（理论物理专业论文）para统计超对称理论研究.pdf

中国科学#a 兰 述 遗 4主j* il i色主 一 一 一 一 一 一 一 a b s t r a c t a s y s t e m a t i c r e s e a r c h a b o u t a l g e b r a i c s t r u c t u r e , f o c k s t a t e s p a c e r e p r e s e n t a t i o n a n d d y n a m i c a l s u p e r s y m m e t r y t o s t a t i s t i c a l r e l a t i o n s o f q u a n t u m s y s t e m o b e y i n g p a r a s t a t i s t i c s r u l e i s f i n i s h e d i n t h e t h e s i s . a n e w k i n d o f g r a d i n g l i e a l g e b r a ( i t i s n a m e d a s z z ,z g r a d i n g l i e a l g e b r a ) i s i n t r o d u c e d , a n d i t i s p r o v e d t h a t a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f s t a t i s t i c a l r e l a t i o n s o f p a r a - q u a n t u m s y s t e m i s e s s e n t i a l l y a z 2 ,2 g r a d i n g l i e a l g e b r a. a l l k i n d s o f s y m m e t r y a n d s u p e r s y m m e t r y p o s s e s s e d b y p a r a - q u a n t u m s y s t e m a r e a n a l y s e d o n t h e p o i n t o f z 2 ,2 g r a d i n g l i e a l g e b r a , f u r t h e r m o v e , i t i s p o i n t e d o u t t h a t p o s s i b l e t y p e s a n d r e a l i z e d m o d e s o f p a r a - s u p e r s y m m e t r y. f o c k s t a t e s p a c e s t r u c t u r e a n d r e p r e s e n t a t i o n o f ( 1 + 1 ) d e g r e e o f f r e e d o m p a r a - q u a n t u m s y s t e m a r e f o u n d , s u b s e q u e n t l y , p e c u l i a r p r o p e r t i e s o f t h e s t a t e s p a c e s t r u c t u r e a n d i n t r i n s i c s u p e r s y m m e t r y o f t h e s y s t e m a r e a l s o r e v e a l e d，o n t h e b a s e o f t h a t , s u p e r s y m m e t r y q u a n t u m m e c h a n i c s o f ( 1 + 1 ) d e g r e e o f f r e e d o m p a r a - p a r t i c l e i s s p e c i a l l y d i s c u s s e d.a s r e s u l t s o f t h a t , r i g h t s u p e r s y m m e t r y e n e r g y s p e c t r u m i s o b t a i n e d w i t t e n i n d e x d e t e r m i n i n g e x a c t s u p e r s y m m e t r y i s a n d a l s o g e n e r a l i z e d t o t h e c a s e o f p a r a - s u p e r s y m m e t r y. 