（运筹学与控制论专业论文）极值理论中的极值指标以及上端点的性质研究.pdf

摘要 无论对于极值理论，还是对于金融和保险理论，分布函数的尾部性质都 具有重要意义，而分布函数的极值指标，y 在刻画其尾部性质时起了很大的作 用，并且金融时间序列的时间分布火都呈现出重尾性质，因此重尾情况下尾 部指数的估计引起了人们的关注。许多学者提出了各种方法，给出了很多不 同的估计，本文第二章在h i l l 估计的基础上，给出了对于指标7 o 为由f 唯一确定的常数，n q f 的尾指标对1 的估计是一个重要课 题。 设蜀，j 已，是i t d 的随机变量序列，有共同分布f ，而f 满足( 1 ) 。h i l l ， b m ( 1 9 7 5 ) 提出了一个，y ( 0 ) 的估计量： 岛= 去娄- o s - t + l , n - - l o g 也。 m ：， 其中x 1 ，。恐，。，。是墨，磁，的次序统计量， ) 满 足_ o o ，k n _ 0 ，一o o ) ，n 代表自然数集。h a l l ，p ( 1 9 8 2 ) ，h a u s l e r , e & t e u g e l s ，j l ( 1 9 8 5 ) ，c s 6 r 9 6 ，s e ta 1 ( 1 9 8 5 ) ，b e i f l a n t ，j & t e u g e l s ，j l ( 1 9 8 6 ) ， c h e n g , s ( 1 9 9 2 ) ，d eh a a n , l ( 1 9 9 4 ) ，c h e n g , s & p a n , j ( 1 9 9 5 ) 等许多人对凰的 弱相合性、强相合性、渐近正态性、大偏差等做了广泛而深入的研究。对 于7 1 是t i d 序列，对每个n ，由次序统计量，1 s m 取 出一个( 比如第k 个) ，k ，= 1 ，2 ，) 得到的序列t ，k ，n = 1 ，2 ，) , q o s 序列。 对于o s 序列，我们考虑以下的极值问题：对于给定的秩列 ，问是 否存a n 0 ，h n r ，使 茎唑巫三g ( g 为某一分布函数) ( 1 - 3 j a n 1 ) 求出所有可能的g 。 2 ) 对某特定的g ，( 1 - 3 ) 成立的充要条件是什么? 下面只讨论( n ) = n 的情况，即取l 磊= 。： m r = _ - 一风三g ，螈：k 加x c ( g ) ( 1 - 4 ) 定义1 ，2 3 ： 如j 0 ，尻r ，使( 1 3 ) 对非退化g 成立，我们将极限分布g 称为极值 分布 d ( g ) = 妒：弘。 0 ，风r ，使j ”( o 。o + 艮) _ g ( z ) ，。 g ( g ) ) ，叫g 的吸引场。 定理1 2 1 ：如果了a 。 0 ，风r ，n = 1 ，2 ，使( 1 - 4 ) 对非退化分布g 成立， 则g 必属于下面三个分布函数所代表的律型之一： ( 1 ) a ( z ) = e 一。一。，v 童r ( 2 ) 喇= 协，裂吣。) 吲小一叫裂眇。， 推论l ：对均1 ，7 2 0 ，a ，圣饥，皿，7 2 ，a 属于不同律型； 对v m ，啦 0 ，r 1 r 2 ，圣 西f 7 2 ，皿 皿 】2 ，a 都属于不同律型。 推论2 ：令1 = 町，易见与( x ) = e x p 一( 1 + - r x ) 一；) ，( 1 + t x ) o 同一律 型： 令7 = 一叩，易见皿。与( 同一律型； 令( 1 + ) ；| ，= 0 = 溉( 1 + 似) ；= 矿则易见a ( z ) 与q ( 。) 同一律型。 所以q ( 7 冗) 代表了所有的极值分布律型，不同的，y ，( b 代表不同的律型。 f 垂1 一，7 0 q 一 a ，r = 0 【皿一一1 0 ，及1 。 f 。( 皿叶) p 。( q ) 铮u ( o o ) 。 命题h 对砌 0 ，7 = ；1 ，下列命题等价： ( 1 ) f d ( 垂目) ： ( 2 ) u ( o o ) = o o r u r l ，( 7 ) ； ( 3 ) 记z = i n f z r ；f ( x ) = 1 ) ，则z = o o g l f r 。( 一目) ； ( 4 ) 斤等 0 ，令，y = ；1 ，下列说法等价： ( 1 ) f d ( m ) ； ( 2 ) 矿( o 。) o o 且u ( o o ) 一u 风( 7 ) ； ( 3 ) z o o r 1 一f ( z 一；1 ) 足，( 一吁) ； ( 4 ) 矿 0 ) 的情况，这等价于 对于所有z 0 成立易知 t l 。i r a 。e ( 1 0 9 x l o g t x 幻= 7 事实上 e ( 1 。g x 。1 。g 。