) 一( 3 5 ) 式给出则 d i s t 幽( r “( a 瓮裟：= 嚣篓警俨l c s 。， “) ，r ( 和) ) m j n 业豁掣，监碧掣 p 。u 证明 由g 1 和a l 的分解式( 3 2 ) 。( 3 5 ) ， a = u n a n 堵，五= 玩- 五。馏 因此，d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 仉- 嘴一玩。船i i 而且， d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 叩姒- 嘴一玩。粥) 鲫 0 一醒玩。 一皑玩。 = m a x 训嘴( 尻。，尻。) l l ，l f ( u t 。，巩。) ”玩。i i = 0 c 儡( 玩。，玩s ) 1 1 = i i ( u 。，巩。) 片玩。i i ( 3 ，7 ) 由等式 a = 五一a = 玩。五。馏一巩。a 。k 譬， ( 玩2 ，玩3 ) 日a k l = 一( 玩2 ，反3 ) 日巩1 a l l ， ( 3 8 ) ( 仉2 ，仉3 ) 8 a 访l = ( 巩2 ，仉3 ) ”玩l 五l ， 我们可得 ( 玩。，玩s ) h 仉。= 一( 玩。，f 7 l 。) h a a v 。a 看， ( 仉2 ，仉3 ) 日玩l = ( 巩2 ，仉3 ) ”a 访l 哿 由上述等式，我们得到了( 3 6 ) 式的第一个估计式第二个可以类似的得到1 3 定理3 2 设条件和记号与定理2 1 相同，而且( 一+ l ( 2 1 1 , a m i i ( m ： 懒。 黼。 u 苎三皇! 兰! 坌堡丝堕塑里型三窒塑堕垫望一 面一m ) 则我们有如下的估计式 其中 0 巩。u 磊一反：就0 紫0 p + 面勃 ，l ( )即2 ( 肘) 一4 乃+ l ( 埘) 懒。馏一优t 馏u m i n 丽乔而，葫矗葛而) ， 讯= m “圳罐b 钏+ 世铲) ， ( i i a b v 2 。忡皿铲) ， 啦：m “ ( | | 醒b k l 0 + 妲出崾a p x & ( a 必) 、i ， ( 1 i 曙口晚。i i + 魁警筹业) ) 证明由奇异值的扰动分析我们可得 ( ) 一+ l ( m ) a r m ( m ) 一+ 1 ( m ) 一i i a m i i 0 ， ( m ) 一o l y 2 + 1 ( 五、) a m ( m ) 一+ l ( m ) 一t i a m i i 0 ， ( ) 一+ 1 ( 厕a m ( m ) 一+ l ( m ) 一2 i i a m i 0 因此，b 2 l 和龟l 都是非奇异的由于 所以 i i 仉。皑一f 7 l 。理忙卵( 以。皑一玩。理) 讪 慨一酬忙 = i i 降秦o 。熹0 。 一嘴玩。 o 一皑玩。 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 。嗽。 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 同理可得 由( 3 8 ) 式我们可得 = m a x l l ( u - - ，u i 。) 盯f 7 l 。i i ，0 嘣( f 7 l 。，f 7 l 。) 1 1 = l l ( u - ，u i 。) 日玩：i i = l l v g ( 玩。，f 7 l 。) i i 。馏一锈。诸0 = 0 馏锄0 = 0 蟛劬 愀吣雩铲，u 醒咏雩铲，s 由等式a b = 雪一b 以及( 3 2 ) 一( 3 5 ) ，可得下列等式 b = u u b l l 馏+ 仉2 8 2 l 瞪+ u l l b t 2 增+ 矾3 玩2 嗜 b 一= f 7 l - 鱼，馏+ 玩。反- 馏+ 玩- 西。馏+ 尻。巍。馏 进一步可得到 皑b 诧。= 碟玩。蜃- 。- i - 皑玩。龟。一b 3 。喵讫。 睨b = 龟。馏一魄仉l b 。一张巩。岛2 结合以上等式以及( 3 8 ) 式，我们可得 两边取范数可得 嘴玩。岛- = 皑b 玩。一雌a 访。对。+ b 。喵谚。 龟t 讶饧= 程b 一程a 。 0 且2 + 稚巩3 如 ( 竭8 碟乳临讯+ + 。( m ) | | 喵玩。乳 ( 硒0 曙峪m + + 。( m ) i i 就舡 所以 i i 璐蚴蠢如+ 繁觜( 町，+ + - ( m ) i i u h u , 。哟 碰铲i i u 嚣v x 。i i 趔挚 事实上，由以上不等式我们可证明 。嘣峪雨丽 o 赌酬s 习万钿 1 7 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 ，1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 ，1 5 ) 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 l 一样的万法，我们司得 。