（计算数学专业论文）基于混合变分模型的图像去噪.pdf

大连理- 丁大学硕+ 学位论文 摘要 图像在获取和传输过程中不可避免的受到噪声污染，为后期处理带来不便现有的 基于变分法的图像去噪模型主要有全变分模型和调和模型，前者能够较好的保持图像的 边缘，但容易产生阶梯效应：后者对平坦区域去噪效果好，但容易模糊图像的边缘为 了克服它们的不足，本文考虑一种混合去噪模型，以兼顾二者的优点该模型是全变分 模型和调和模型的凸组合，组合系数较大时偏向于全变分模型，较小时偏向于调和模 型我们从扩散性的角度分析了混合模型的合理性，并通过数值实验检验其有效性数 值实验表明，适当选取组合系数，混合模型的去噪效果比全变分模型和调和模型好，并 且计算时间比全变分模型少由于图像分为平滑区和边缘区，对不同区域选择不同的组 合系数应该可以取得更好的去噪效果我们通过变化组合系数将混合模型改进成自适应 的利用图像中每一像素点的梯度信息，自适应的选取决定扩散强弱的参数酬x ，) ，) ，并 设置两个阀值届，a 当万( x ，y ) 厦时，认为是图像的边缘，采用全变分模型进行计算；当介于两者之间时， 采用混合模型进行计算数值试验表明，应用相同的终止准则，混合自适应模型与全变 分自适应模型的去噪效果相当，但前者的计算时间仅为后者的一半；混合自适应模型比 混合模型的去噪效果明显好 关键词：全变分模型；调和模型；混合模型；欧拉一拉格朗日方程；白适应去噪 基于混合变分模型的图像去噪 i m a g ed e n o i s i n gb a s e d o nh y b r i dv a r i a t i o nm o d e l a b s t r a c t n o i s ei ni m a g e si n v o i c e db yf o r m a t i o na n dt r a n s m i s s i o ni su n a v o i d a b l e ，w h i c hm a k e s p o s t - p r o c e s s i n gd i f f i c u l t c o m m o n l yu s e di m a g ed e n o i s i n gm o d e lb a s e do nv a r i a t i o n a l m e t h o da r et o t a lv a r i a t i o nm o d e la n dh a r m o n i cm o d e l t o t a lv a r i a t i o nm o d e lc a l lk e e pe d g e s w e l l ，b u ti tw i l lb r i n gi ns t a i r c a s ee f f e c t h a r m o n i cm o d e ld e n o i s e sw e l li ns m o o t ha g e a s b u ti t w i l lb l u re d g e sw h e nr e m o v i n gn o i s e i no r d e rt oo v e r c o m et h ed r a w b a c k so ft h e m , ah y b r i d m o d e li sp r o p o s e di nt h i sp a p e r h y b r i dm o d e li sc o n v e xc o m b i n a t i o no ft o t a lv a r i a t i o nm o d e l a n dh a r m o n i cm o d e l w h e nc o m b i n a t o r i a lc o e f f i c i e n ti sl a r g e h y b r i dm o d e li sc l o s et ot o t a l v a r i a t i o nm o d e l 、h e l le o m b i n a t o r i a lc o e f f i c i e n ti ss m a l l h y b r i dm o d e l i sc l o s et oh a r m o n i c m o d e l w ee x p l a i nh y b r i dm o d e lf