l x 。) = 1 - l f ( t ) 上( 1 0 9 z l o g t ) d f ( 0 0 z )( 1 5 ) 1， = 西i 丽f ( 1 0 9 x - l o g t ) 俐卜，。脚) ：叫 = 南 j ( 。l $ d x j ( o o 地，扫 ( 1 6 ) 矗 搿 ；萤呈， 厂幽m一靠葛。蔫小 一f l 。缸，i 五1 如= ，y。z 缸五眈叫 对于简单随机样本咒“= 1 ，2 ，- ，1 7 , ) 由次序统计量1 s ，。取 出o s 序列 凰，k ，竹= 1 ，2 ，) ，= n k + l ，凡= l ，2 ，( 右边第k 项，叫 右固定0 s 序列) 。 当弱。一充分大对，在( 1 5 ) 中用。一 代替f ( m 一女一o o ) ，用经验分布 n l 函数晶o ) 2 磊1 量曩x n , n - i z ) 代替f 江) ，用元( z ) = 1 一r o ) 代替尹( z ) ，则 式( 1 - 5 ) = 赤b ( 一( 1 n x - i n 一删功 = 丽而1l ( 六x n , ：t , + lf x i , - + 2 + “+ ( 。) ( i n x - i n 墨础蚓硼 利用r _ s 积分，若a 矗，i o 的情形。 用类似的思想，利用命题2 ，我们可以构造，y 0 时7 的估计量但是这时会遇 到一个实质性的困难，那就是命题2 中矿 o o ，构i 孰的估计量要考虑矿是否已 知我们分情况讨论 7 第2 章极仇指标 第2 章极值指标筲 2 1 极值指标的估计筲 由第一章最后一部分，我们接着给出对于7 o 的估计话期望写出一 个与访，也就是h i l l 估计量形式上相同的估计表达式。 命题2 中的式( 3 ) 净1 一f ( z ) ( 一7 ) ，即 且 仁。岩抛噬一t 幽t 出 o o，z 一1 z + 一t j l ，矿乓型砒噬一 1 一f ( x ) 厶 矿一钍一 一圣与 三i “1 - f * ( t ) d t 1 一f ( z ) 南t 志。坐塑如0 - i ) 1 一f + ( “) 儿t 一 其中 f + c z ，= f ( 矿一：) 由( 1 6 ) ，我们可以类似写出( 2 1 ) 的与( 1 5 ) 形式上相同的式子，则 式( 2 _ 1 ) = 高f ( 1 0 9 z l o g “) d f ) 做变量替换，有 式子( 2 - 1 ) = f 。( 1 0 9 x l o g u ) d f 沁) = 南西，吲击h 酬d f 同理于第一章最后一部分推导错，当礼充分大时，用，n k 代替矿一1 。， n 而用经验分布函数r ( g ) = 磊1 i ， 0 ，总存在t o ，使得对于所有t t o ，z 1 ，有 ( 1 - e ) 。1 一瓦u ( o o 丽) - u ( t z ) ( 1 + e ) 托 两边取对数： l o g ( 1 一e ) + ( ，r e ) l o g x l o g v ( o o ) 一u ( 。) 】一l o g 【v ( o o ) 一u o ) 】 l o g ( 1 + e ) + n + e ) l o g x 由于c 厂( 。) = z ，当n 充分大时，用k ，n 一代替t ，用；笔 1 ) 代替z ，则 对于充分大的佗，所有的i k ，都有： l 0 9 1 一e + ( 7 一e ) l o g ；型 l o g ( x 一u ( 碥，。一t ) ) 一l o g ( x 一矿( k ，。一 ) ) o n n 一 絷2 章极值指标 ： 现只考虑其上界 此时有： 1 。g ( 1 + e ) + ( ，y + e ) 1 0 9 y 1 , 儿l | , n n - 一k 。 v 筲 m ) 的样本( 噩，j 屯，j b ) 的最大统计量置哟。 我们运用大数定律构造该最大统计量的上界，期望它是矿的好的估 计量，因为我们知道p f 墨帕一如j 3 ) 的值接近于l ，所以可近似地认 为脚+ 3 a n 再。1 + 3 a n 。 m 定理4 0 2 ：记风= ( 景) 五( 嘉) ”1 ，则风是最大统计量甄。) 的均 值e ( 墨。) ) 的无偏估计。 证明：已知： ，+ o o e ( x ( n ) ) = x d f n ( x ) 利用样本均值来估计，由于分布函数f ( $ ) 未知，因此我们用其经验分布 函数来代替，则有： 原式“蚤r n 础一( i i - 1 纠 ( 4 _ 1 ) = 所以得证风是e ( 墨。) ) 的无偏估计。 口 推论3 ：记磅= e ( 忍一风) 2 【( 击) ”一( 等) “】，则醒是最大统计量的方 差v a r ( x ( 。1 ) 的无偏估计。 