醒巩。i is 习而孙， 0 喵玩。临i 而钿 将( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 分别代入( 3 i i ) 一( 3 1 2 ) 我们就完成了定理的证明 下面是定理3 2 的直接推论 推论3 3 设条件记号与定理3 2 相同，而且r a n k ( 硒= r a n k ( m ) = p 2 ，则 幽t ( 兄( 嬲) ，r ( 硒m i n 坦筹曷笋+ 杂而， 蚴a p l ( , 4 ) + 翻) ， d i s t ( r ( m 。) ，r ( 舻) ) m i n 蠢，粕) 证明 在( 3 9 ) 式中，令口k + 1 ( m ) = 口b + l ( ： ) = 0e p - j 现在我们考虑 陆a ) 伽( 喜) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 口 ( 3 1 8 ) g 2 = ( 剖a u 0 0 铲，聊 且 a 2 = d i a g ( a l ( n ) ，a p 3 ( n ) ) ，c 2 s = d i a g ( + l ( ) ，a l ( n ) ) a l ( n ) 以( ) l = r a i n m 2 ，铊一船) 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 是的奇异值， 包= ( 0 芑) ( 3 2 0 ) 其中玩，晚，访都是酉矩阵五，= d i a g ( o 。( 两，眈( 两，唧。( 勾) 且一。( 两眈( 两 唧。( 两为肓的非零奇异值， 且 a 2 = d i a g ( a 1 ( 疗) ，( 霄) ) ，磊3 = d i a g ( + l ( 霄) ，叽( 霄) ) 口1 ( 霄) m ( 膏) 是霄的奇异值将阮，覆和v 1 访，i = 1 ，2 作如下划分 易证 巩= ( u 1 1 ，巩2 ) ， 仉= ( u l l ，仉2 ) ， u 2 = ( 巩1 ，巩2 ) 沈= ( 沈t ，踢2 ) p l ，m 1 一p l 船，m 2 一船p i ，船，n p l 一船 r a n k ( g 2 ) = r k ( a ) + r a n k ( n ) ，r a n k ( ( 奎2 ) = r a n k ( 五) + r a n k ( n ) ( 3 2 1 ) 注意到g 争和a ，是1 2 分块矩阵同样的方法，我们可以证明下列结论 定理3 4 设g 2 ，0 2 由( 3 1 8 ) 定义，g 2 ，a 2 的分解式由( 3 1 9 ) 一( 3 ，2 1 ) 给出如果 。南( ，) 一。南+ l ( ) 2 0 | f ( a n = 席一) ，我们得到如下估计 i w l 。喵一访。嘲l m i n 帮+ 面薪， 紫a + 丽翻 ， ( 3 2 2 ) l ( )即3 ( _ ) 一即3 + l ( ) ” 1 f i 巩嘣一玩- 姐j l r l f t n 习乔i ，雨衣鲁丽) 1 9 o oo晓 ： o o _ n o 一 a o i ( q 一伤 ，。r。i 曲0 h k 2 2h ”u l t = k ，l，i = 1 i n k 第三章2 1 分块矩阵的限制子空间的扰动 这里 7 3 = m a x ( o 姐c 。i i + 妪h 4 ：；i i ；产幽) ， ( 9 蟛c 玩。i i + 监堑鸣；：；垡孙) ) ， 仉= m a x ( o 蜡e 玩a i i + 崆剑铲) ， ( i i o 基a c v , 。忡趔驴) 卜 当r a n k ( a 2 ) = r a n k ( g 2 ) ，即r a n k ( 霄) = r a n k ( n ) = 船时，则 ( 3 2 3 ) d i s t ( r ( ) ，r ( 膏) ) m i n ；南，a p a ( n ) ， d i s t ( r ( n 日) ，冗( 舻) ) m i n 世尝糟韭+ 毒而， ( 3 2 4 ) 帮+ 翻) _ 应用上述结果何以对l s - t i j 问题和l s e 问题进行误差分析设l ，k ，h ，9 ，p ，工莨定 义同定理1 3 ，相应矩阵的扰动为z = l + a l ，露= k + a k ，五= h + a h ，爹= g + a g ，且 将矩阵 声= ，一t 艺，参= ( ，一( 露声) 露) t r a n k ( l ) = r a n k ( ) ，r a n k ( k ) = r a n k ( k ) 工 k 工 k 邻曼雌i l u 0 弘b l l l = d i a g ( a l ( l ) ，叻( l ) ，( l ) ) 且 a l ( l ) a 2 ( l ) 唧。