r o mt h ev i e wo fl o c a ld i f f u s i o na n dv e r i f yi t se f f e c t i v i t y t h r o u g hn u m e r i c a le x p e r i m e n t s i fc o m b i n a t o r i a lc o e f f i c i e n ti sa p p r o p r i a t e ，d e n o i s i n gr e s u l to f h y b r i dm o d e li sb e t t e rt h a nt o t a lv a r i a t i o nm o d e la n dh a r m o n i cm o d e l c o m p a r e dw i t ht o t a l v a r i a t i o nm o d e l ，h y b r i dm o d e l sd e n o i s i n gt i m ei sl e s s s i n c ei m a g ec a nb ed i v i d e di n t o s m o o 也a r e a sa n de d g ea r e a s c h o o s i n gd i f f e r e n tc o m b i n a t o r i a lc o e f f i c i e n t si nd i f f e r e n ta r e a s s h o u l da c h i e v eb e t t e rr e s u l t t h r o u g ha l t e r i n gc o m b i n a t o r i a lc o e 伍c i 伽临h y b r i dm o d e lc a nb e c h a n g e di n t oa d a p t i v e w ea d a p t i v e l ys e l e c tp a r a m e t e r 万( x ，力w h i c hd e c i d e st h es t r e n g t h o fd i f f u s i o nb a s e do nt h eg r a d i e n ti n f o r m a t i o no fe a c hp i x e la n ds e tt w ot h r e s h o l d s 届a n d 屋w h e nn r ( x , y ) 屈，w ec o n s i d e ri t st h ee d g eo fi m a g ea n du s et o t a lv a r i a t i o nm o d e lt o c a l c u l a t e i f 万( x ，y ) i sb e t w e e nt w ot h r e s h o l d s ，w eu s eh y b r i dm o d e l t oc a l c u l a t e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t ss h o wt h a t ：u s i n gs a m et e r m i n a t i o nc r i t e r i a ，h y b r i da d a p t i v em o d e la n dt o t a l v a r i a t i o na d a p t i v em o d e lc a nr e a c ha l m o s tt h es a m ed e n o i s i n gr e s u l t , b u tt h ef o r m e r s c o m p u t i n gt i m ei sh a l fo ft h el a t t e r h y b r i da d a p t i v em o d e lc a l lr e a c hs i g n i f i c a n t l yb e t t e r r e s u l tt h a nh y b r i dm o d e l k e yw o r d s ：t o t a lv a r i a t i o nm o d e l ；h a r m o n i cm