中国科学技术大学博士毯位论立 o n t h e c a s e o f q u a n t u m m e c h a n i c s a n d q u a n t u m f i e l d t h e o r y , i t i s r e s p e c t i v e l y g i v e n f o r f o u r m o d e s o f t w o t y p e s o f 套 p a r a - s u p e r s y m m e t r y t h a t d y n a m i c a l s u p e r s y m m e t r y a l g e b r a , d y n a m i c a l m o d e l r e a l i z a t i o n , e x p r e s s i o n o f s u p e r s y m m e t r y t r a n s f o r m a t i o n a n d s u p e r s y m m e t r y c h a r g ei t i s c o n c l u d e d t h a t z z ,z g r a d i n g l i e a l g e b r a i s a m i n i m u m s u p e r s y m m e t r y a l g e b r a u n i f y i n g f o u r k i n d s o f d i f f e r e n t s t a t i s t i c a l a t t r i b u t e p a r t i c l e s w h i c h a r e b o s o n , f e r m i o n , p a r a b o s o n , p a r a f e r m i o n. i t c a n t o b e u s e d a s m a t h e m a t i c a l g r o u p t h e o r y f o u n d a t i o n o f p a r a - s u p e r s y m m e t r y t h e o r y. 心 专 t o 中国科堂r主主里退些士兰竺鱼主一一一 第一章绪论 1 1 超对称物理的意义 理论物理学的一项基本而主要的工作就是寻找自 然物质世界的 对称性。 当一种新的对称性被揭示主来时， 这不仅是导致了对所研究 的物质系统有了更深、 更好的认识， 而且时常还会建立起不同理论或 者不同研究方向之间意想不到而重要的联系， 从而推动着理论物理不 断地向前发展。 理论物理所追求的目 标就是要用一个简单而自 然的理 论来描述尽可能多的物理现象。 在基本粒子物理中， 这个愿望就是我 们最终将会到达一个统一方案， 这个方案能够把所有的基本粒子以及 它们之间的全部相互作用都纳入一个自 洽的统一理论中。 寻求不同自 旋粒子玻色子和费米子的统一对称方案， 早就是 理论物理学家的理想。 在 1 9 6 7 年， c o l e m a n 和m a n d u l a 证明了一个定 理 l ， 在相对论量子场论的框架中，时空对称性和内 察对称性的统一 是不可能的。 更精确地说， 这个定理表明了内察对称性量子数荷算子 ( 如电荷、同位旋等) 必须与时空对称性荷算子 ( 能量、 动量、角动 量) 相对易， 对称群的不可约多重态不可能包含有相同质量而不同自 旋的粒子。 因此结论是我们要么放弃对统一理论的追求， 要么放弃量 子场论，这就是所谓的 “ n o -g o ”定理。 在c o l e m a n 和m a n d u l a 的证明中， 假定了描述对称性时必须采用 可对易的c 数， 如果对称群中包括有反对易性质的g r a s s m a n n 数， 那 中国科学技鑫左 堂 壑 主 里 丝 i色主 一一 一一 一 么不同自 旋的粒子就可以出现在同一个多重态中，这是 g o l f a n d和 l i k h t m a n 在 1 9 7 1 年最先提出 来的2 1 。随后v o l k o v 和a k u l o v 得到了 我们现在所说的超对称性的非线性实现3 1 ， 然而他们的模型不是可重 整化的。在 1 9 7 3年， w e s s 和z u m l n o 提出了一个自 旋为1 / 2 的粒子 和两个自 旋为。 的 粒子相互作用的 可重整化的 场论模型 4 1 ， 粒子之间 是通过超对称变换联系起来的，因而是处在同一个多重态中。后来， h a a g , l o p u s a n s k i 和s o h n i u s 推广了c o l e m a n 和m a n d u l a 的结果到包 括有服从反对易规则的 超对称算子1 5 1 ， 他们证明了 在相对论量子场论 的框架里， 能够通向统一问题的唯一方案就是超对称理论。 他们发现 时空对称性和内部对称性是通过自 旋为1 / 2( 而不是3 / 2 ， 或者更高) 的费米型超对称算子q 来彼此联系， 而这些超荷算子的性质， 或者正 是 w e s s -z u m i n o 模型中的那些性质，或者至少是与它们有紧密的联 系; 而且只有在超对称性存在的情况下， 同一多重态中才能够包含有 不同自 旋的粒子。