( l ) 苎三兰! ! ! 坌垫錾堕塑堕型量窒囹塑塾垫 为l 的非零奇异值 难, 1 1 甜0 日 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 我们可得如下的扰动界 定理3 5l ，k ，露，h ，g ，五，蚕如上述定义且o 。( p ) 2 l l a k p l l = i i r p k p i i ， 则 l 气鲴一z 嬲e i i 0 ， 以( ) 眈( ) 口南( ) 0 ， 分别为a ，m 和的非零奇异值将以，f = 1 ，2 划分如下： 巩= ( 巩l ，v n ，仉3 ) ，u 2 = ( u 2 , ，u 2 2 ) ， p l ，仡 ”1 一n 一砌船 ”2 一p 3 ( 4 5 ) = ( l ，v , 2 ，3 ) ，v 2 = ( k l ，v 乞) m ，p a ，n l p l p sp 2 , n 2 一p 2 则由( 4 3 ) 和( 4 ，5 ) ，我们可以证明 a = n l a l l 喵，p ( ) = i 一巩l 嘴，p ( n ) = i 一l 喵， m = p n ( a ) b = 仉2 8 2 l 皤，j m m = i k 1 瞪= 2 蟛， ( 4 6 ) n = c p j v ( a 一严u 2 1 蟛，一t = i 一巩1 蜡= 如鹾 所以由( 4 3 ) 一( 4 6 ) 可得 b ( i m t m ) = 仉1 8 1 2 蟛，( i n n i ) c = u 2 2 c 2 l 皑 ( 4 7 ) 令岛：g 3 + a g 3 为g 3 的扰动，而且互= a + a a ，亩= b + a b ，a = c + a c ，西= d + d 同样的我们有 g 3 = 一一 、 a u 00b l lb 1 2 0 00 b 2 , 0 000o0 a 1c 1 2 0d 1 1 d 1 2 c 2 1 00d 2 1 d 2 2 f ，铲0 4 。8 o 印、 一一一 苎璺至! ! ! 坌垫丝堕盟堡型王窒塑塑垫垫 其中 且 五- = d i a g ( a - ( 两，如( 两，( 两) ， 怠i = d a g ( 以( 两，砚( 硒，( 硒) a 2 = d i a g ( a - ( 霄) ，如( 骨) ，一，( 倚) ) 口l ( 两观( 两唧，( 两 0 ， 口l ( 硒观( 硒( 硒 0 叽( 膏) 啦( 膏) ( 霄) 0 分别为互詹和岔的非零奇异值而且 p 1 = r a n k ( a ) ，仡= r a n k ( 厕，船= r 觚k ( 膏) 将玩，霞，i = 1 ，2 划分如下： ( 4 9 ) 玩= ( 玩，玩。，反。) ，玩= ( 玩，) p l ，p 2 ，m l p 1 一耽p 3 ，嘞一船 ， 访：( 访。，访。，识。) ， 谚：( 诧，诧：) ， ( 4 1 0 ) p l ，船，n l p l 一翔 见，他一亿 则由( 4 8 ) 和( 4 1 0 ) ，可证得 五= 玩- 五- 馏，p ( 两= ，一f 7 l - 帮，p ( 和) = j 一访，馏， 力= p 圆亩= 玩：龟，馏，一衍砑= ，一讫。馏= 馏，( 4 1 1 ) = a p ( 和) = 反- a 。锘，一骨席t = ，一玩。姐= 玩。谚 所以由( 4 8 ) 一( 4 1 1 ) 可得 蜃( ，一勿莉= 玩。寅z 诸，( ，一霄和) 孕= 玩。磊。馏( 4 1 2 ) 第四章2 2 分块矩阵的限制子空间的扰动 定理4 1 设g 3 和a 3 及其分解分别由( 4 4 ) 和( 4 8 ) 式给出，而且互= a + a ， 舍：b + a b ，a = c + a c ，西：d + a d 令 如果 d l = ( j n n t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) d 。= ( ，一席+ ) ( 西一a 岔豆) ( j 一和硒 r a n k ( a ) = r a n k ( , 4 ) ，r a n k ( m ) = r a n k ( 硒 r a n k ( ) = r a n k ( 席) ， i i d l 一西1 0 0 翰a d v 2 2 0 + 0 疗荔0 岔b k 2 0 + i i 0 4 a a t b v 2 2 i i + 理e a t 口- 乞h + u l 程( 西一a 岔岔) 0 + u 2 1 1 ( d c a t b ) v 2 2 i i 其中, r h ，啦，】3 ，啦由( 4 1 0 ) 和( 4 2 3 ) 式定义， u - 2 l i n 蠢，翻 ， 地2 m i n f 。