（应用数学专业论文）一类浮游生物植化相克模型的多重正周期解.pdf

一 垦婴望三盔堂壁圭兰些堡塞 摘要 本文研究了一类描述两种浮游生物相互竞争且植化相克现象的时滞微分方程模型与 差分方程模型，利用重合度理论的m a w h i n 延拓定理及先验估计方法建立了此类模型存 1 芏多重正周期解的一组简洁且易于验证的充分条件这是第一次使用这种方法研究此类 模型多重正周期解的存在性 全文共分三章第1 章介绍了有关重合度理论的基础知识；第2 章研究了经m a y m t i c f s m i t h ，c h a t t o p a d h y a y ，m u k h o p a t h y a y , 靳祯和马知恩等学者逐步建立完祷的一类浮游生 物植化相克时滞微分方程模型，利用m a w h i n 延拓定理建立了该模型存在多重爱厨麓解 的一组简明实用的充分条件；第3 章首先借助具分段常数变元的微分方程将m a y i i ；l f 一 s m i t h 和c h a t t o p a d h y a y 提出的一类浮游生物植化楣克微分方程模型离敬化，建立_ 广- 个相应的差分方程模型，然后利用m a w h i n 延拓定理研究了该模型多重芷周期解的存在 性，获得了一组简明实用的充分条件 关键词：浮游生物，植化相克，l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统，多重正周期解，重合度 二耋壁煎生塑垫! 量塑塞燕型鲍垒星垂旦塑壁 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yac l a s so fd e l a yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e l sa n dd i f i e , e n ( e e q u a t i o n sm o d e l sw h i c hd e s c r i b e st h eg r o w t ho ft w os p e c i e so fp l a n k t o nw i t hc o m p e t i t i 、e a n da l l e l o p a t h i ce f r e c t so ne a c ho t h e r as e to fe a s i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc o n d i | ，i o n sa t e o b t a i n e df o rt i l ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h e s et w om o d e i f h ca p p r o a c hi sb a s e do nm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya s w e l la ss o m ep r i o r ie s t i m a t e s t h i si st h ef i r s tt i m et h a tt h e s em o d e l sh a v eb e e ns t u d i e d b 、rr i s i n gt h i sm e t h o d t h ew h o l ep a p e l c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c es o r n ee l ( 。 m e n t a r yc o n c e p t sa n dr e s u l t sf r o mc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e r ad e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e lo fp l a n k t o na l l e l o p a t h yp r o p o s e db ym a y n a r d s m i t h ， ( ：h a t t o p a d h y a y ，m u k h o p a t h y a y ，j i nz h e na n dm az h i e ne ta 1 b ya p p l y i n gm a w h i n s c e n ti n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , w