（概率论与数理统计专业论文）应用随机模型和灰色系统研究股票价格波动.pdf

中文摘要 摘要：在股票市场中，股票价格直接反映了市场状况，因此，对于股票价格过程 的研究是数理金融学研究的内容之一。本文应用统计物理模型中的选举模型以及 灰色模型研究股票价格波动，共分两部分： 第一部分：由于数理金融学所研究的金融现象具有很强的不确定性，因此随 机过程理论作为概率论的一个重要分支，被广泛地运用到会融问题的研究中。本 文就是应用随机过程理论来建立选举模型，再应用选举模型和停时理论建立了股 票收益过程，进而得到了股票价格过程。本文证明了所构造的股票价格过程的概 率分布函数收敛到已被广泛接受的b l a c k s c h o l e s 公式的分布函数，从而说明了通 过本文所建立的股票价格过程对股票的分析、理解和预测都有具有一定的理论指 导意义。 第二部分：由于受到政治、经济、市场以及企业自身等各种因素的影响，股 价的波动是杂乱且频繁的。对股票价格的各种分析、预测都存在一定的局限性， 其结果也可能存在较大的误差。因此，我们认为股票市场是一个部分信息己知， 部分信息未知的系统，可以当作一个灰色系统来进行处理，股票价格作为其系统 行为的特征量是一个灰色量。本文把狄色模型应用于股价预测，并改进其残差模 型，通过实证分析，证明了改进的灰色模型与原模型相比预测精度有了一定的提 高。 关键词：选举模型；停时理论；b l a c k s c h o l e s 公式；灰色模型 分类号：0 2 1 1 9 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h es t o c km a r k e t ，s t o c kp r i c e sd i r e c t l yr e f l e c tt h em a r k e tc o n d i t i o n s t h es t u d yo ns t o c kp r i c ep r o c e s si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r ti nt h em a t h e m a t i c a l f i n a n c e i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h ev o t e rm o d e l w h i c hi so n eo ft h es t a t i s t i c a lp h y s i c s m o d e la n dg r e ym o d e lt os t u d yo nt h ef l u c t u a t i o n so fs t o c kp r i c e s t h ep a p e rc o n t a i n s t w op a r t s i np a r to n e ，b e c a u s eo ft h ei n s t a b i l i t yo ft h ef i n a n c i a lp h e n o m e n o n ，t h es t o c h a s t i c p r o c e s s e st h e o r yw h i c hi sa ni m p o r t a n tp a r to fp r o b a b i l i t yi sa p p l i e dt od oar e s e a r c ho f t h ef i n a n c i a lp r o b l e m s a p p l y i n gt h ev o t e rm o d e la n dt h et h e o r yo fs t o p p i n gt i m e ，w e c o n s t r u c tt h er e t u mp r o c e s so fas t o c ki nas t o c km a r k e t f r o mt h i sr e t u r np r o c e s s ，w e c a nd e r i v et h ec o r r e s p o n d i n gs t o c kp r i c ep r o c e s s w es h o wt h a tt h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n so ft h es t o c kp r i c ec o n v e r g et ot h ec o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i o no ft h e b l a c k - s c h o l e sm o d e l 。