啊- - 茸【) ，柏) 证明d l 和西1 公式由( 4 1 3 ) 给出， l i d l 一西。0s1 1 ( i 一霄霄+ ) f d c , t t a b e ( 岔一a t ) b a c a t b ) ( i m t m ) i i + 1 1 ( i 一席席) ( 6 一c 4 7 b ) ( m t m 一衍硒 + i i ( n n t 蔚v t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) i 注意到文【1 9 】给出 力一a t a t a a a t + 乃( j a a t ) 一( j 一岔两a t ( ，一a a t ) b = m 和6 ( z 一t 两= 霄 似1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 ，1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 篁婴童! ! ! 坌堡丝堕塑里型王室塑塑垫垫 所以 注意到 ( j 一霄霄) d ( 乃一) b ( j m t m ) = 一f ，一霄t n t ) o a t a a a t b ( i m t m ) i m m = ，k 1 喵= k 2 蟛，一n n + = ，一巩1 嘴= 嗍 j 一府砑= ，一优- 曙= 讫：谚，一席卵= ，一晚。鳃= 鸱 因此，在( 4 1 7 ) 式应用推论3 3 和定理3 4 1 1 p 7 。证毕 定理4 2 在定理3 1 的记号和条件下，设d l 和历的奇异值分解分别为 d 1 = ( z 1 ，z 2 ) d i a g ( t 1 ，疋) ( 胍，) 甘 西。= ( 磊，幺) d i a g ( 五，磊) ( 厩，觅) h ， 口 ( 4 1 8 ) 其中i i = r a i n m 2 一p 3 ，忱仡 ，z ，2 ，彬谚都是酉矩阵，五，幺，n ， 1 分别为z ，2 ，彬形 的前q 列， 且 乃= d i a g ( a l ( d 1 ) ，a q ( d o ) ，t 2 = d i a g ( a q + l ( d 1 ) ， 磊= d i a g ( 毋( 西1 ) ，吩( 反) ) ，t 2 = d j 8 9 ( 吼+ l ( 西1 ) ， ，( 7 1 。( d 1 ) ) ，m 。( d 1 ) ) a l ( d 1 ) - ( d 1 ) + i ( d x ) 以。( d 1 ) a 1 ( d 1 ) o q ( 5 1 ) d 口+ l ( 西1 ) 们，( 西。) 分别为d ，和西l 的奇异值如果o q ( d 1 ) 一+ i ( d 1 ) 2 1 l a d l i i ，则 其中 。黧i 。i 罴型型 m 畔一 l 砰憾h 1 i n 丽彘，而翻) ， 卜一7 r ( 1 ) = m a x l l 却d 。召a d l l i i 一= m a x l l z p a d ， 2 i i ，i i 霹a d 。w , i i ( 4 2 0 ) 第四章2 2 分块矩阵的限制子空间的扰动 证明证明方法于定理3 1 3 2 的相同 口 注本文中我们研究了一些限制子空间的扰动及其应用我们得到了g 1 ，g 2 和g 3 的限 制子空间的扰动界这些扰动界可以用于分析l s t l s 问题 1 6 ，1 7 ， 7 1 ，秩亏的l s e 问题 【2 2 ，约束t l s 问题【2 ，2 3 c m o ” r m 。“ c ? 。“ u a 日 a t r ( a ) r a n k ( a ) d i m ( w ) l d i a g ( c q ， i i a i i r l i a i i s p a n ( v 1 ， 本文记号 m n 复矩阵集 m n 实矩阵集 秩为r 的m n 复矩阵集 n 阶酉矩阵集 a 的共轭转置 a 的m p 逆 a 的列空间 a 的秩 子空间w 的维数 r 阶的单位矩阵 以盯l ，唧为对角元的对角矩阵 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 矩阵4 的谱范数 由向量口l ，张成的子空间 参考文献 【1 】c d a v i s ，w m k a h a n ，t h er o t a t i o no f e i g e n v e c t o r sb yap e r t u r b a t i o n , 1 1 1s i a i dj n u m e r a n a l 。 7 ( 1 9 7 0 ) 。