证明：与定理( 4 0 2 ) 的证明方法相同，利用样本方差来估计总体的方差： f - 0 0 v a r ( x ( 。) ) = 0 一风) 2 d f n ( x ) z 砉( 观刊2 妇一( 等) n 】 ， ：a 程 口 值得注意的是，在上述均值和方差的推倒中，我们都用了一定的近似， 如用求和公式代替积分公式，用增最【( 去) “一( 桀) “】代替d f “( ) ，这些近似 在一定程度上影响着我们最终的模拟结果。实际上，从上面的推导式中，我 们不难发现风，以比实际的值偏小。 4 1 数值结果 我们设计了如下的模拟流程： 总体分布x f ( 。) ，有两组样本：样本a 一( 蜀，恐，x 。) 和样本b 一 ( j ，1 ，x 2 ，j 岛) ，其中m = 2 0 ，n = 3 0 。 s t e pl ：求墨们，即生成组样本b ，取其中的最大值，将上述过程循 环操作1 0 0 次，得至t j l 0 0 个最大值，再取这1 0 0 个数中最大的一个，把它作 为墨m 的值； s t 印2 ：求风，即生成一组样本a ， s t e p3 ：求靠，即生成一组样本a ， s t e p 4 ：s t e p l s t e p 3 循环1 0 0 次， 间( x ( 哪一3 以，墨。) + 3 氕) 上的点。 将其代入式子( 4 一1 ) 中，得到风； 将其代入式子( 4 2 ) e e ，得到氕； 画出( x ( 帕，臃) 的散点图，观察落在区 ( 1 ) 当总体分布f ( 茹) = u ( o ，1 ) 时，模拟结果如下： ( ( n ，n ：2 8 x ( n n ：2 6 x ( n ) n = 2 0 ix ( 哪 0 9 9 9 70 9 9 8 l0 9 9 8 80 9 9 9 60 9 9 9 90 9 9 9 20 9 9 9 50 ，9 9 9 3 i 豇。 0 9 5 4 8 0 9 8 4 7 0 9 3 4 l0 8 1 9 20 9 4 4 80 9 3 5 60 9 7 6 70 9 4 0 l 图中的表示落在区间( 投呐一3 以，x ( 由+ 3 磊) 之外的点的个数。 ( 2 ) 当总体分布f ( x ) = l 一0 。一。) 1 时，这里矿= 1 0 ，叩= 0 5 ，模拟结果 如下； 一1 6 一 x c n ) n = 7 x l n l n = 4 l n = 5 【置。) 1 09 9 9 9 91 0l o9 9 9 9 91 0l o9 9 9 9 8 i 风 9 9 9 9 29 9 9 8 39 9 9 6 4 9 9 9 9 89 9 9 2 l 9 9 9 5 79 9 9 6 99 9 9 7 3 i x +1 0l o1 01 01 01 01 01 0 1 l 风+ 3 氕 9 9 9 9 29 9 9 8 49 9 9 6 59 9 9 9 89 9 9 2 49 9 9 5 99 9 9 7 09 9 9 7 4 ( 3 ) 当总体分布f ( z ) = 1 一( 矿一z ) 口( 一2 ) 时，这里矿= 1 0 ，叩= 0 5 ，模拟 结果如下： 一1 7 一 9 姗 9 ，9 9 6 9 9 9 4 9 9 9 2 j 99 9 9 9 8 8 9 9 8 6 0 9 8 4 x ( 。) 9 9 9 9 9 1 0 1 09 9 9 9 91 0l o1 01 0 i 如 9 9 9 8 79 ，9 9 7 99 9 9 8 l9 9 9 8 89 9 9 9 49 9 9 9 59 9 9 9 99 9 9 6 7 x 1 01 01 01 0 1 0 1 01 01 0 l 丘。+ 3 以 9 9 9 8 79 9 9 89 9 9 8 2 9 9 9 9 09 9 9 9 59 9 9 9 69 9 9 9 99 9 9 6 8 分析如下： ( a ) 对于均匀分布来说，平均有7 0 的点落在区间( x f m 一3 0 ，x f 。) + 3 以) 上，模拟结果不好，可能这与均匀分布不是重尾分布有关： ( b ) 对于分布f ( 。) = 1 0 一z ) ”来说，它是一重尾分布，平均有9 0 的 点落在区间( x ( 。) 一3 氟，x + 3 氏) 上，结果似乎也不是很满意，但这与我们 在推导肪，乳时采用的近似有关，风，靠比实际的值偏小，使得部分满足条 件的点落在了区间外，总体上说，该分布的模拟效果还是不错的，由此得到 的值风+ 3 以很好的逼近了上端点矿 ( c ) 对于分布f ( z ) = 1 一( 矿一z ) ”( 一2 ) 来说，它与第二个分布的区别就在 于缓慢变化函数的选取不同，前者取的是l ( z ) = - 2 ，后者取的是l ( x ) = 1 ， 这就能看出l ( z ) 的取值对该模拟的结果影响较小 4 2 结论 纵观全文，我们得到如下结论： ( 1 ) 对于指标，y 0 时，还是存在与h i l l 估计形式上统一的估计表达 式，并且也有相似的弱相合性； ( 2 ) 对于表达式中出现的上端点矿，我们对其估计表达式中的参 数，即最大统计量墨。