t h i si m p l i e st h a tt h ef i n a n c i a lm o d e lo ft h ep r e s e n tp a p e ri s s o m e w h a tu s e f u lf o ru st ou n d e r s t a n dt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h ef l u c t u a t i o n sf o rt h e s t o c kp r i c e s i np a r tt w o ，b e c a u s eo ft h ei n f l u e n c eo ft h ep o l i t i c a l ，e c o n o m i c ，m a r k e ta n dt h e e n t e r p r i s e st h e m s e l v e s ，t h ef l u c t u a t i o n so fs t o c kp r i c e si su n s y s t e m a t i ca n df r e q u e n t t h e r ei sac e r t a i nl i m i t a t i o n si nt h ea n a l y s i sa n df o r e c a s t i n go ft h es t o c kp r i c e ，a n dt h e r e s u l ti sn ov e r yw e l lt o o s o ，w eb e l i e v et h a tt h es t o c km a r k e ti sas y s t e mt h a tw e o n l y k n o wp a r to fi n f o r m a t i o n ，t h e r ei ss t i l ls o m e t h i n gw ed o n tk n o w w ec o n s i d e rt h es t o c k m a r k e ta sag r e ys y s t e m ，a n dt h es t o c kp r i c ei st h e 黟a yv o l u m eo ft h i ss y s t e m i nt h i s p a p e r , w ea p p l yt h eg r e ys y s t e mt of o r e c a s tt h es t o c kp r i c e w ed i ds o m ei m p r o v e m e n t s i nt h er e s i d u a lm o d e lo fg r e ym o d e lt oi m p r o v et h ea c c u r a c yo fg m ( 1 ，1 ) t h r o u g ht h e e m p i r i c a la n a l y s i s ，w ep r o v e di t k e y w o r d s ：v o t e r m o d e l ；s t o p p i n gt i m e ；b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ；g r e ym o d e l c l a s s n o ：0 2 1 1 9 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：起钙 签字同期：2 0 0 r 年6 月弓同 铷躲弹 签字日期：2 0 0 1 年6 月4 同 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：赵莴 签字同期：2 口o2 年月弓同 致谢 本论文的工作是在我的导师王军副教授的悉心指导下完成的，王军副教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来 王军老师对我的关心和指导。