o d e l ；h y b r i dm o d e l ；e u l e r l a g r a n g e e q u a t i o n ；a d a p t i v ed e n o i s i n g 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：基王湿佥变佥搓型鲍图堡圭竖 一 作者签- g ：垒查盟 日期：竺翌年互月竺日 大连理- t 大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：蔓立盈鱼奎金煎型盥图鱼叁堕 作者签名： 塾查煎 日期：兰竺堕年生月- 三生e t ，n 导师签名：至氢坠 日期：兰! ! ! 年l 月卫日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 引言 随着计算机和网络技术的迅速发展，今天我们面对的大部分图像都是离散化的，并 且以数字的形式存储在计算机中，这样的图像称为数字图像在计算机中对数字图像的 处理和操作称为数字图像处理数字图像处理是数学科学和计算机技术相融合的一门新 兴学科，图像去噪一直是该学科的研究热点2 0 世纪9 0 年代以来，偏微分方程在图像 去噪中的应用日益受到数学界与图形图像界研究人员的广泛关注 图像去噪中使用的偏微分方程主要有两个来源，一个是直接构造，然后进行实验， 再对模型进行修改，我们称这种方法为直接方法这种方法在确定扩散系数时有很大的 自由，在向前扩散的同时具有向后扩散的性能，所以具有平滑图像和保持边缘的能力但 是这类方法得到的大多是病态问题，在实际应用中不稳定第二种方法是通过变分的途 径获取某一能量泛函的欧拉一拉格朗日方程，根据数值方法求解获得降噪图像即将图 像看成是一个能量系统，认为没有噪声的图像是较平滑的，相应的能量最小；当图像被 噪声污染后就变得不光滑了，其能量也相应的增大很多于是问题转化为寻找一个能量 泛函，然后在一些具体约束下，最小化图像系统的能量当图像系统的能量达到最小时， 噪声就被去除了这种方法比直接构造方法稳定，并且具有明确的理论解释 在图像处理方面，变分偏微分方程方法与其他方法相比，在理论与计算方面具有如 下显著特点： ( 1 ) 变分偏微分方程方法可以直接处理图像中视觉上重要的几何特征，如梯度、切线、 曲率和水平集等，并使图像处理过程与物理过程紧密相连，使之具有更明确的动力 学解释； ( 2 ) 变分偏微分方程可以有效的模拟具有视觉意义的动态过程，如各向同性扩散、各向 异性扩散以及信息的传输机制； ( 3 ) 变分和偏微分方程都是数学分析的重要组成部分，具有较完善的理论分析和数值计 算体系，为理论证明和实验提供了保障； ( 4 ) 基于能量函数的变分方法，既可以采用成熟的数值方法来计算，也可以采用智能优 化算法来计算，如模拟退火法、遗传算法等 由于变分偏微分方程的这些特点，基于变分偏微分方程的图像处理技术引起了国内 外大批数学家和图像界学者的广泛晕视，逐步形成一门具有吸引力的研究课题 基于混合变分模型的图像去噪 1 2 图像去噪的变分偏微分方程研究现状 基于变分的图像去噪一般都是要解决下面的正则化问题【i 】： m 如e ( ，) = 2 f ( u ，) + j ( ”) ， 其中，材是原始图像，是含噪图像，五为权系数右侧第一项f ( u ，u 。) 为逼近项，第 二项j ( u 1 为正则化项关于正则化的研究一直是偏微分方程图像去噪的一个热点 最早，t i k h o n o v 提出了如下的变分正则化模型【2 1 ，一般称为调和模型： 翼驷l i v ”1 2 d x d y + 五l ( 甜一u o ) 2 d x d y ， 这里及下文中的1 i 均表示欧几里得范数该模型考虑的图像空间为： 1 = 甜i ”9 2 ，v u r 该模型是各向同性扩散的，在去除噪声的同时会模糊图像的边缘 1 9 9 2 年，r u d i n ，o s h e r 和f a t i m e 提出了基于b v 半范数的全变分去噪模型3 】 嘶l l v i d x d y + 五l ( 砧一u o ) 2 d x d y ， 全变分模型考虑的图像空间是 b v = u p l 肌w d x d y ，二= ( q 霸，巧) c l o ( n ) ，i 巧i l k ( n ) 1 ) o o ) 该模型相对于其他模型的优势在于：它的解空间是有变差函数空间( b v ) ，该空间中 的函数允许存在边缘等灰度不连续的信息；并且在图像的每一点仅沿与梯度垂直的方向 演化，解决了过度平滑的问题，有效的保持了边缘信息；另外全变分模型极小化的是一 个凸函数，所以解的存在性和唯一性是可以保证的尺度参数五的选取是一项重要的工 作如果五取的过大，就无法很好的去除噪声：如果兄取的过小，又会导致过度平滑关 于参数五的选取可以参照文献【4 】 全变分模型对应的欧拉一拉格朗日方程为： 坷。