、进行了随机模拟，发现对于重尾分布来说，模拟的区 间上界能很好的逼近上端点矿。 参考文献 1 d e k k e r s ，a l m ，j h j e i n m a h la n dl d eh a a ( 1 9 8 9 ) ，am o m e n t e s t i m a t o rf o rt h ei n d e xo fa l le x 扫e m e - v a l u ed i s t r i b u t i o n ，a n n a l so f s t a t i s t i c s 1 7 ，1 8 3 3 1 8 5 5 2d e k k e r s ，a l ma n dl d eh a a n ( 1 9 9 3 ) ，o p t i m a lc h o i c eo f s a m p l ef r a e - t i o ni ne x t r e m e - v a l u ee s t i m a t i o n , j o u r n a lo f m u l t i v a r i a t ea n a l y s i s4 7 ，1 7 3 1 9 5 3 d e h a a n i ) d e h a a n ，l ( 1 9 9 4 ) ，e x t r e m e v a l u e s t a t i s t i c s ，k l u w e r a c a d e m i c p u b l i s h e r s 4d eh a a n ，l a n dp e n g ，l ，( 1 9 9 8 ) ，c o m p a r i s o no f t a i li n d e xe s t i m a t o r s ，s t a t i s t n e d e r l a n d i c a5 2 ，6 0 7 0 5 h i l l ，b m ( 1 9 7 5 ) ，as i m p l eg e n e r a la p p r o a c ht oi n f e r e n c ea b o u tt h et a i lo f a d i s t r i b u t i o n , a n n a l so f s t a t i s t i c s3 11 6 3 - l1 7 4 6 h c k a n d s j 1 i i ( 1 9 7 5 ) ，s t a t i s t i c a li n f e r e n c eu s i n ge x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s ， a n n a l so f s t a t i s t i c s3 1 1 9 1 3 1 7 j s e g e r s ( 2 0 0 5 ) ，g e n e r a l i z e dp i c k a n d se s t i m a t o r sf o r t h ee x e e m ev a l u ei n d e x ， j o u r n a l 0 s t a t i s t i c a l p l a n n i n g a n d i n f e r e n c e1 2 8 ，3 8 1 3 9 6 8 w a n g ，x q a n d c h e n g ，s h ( 2 0 0 5 ) ，g e n e r a lr e g u l a r v a r i a t i o n o f n t h o r d e r a n d t h e2 n do r d e re d g e w o r t he x p a n s i o no f t h ee x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ( i ) ，a c t a m a t h e m a t i c as i n i c a , e n g l i s hs e r i e s2 5 ，l1 2 1 一l1 3 0 9 w a n g ，x q a n dc h e n g ，s h ( 2 0 0 2 ) ，g e n e r a lr e g u l a rv a r i a t i o na n di t si n v e r s e f u n c t i o n , j o u r n a l o f p e k i n gu n i v e r s i t y ( s c i e n c e ) 3 8 , 3 0 3 - 3 11 1 0 d r e e s ，h ( 1 9 9 5 ) ，r e f i n e dp i c k a n d se s t i m a