两年来，无论是在研究生的课程学习当中，还是在 论文的选题，研究和定稿当中，王老师自始至终给了我无私的关怀和大力的帮助。 两年的研究生生活之中，王老师渊博的知识，严谨的治学态度和认真负责的工作 态度使我受益匪浅，并将受益终身。而跟随王老师学习以及课题研究也为我以后 工作的发展打下良好的基础。在此，向王老师表示衷心的感谢。 感谢我的父母对我多年的教育与培养，在我遇到各种困难时，他们总是在积 极地鼓励我，支持我，给与我精神上的支持和物质上的帮助，使我能够全身心的 投入到课题研究中去。 在撰写论文期问，隗翠宁、门东平等同学对我论文中的研究工作给予了热情 帮助，在此向他们表达我的感激之情。 感谢我同门的师兄师姐和师弟师妹，和他们共同学习的过程中，收获颇多。 另外也感谢我的朋友们，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 感谢各位学者，专家在百忙之中审阅我的文章，并给出批评意见。 1 引言 在过去半个世纪里，金融学的定量研究越来越引起人们的重视，尤其是2 0 世 纪9 0 年代，全球性的金融风暴使得人们深切体会到，没有定量的思想方法要驾驭 “金融”这批野马简直是天方夜谭。而定量的思想方法自然地依赖于数学，1 9 世 纪的伟人马克思认为，一种科学只有在成功地运用数学时，力算达到了真正完善 的地步。而今，金融学已经进入其成熟期，数学得广泛和深入的运用成为必然。 于是，作为一门学科，数学金融学应运而生。 随机过程理论是概率论的重要分支，是一门应用性很强的学科。从2 0 世纪3 0 年代起，对于随机过程理论的研究不断地发展和丰富，特别是近几十年来，随机 过程理论及其应用得到了迅速发展。随即过程理论被广泛地应用到物理学、自动 控制、电子工程、通信科学、经济学、管理科学以及金融学等领域。 对于股票价格波动性质的研究是金融数学与金融工程的主要研究内容之一， 其中股票的b l a c k s c h o l e s 公式被广泛接受和应用，它对股票价格波动的研究和期 权定价问题的研究有重要的理论和实际意义。近年来，应用统计物理模型和随机 动力系统研究股票波动性质和相应的期权定价问题已经取得一定程度的进展。选 举模型( v o t e rm o d e l ) 是统计物理模型中的一种。主要是用来处理系统中的人收 到不同信息时如何做出反应及反应后的结果。金融数学和金融物理学是当今科研 的一个热点，我们的工作是其中的一个部分。而且把粒子系统中的模型应用到金 融中，这是一个全新的课题。应用选举模型来建立并讨论股票的收益过程，进而 得到股票的价格过程。对该价格过程收敛性的证明，使得应用选举模型所建立的 股票价格过程对股票的分析、理解和预测都有具有一定的理论和现实指导意义。 灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授于1 9 8 2 年创立的一门新兴学科，主 要研究系统模型不明确、行为信息不完全、运行机制不清楚这类系统的建模、预 测、决策和控制等问题。邓聚龙教授首先提出了灰色系统理论，将自动控制与运 筹学的数学方法相结合，用于对信息不完全的、不确定性问题进行分析和研究。 这种理论主要是依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物的运动规律。狄色 预测是基于g m ( g r e ym o d e l ) 模型的定量预测，它可根据随机的原始数据序列， 建立近似微分方程模型，并通过这种动态模型，揭示系统发展的规律和趋势。实 践证明，当原始时间序列隐含指数变化规律时，用g m 模型可对其发展变化作较 为理想的预测。由于经济系统、生态系统等均可视为广义的能量系统，而能量的 积存与释放一般具有指数规律。因此灰色系统理论的g m 模型在这些系统的预测 方面具有十分广泛的应用性。 在股票市场中，股票价格直接反映了市场状况。