矧圳护护o 该模型在i v u i = 0 处是没有意义的，目前有几种方法可以解决此问题一种是在分母处 加一较小的常数p ，即 司( 南卜飞 一2 一 大连理丁人学硕士学位论文 参数的选取很重要，太大得到的去噪效果不好，太小对某些算法来说得到的收敛半径 会很小牛顿延拓法【5 1 就是在计算的过程中通过改变p 得到局部二阶收敛速度的另一 种方法是由c h a n 等根据子梯度以及凸共轭的概念提出的原始一对偶方法【6 1 该方法的优 点在于它能够很好地对非光滑函数进行建模，而且在求解过程中有效的解决了l v u i = 0 处的奇异情况此类问题还可以通过二阶锥规划方法【7 l 和基于g r a p hc u t s 的快速算法【8 1 来 解决 由于全变分模型仅沿与梯度垂直的方向演化，因此在平坦区域会产生阶梯效应 c h a n 等从变分模型的角度阐述了阶梯效应产生的原因【9 1 为了克服阶梯效应，国内外的 学者提出了许多改进的算法【1 0 - 1 2 1 1 9 9 3 年b i n gs o n g 提出了广义全变分去噪模型【1 0 】： 呀n 厶( 材) = 专l l v 材i p d x d y + 手( 1 1 - - d o ) 2 d x d y ，l p 0 ，( x o ，y o ) d 的内部则由连续性，f ( x ，y ) 必 在( ，) 充分小的邻域一口，x o + a x y o 一屈+ 冈c d 内也大于0 取 r l ( x , y ) ：je x p ( - 南f 1 2 - ( y 1 - y o ) 2 ) 、，( 小 叫，而帕】慨唱峒，： e x p i 一否( 乏哥 q ) 【一而+ 口j 【一从+ j 【0 ，其他 贝0r l ( x ，y ) c ( d ) ，7 ( 五少) i a d = 0 ，但 ；d f ( x , y ) r i ( x , y ) a x d y = ea m x 。- ”af 亿力唧( - 南一南j d x d y 地 一6 一 人连理丁大学硕十学位论文 这就产生了矛盾，因此原命题成立 2 2 2 欧拉一拉格朗日方程 探求泛函极值的变分过程，可以归结为求解偏微分方程的问题，这就为变分问题指 出了解题的途径下面我们给出求解含有两个自变量变分问题的欧拉- 拉格朗同方程的 过程 探求泛函： 唯( 圳= 叫，妄去卜y ( 2 2 ) 的极值函数z ( x ，y ) 在区域d 和边界o d 上的值已经给出，即不动边界的变分问题 假设函数f 三阶可微，使极值实现的曲面z = z ( x ，力二阶可微又设三= - e ( x ，y ) 是与 极值曲面接近的容许曲面把z = z y ) 和万= - e ( x ，y ) 归并于含一个小参数口的曲面族 z ( x ，y ，口) = z ( x ，y ) + a s z = z ( x ，y ) + c t - 三( x , y ) - z ( x ，y ) 】 ( 2 3 ) 当口= 0 时得极值曲面z = z ( x ，力；当口= 1 时得容许曲面三= - ( x ，y ) 这样，在函数 族( 2 3 ) 上，泛函( 2 2 ) 成为口的函数，这个函数在口= 0 处取得极值，因此 杀矿y 刮。：。_ o ( 2 4 ) 参数等于初值时，泛函对参数的导数称为泛函的变分，记为5 1 因此 = 未卧舻邶，一a z ( x , y , a ) ，学 a x a y l 亿5 ， 若令p ：p ( z ，少) ：鱼笙巫，g ：g ( x ，j ，) ：_ o z ( x , y ) ，则有 p ( z ，y ，口) ：a z ( x = , y , 一a ) ：p ( x ，y ) + 口万p ， 拈拂咖画：q ( x , y ) + c t 6 q ( 2 6 ) 9 ( 训，口) ：掣： 卜“ 借助于变分运算，( 2 5 ) 变成 = i ，、lf ：6 z + c 6 p + 却i d x d y ( 2 7 ) j d l ，qj 因为 薹主望全奎坌堡型塑堕堡查竖一 昙 出) = 去 ) 出+ 却 矿0f 。