这样 c o l e m a n -m a n d u l a的“ n o -g o ” 定理的局限 ,t 被 克 月 r 了 。 通 过 引 入 一 个 费 米 型 超 对 称 算 子 ， 它 带 有 自 旋 合 ， 当 它 作 用 在自 旋 为j 的 态 上 时 ， 导 至 的 是 自 旋 为 j + 咨 和 j - 粤 的 态 的 线 性 组 _一 2 一 2 合， 这样的算子相互之间必须服从反对易关系， 它们不生成李群，因 而不受c o l e m a n -m a n d u l a 的“ n o -g o ” 定理的限 制。 超对称性实现了自 然界中两大类不同自 旋、 不同统计性质的粒子 玻色子和费米子的统一， 同时它也提供了许多非常重要的数学和 物理性质6 1 。数学上它推动了阶化李代数 ( 即李超代数)的发展7 1 现在对于经典李超代数的性质和特征都了解得比较清楚了。 物理上它 中国科学技鑫左 釜 t 些止 生鱼主一一一一一一一 把玻色子和费米子合并进了同一个超多重态中， 通过超对称变换实现 了玻色子和费米子的互相转变。 在超对称物理中， 所有的粒子都有它 相对应的超对称伙伴粒子， 玻色子的超伙伴粒子是费米子，反之，费 米子的超伙伴粒子必定是玻色子， 超伙伴粒子与原来的粒子有完全相 同的内察量子数 ( 颜色、电 荷、重子数、轻子数、 一 ) ;在未破缺 的精确超对称理论中，粒子和它的超对称伙伴还具有完全相同的质 量， 这样它就提供了一种机制来消除量子场论中十分明显的紫外发散 特征8 1 。 超对称性把p o i n c a r e 群的时空对称性和内察对称性统一了 起 来，在定域超对称理论中 14 1 ，引力的出 现是自 然的， 这个重要的性质 也提供了将引力与其他相互作用统一起来的新途径。 把超对称性和超对称量子场论中的一些思想引入到量子力学中， 产生了一些新的基本性质，w i t t e n最先开创了这方面的研究工作， 即 现在所谓的 超对 称量子力 学【 1 0 1 。 在普通的n = 1的 超对称量子力学 中，超荷算符q 和哈密顿量h 构成超对称代数: h ， q 7 = h , q 十 = 0， q 2 = q 十 2 = 0，i q , q 十 卜h.( 1 1 ) 超对称变换是由超荷算子q 生成的， 它把费米态变为玻色态， 把玻色 态变为费米态，即 q f e r m i o n = b o s o n ， q 十 b o s o n = f e r m i o n ，( 1 2 ) 玻色子和费米子彼此之间 通过超荷算符q 的 作用而相互联系起来。 超 对称量子力学的发展促进了 对普通量子力学更深的理解， 同时也提供 了 解决一些问 题的 新方法， 例如伙伴超势的 观念l 川 。 现在超对称性的一些思想和观念己经影响到了凝聚态物理、 量子 中国科学技7ki- 竺兰-纽鱼竺2匕一一一一一 光学、 宇宙学等其他一些物理学科领域u 2 1 ， 超对称性在整个物理学中 所起的重要作用， 正被越来越多的物理学家所承认。 超对称性物理的 研究直接推动着现代量子场论与弦理论的深入发展 1 3 ， 而这些己 经是 当代理论物理研究的核心与基石。 1 2 p a r a 统计与p a r a 超对称性 在 1 9 5 3 年， h . s . g r e e n 提出了 场量子化的一般方法1 4 1 ，即今天 所知道的p a r a 量子化。 p a r a 量子化的核心思想就是: h e i s e n b e r g 运 动方程是作为最基本的量子运动方程式， 以它作为基本出发点， 当一 个给定的系统有经典对应时，借助于 b o h r的对应原理，在过渡到量 子理论时， 其哈密顿量h 的表达式和运动方程形式不变， 或者如果必 要的话，只做尽可能小的修改。由 于量子的h e i s e n b e r g 运动方程与 经典的运动方程之间的对应一致性， 这就限定了 基本正则变量 4 ， 和 p ，的对易关系，即量子化规则，这种量子化规则的最一般形式就是 p a r a量子化。如果所考虑的系统没有经典对应，那么 h的表达式应 选择得合适， 使由其所导出的结果要数学上自 洽， 并且要满足物理上 的要求。p a r a量子化方法为全同粒子的一次和二次量子化理论提供 了 一个数学上自 洽的 形式 i s o ， 而且这样的理论满足绝大部份通常的 物 理要求。 p a r a量子化方法的提出，直接导致了两类推广的统计 1 6 1 是 p a r a玻色统计，包括普通玻色统计作为最简单的非平庸情况 一类 ，另 一类是p a r a费米统计，普通费米统计也是作为最简单的非平庸情况 中国一ki于x鱼左-t q 兰遗- i i i色左一一一一一一一 包括在内， 这两类推广的统计总称为p a r a 统计。 经过许多人的研究， p a r a 统计己 经在许多方面有了 更深入的 发展和推广 1 5 1 7 1 。 