由于受到政治、经济、市场 以及企业自身等各种因素的影响，股价的波动是杂乱且频繁的。对股票价格的各 种分析、预测都存在一定的局限性，其结果也可能存在较大的误差。因此，我们 认为股票市场是一个部分信息已知，部分信息未知的系统，可以当作一个灰色系 统来进行处理，股票价格作为其系统行为的特征量是一个灰色量。而在此之前已 有关于g m ( 1 ，1 ) 模型应用于股票价格预测，并且该应用得到了证实，本文中为 了提高预测的精度，将要改进g m ( 1 ，1 ) 模型。 2 2 应用选举模型和停时理论研究股价波动 2 1 绪论 2 1 1选题背景 1 9 5 3 年，k e n d a l l 对股票价格和收益的随机性进行了系统研究，在其论文经 济时间序列分析中提出股票价格遵循一种随机游走( r a n d o mw a l k ) 规律；1 9 6 4 年c o o t n e r 主编的文集股票市场价格的随机性使得“价格变化的分布形状具 有肥胖的尾部”这一观点为人们普遍接受；1 9 9 5 年m a n t e g n a 和s t a n l e y 在研究 s & p 5 0 0 指数时提出用截尾的稳定分布( t r u n c a t e dl e v y ) 作为证券收益的分布。 也有学者用具有有限高阶矩的宽尾分布来拟合收益率的宽尾现象，如学生t 分布 ( s t u d e n t td i s t r i b u t i o n ) 或双威布尔分布( d o u b l ew e i b u l ld i s t r i b u t i o n ) 。 包括选举模型在内的无穷质点马氏过程的研究起源于2 0 世纪6 0 年代，最初 主要应用于统计物理中，现在也广泛应用于其他领域。选举模型主要是用来处理 系统中的人收到不同信息时如何做出反应以及反应后的结果。 在上述背景下，我们尝试用选举模型来处理股市中的信息对股票价格的影响。 主要是通过考察信息对股票收益率的影响来预测股票的价格。 金融数学和金融物理学是当今科研的一个热点，我们的工作是其中的一个部 分。而且把粒子系统中的模型应用到金融中，这是一个全新的课题。有关金融产 品收益率的分布在国外早有研究，而且也得出了许多对投资很有影响的结论。因 为我国的金融市场尤其是股票市场起步晚，又很不成熟。有关我国股市收益率分 布的研究较少，我们的课题有望填补这一块的空白。 2 1 2 选举模型基本概念 选举模型是众多统计物理模型中的一个，在选举模型中，可以认为在组态空 问q = o ，1 ) 中的所有点被持有不同观点的人占据，即选举人( 投票人) 持有“0 观点或者“1 观点。令 善( s ) ，s o ) 表示支持“l 观点的选举人的集合，l 善( s ) i 表 示该集合的人数， 孝。( s ) ，s 0 ) 表示支持“0 ”观点的选举人的集合。在选举模型 中，选举人可以随时改变他们的观点，他们将根据邻居的观点而在一个随机的时 间罩改变自己的观点。假设在本模型中人们的思想都很简单，他们以邻居中持不 同观点的人数吉的速率来改变自己的观点。 为了建立模型，记 彳，l 1 ) ( x z d ) 为速率为l 的p o i s s o n 过程， 巧，n l 为相互独立同分布的随机变量序列，且对于所有的y ，当lyi = 1 时都有 p ( 野2 y ) 2 西1 。即可认为在时问巧，处于x 的人第刀次考虑改变自己的观点，并 以1 2 d 的概率接受处于x + f 位置人的观点。为了形象的说明这个过程，可以采 用图示的方法：对每一个z 和刀从( x + 巧，巧) 到( 工，巧) 画一个箭头，并在( x ，矸) 处 记一个万，在这个模型中，我们想象水流从底部的彘开始流入整个结构。我们可 以把这些万看成阻碍水流通过的堤坝，而把箭头看成是允许水流通过的渠道，使得 水流流向某个方向。图表示如图1 所示： 伊 1 t r j 。 v j t i - r 6 i 妒 r艿 j ，f u 图1 选举模型图示 下面将给出选举模型的描绘定义，严格的数学定义参见文献m ”在上图表示 中，若对于一系列的时间= 0 墨 屯 s 川= 1 和点列x = ，_ ，x n = y 有： ( i ) 对于i = 1 ，2 ，n 在时间t 有从薯到薯+ 。的箭头； ( i i ) 在垂直区间段 誓) ( s ，。) 