t o r sf o rt h ee x t r e m ev a l u ei n d e ，( ， a n n a l so f s t a t i s t i c s2 3 ，2 0 5 9 2 0 8 0 一2 0 芬弓t 献 1 1 f r a g aa l v e s ，m i ( 1 9 9 5 ) ，e s t i m a t i o no ft h et a i lp a r a m e t e ri nt h e + d o m a i no f a t t r a c t i o no f a ne x t r e m a ld i s t r i b u t i o n ，j = s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e4 5 ，1 4 3 1 7 3 1 2 y t m ，s ( 2 0 0 0 ) ，ac l a s so fp i c k a n d s - t y p ce s t i m a t o r sf o rt h ee x n e m ev a l u ei n d e x , s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e8 3 11 3 - 1 2 4 1 3 y u n ，s ( 2 0 0 2 ) ，o nag e n e r a l i z e dp i c k a n d se s t i m a t o ro ft h ee x t r e m ev a l u ei n - d e x , j = s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e1 0 2 ，3 8 9 - 4 0 9 1 4 b e i r l a n t ，j a n dt e u g e l s 3 l ( 1 9 8 6 ) ，a s y m p t o t i e so f h i l l se s t i m a t o r t h e o r y p r o b a b a p p l 3 1 ，4 6 3 - 4 6 9 1 5 a i n g h a m , n h ，g o l d i e ，c m ，t e u g e l s ，j l ( 1 9 8 ar e g u l a rv a r i a t i o n c a m - b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ： 1 6 c h e n g , s ( 1 9 9 2 ) l a r g ed e v i a t i o nt h e o r e mf o rh i l l se s t i m a t o r a c t am a t h e - m a t i c as i n i c a , n e ws e r i e s ，、，0 1 8 n o 3 ，2 4 3 - 2 5 4 1 7 c h a n g ，s ，d eh a a n , l ( 2 0 0 1 ) ，p e n u l t i m a t ea p p m x i m a f i o n f o rh i l l 譬e s t i m a t o r s c a n d s t a t i s t 2 8 5 6 9 - 5 7 5 1 8 c h e n g , s ，p a n , j ( 1 9 9 5 ) ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n so f e s t i m a t o r si ne x t r e m e s t a t i s t i c s ，i np r o c 5 d f s e s s i n t s t a t i s t i n s t i p 1 5 1 ，5 9 3 6 0 5 1 9 c h e n g ，s ，p a n ，j ( 1 9 9 8 ) ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n so f e s t i m a t o r sf o r t h e t a i li n d e x w i t h a p p l i c a t i o n s s c a n d 一s t a t i s t 2 5 7 1 7 7 2 8 3 1 c s 6 r 9 6 sd e h e u v e l s ，p ，m a s o n , d ( 1 9 8 5 ) ，k e m e le s t i m a t e so f t h et a i li n d e x o f ad i s t r i b