然而长期 以来， 人们对它的兴趣只是在纯理论上的研究， 现在已 经发现了它在 量子h a l l 效应中的 应用， 甚至它可能还与高温超导有关 1 8 1 。 特别是 近年来有关 p a r a统计与超对称性相结合的 p a r a超对称理论的研究 1 9 1-2 1 1 ， 正 越 来 越引 起 人 们 的 关 注 鉴于超对称性向我们展示了玻色子和费米子之间一种优美和谐 的对称性质，那是自 然要问，是否能够推广这种结构到包括 p a r a 统 计，即把普通统计下的超对称性质推广到更加一般的p a r a统计下的 超对称性质。 从普通超对称量子力学到p a r a 超对称量子力学的推广， 是由r u b a k o v 和s p i r i d o n o v 最早提出来的 1 9 。它们构造了由 一个普 通玻色子和一个p = 2 的p a r a 费米子所组成的 一维p a r a 超对称量子力 学模型，所给出的p a r a 超对称代数关系是: h , q 1 = 0， q 3 = 0， q 2 q 十 + q q q+ q 十 q 2 = 4 q h， ( 2 1 ) 及其厄米共扼关系式 ( 厄米共扼关系式往后均省略不写) ，这其中 q 是超荷算符， h 为哈密顿量。随后j . b e c k e r s 和n . d e b e r g h 提出了另 一种形式的p a r a 超对称代数2 0 ， 它们把上面的 第三个等式用下面的 关系式: q ， q - , q 7 7=2 q h ( 2 2 ) 来代替，并且也给出了相应的哈密顿模型。再后来， a v i n a s h . k h a r e 把r u b a k o v 和s p i r i d o n o v p = 2 的 结 果 推 广到了 任 意p 的 情 况 下 2 11 , 他把 p a r a 超对称代数写为了下面的形式: 中国科学技术大学博士燮 一 位;t鱼一一一一一一一一 h ， q 1=0 ， p + 1=0 q -i q 十 +q -1 q 十 q+ +q q - q 1 + q q 0二2 p q h . ( 2 3 ) 在上述的及其他的一些 p a r a超对称推广形式中，一个共同的特征就 是p a r a 费米性质的超荷q 的出现， 并且q - - = 0 ( p 为p a r a 统计的阶) ， 通过p a r a 费米型超荷q 来实现普通玻色子与p a r a 费米子之间的超对 称性。 当p = 1 时， q 2 = 0 , q 就退化为 普通费米性质的 超荷， p a r a 超对 称代数也相应地退化为 ( 1 1 )式的普通超对称代数，于是 p a r a超 对称就退回到了普通超对称的情况。 在分析研究了各种从普通超对称性向p a r a 超对称性的推广方案 后， 我们注意到了 一些鱼待解决的问 题。 首先， 究竟应该怎样来确定 p a r a超荷的代数性质，这实际上涉及到一个更深层次的问题。我们 知道普通统计下的超对称性是以z 2阶化李代数作为统一玻色和费米 两个子空间的 数学基础2 2 1 , z 2阶化李代数是一种双线性的对易或者 反对易代数关系，而 p a r a 统计满足的是三线性的双重对易或者反对 易代数关系 ( 见2 1 的 1 7 )一 ( 1 9 )式) ，可见就数学结构而 言，p a r a统计与超对称性这两个概念似乎还是相互独立的。因此要 想实现p a r a 统计与超对称性真正的统一，就应该首先认识清楚p a r a 统计的代数结构本质2 3 1 ，然后再将普通超对称性的z 2 阶化代数结构 扩充到具有更高对称性的代数结构，使其能够与p a r a统计的代数结 构在数学上统一起来，这将是我们第三章要讨论的主要内容。其次， 就目 前我们所了解的情况而言，文献中所讨论的p a r a 超对称性主要 是限于普通玻色子与p a r a 费米子之间的超对称性【 1 9 1 -2 1 1 ， 而且所给出 中国科学技术大 一 一鉴查上全应 iti 生一一一一一一一 的各种量子力学模型绝大部分都是以坐标表象中的超势形式写出来 的， 而真正意义上相同阶p 的p a r a 玻色子和p a r a 费米子之间的超对 称性，还几乎没有仔细讨论过。这是因为多自由度 p a r a系统的态空 间结构比 较复杂， 一直是一个长期未解决的问 题1 5 1 ， 只有把态空间结 构完全搞清楚了， 我们才能够得到正确的超对称能谱。 因此在第四章 里， 我们专门 来讨论由 相同阶p 的一个自由 度 p a r a玻色子和一个自 由度 p a r a 费米子所组成的 ( 1 + 1 )自由度p a r a 系统的f o c k 态空间结 构与表示问题2 4 1 。 有了 第三和第四两章的数学架构作为基础， 在第五 和第六章里我们将分别在量子力学和量子场论情况下， 详细讨论p a r a 系统的各种可能的超对称类型和模式， 包括与每一种超对称类型和模 式相对应的p a r a 超对称代数、动力学模型实现、超对称变换及超荷 算符的具体表示式等。 