万z ) 2 矿0 f a 弦脚 ( 2 8 ) l ( 艿p + 国) d x d y = l | - 丢 出) + 昙 出) d x d y i ) 昙 ) + 专 ) p 扣x d y ( 2 9 ) 在计算它时把y 看做同定，而z ，p ，鼋看作依赖于工，即 瓦0 。f p ) = + 塞+ 罢+ 謇， ( 2 。) 瓦0 f ，) = 矗+ 考+ 考+ 考 l f 等+ 等l d ) d y = l d d y 一撇， j d i 西+ 百尸x 时5j a d 川町叫坦畎 得到式( 2 9 ) 右端的一个积分为 一 l i 昙 如) + 导 万0 j d x d y = l e d y 一d ) 【 _ o + 上面这一积分之所以为零，是因为所有容许曲面都通过同一空间围线 c 3 d _ l ：l 黝s z = o 于是由( 2 9 ) 得 一 i ( 啪+ f q g q ) d x d y = - l 禺) + 导p 则弘 将( 2 1 3 ) 代入( 2 。7 ) 得 一 啦一昙一昙p 蛐一o ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 因而在嗣线 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 由于变分出的任意性，由变分预备定理，在使极值实现的曲面z = z ( x ，力上有 只习c 3f ， _ 茜 ( 2 1 5 ) 这就是极值的必要条件一欧拉拉格朗日方程因此，z ( 薯y ) 就是该欧拉- 拉格朗 日方程的解 大连理工大学硕士学位论文 2 3 有界变差函数的基本理论 有界变差( b v ) 函数空间的基本理论，是基于变分法和偏微分方程图像处理的理论基 础，被认为是处理非纹理图像较为合理的函数空间经典的全变分模型就是定义在该空 间上的下面我们来介绍b v 空间理谢1 5 1 设q 为r 中的有界开子集，材_ ( q ) 为局部可积函数，其全变分定义为 t v ( 甜) = l d 甜1 2s u p 甜v 万d x l 万= ( q ，吼，吼) q ( q ) ，l 万i p ( 纠 l ( 2 1 6 ) 式中，v 。万2 喜署( x ) ，d x l e b e s g i l e 测度，函数空间q ( q ) 。为q 中具有紧支集的 连续可微函数，i 巧i p f n l 1 表示向量函数万的所有分量的r 范数小于1 假设二维图像甜 属于s o b o l e v 空间w 1 1 ( q ) ，则v “z ( q ) 且 一l 甜v o d x2l ( v “) 。础 ( 2 1 7 ) 这意味着二维图像“的全变分可以定义为：t v ( ) = l v 甜i d x 根据( 2 1 6 ) 有界变差函数空间b v ( q ) 可以定义为 b y ( a ) - - _ ( q ) 且t v ( “) 0 针对本文中提出的模型： m ) = l 吣棚酬+ 生产附d x d y + 害l ( o ) 2 d x d y 通过的大量数值试验，认为选取 万( x ，y ) = 0 ， i v q u o l 屈 可以达到比较好的去噪效果这里瓯为高斯滤波器，仃 0 4 2 2自适应系数选择的合理性 该自适应混合去噪模型根据图像中每一像素点的梯度信息，自适应的选取模型中决 定平滑强弱的参数万( 五y ) ： ( 1 ) 首先用一个高斯滤波器对噪声图像作预处理，其目的是去除一小部分噪声以减少将 噪声当成假边缘的可能性该滤波器的选取与噪声图像信噪比的高低有关 ( 2 ) 从万( x ，y ) 的选择可以看出，0 万( x ，j ，) l ，恰好落在混合模型中松弛因子的定义域 内 ( 3 ) 该模型通过自适应的选取参数万( x ，y ) ，使得在接近边缘处自动选择保边较好的模 型，在远离边缘处自动选择平滑较好的模型：刃( x ，y ) 的取值方法与预处理图像的梯 度大小l v 吒i 有关通过适当选取届，孱的值( 大量数值试验表明，取属= l ， 屈= 5 0 较为合理) ，这样在图像的边缘处，l v q u o ( x ，y ) i 肛，口( z ，y ) 取l ，相当 于用保边较好的全变分模型进行处理；在平坦区域，i v 嘭u o ( x ，y ) l 届，万( x ，y ) 取 大连理工人学硕士学位论文 0 ，相当于用平滑较好的调和模型进行处理当届i v g 宰u o ( x ，少) i 履时，用混合 模型进行计算，当i v q + ( x ，y ) i 较大时，接近于用保边较好的全变分模型进行处理； 当i v q 木( 工，j ，) i 较小，接近于用平滑较好的调和模型进行处理 4 3 改进的半点差分算法 通过前面的分析我们知道，求解变分问题( 4 2 ) 与求解偏微分方程( 4 3 ) 是等价的对 于大多数偏微分方程的定解问题，很难有显式计算格式，即使存在也往往过于复杂因 此需要使用一些近似的数值方法来求解差分法是一种常用的数值方法，它在微分方程 中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过求解差分方程得到微分方程的近似 解本文采用半点差分法旧训，给出偏微分方程( 4 3 ) 的离散化形式 为了处理的方便，我们用均匀网格进行离散，设步长为h 这样图像就与网格节点 处的值一一对应，从而建立了图像与矩阵之间的一个一一对应关系 将矩阵“加边”：即将n x n 的矩阵看作一个( n + 2 ) x ( n + 2 ) 的矩阵，其中 ，j2 材1 ，“，2 “_ + i ，材j ，02 ，l ，n2 。 ，+ l 这样原矩阵中的每个元素都可以当作“内点来计算 图4 2 中，对于给定像素d ，它的四个相邻像素用e ， r ，形，s 表示，栉，e ，w , s 表示相应 的四个半点( 并非实际存在) 记人= e n ，w ，s 1 ： ( ，- s 图4 1目标像素d 与它的邻域 f i g 4 1o b j e c t i v ep i x e loa n di t sn e i g h b o r s 对v ( v u ) 用中心差分来近似，即： v 巾炉芈+ 半 基于混合变分模型的图像去噪 湘，( 尚j ，由于i 砚i 在分母，为避免它为零，i 入一个很小的正数( 文中取纠0 - 1 6 ) ， 用f v 甜b = | 云矿石替代l v ”i 【2 3 说明了这样得到的解是原始问题解的很好近似 令1 ，= ( v 1 ，伊) 2 嵩，首先肿嵯分来离觚v ： v 一型+ 竺圭垃+ 圭蔓 缸 a y hh 由于e ，吃以2 ，并非实际存在，下面给出它们的逼近形式： 呓2 南盼南学， 吨2 南盼南芋， e 2 南吼圭南半， 2 南讣南半， i v l 口= i v i 占= l v 材i 口= j v j 占= 这就得到了( 4 3 ) 的离散化形式为： 万m e “i - - 叱z l o + ( 1 叫荟半铂( 一醒) 0 ， 令 ( 4 1 0 ) 大连理t 入学硕士学位论文 1 p - - - - - 南纬2 丽面( 1 - 万w ) 而+ w 面u t , ， ：一一： ( 4 1 。 则上式转化为= 郎+ 砖 将半点差分格式中的点更新替换为矩阵更新，得到针对混合模型的如下算法： 算法( 删) ： 1 初始化u ( ，取u ( 1 ) = u o ( 这里u o 是读图得到的矩阵) ； 为矩阵u “加边”，得到( + 2 ) ( + 2 ) 的矩阵d ； 令v = 痧( 1 ：，1 ：) ，蟛= d ( 1 ：，2 ：n + i ) ，u 裟= d ( 1 ：，3 ：+ 2 ) ， 啡= d ( 2 ：+ 1 ，i ：n ) ，畔= d ( 2 ：+ l ，3 n + 2 ) ，一u 册s ( k ) = 痧( 3 ：+ 2 ，1 - n ) ， 皑= d ( 3 ：+ 2 ，2 ：n + 1 ) ，雌= d ( 3 ：n + 2 ，3 ：n + 2 ) ，蟛= u ； 将( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 中的材用u 替换，得到h p ( p e 人) ，h o 对应的矩阵形式彬，础； u “1 = 雕皑+ 础【，o ( 这里表示矩阵中对应元素相乘) ； 如果忖m - u 0 占( 占为固定常数，这里取占= o 0 1 ) ，跳出循环； 3 输出u ( 对应的图像 同样的方法，得到针对混合自适应模型的算法： 白适应算法( a h m ) - i 对u o 进行高斯滤波，得到的矩阵记为u ( 这里u o 是读图得到的矩阵) ； 2 为矩阵u “加边”，得到( + 2 ) ( + 2 ) 的矩阵痧， 令= d ( 1 ：，2 ：n + 1 ) ，= d ( 2 ：+ l ，3 ：n + 2 ) ， 用q = ( 一u ) ( 巩一u ) + ( 一u ) ( 一u ) 来近似l v q u 。