1 - 4 6 【2 】j d e m m e l ，t h es m a l l e s t p e r t u r b a t i o no f as u b m a t r i xm 棚曲l o w e r st h er a n ka n d c o r t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mj n u m c r a n a l 2 4 ( 1 9 8 7 ) ，1 9 9 2 0 6 【3 】l e l d d n ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rt h el e a s ts q u a r e sp r o b l e mw i t hl i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t s , s i a mj n u m e r ，1 7 ( 1 9 8 0 ) ，3 3 8 3 5 0 【4 】g h 。g o l u b ，a h o f f m a n ，g w s t e w a r t , ag e n e r a l i z a t i o no f t h et h ee c k a r t y o u n g m i r k ym a t r i xa p p r o x i m a t i o nt h e o r e m , l i n e a ra l g e b r aa p p l ，8 8 8 9 ( 1 9 8 7 ) ，3 1 7 3 2 7 【5 】工k a t o ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rl i n e a r o p e r a t o r s , s p a n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k , 1 9 6 6 【6 】c c p a i g e ，m a s a u n d e r s ，t o w a r dag e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n , s i a mj n u m e r a n a l ，( 1 8 ) 1 9 8 1 ，3 9 8 - 4 0 5 【7 】c c p a i g e ，m w e i 。a n a y s so fm pg e n e r a l i z e dt o t a ll e a s ts q u a r e sp r o b l e ma x 且w h e n $ o f t l c o l u m a sa r e f r e ee r r o r , n u m e rm a t h ，6 5 ( 1 9 9 3 ) ，1 7 7 - 2 0 2 【8 1g ws t e w a r t , e r r o r a n d p e r t u r b a t i o nb o u n d s f o r s u b s p a c e s a s s o c i a t e d w i t hc e r t a i ne i g e n v a l u e p r o b - l e m s , s i a mr ，1 5 ( 1 9 7 3 ) ，7 2 7 7 6 4 【9 】g ws t e w a r t , o nt h ec o n t i n u i t yo f t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e , s i a mj a p p l m a t h ，1 7 ( 1 9 6 9 ) ，3 3 - 4 5 【1 0 g ws t e w a r t , o n t h e p e r t u r b a t i o n o f p s e u d o i n v e r s e s , p r o j e c t i o n s , a n d l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mr e v ，1 9 ( 1 9 7 7 ) ，6 3 4 - 6 6 2 【1l 】孙继广，矩阵扰动分析第二版科学出版社，北京，2 0 0 1 【1 2 1j 如s u n ，o r t b o g o n a lp r o j e c 打o n sa n d 咖p e r t u r b a t i o no ft h ee i g e n v a l u e so fs i n g u l a rp e n c i l s ,