为了要引入一些相关的基本概念并且也是为后 面的各章作准备，第二章我们就从p a r a 统计的基本概念和单个自由 度 p a r a 系统的f o c k 态空间表示讨论起。 参 考 文 献 1 s . c o l e m a n a n d j . ma n d u l a ， p h y s .r e v . 1 5 9 ( 1 9 6 7 ) 1 2 5 1 . 2 y u . a . g o l f a n d a n d e . p .l i k h t m a n ， j e t p l e t t . 1 3 ( 1 9 7 1 ) 4 5 2 . 3 d . v v o l k o v a n d v p . a k u l o v d. vvo l k o v a n d vp . ak u l o v ， j e t p l e t t . 1 6 ( 1 9 7 2 ) 6 2 1 . ， p h y s .l e t t .b 4 6 ( 1 9 7 3 ) 1 0 9 . 4 j . we s s a n d b .z u m i n o j . we s s a n d b. z u mi n o p h y s .l e t t . b 4 9 ( 1 9 7 4 ) 5 2. n u c l .p h y s .b 7 0 ( 1 9 7 4 ) 3 9 . 中国科学技术大学博士学位il 文一 - 5 r .h a a g , j .t .l o p u s z a n s k i a n d m.f .s o h n iu s ， n u c l .p h y s .b 8 8 ( 1 9 7 5 ) 2 5 7 . 6 m.f . s o h n i u s ， p h y s . r e p . c l 2 8 ( 1 9 8 5 ) 3 9 . 7 j .f .c o r n w e l l ， g r o u p t h e o ry i n p h y s i c s , v o l i i i ， ( a c a d e m i c , n e w y o r k , 1 9 8 9 ) . 8 p . we s t ， i n t r o d u c t i o n t o s u p e r s y m m e t ry a n d s u p e r g r a v i ty， ( wo r l d s c i e n t i f i c , s i n g a p o r e , 1 9 9 0 ) . 9 j .w e s s a n d j .b a g g e r , s u p e r s y m m e t ry a n d s u p e r g r a v i ty ， ( p r i n c e t o n u n i v e r s it y p r e s s , 1 9 8 3 ) 1 0 e . wi t t e n ， n u c l . p h y s . b 1 8 8 ( 1 9 8 1 ) 5 1 3 . e . w i t t e n ， n u c l .p h y s .b 2 0 2 ( 1 9 8 2 ) 2 5 3 . 1 1 f .c o o p e r , a .k h a r e a n d u . s u k h a t m e ， p h y s .r e p .2 5 1 ( 1 9 9 5 ) 2 6 7 . 1 2 s .w e i n b e r g ， t h e q u a n t u m t h e o ry o f f ie l d s , v o l i i i ， ( c a m b r i d g e u n i v e r s it y p r e s s , 1 9 9 8 ) . 1 3 m.b . g r e e n , j .h .s c h w a r z a n d e . wit t e n , s u p e r s t r i n g t h e o ry, v o l i a n d i i ， ( c a m b r i d g e u n i v e r s i t y p r e s s , 1 9 8 7 ) . 1 4 h . s .g r e e n ， p h y s . r e v .9 0 ( 1 9 5 3 ) 2 7 0 . 1 5 y o h n u k i a n d s .k a m e f u c h i ， q u a n t u m f i e l d t h e o ry a n d p a r a s t a t is t i c s ， ( s p r i n g e r - v e r l a g , b e r l i n , 1 9 8 2 ) . 1 6 o . w g r e e n b e r g a n d a .m.l .me s s i a h ， p h y s .r e v .b 1 3 8 ( 1 9 6 5 ) 1 1 5 5 . 