( x ，y ) | 2 ( 本算法中的表 示矩阵中对应元素相乘) ，按照( 4 9 ) 中第二个式子的方法得到t o 对应的矩阵形式w ； f o r j = l ：n i f q ( i ，) 膨 w ( i ，) = 1 ； 3 令u 1 = u ： 4 f o rl 产l ：i t e r m a x 为矩阵u “加边”，得到( n + 2 ) x ( n + 2 ) 的矩阵d ； 令u 龆= d ( 1 ：，1 ：) ，嘴= d ( 1 ：，2 ：n + i ) ，u 毖= d ( 1 ：，3 ：n + 2 ) ， 畔= d ( 2 ：+ 1 ，i ：n ) ，畦= d ( 2 ：+ 1 ，3 ：n + 2 ) ，咄= d ( 3 ：+ 2 ，i ：n ) ， 皑= d ( 3 ：+ 2 ，2 ：n + 1 ) ，u 疆( t = d ( 3 ：+ 2 ，3 ：n + 2 ) ，蟛= u ； 将( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 中的甜用u 替换，万用w 替换，得到h p ( p 人) ，h o 对应的矩阵形式 h 扎h 拳； u 伸+ 1 ) _ 雕哕+ 础u o ； 如果忖m 一【，i i s ( s 为固定常数，这里取g = o 0 1 ) ，跳出循环； 5 输出u ( 对应的图像 4 4 数值试验 常见的图像噪声主要可以分为两类：高斯噪声和随机噪声高斯噪声是由原始图像 与某一服从高斯分布的噪声相叠加形成的如果用表示一幅图像，f ( i ，j ) 表示在位置 g ) 处的图像灰度值，高斯噪声图像f ( i ，) 相对于原始图像f o ( i ，j ) 可以表示为： f ( i ，j ) = f o ( i ，j ) + ，j ， 其中噪声啊，服从高斯分布p ( x ) = 了壶；e x p ( 一垒丢笋) ，为均值，仃为均方差这种 图像的特点是被噪声污染像素的灰度值相对于原始图像扰动较小 而随机噪声图像中污染点被随机噪声所替代，随机噪声图像可以表示为： f r a n d o m ，如果( t ，) 是噪声点， j r “) 21 五( ) ， 如藁( ：多；不是噪声赢， 其中r a n d o m 为e m i n ( f o ) ，m a x ( 五) 之间的一个随机数其噪声灰度值相对于原始图像波 动较为剧烈，因此随机噪声对图像处理的干扰更为严重 下面我们分别对图像添加高斯噪声和随机噪声，采用不同方法进行去噪，用峰值信 大连理t 人学硕士学位论文 噪比和计算时间作为评价标准下面我们给出峰值信噪比的定义： 一，气气2 邢帜= 10 1 9 1 广广= 二- 一( d b ) l 刎【厅( m ，行) 一“( 聊，刀) 】2 m = ln = l 其中m n 为原始图像z ，和恢复图像厅的大小，通常p s n r 越大说明去噪效果越好 4 4 1 去高斯噪声 实验选取了四幅2 5 6 2 5 6 的标准灰度图像，对它们分别加入方差口2 为2 4 8 1 1 5 5 3 ， 3 0 0 3 1 9 8 0 ，3 5 7 2 8 6 3 7 ，4 1 9 3 1 5 2 5 的高斯白噪声用r o f 算法，h m 算法，全变分自适 应算法，a h m 算法进行去噪( 这里高斯滤波器的窗口大小都取为3 x 3 ) ，得到表4 1 4 2 的去噪后的信噪比和去噪时间，其中图4 2 对应于表的第一列 表4 1不同方法去高斯噪声后图像的信噪比 t a b 4 1 s i g n a lt on o i s er a t i oo fi m a g ea f t e rr e m o v i n gg - a u s s i a nn o i s eb yd i f f e r e n tm e t h o d s 表4 2 不同方法去高斯噪声的时间 t a b 4 2t i m eo f r e m o v i n gg a u s s i a nn o i s eb yd i f f e r e n tm e t h o d s 含噪图像信噪l u d b ) i i 1 7 4 0 1 0 3 4 6 1 9 5 9 0 