ee s t a b l i s hs o m ee a s i l yv e r i f i a b l e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e l 3 ，w i t ht h eh e l po fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t s ，w ep r o p o s e ad i s c r e t ea n a l o g u eo fad i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e lo fp l a n k t o na l l e l o p a t h ym o d i f i e d b ym a y n a r d - s m i t ha n dc h a t t o p a d h y a y ，w h i c hi sg o v e r n e db yn o n a u t o n o m o u sd i f f e r e n c e e q u a t i o n s as e to fe a s i l yv e r i f i a b l es n f f i c i e n tc o n d i t i o n s8 x eo b t a i n e df o rt h i sd i s c r e t et i m e m o d e lb ym a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e m k e yw o r d s ：p l a n k t o n ；m l e l o p a t h y ；l o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o ns y s t e m s ；m u l t i p l e p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ；c o i n c i d e n c ed e g r e e 前言 关于水生生态系统中浮游生物群落巨大波动的研究是一个重要的课题自然条件的 改变、营养物质的变化等因素将会引起这些浮游生物密度和数量的变化许多生态丁作 者观察到另外一个重要的现象是种群通过产生植物间的抑制物质毒素，可能会影响其他 种群数量的增长，随着季节的变化会交替产生影响关于浮游生物植化相克现象的系统 研究，可参看文献1 1 - 2 1 m a y n a r d s m i t h 【3 】和c h a t t o p a d h y a y 【4 】通过假设每一个种群产生的毒素对另一争 存在的种群产生影响，得到了修改的两种群l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统为 竽= l 【n a l l g l ( t ) 一1 2 2 ( t ) 一b i n l ( t ) n 2 ( t ) ， ( 1 ) 垒磬= 2 【r 2 一0 2 l 1 ( t ) 一a 2 2 2 ( t ) _ 6 2 1 ( t ) 2 ( t ) j ， 其中n 1 ( t ) ，n 2 ( t ) 是两个竞争种群的种群密度；r 。是每小时的细胞增殖率；a ma 。， 是第一和第二个种群的种内竞争率；a 1 。，a 2 1 分别是第一和第二个种群的种间竞争率 啦，( i ，j = l ，2 ) 的单位是每小时每细胞，b 1 ，如分别是第二个物种对第一个物种和第一个 物种对第二个物种的抑制毒素率 c h a t t o p a d h y a y 【4 】研究了系统( 1 1 ) 的稳定性性质， 显然，较为切合实际的模型应该反映环境及食物来源的季节性变化，故系统( 11 ) 应 修改为 百d n l = 1 ( t ) 【n ( t ) 一。1 。( t ) l ( t ) 一。2 ( t ) 2 ( t ) 一6 。( t ) 1 ( t ) 2 ( f ) ， ( 1 2 1 d 万n 2 = 2 ( t ) 【r 2 ( t ) 一n 2 1 ( t ) 1 ( t ) 一2 2 ( t ) 2 ( t ) 一6 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 吼 其中n ( t ) ，a l j ( t ) 0 ，饥( t ) 0 ( t ，j = 1 ，2 ) 是连续的u 周期函数 如果假定系统( 1 2 ) 中的平均数量增长率间隔相等的时间段变化，并且对种群数量的 测量也间隔相等的时间段进行。