内不包含j ，其中i = l ，2 ，玎 4 则称从k o ) 到f 有一条路径，即处于点y 的人在时间s 与处于点石的人在时间0 有 相同的观点对于石彳，若从( x ，0 ) 到( j ，s ) 有一条路径，则定义 孝a ( j ) = y ：对于某x 启若有从“0 ) 到( y ，s ) 的路径) ， 给定了初始状态善一( o ) = a ，如果要根据上述定义计算善一( f ) ，最简单的方法究就是 将整个过程倒过来。例如，在图2 中，你想计算出处于位置0 的人在时间f 的决定， 从后往前看，处于位置0 时问f ，的人与处于位置一l 时间氏的人观点一致，他又与处 于位置一2 时问t ，的人观点一致。因此，处于位置0 时间f 的人与处于位置一2 时间 0 的人持有相同观点。 6 0一 图2 选举模型图例 以上的计算方法引出了选举模型的对偶过程。这个过程是将上图中所有箭头 反方向，并用映射j = t s 。类似之前那样定义路径，使得： 亭= x ：对v y b ，有从( y 6 ) 到o ， ) 的路径 因此，显然有： nb 矽) = 矽nx 办 ( 2 1 ) 上述定义对( 2 1 ) 式而言是十分显然的，但是它将导致随着时问t 的变化整个 过程的剧烈变化。举个例子，在图2 中：若f l o ) - j 等捌， 【0 a 1 所以， 丸兰i n f 五：p ( 例 o ) o ) = 1 r j l 理2 1 当名 丸= l 时，在，上有 7 至_ ( 允一1 ) ，生专一( a 1 ) ，幽一2 ( 五一1 ) 口j tt 其中，：与分别为过程缶的边过程，i 引为过程专的长度。 引理2 2 当五 丸= l 时，对v g o ，存在一个点集a ，使得对充分大的f 在 q 。= 等g ) 上有 ( 1 一e ) t a n z 4c 7 ( 1 + 8 ) t a ， 即在q 。： 等。) 上，幽t a j i 彳l 口j 引理2 3 当兄 0 ，使得( s n o ) e 一即 p ( 劈囝) e 一， 由上面的结论可知选举模型存在五的一个临界值允= l ，且有： 疋= i n f 2 ：p ( i 专ol 0 ) o 对所有的t ) = 1 在上、下临界时模型的性质有很大不同。 1 当名= 允= l 时，选举模型变为一种简单的情形：模型中占据z d 格点的人思 想都很“简单”，仅考虑邻居中持不同观点的人数来决定自己下一时刻的观点是否 改变，人们对于某种观点没有什么感情的倾向或喜好。 2 当五 允= l 时，模型中持+ 1 观点的人更容易影响持0 观点的人。 3 当旯：c 以时的情形一样，那么在讨论参数五时我们完全可以只考虑五以= l 时的情形。 对于空间的维数d 对模型的性质的影响有： 引理2 4 从任一处是状态a 出发，在d = l 和d = 2 时，选举模型将达到完全一 致的看法：在d 3 时，不同的观点可共存。 2 1 3 停时与停时定理 停时( s t o p p i n g t i m e ) 是一个不依赖于“将来”的随机时间，停时在会融领域 中也有着及其广泛的应用。例如，某投资者购买了一份美式期权，在期满之前( 包 括期满同当天) 的任何一个营业同都可以实施其权利，在n 时刻( 如第n 天) 投 资者是否实施期权，取决于该投资者对n 时刻所得到的信息的判断，而这个实施 期权的同期可以由一随机变量( 称为停时) 来刻画。下面，我们先来简单介绍一 下离散时问条件下停时的概念。 定义2 1 设随机变量f 在 0 ，1 ，2 ，+ ) 中取值， c ，疗o ) 为f 的单调不减子 盯代数序列，若对于任何疗0 ，有 f = 甩) e ， 则称f 是停时( 或称马尔可夫时间) 。 停时f 的等价定义如下： 定义2 2 设随机变量f 在 o ，l ，2 ，+ ) 中取值， c ，n 0 ) 为f 的单调不减子 盯代数序列，若对于任何n 0 ，有 p ，1 ) e ， 则称r 是停时。 后面我们将定义连续时问条件下的停时，其定义就是定义2 的推广形式。设f 关于 f ，n 0 ) 是一个停时，由f 所导出的盯代数定义为 c = a f ：ar 、 r 刀) c ，以0 ) ， 容易证明c 是，的子仃代数，它表达的是随机时间f 前的可能信息，因此称c 为r 前的子盯代数。