1 7 o .wg r e e n b e r g a n d c .a .n e l s o n ， p h y s .r e p .c 3 2 ( 1 9 7 7 ) 6 9 . 1 8 f . wi l c z e k ， f r a c t i o n a l s t a t i s t i c s a n d a n y o n s u p e r c o n d u c t i v i ty ， ( w o r l d s c i e n t i f i c , s i n g a p o r e , 1 9 9 0 ) . 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 1 9 v a .r u b a k o v a n d v p . s p i r i d o n o v ， m o d .p h y s .l e t t .a 3 ( 1 9 8 8 ) 1 3 3 7 . 2 0 j .b e c k e r s a n d n .d e b e r g h ， n u c 1 . p 勺s . b 3 4 0 ( 1 9 9 0 ) 7 6 7 、 2 1 a . k h a r e ， j .ma t h .p h y s . 3 4 ( 4 ) ( 1 9 9 3 ) 1 2 7 7 . p l a y e t a n d s .f e r r a r a ， p h y s . r e p . 3 2 ( 1 9 7 7 ) 2 5 0 . 杨为民、井思聪，中国科学， 杨为民、井思聪，物理学报， 2 0 0 1 年第一期。 年第五期。 1.j，.月jl.j 2内j4 22，白 r胜.lf.lf 中 国t 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 第二章 p a r a 统计基本概念与单自由 度 p a r a 系统的f o c k 态空间表示 引言 在这一章里， 我们首先介绍有关p a r a 统计的一些主要基本概念， 然后以公式化的方式来推导关于产生、 湮灭算符和粒子数算符的一些 普遍的代数关系，以 及f o c k 态空间表示的一般结果。 最后， 把这种 公式化的方法分别应用于单个自由 度的p a r a 费米统计和p a r a 玻色统 计，得出它们各自的一些代数性质及 f o c k 态空间的表示。 2 1 p a r a 统计的基本概念 一普通统计 从现代粒子物理学的知识我们己经知道， 迄今为止人类所认识到 的所有基本粒子，以及由基本粒子通过相互作用而结合成的复合粒 子，全都可以归属为两大类:一类是玻色子 ( b o s o n ) ，服从 b o s e -e n i s t e i n 统 计， 这 类粒子共同 的 特征是粒子自 旋为 整数， 对于 处在同一量子态中的粒子数目 没有限制; 另一类是费米子( f e r m i o n ) , 服从f e r m i -d i r a c 统计， 这类粒子共同的特征是粒子自 旋为半整数， 处于同一量子态中的粒子数目 要受p a u l i 不相容原里的限制。 考虑由: 个自由度的玻色子和: 个自由 度的费米子所组成的量子 系统，用 a 犷、a !c ( k = 1 , 2 , , s )来表示玻色子各个自由度分量的产 中旦科i 鱼 坠 全竺兰兰 4 些鱼主 生、 湮灭 算符， 而用 凡+ 、 凡 ( q = 1 , 2 , , r ) 来表示费 米子的 相应算 符，那么这个量子系统的统计关系，也就是量子系统的量子化规则， 是由下面双线性形式的量子对易关系式: a k ， a - - 卜 g k - 凡， 凡 + = v p 9 a k ， a - = a , , a - ,- = 0; 凡， 凡卜( f p 十 ， 凡十 = 0; ( 1l a ) ( 1l b ) a , ， 凡 = a k ， 凡- = a 、 十 ， 凡 二 a k , 凡- = 0 ( 1 l c ) 来描述的。这其中 ( 1 l a )式为纯玻色统计的代数关系，( 1 l b ) 式纯费米统计的代数关系，而 ( 1 l c )式为玻色子与费米子之间的 混合统计代数关系。 引 入玻色子粒子数算符n , ( a ) 和费 米子粒子数算 符n , ( f ) ， 即 n k ( a ) = n k + ( a ) = a k + a ( a * 十 ， a k ) 1 k=一丁 n q ( f ) 一 n q + ( f ) 一 f q + f q _ f 9 - , f q ) 、 2 ( 1 2 ) 1一勺 则由 ( 1 1 )和 ( 1 . 2 )两组关系式，再加上下面的真空态条件: a , 10 ) 二 0 ， 凡 i0 ) = 0 ( 13 ) 于是就可以求出这个量子系统的f o c k 态空间表示来。 i 纯玻色子空间 ( 记为v 动 的f o c k 表示为: i m l m 2 ， 二 ， m * ， ， m ， ) 1 一 厕m k l a , + m a z + m 2 . . . a k + m ,. . . a s + m i 0 ) n k ( a ) i m i , m 2 , . , m k 。 : 卜m k i m t , m 2 ， 二 ， m k , . . . , m s ， a k + im i , m 2 , . . . . m k , . . ., m s ) 司m 不l lm j , m 2 , . . ., m k * 1， 二 。 s ) ， a k i m i , m 2 1 ， 二 ， m k ， 二 m s ) . m k i 77y , , m 2 m * 一 1, . ， . , m s ) ，( 1 4 ) 中国科学技术大学 _ 博大t - 4 i - i 这 这里( m i , m 2 , . . . i m , = 0 , 1 , 2 , . . . , o o ) 为玻色子各个自 由 度分量量子数的取 值。 i i .纯费米子空间 ( 记为v 动 的f o c k 表示为: n , , n 2 , . . , n q , . . . , n , ) -1 i ( 士 f +n f 2 +n, 凡 十 、 . . . f , 十 n , 1 0 ) n q ( f ) n , , n 2 ， 一n q f q + n ,n 2 ,., n q n , 卜 n g n ,n 2 ,. 刃刁 司 石亏 in , n 2 ， ， .，、 ; ) 十 1,. , n , ) ，、，才产. .r 卜n ( 1 5 ) 川 引n , , n 2 . . ,n q ,., n , ) = 污i n ,n 2 ,., n q 这其中求和号e 是对( f , , f 2 . . . . f r ) 这: 个算符的总共; ! 种排列置换 来求和， 而“ ( 士) ” 号因子就是由于这些算符的置换而引起的， 奇数 次置换取“ 一 ”号， 偶数次置换取 “ + ” 号。由于p a u l i 不相容原理的 限制，费米子各个自由度量子数的取值只能是 “ 0 ”或着 “ 1 ，即 ( n , , n 2 , . . . , n , = 0 . 1 ) 。 i i i .由于玻色子空间与费米子空间是相互对易的关系 ( 见 ( 1 l c ) 式) ， 于是整个量子系统的f o c k 态空间表示就是玻色子空间与费米子 空间的直乘: v = v , (g v ,-，即 i m l , m 2 , . . . , m s ; n l , n 2 , ， . ， 。 ， 卜i m i i m 2 ， 二 ， m s ) . i n , , n 2 ， 二 、 ; ).( 1 . 6 ) 以上就是我们关于普通粒子 ( 包括玻色子和费米子) 统计的简单 介绍，这些知识在后面各章的讨论中会用到。 二.p a r a 统计 p a r a 统计是作为普通统计的一种特别可能的推广而引入的 0 2 1 它把普通统计当作是p a r a 统计的阶p ( p = 1 , 2 , 3 , . . . ) 取第一个值 ( 即 中国科学技叁*吐生t -鱼 i 兰 一 p = 1 ) 时的 特殊情况。 不 仅如 此， 更为突出的 是它具有许多 较普 通统 计更为一般的性质， 例如， 在后面我们就会看到， 普通玻色和费米统 计描述的是置换群的两个一维表示， 而p a r a 玻色和p a r a 费米统计描 述了置换群更高维的表示。因此，实际上 p a r a 统计是一种比普通统 计更为普遍的统计。 考虑由m个自由度的p a r a 玻色子和n个自由 度的p a r a 费米子 所组成的p a r a 粒子系统( 简称为p a r a 系统) ， 用a k + , a k ( k = 1 , 2 , . . . , m ) 来表示 p a r a玻色子各个自由度分量的产生、湮灭算符，而用 几 + 、 几( 9 一 1 , 2 , . . . , n ) 来 表 示p a r a 费 米子的 相 应 算 符。 于 是 这 个p a r a 量子系统的统计关系， 可由下面的三组三线性形式的双重对易或者反 对易代数关系式来描述3 4 1 ( 1 ) 纯p a r a 玻色统计代数关系式: a k , ( a l + , a . ) = 2 s k i a m a k + , l a ( + , a m 1 1 = - 2 s k m a 1 + a k ， ( a , . a . 1 1 = 0 a k + , a , + , a m + ) 1 = 0. ( 1 . 7 ) 这里( k , 1 , 。 一 1 , 2 , . . . , m ) ， 其中 第二行式子实际上是第一行式子的厄米 共扼关系式。 由上面的基本关系式， 再利用推广的j a c o b i 恒等式( 见 第三章的 ( 1 - 8 )式) ，还可以导出其他一些不独立的p a r a 玻色统计 代数关系式 ( 在此省略不写) 。 ( 2 ) 纯p a r a 费米统计代数关系式: 寿， 几 + , f , 1 1 = 2 s y g .f , ， 乃， 几， f . 