此时要模拟种群的增长现象，则需研究( 1 2 ) 的如下离 散模型： n l ( k + 1 ) = l ( ) e x p r l ( k ) 一a h ( k ) g d k ) 一0 1 2 ) 2 ( 七) 一6 l ( 南) l ( 女) 2 ( ) ) ，f 11 2 ( + 1 ) = 2 ( ) e x p r 2 ( k ) 一a 2 1 ( k ) n l ( k ) 一a 2 2 ( k ) n 2 ( k ) 一b 2 ( k ) n l ( k ) n 2 ( k ) ，。 其中= 0 ，1 ，2 ，r i ，o 甜 0 ，b i 0 ( i ，j = 1 ，2 ) 是u 一周期的是正整数) m u k h o p a d h y a ye ta 1 【5 】指出，一个种群需要一段时间成熟后才能产生对别的种群 有毒的物质，即由竞争种群产生的植物间抑制物质不是即时的，而是需要一段时间种群 一= 差墨塑生塑垫丝塑塞夔型墼垒重壅塑塑墼一 成熟后才会发生因此系统( 1 1 ) 可转化为如下形式 d 成n 1 = 1 。 r - - a l l n l ( t ) 一。1 2 ( t ) 一6 1 l ( t ) 2 。一匏) 】 警= 2 0 ) r 2 - a 2 1 n i ( t ) 一蚴2 ( t ) 一b 2 n t ( - - t 1 ) 2 ( 圳 ( 1 。4 ) 其中n ( i = l ，2 ) 分别是第二个种群对第一个种群和第一个种群对第二个种群产生抑制毒 索影响所需要的时间。文1 5 】中的一般结果可以表示为：如果a i ：a j i 2 a x ( b d b j ，囊o ) ，i = 1 2j i ，则系统( 1 4 ) 存在唯一的正平衡点e + ，对于所有的n 0 ，i = 1 ，2 ，e + 总是局 部渐近稳定的因此，浮游生物群中植物间抑制物质确定性的时滞系统不会出现h o p f 分 支和极限环周期性变化 f a p a s w i 和m u k h o p a t h y a y1 1 5 】考虑了在丰富的水生种群中系统( 1 4 ) 中的每一个种 群在形成的自噪音随机环境中浮游生物种群的增长，并虽研究了环境的随机波动变化是 否能导致系统出现准周期性平衡点 最近，斩祯和马知恩【6 l 提出了下列浮游生物植化相克的时滞微分方程模型，并且利 嗣m a w ) t i n 重合度理论研究了其正周期解的存在性； 簪= m 蚤2 删 警刊r 2 ( p 薹a 矾) 跹j ( s ) 玛8 + s ) d s 山l 髓( 07厶( s ) 2 0 + s ) 蚓， ，u ，一t 2 k ( s ) ( t + s ) d s b 2 ( t ) ：( ) l ( s ) n l 【+ s ) d s l ， ，u ，一7 ( 1 5 其中q ( t ) ，o 巧( t ) 0 ，b i ( t ) 0 是连续的u 一周期函数，码，n 是正常数，k ：2 ( e ( 一码，o 】，( 0 ，o o j ) 且噩，( s ) d s = 1 ； g ( 卜，o 】，( 0 ，。) ) 且f _ o 。五( s ) 如= 1 ( i ，j = 1 、2 1 利用拓扑度方法研究种群模逛的月期解阏题，最早的工作见于文f l7 1 ，但该文仅考虑 了无时滞情形 1 9 9 6 年，文 1 8 】将m a w h i n 重合度理论应用于时滞种群模型周期解问 题的研究迄今为止，已有许多论文利用拓扑度方法研究时潍种群模型的周期解问题( 例 如： 1 8 - 3 3 ，3 8 4 0 】) 据我们所知，目前还没有关予系统( 1 3 ) ，( 1 5 ) 多重正周期解存在性的 研究结果，而在周期环境中与多种群相互作用相联系的一个很基本的生态问题是非常数 正周期解的存在性本文的主要目的便是利用重合度理论研究系统( 1 3 ) ，( 1 5 ) 多重正局 期解的存在性 。玎 ， 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 乓遣晏 日 期：眦年，2 月，、日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：垒塾论文作者签名：i 量逮! 基 日 期：1 翌望垄生 2 臼2旦 注：此页放在封面后目录前。 昆明理工大学硬士学位论文 第一章预备知识 本章先引入一些m a w h i n 重合度理论的基本概念和结果 定义1 1 设x ，z 是实b a n a c h 空间，l ：x ) d o t a l _ z 是一个线性映射 称为是一个指标为0 的f r e d h o l m 映射，如果下列条件满足 ( a ) i m l 是z 的闭子空间， ( b ) d i m k e r l = c o d i m i m l 0 ，b i ( t ) 0 是连续的一周期函数，码，t 是正常数，f 。 ( 一码，o ，( o ，o o ) ) 且丑，甄( s ) d s = 1 ； c r ( 卜t ，o 】，( 0 ，o o ) ) 且。f i ( s ) d s = 1 ( i j ，2 ) 为了方便起见，本章引入如下记号； 2 2 言五2 ( t ) 热。【0 n l t l 卅x i ， q ，j = 嘞。反一a t i j i ，o ；= 劬i 玩一毛t 配e ( 岛+ 乃n ，o q “i = ( 嘭 五i e ( a j + 。灿一面l 砖) e ( 庇t 。 8 l | = 一a i i a j f + b 污5 一黾u a j i b l ， 锺f = a 以嘞，e ( 马+ 弓灿+ 配乃拄j 毛i e ( 风+ 7 。灿砖矗e ( 风+ 9 汁吗十勺， 彪= 巩i a 一，e ( 扁+ 如+ 玩乃e ( 扁+ 无+ 与十露p 一动i e ( 岛+ f j 一砖矗， ，y 莳= 如a 峁一乃a 巧，西= ( 曩e ( q + 。如一巧五巧) e ( 峨+ 于i ， 瞄= r i a i j 一乃e ( 玛+ f j p ，i 工 ，j = 1 ，2 蛳刖= 竖譬至，徘删= 掌孵，。，p 2 _ 4 a 7 0 ) 在系统( 2 , 0 ) 中，总假定： ( 塌) r = ( 1 如) i n ( ) l d t ( 1 加) 君r i ( t ) d t o ( 点b ) ；= r l a j j 一0 a 玎e ( 岛+ m 0 ，i j ，i ，j = 1 ，2 ( 玩) ：2 0 ( 矾) 丝 毕 1 2 d 1 2 下面我霄l 介绍几个引理 引理2 1 ( 【6 ) 考虑代数方程： ) 一 一n _ n | | f i 镌m m m一班一幻 + 十 妫飓 2 2一铆砀 + 十 脯m i l蕊勘 一类浮游生物植化相克模型的多重正周期解 如果( h - ) ，( 皿) 成立，则有如下结论成立， i ) 若0 1 2 0 ，则方程( 2 1 ) 有两个正解 ( ( 0 1 2 ，卢1 2 ，7 1 2 ) ，n 1 ( a2 1 j 疡1 ，讹1 ) ) ，i = 1 ，2 i i ) 若o l 2l 0 ，则方程( 2 1 ) 有两个正解 ( n l ( a 1 2 ，卢1 2 ，7 i 2 ) ，f ( 0 2 l ，尻1 ，他1 ) ) ，i = 1 ，2 引理2 2 如果( 皿) 一( 风) 成立，则下列结论成立 ( i ) 卢1 2 0 ，卢毳一4 a 1 2 7 i 2 o ； ( i i ) 卢；2 0 ，卢墨一4 d ：2 7 ：2 0 碑阢= ( 景+ 鲁) ”( 百7 1 0 1 2 + 竿) 。， 卢毳一4 q 1 2 7 1 2 = ( 导+ 等) 2 幢+ ( 等一号竽) 2 + 。( 未+ 警) ( 等十等? ) 能 0 其畔 f l a 1 2 e + e l 0 , 1 1+ 害蒜) 。+ 雨丽7 ” 秘a 吨伽( 嘉+ 鲁) 2 伽f 煎坐a i i ( 熹+ a ，i _ 2 。) ( 半+ 慕) 小。 引理2 3 如果( 日1 ) 一( 凰) 成立，则如下结论成立 n i ( q 1 2 ，卢1 2 + m ，7 1 2 一礼) 1 ( a 1 2 ，卢1 2 ，7 1 2 ) 1 ( i 2 ：卢：2 ，7 i 2 ) j ( 口i 2 ，卢i 2 ，前2 ) 0 ， + 。 、， 坠n + 巩示 ，、 1 1 声 、叫 盘m 堕水| | r 昆明理工大学硕士学位论文 证明：由已知条件易知 0 ，卢 0 ，7 0 ，卢2 4 。，y 0 ，从而 2 叫 a 1 ( 邢，7 ) 2 万历岳面。 ：1 ( 1 ，堡，! ) qo 2 ( 。，卢，们：5 + 譬v 伊- 4 a 7 ：弘1 五5 + 孳 ) ：2 ( ，笔，罟) 故n ，( 口，芦，7 ) ( 2 ( a ，卢，7 ) ) 关于第一个变景是递增( 递减) 的，关于第二个变量是递减 f 递增) 的，关于第三个变量是递增( 递减) 的注意到 d 巍 a 1 2 a ：2 0 ，啊2 一y 1 2 ，y 趋 0 ， 2 3 ) 我们有 犟 丝i ) n 1 2 0 1 2 从而由( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 和( 历) 一( 风) ，可得 1 ( d 1 2 ，p 1 2 + m ，7 1 2 一n ) l ( a 1 2 ，风2 ，7 1 2 ) = l ( 1 ，堕o z l 2 ，塑o z l 2 ) l ( t ，惫，毫) = l ( 西。