设 以，刀0 ) 是一个适应于 c ，n 0 ) 的随机过程，则停m r 具 有如下性质： ( 1 ) r 是c 可测的，x ，也是co - i n 的； 9 ( 2 ) 设，f 2 是停时且乇，则有c 巴； ( 3 ) 设q ，吃是停时，则+ 乞， 2 = m i n r l ，乇) ，iv 吒= m a x z , ，吒) 都是停 时。进一步地，设 气) 是停时序列，贝t js u p t , ) ，i n f 气) 都是停时。 设 e ，n 0 ) 是一个适应于 c ，n 0 ) 的随机序列，r 是一个停时，则在时间f 的“停止 过程定义为 x ：( 彩) = t 。 。( 缈) ， 彩q ， 其中fan = m i n r ，n ) 。即在集合 f = _ ，) 上，我们有 x ：= 。x x j n , j i n n , j 看门。个停时的例子。 例2 1 确定时刻t = n 是一个停时，即在赌博已经丌始已确定，l 局之后一定结 束，很显然这是一个停时。 例2 2 ( 首达时) 鼍，刀0 ) 是一个随机变量序列，彳是一个事件集，令 t ( a ) = i n f n ，t a ) ，并约定t ( o ) = i n f n ，以a ) = 0 0 ，可见t ( a ) 是 x n ，z 0 ) 首 次进入a ( 即发生了a 中所含的事件) 的时刻，称t ( a ) 是 以，l 0 ) 到集合a 的首 达时，可以证明t ( a ) 是关于 以，靠0 ) 的停时，事实上 r ( 么) = 以) = x o 正a ，x i 诺彳，_ 己一l 萑a ，叉乙彳) 显然 t ( a ) = n ) 完全由x o ，x l ，以决定，从t ( a ) 是关于 以，n 0 ) 的停时。 定理2 1 设过程 以，n o ) 适应于 c ，以o ) ，且r 是一个停时，则停止过程 一，刀0 ) 与 e ，n 0 ) 也相适应，且若 以，刀0 是一个鞅( 上鞅或下鞅) ，则 一，r 0 ) 也是鞅( 上鞅或下鞅) 。 同离散时间的情形相同，在连续时间条件下停时也是个很重要的概念，下面 就对连续情形下的停时加以介绍。设 x ，t 0 ) 为已连续时间随机过程，随机变量 f r + u + o o ) ，f = 仃( 鼍，s f ) ，若对于任何t 0 ，我们有 i o p f ) c ， 则f 是关于，t 0 ) 的停时。 停时有以下基本特性：设，吃是关于嘏) 的两个停时，则+ 吒， a t 2 = i n f r , ，r 2 ) ，v r 2 = s u p r i ，2 ) 均是停时。特别地，若r 是一个停时，t 是一 个确定的时间，则r a t 是一个停时。而且，停时f 是关于c 可测的。下面我们给 出连续时间的停时定理。 定理2 2 ( 停时定理) 设 ，t 0 ) 是关于 f ，t 0 ) 的连续鞅，若停时f 满足 下述条件之一： ( 1 ) r 是有界停时； ( 2 ) e 愕i ，1 ) = 0 则我们有 e ( x ，) = e ( x o ) 2 1 4p o i s s o n 过程的基本概念 定义2 3 随机过程 m ，t 0 ) 称为计数过程，如果m 表示在时问区间( 0 ，t 】中 发生的某种事件( 因事件的发生为时间轴上的一个点，所以人们也把事件称作点) 的数目。因此，一个计数过程必须满足： ( 1 ) 取非负整数值； ( 2 ) 若s t ，则m m ； ( 3 ) m 在r + = 0 ，0 0 ) 上右连续且逐段取常数； ( 4 ) 对于s t ，i v ，全m m 等于时间( s ，t 】中发生的事件数。 说计数过程 m ，t 0 ) 具有独立增量，如果它在任意有限多个互不相交的时间 区间中发生的事件数相互独立说计数过程 m ，t 0 ) 具有平稳增量，如果在任意 时间区间中发生的事件数的概率分布只依赖于这区问的长度，而与其位置无关， 即对任意o f l 0 ，增量n i l f 2 和m 一 f 2 竹有相同的概率分布。 