u t i o n a n n s t a t i s t 1 3 1 0 5 0 _ 1 0 7 7 2 1 c u n t z ，a ，h f i u s l e r , e ( 2 0 0 1 ) ，o ne d g e w o r t he x p a n s i o n sf o rt h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o no f t h eh i l le s t i m a t o r p r e p r i n t 2 2 d e h a a n , l ( 1 9 7 0 ) o nr e g u l a r v a r i a t i o n a n d i t s , a p p l i c a t i o n t o t h e w e a k c o n v e r - g e n c eo f s a m p l ee x t r e m e s ，m a t h c e n t r et r a c t 3 2 , a m s t e r d a m ：m a t hc e n t r u m 2 3d eh a a n lr e s n i c k , s i ( 1 9 9 6 ) ，s e c o n d - o r d e rr e g u l a r v a r i a t i o na n dr a t e so f c o n v e r g e n c ei ne x l t e m e - v a l u et h e o r y , a n n p r o b a h2 4 ，9 7 - 1 2 4 一2 l 一 茎丐z 献 2 4d eh a a n , l ，s t a d t m i i l l e r , u ( 1 9 9 8 ) ，g e n e r a l i z e d r e g u l a rv a r i a t i o no fs e c o n d o r d e r a u s t r a l m a t h s o c s e r a 6 1 。3 8 1 3 1 h a n s l e r , e ，h a l l ，p ，w e l s h , a h ( 1 9 8 4 ) ，b e s t a t t a i n a b l er a t e so f c o n v e r g e n c e f o re s t i m a t e so f p a r a m e t e r so f f e g u l a rv a r i a t i o n 。a n n s t a t i s t 1 2 ，1 0 7 9 1 0 8 4 31 h a u s l e r , e ，t e n g e l s ，j l ( 1 9 8 5 ) ，o na s y m p t o t i cn o r m a l i t yo f h i l l se s t i m a t o r f o rt h ee x p o n e n to f r e g u l a rv a r i a t i o n a n n s t a t i s t 1 3 ，7 4 3 7 5 6 2 7 h a l l ，p ( 1 9 7 9 ) ，o n t h e r a t e o f c o n v e r g e n c e o f n o r m a l e x t r e m e s j = a p p l p r o b a b 1 6 ，4 3 3 2 8m c n e i l , a j ，f r e y , r ( 2 0 0 0 ) ，e s t i m a t i o no f t a i l - r e l a t e dr i s km e a s u r e sf o rb e t - e r o s e e d a s t i cf i n a n c i a lt i m es e r i e s ( a ne x t r e m ev a l u ea p p r o a c h ，j o u r n a lo f e m - p i r i c a lf i n a n c e , 7 ，2 7 1 - 3 0 0 2 9 m i k o s c h , t ，n a g a e v , 九v ( 1 9 9 8 ) ，l a r g ed e v i a t i o n so f h e a v y - t a i l e ds u m sw i t h a p p l i c a t i o n si ni n s u r a n c e e x t r e m e s1 ，8 1 11 0 3 0 m i k o s c h , t - ，n a g a e