“：“。) 2 ( 西。，比 ：) = 2 ( ，爱；，惫) 2 ( 1 ，堕，堕) = 2 ( d 1 2 ，岛2 ，7 1 2 ) 2 ( 口1 2 ，卢1 2 + m ，y 1 2 二n ) a l 2d 1 2 定理2 1 如果( 皿) 一( 上b ) 成立，并且系统( 2 0 ) 满足 ( 风) n l ( a 1 2 ，卢1 2 ，7 1 2 ) l ( 西2 ，卢i 2 ，哦2 ) j ( 1 2 ，卢1 2 ，7 1 2 ) ， 则系统( 2 0 ) 至少有两个u 一周期正解 证明：由于我们仅考虑系统( 2 0 ) 的正周期解，故可作代换 肌( t ) = e x p ( x i ( t ) ) ， = 1 ，2 ， 则系统( 2 0 ) 变为 尘泸；n ( t ) 一e ；：啦j ( 0f _ o确( s ) e x p ( q ( hs 凇 阢1 一以( t ) e x p ( x i ( t ) ) na ( s ) e x p ( x k ( t + s ) ) d s ， 其中i ，女= 1 ，2 ，k i 取 x = z = z ( t ) = ( x l ( t ) ，。2 ( t ) ) g ( 兄，r 2 ) ：x ( t + u ) = z ( ) ) 藤 一 + 一声一q o 一一 二耋竖蓬生塑堕些塑塞夔型丝垒重亚旦塑竖 一 2 圳= ( 旧( t ) 1 孑) ，z x ，o rz z ) i = 1 容易证明x 和z 均是b a n a c h 空间 定义映射l ：x _ z ，：x 。z ，p ：x _ x 及q ：z - 9 z 如下 , v x ( t ) = = fq ( t ) 一鸯。l a t ) f o n ，l j ( s ) e x p ( x j ( t + s ) ) d s b l ( t ) e x p ( x i ( t ) ) 。，2 ( s ) e x p ( x 2 ( t _ 一) j 出1 卜。( ) 一喜n ：，( t ) 氏翰( s ) e x p ( ( hs ) ) d s m r ) e x p ( z z ( t ) ) ， ( s ) e x p ( z t ( ht 1 ) 胁 l z = 圣，p x 言z “z ( ) 出= q z ，z x ( 。r 。z ) 易证k e r l = r 2 ，i m l = x x ：爿x ( t ) d t = o 是z 中闭集，且d i m k e 儿= c o d 油i m l = 2 故是指标为零的f r e d h o l m 映射显然，p 和q 是连续算子且使得 ，m p = k e r l ，k e r q = l m l = i m ( 1 一q ) 因此，l 的逆映射：i m l - - - d o ml nk e r p 存在且具有如下形式 ( z ) = 0 t x ( s ) 如 显然，q n 和坞( j q ) n 是连续的 外，南a r z e l a - a s c o l i 定理，不难证明， 紧的。 三 。 ”z ( s ) d s d 卵 uj 0j o 对任意有界开集ncx ( j 一0 ) ( 孬) 是紧的 对应于算子方程l x = a n x ，a ( 0 ，1 ) ，我们有 易知q ( q ) 有界此 因此，在q 上是，一 岛产一a h ( t ) 一j 垂= ln 百( t ) 码蜘( s ) e x p ( x j ( t + s ) ) 出 ( 2 ( j ) 一6 t ( t ) e x p ( x i ( t ) ) 。 ( s ) e x p ( x k ( t + s ) ) d s 】， 其中；，k = 1 ，2 ，k i 假定x ( t ) = ( 茁1 ( t ) ，。2 ( t ) ) x 是系统( 2 6 ) 对应于某个a ( 0 ，1 ) 的解，对系统( 2 6 ) 在区间 o ，u 】上积分可得 吒u = ：叁g 口玎( t ) 巧j ( s ) e x p ( 。+ s ) ) d s 出f 2 7 1 + j 6 l ( t ) e x p ( x i ( t ) ) j 竺n ( s ) e x p ( x k ( t + s ) ) d s d t ， 一 垦塑堡王盔芏塑圭堂焦迨裹，一7 其中i ，k = 1 ，2 ，k i 由( 2 6 ) 及( 2 7 ) 可得 口1 2 d t ) l d t = a f | r i ( z ) 一j 圭= i n t j ( t ) 确( s ) e x p ( q + s ) ) d s 一“( t ) e x p ( 观( t ) ) f _ o ，。 ( s ) e x p ( x k ( t + s ) ) d s l d t 爿m t ) l d h 善2 口。玎( ) 码( s ) e x p ( 妁。+ s ) ) d s 出 + 玩( t ) e x l 】( ( ) ) ，。 ( s ) e x p ( x k ( t + s ) ) d s d t = ( 豆+ r ) u ，i = 1 ，2 即 。， 上i 血( t ) l d t ( 豆+ 畋) u ，江1 ，2 t 注意到x ( t ) x ，故必存在6 ，吼，使得 衄( 矗) = 蜓m 州i nx f ( 。) ，盈( 琅) = m a x 。】筑( = 1 ，2 - 从而由( 2 7 ) 知 a l le x p ( x l ( y , ) ) + a 1 2e x p ( z 2 ( 啦) ) + b le x p 1 ( ”1 ) ) e x p ( x 2 ( 卵2 ) ) f l ， a 2 le x p ( x l ( 1 ) ) + a 2 2e x p ( x 2 ( 2 ) ) + b 2e x p ( x l ( f 1 ) ) e x p ( x 2 ( f 2 ) ) 而 由( 2 1 1 ) 可推得 z z ( 7 2 ) z 。( 已) + o 。) l d t l 2 2 ( t ) l d t z - ( 口，) 一( 豆- + f z ) u e x p 1 ( 1 ) ) e x p ( x l ( ? 1 ) ) e x p ( 一( 矗i + f 1 ) u ) 黜 町 n 扪 弘 8 一一 ：= 耋翌鳖生塑蕉垡塑塞塑型盟垒重匡塑塑堡 一 代、( 2j 2 ) 有 e x p ( ( r , + f 1 ) u ) e x p ( x l ( f 0 ) ! ! ( 堡丝坠! 鲨生! 堕必二垒! 竺( f 垒型型2 曼二坠! ! 翌f 兰! f ! ! 逊 a 1 1 ( a 2 2 + b 2e x p ( x l ( f 1 ) ) ) + b le x p ( ( q 2 + 恐) u ) ( 而一a 2 1e x p ( x 】( 6 ) ) ) 镶列可得 d 乞e x p ( 2 卫l ( f 1 ) ) 一卢是e x p p l 睡1 ) ) + ，y 羔 0 根据引理2 2 的( i ) 可解出上述不等式的解 n 1 ( o e l 2 ，卢1 24 - m ，y 1 2 1 1 ) 2 ( a ；。，厦。，嘶。) 或e x p ( x t ( q ，) ) i l n n l ( 0 2 1 ，如l ，协1 ) j | u n + 互 砬 1 一一 斗 扛 旦 磊i d h 出 川 ) o 慨 陋 札 f + 矗 一 如 得 o ， 9 而 由 即 从 而 一类泽跨生物植他相克模型的多重正周期解 f f 2 】= = z x 【 z x x l ( t ) ( i n n l ( 1 2 ，卢1 2 + 仃z ，7 1 2 l x 2 ( t ) i 0 则q 和q 2 均是x 中的有界开集由引理2 1 及( 2 2 1 ) 可得呸，i = 1 ，2 和用 ( 2 。l 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) ，( 2 2 0 ) 及( 风) ，易证q 1n 锄= 西且n 0 = 1 ，2 ) 满足引理1 1 的条 件，虽对任意岔a g ( 1 k e r l8 = 1 ，2 ) ，有q n x 0 通过宣接计算可得 d e g 。( j q n ，q tnk e r l ，0 ) 0 由于l m q = k e r l ，故这里t ，可取作恒同映射至此我们已经证明q i ( i = l ，2 ) 满足引理 1 1 的所有条件，故系统( 2 5 ) 至少具有两个p 周期解且d o m l f q i ( i = 1 ，2 ) ， 显然( 江1 ，2 ) 不等令需( ) = e x p 瞄g ) ) 饩j = 1 ，2 ) ，则静= ( 柳，惩) “= 1 ，2 ) 是 系统( 2 0 ) 的两个不同的“一周期正解证毕 注2 l 对予固定的孙，曩瓴j = 1 ，2 ) 和瓦，易证 t 式与( 2 2 ) ，( 2 3 ) 联立可得 i l i m 卢1 2 = o 。，：l i m 展2 = o o 如叶6 i o 。 。j l i r a 器搋舞= ；刚s 。+ 。可两刀誊萄25 氅i ；熄缫= ；( 石老菰 故当? j 1 充分大时( 5 ) 能够成立 辈 1 9 1 6 2 9 ，7 是 1 5 7 2 8 4 ， 量 0 0 1 9 1 9 ，口乞卢1 2 一。