定义2 4 计数过程 m ，t 0 ) 称为强度( 或速率) 为五的齐次p o i s s o n 过程， 如果它满足下列条件： ( 1 ) p ( n o = 0 ) = 1 ( 2 ) 具有独立增量 ( 3 ) 对任意的0 s 0 ，如果 ( 1 ) n o = 0 ： ( 2 ) 过程有平稳与独立增量； ( 3 ) p ( m = 1 ) = 2 h + d ( ) ； ( 4 ) p ( m 1 ) = o ( h ) 定义2 6 计数过程 m ，t 0 ) 称为非平稳或非齐次p o i s s o n 过程，有强度函数 2 ( 0 ，t 0 ，如果它满足下列条件 ( 1 ) n o = 0 ( 即仍从时刻0 开始计数) ( 2 ) ，t 0 具有独立增量 ( 3 ) p ( m + ，一m 2 ) = o ( h ) ( 4 ) p ( + ，一m = 1 ) = 2 ( t ) h + o ( h ) 若令 聊( f ) = f 旯( s ) 凼 则可以证明 p ( n s t t n t = 哟 ：婴丛唑塑竺竺避坠业型篮，甩：o ，l 2 = - - - - - - 二二二一= i - _ n ! 即m + ，一m 具有均值为m ( t + j ) 一m ( t ) 的p o i s s o n 分布 1 2 非齐次p o i s s o n 过程的重要性在于不再要求平稳增量性，从而允许事件在某些 时刻的可能性较之另一些时刻来得大 当强度2 ( 0 有界时，可以将非齐次p o i s s o n 过程看作一个齐次p o i s s o n 过程的 随机取样具体说就是：设a 满足 2 c t ) a ，对一切t 0 且考虑一个强度为五的p o i s s o n 过程设此过程在时刻t 发生的事件以概率a ( t ) 五 被计数，则被计数的事件构成的过程就是具有强度函数五( f ) 的非齐次p o i s s o n 过程 定义2 7 称随机过程 z ，f o ) 为复合p o i s s 。n 过程，若z = 竺。磊，其中m 是p o i s s o n 过程， 色，刀1 ) 是独立、同分布的随机变量序列，且 f ，t 0 ) 与 繇，n 1 ) 相互独立 引理2 5 r - - 。幺为复合p o i s s o n 过程，则 ( 1 ) r 是一个独立增量过程； ( 2 ) z 的特征函数为 ( “) = e x p a t ( f ( “) 一1 ) ) 其中f ( “) ( 垒e e j f ，= 4 ：- f ) 是随机变量六的特征函数，名是事件的到达率； ( 3 ) 若e f 2 o o ，则e z = 砸孝，d z = 彳比鸳2 证明：( 1 ) 令0 t o f l 丽1 p 一2 一( i x - l o ) ( ( ，) ) 表示收益过程衄( f ) 的分布密度函数； 与盯2 分别是收益过程的均值和方差； l x - , u l 0 表示z 离中心位置充分远。 由此可知：与f 态分布相比，收益过程的分布密度在图像的两端趋近于0 的 速度明显要放慢。其图形较正态分布显得更加平坦。 1 主1 ( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式可得： 跏即珥1 + 娜 ，2 ， ( 2 9 ) h 。- 。7 一”lz v i ( 2 9 ) 式表明：如果给定收益过程a r ( t ) 和初始价格s ( o ) 则可以得到t 时的 价格s ( t ) 。 1 6 我们通过图表示来建立选举模型 4 - 5 。于组态空间q = o ，l z 。，选举人( 投票人) 持有“0 ”观点或“1 ”观点，令 善( s ) ，s o ) 表示支持1 ”观点的选举人的集合，i 孝( s ) i 表 示该集合中的人数， 孝( s ) ，j o 表示支持“o ”观点的人的集合。例如若x 善( s ) ， 则善( s ，x ) = 1 ，表示时刻s 位置工上的人持有“1 ”观点，同理若y 善( j ) ，则 孝( s ，y ) = 0 。选举模型系统服从以下规则m 5 1 ( i ) 若x 善( s ) ，则在位置j 上，以速率y ：卅。，1 1 舢咖。 ( y ) ，l ”观点改变 成“o ”观点； ( i i ) ( i i ) 若x 仨善( s ) ，则在位置x 上，以速率兄一，：，( 蹦) - i ( y ) ，“o 观点 改变成“l ”观点。 如果兄= l ，则称为( 普通) 选举模型，如果a 1 ，则称为有偏选举模型，本文 主要应用有偏选举模型的理论。