1 1 - 0， 几 + ， 几 + . l r ) ) = 一 2 s p , 几 +，几 + ， 几 , f + 1 1 = 0.( 1 8 ) 这里( p , 9 , r = 1 , 2 , . . . , n ) ， 其中第二行式子仍是第一行式子的厄米共扼 中国科学技术大* 1l#主兰 4y 竺2二一一一一一一一 关系式。同样地，由此基本关系式及推广的j a c o b i 恒等式，还可以 得到其他的一些p a r a 费米统计代数关系式。 ( 3 ) p a r a 玻色子与p a r a 费米子之间的混合代数关系式: la . ， 几 + ， 几 1 一 0，几, ( a k + ， a m 1 = 0， a m ， a k几 = 0， 几， i a k ， 几 = 0， a . ， ( a k + ， 九 ) l = 2 6 k 几 ， 几， a k + , 几 卜0，( 1 9 ) a . ， ( a k ， 几 + ) i = 0， 吞， a k ， 几 + 卜2 6 p q a k， 再加上厄米共扼关系式 ( 省略不写) 。上面这几个式子是作为基本关 系式，其他的一些不独立关系式，可由j a c o b i 恒等式得到。总之， 由 ( a * 十 ， a k , 几 + ， 几 ) 这四 种 算 符 所 生 成的 这 种 三线 性、 双重 对易 或反 对 易形式的 p a r a统计代数关系式完全写出一共是有四十个，但是由于 推广的j a c o b i 恒等式的限制， 不是所有全部的四十个p a r a 统计关系 式都是相互独立的。 这里我们选取了 其中的( 1 . 7 ) , ( 1 . 8 ) , ( 1 . 9 ) 这三组式子的共计二十四个代数关系式作为 p a r a 统计的独立基本关 系式。 另外，为了要完全确定 p a r a 统计的态空间结构，还需要真空态 条件，p a r a 统计的真空态条件是如下定义的: a k 10 ) = 0 ， k a . + l0 ) - s k . p io )， ( k , m 二 1 , 2 , . . . , m ) f q 1 0 ) 二 0 ，.f q f , + 10 ) = 5 , , p i0 )，(。 r 一 1 , 2 , . . . , n ) a k f q + 10 ) 一 0， f q a , + i0 ) 二 0( 1 1 0 ) 这其中出现的参数p ( p = 1 , 2 , 3 . ) 是一个描述 p a r a统计等级性质的 参数，当p = 1 时，我们称p a r a 统计是一阶的，当p = 2 时，就说是二 中国科学# x 土里 f 些 赴鱼鱼主一一一一 阶的p a r a 统计，如此类推。 以上是具有相同阶p的p a r a 粒子系统的统计代数关系。 若是不 同阶p的p a r a 粒子之间，一般认为还是遵循普通统计的规则3 ，即 不同阶p的p a r a 玻色子之间相互对易， p a r a 费米子之间相互反对易， 而p a r a 玻色子与p a r a 费米子之间也是相互对易。 在后文中， 一般情 况下我们所提到的p a r a 系统都是指具有相同阶p的p a r a 玻色子和 p a r a 费米子的混合系统，当需要讨论不同阶p 的p a r a 粒子时，我们 会作出具体的说明。 从上述的 p a r a 统计关系式 ( 1 7 ) 一 ( 1 - 9 )式，可以明显地 看出来相同阶p的两个p a r a 粒子之间既不相互对易，也不彼此反对 易， 但是三个p a r a 粒子之间却满足这种复杂的对易规则。 与( 1 l a ) 一 ( 1 l c ) 式的普通统计相比， 可见p a r a 统计的代数结构要复杂得 多。 实际上， 经过一些人的 研究s ii b l ， 现在己 经知道了纯p a r a 玻色子 系统的代数关系 ( 1 7 )式，其代数结构是李超代数 b ( o , m )( 即 o s p ( 1 / 2 g ) ， 具有对称群s p ( 2 m , r ) ; 而纯p a r a 费米子系统的 代数关 系( 1 . 8 ) 式， 其代数结构是李代数: o ( 2 n + 1 , r ) ， 具有对称群s o ( 2 n , r ) a 但是对于由p a r a 玻色子和p a r a 费米子所组成的混合p a r a 系统来说， 由于 ( 1 - 9 ) 式中这些相互纠缠的三线性双重对易关系式的存在， 使 得整个混合p a r a 系统的代数结构与对称性要远比( 1 . 7 ) 式的纯p a r a 玻色子系统或者 ( 1 8 )式的纯p a r a 费米子系统更加复杂许多。关 于整个混合 p a r a 系统的代数结构究竟是什么，到目 前为止，还没有 完全明确的结论7 1 ，这也正是为什么多自由 度混合 p a r a系统的态空 中国科学技术大学m全堂 鱼竺 : 乙一一一一一一一 间结构与表示问题一直没有得到解决的主要原因3 1 。 在第三章和第四 章里，我们将分别来讨论这两方面的问题。 最后，从p a r a 统计关系