1 2 卢：2 0 0 0 9 0 4 故根据推论2 1 ，上述系统至少有两个o 0 0 5 - 周期正解 利用定理2 1 的证明方法，可以证明如下结论： 定理2 2 如果( 日1 ) 及( 上如) 成立，且系统( 2 0 ) 满足 ( 风) o ：l o ； ( 风) 。l 1 ，如l ，他1 ) 0 ，b i ( t ) 0 ( i ，j = 1 ，2 ) 是连续的一周期函数 假定系统( 3 0 ) 中的平均数量增长率间隔相等的时间段变化，并且对种群数量的测量 也间隔相等的时间段进行，此时要模拟种群的增长现象，则需将( 30 ) 修改为： ! n 磊l ( t ) 可1 = n ( f m 刮l ( 【护咖 蚓啪圳m 删愀 ) 1 ( 3 1 ) 垡掣击= r 2 ( 一。1 ( 【枷l ( 一。( 【c ) 2 ( 嘲) 一如( 嘲) l ( 吲) 2 ( ) ， p 川 其中t 0 ，1 ，2 ， t 】表示t 的整数部分，t ( 0 ，+ 。) 我们称z = ( x l ，写：) t ( t 【0 ，+ o 。) ) 为系统( 3 1 ) 的个解，如果它具有如下性质 i o 在 0 ，+ ) 上连续 2 导数墅d 监t ，垒d 盥t 在t 【o ，+ 。) f 0 ，1 ，2 ) 上存在，且在t o ，1 ，2 ，一】上存 在左导数 假设对自t 0 ，b i 0 ( i ，j = 1 ，2 ) 是u 一周期的是正整数) ，( 3 3 ) 即是 ( 3 0 ) 的离散模型 下面我们研究系统( 3 3 ) 多重正周期解的存在性 垦塑堡王盔堂壁圭堂垡堡塞 一 令z ，z + ，r ，r + 和r 2 分别表示全体整数，全体非负整数，全体实数，全体非负实 数以及二维欧几里德赋范空间 设幻( 女) ) 是u 一周期的实数序列z + ，k z ) ，本章采用如下记号； l = 0 ，1 ，u 一1 ) ，y = 去9 ( ) ，舀= i g ( k ) l ， w k = g w k = 0 a 玎= a j 瓦一面“b j ，o ；= a j i 瓦一a i i 岛e 岛u ，；= ( a j i 瓦e 岛u 一面“岛) e n “， 尚= 西“面埘+ b i f j a l j a j i 一幻矗， 岛= a “j e 吗“+ 5 略一a i j a j i e r - w b a e ( 风+ q 柚， 瑶= a i i a j j e 凰”+ 瓦巧e ( 盈+ 岛一a i j a j e r j u b 吮， 均= r i a j j 一弓a d ，吨= ( 畋弓j e r j 。一巧瓯j ) e 风。， ：= r i a j j 一弓a 玎e 马“，i ，j = 1 ，2 ，i j ，( 。，f l , 7 ) = 生二二譬，2 ( 口，卢，7 ) = 壁二譬( 。，卢。一4 。7 n ) 定义 f 2 = z = 。( 女) ) ：石( ) r 2 ，k z ) 对任给的= ( a l ，a 2 ) t r 2 ，定义h = m a x o l i ，f a 2 m 令严cf 2 表示全体u 一儡_ l ；f j 序 列在通常上确界范数i i 意义下的子空间，其中”l l 表示对。= 。( 七) ：k z e 。 忙l | ：= m a x k li ( 七) i ，易证严是有限维b a n a c h 空间 定义线性算子s ：p or 2 ： 岁( z ) = 主z ( 七) ，z = 嚣( 七) ：七ez 则我们可以分别定义一的两个子空间搿和掣如下； f 目= z = 。( ) ) f “：z ( x ) = o ) ， 掣= z = o ( ) ) p ：x ( k ) 三芦，对某卢砰和任意k z 成立 另外由l x = ( l z ) ( ) ) ，k x = ( k z ) ( 七) ) 可定义差分算子l ：p _ k ：p 一等 ( 上z ) ( 七) = z + 1 ) 一石 ) ，( k 茹) ( 七) 三s ( 。) ， 其中女z ，o f 。 我们有如下引理： 引理3 1 ( 【1 3 】) ( i ) 搿和等均是线性子空间的闭集，并且p = l o l 。，d i m 掣= 2 】4 一 = 耋璺夔塞塑垫些塑塞堕型塑墨重塑塑堡 一 ( i i ) l 是有界线性算子，且k e r l = 掣，h n l = 营 ( 1 i i ) “是有界线性算子，且k e r ( l + k ) = o ) ，i m ( l + ) = 一 引理3 2 令g ，r ：z - 9 r 是u 一周期的，即g ( k + u ) = g