设 巧川，珂1 ( 五j ，z d ) 为速率1i 鬟j p o i s s o n 过程， 川，7 1 1 ( 石，y z d ) 为速率a l ( 假设兄 1 ) 的p o i s s o n 过程。在时间7 ：州处， 我们从y 到x 画一个箭头并在x 处记一个万。在时间以t y 处，我们只是从y 到x 画 一个箭头。即在图上得到万卜和卜。在这个模型中，我们想象水流从底部丌始流 入整个结构，我们可以把这些万看成阻碍水流通过的堤坝，而把箭头看成是允许水 流通过的渠道，使得水流流向某个方向，图示如下： 艿 图4 选举模型的图表示 设在d 维格点z j 上被投资者占据( 一个格点上只有一位投资人) 。令 孝( s ) ，s o ) ( 或 孝a ( s ) ，j o ) ) 表示支持某一观点的投资人的集合，i 孝a ( j ) 表示该集 合中的人数，他们将根据邻居的观点而在一个随机的时间罩改变自己的观点，即 1 7 服从选举模型的转移系统。在本文中，假设不同区域( 例如不同城市) 在每天开盘 时会受到利好、利空或中立的市场消息，这些消息经过选举模型加以传播，从而 影响投资者的投资决策，进而影响股票价格的波动。我们考虑，个相互独立投资区 域，是一个随机变量且服从参数为y 的p o i s s o n 分布，假设每个小区域对该价格 指数的贡献不尽相同，针对每一个小区域根据其所占的比例给一个权重参数 层o = l ，2 ，i ) ，且有届+ 属+ + 屏= l 。设t = l ，2 ，t 表示交易的天数，令 f + l ，第t 天开盘收到利好消息，买进 g ( f ) = 0 ，第t 天开盘收到中立消息，既不买进也不卖出 i l ，第t 天丌盘收到利空消息，卖出 其中，p ( g ( t ) = + 1 ) = p ，p ( g ( t ) = 一1 ) = g ，p ( g ( t ) = 0 ) = l p g ，t 1 ，2 ，月) ， k ( 1 ) ，g ( 2 ) ，g ( 聆) ) 是独立同分布的随机变量序列。对于第f 交易同和第i 个区域，根 据选举模型定义如下函数 ( 巧) 卿酏) 掣 ( 2 1 0 ) 式中，r 表示第t 个交易同区域i 内的该股的总成交量，器( s ) 表示相应区域 内，s 时刻信息传播的状况。这里s o 0 ) 时刻的选择，主要是依赖某一交易同内 交易时刻的选择，例如可以令o s j ，s 一( s 一o ) 是一个固定的时刻。于是( 4 ) 表 示第t 个交易日、第i 个区域实施买卖的投资者占这一天投资总量的比例，这个数 值将影响股票价格的波动。因此，股票价格模型定义为t 6 - 8 1 器= e x p 喜( ) 扎 l 2 ，川 ( 2 1 1 ) 由式( 2 11 ) 推导得 s ( f ) = s ( o ) e x p ( o ) 。i ) ) ，f l 2 ，门) ( 2 1 2 ) 式中s ( o ) 为初始状态t = 0 时的股票价格，相应的s ( f ) 表示t 时刻的股票价格。 2 2 2股票价格模型的收敛性分析 在2 2 1 中，应用选举模型理论给出了股票价格过程的定义形式，在本节中将 继续应用选举模型和停时理论，研究所构造的股票价格模型概率分布的收敛性质。 首先给出选举模型临界值( 嘶t i c a lp o i n t ) ，五的定义4 - 引， 疋= i n f 名：p ( 1 孝( s ) i o ，协o ) o ) 在文献 4 】中，已经证明丸= 1 。根据文献4 。1 ，可以得到以下引理2 6 。 引理2 6 ( 1 ) 当五 o 使得p ( 善( s ) o ) e 一，即过程以指数速 率衰减； ( 2 ) 当五 五时，在o ( s ) o ，对于任意s o ) 上，几乎处处有 伊。( s ) 1 s _ 2 ( 旯一1 ) ( s 一) 。 推论2 1 对v s 0 ，当f 和s 冗分大时，对于给定0 0 ，有 ( i ) 当五 - 0 - 占 推论2 1 可由引理2 6 推导而得。 令彬= ( 碰) 下面将停时理论应用到股票价格模型的构造中。首先构造停时 一，吒，吒。 设 = m i n ；1 纠t i ) 1 ) ， 砭刊咄扎古。薹( 反) 1 ) ， 一州；击。警。( ) 卸 设每一个停时区间的转移速率五，存在气 0 ，定义 五= 凡+ 古( 丸一凡) ， 五= 矗+ 砉( 丸