3 8 8 9 5 1 r o f 法去噪时问( s ) 9 2 8 4 4 09 2 3 2 8 0 9 2 2 0 3 0 9 5 9 8 4 0 万= 1 的h m 算法去噪时间( s ) 3 0 5 4 7 03 0 2 8 1 03 0 9 2 2 03 2 1 4 1 0 巧= 0 的h m 算法去噪时f n t ( s ) 2 3 4 3 01 2 8 4 7 01 9 3 8 01 8 5 9 0 巧= 0 5 的h m 算法去噪时间( s ) 8 0 7 4 09 0 9 4 01 0 7 8 1 01 1 9 3 7 0 全变分自适应算法去噪时间( s )3 9 1 8 7 0 4 1 5 7 8 0 4 6 6 4 1 05 3 2 6 6 0 a h m 算法去噪时间( s )1 7 9 3 7 0 1 9 0 1 6 0 2 0 9 0 6 02 3 9 6 9 0 4 4 2 去随机噪声 实验选取了四幅2 5 6 x 2 5 6 的标准灰度图像， 2 1 5 0 1 3 8 0 ，4 8 3 7 8 1 0 5 ，8 6 0 0 5 5 2 0 的随机噪声 一2 5 一 对它们分别加入方差c r 2 为1 2 0 9 4 5 2 6 ， 用r o f 算法，h m 算法，全变分自适应 基于混合变分模型的图像去噪 算法，a h m 算法进行去噪( 这里高斯滤波器的窗口大小都取为3 x 3 ) ，得到表4 3 _ 4 4 的去 噪后的信噪比和去噪时间，其中图4 3 对应于表的第列 表4 3 不同方法去随机噪声后图像的信噪比 t a b 4 3 s i g n a lt on o i s er a t i oo fi m a g ea f t e rr e m o v i n gr a n d o mn o i s eb yd i f f e r e n tm e t h o d s 表4 4 不同方法去随机噪声的时间 t a b 4 4t i m eo fr e m o v i n gr a n d o mn o i s eb yd i f f e r e n tm e t h o d s 含噪图像信噪l l ( d b ) 1 4 2 9 4 61 1 7 9 5 88 2 7 4 05 7 7 5 2 r o f 法去噪时间( s )9 6 1 2 5 09 1 2 3 5 09 8 2 1 9 09 4 8 1 3 0 口= 1 的h m 算法去噪时间( s ) 3 1 4 0 6 03 0 9 0 6 03 0 2 9 7 03 1 1 5 6 0 疗= 0 的h m 算法去噪时问( s ) 1 9 8 5 03 1 4 0 03 4 6 9 03 7 6 5 0 t i t = 0 5 的h m 算法去噪时间( s )8 0 3 2 01 1 8 9 1 02 9 2 9 7 03 0 7 3 4 0 全变分自适应算法去噪时间( s ) 3 9 0 7 8 05 1 0 1 5 06 2 5 6 2 06 2 7 5 0 0 a h m 算法去噪时间( s ) 1 8 3 9 0 02 4 5 9 4 03 1 0 6 3 03 1 2 0 3 0 4 4 3 实验结果分析 观察实验结果可以看出，文中提出的混合模型和混合自适应模型都能有效的消除噪 声；文中改进的半点差分算法是有效的，并且耗时较少 ( 1 ) 通过比较r o f 法和t o = 1 的h m 算法( 用改进的半点差分格式离散全变分模型) ，可 以看出改进的半点差分算法大约用r o f 算法三分之一的时间，可以得到更高的信噪 比，说明这种算法是有效的 ( 2 ) 通过比较t o = o ，0 5 ，1 的h m 算法( 用改进的半点差分算法离散调和模型、全变分模型、 混合模型) ：混合模型去噪性能高于全变分模型和调和模型，调和模型的去噪时间最 少，混合模型次之，全变分模型用时最多 ( 3 ) 比较全变分自适应模型和混合自适应模型：前者的计算时间大约是后者的二倍，对 高斯噪声，后者计算效果好，对随机噪声，前者好，但二者差别不大 大连理t 人学硕士学位论文 j 确蠢 乜) 全变分自适应算法去嗪后图像 、蒜 ( h n 蹦算法击噪后图像 圈42 不同方法去高斯噪声后的图像 f i 9 4 2 n n g er c s t o r e c l f r o m c , a 峭i a nn o i s eb y d