（运筹学与控制论专业论文）最优性条件和全局优化方法.pdf

内容摘要 本报告提出了一些全局最优性条件和全局优化方法，共分为三章第一章讨论 了几类特殊优化问题的最优性条件第一节讨论凸规划中e - 最优解的序列拉格朗日 乘子条件，并由此得出精确解的序列拉格朗日乘子条件此外，本节还提出了新的 约束品性，并给出了凸规划问题在新约束品性下的全局最优性条件第二节介绍一 种新的求全局优化最优性条件的方法：l - 次梯度方法厶次梯度是一个函数集，该 函数集可能是一些非线性函数所组成的集合本节首先引入函数的l 次梯度和集合 的l 法向锥的概念，然后利用三一次梯度和l 法向锥来得到全局优化问题的一些充分 性条件，最后通过对二次函数的l 次梯度和集合n ：l o ，1 ) 的l 法向锥的全面刻画， 得到 0 ，1 ) 二次规划问题的全局最优性条件第三节继续利用l 次梯度和l 法向锥 来研究一些混合二次规划问题的全局最优性条件本节首先给出了具有箱子集约束 和二元约束的混合二次规划的一些充分性和必要性条件，然后给出了具有线性约束 的混合二次规划的一些充分性和必要性条件第二章讨论全局优化问题的单调化和 凸化、凹化第一节提出了新的单调化方法以将某种非单调规划问题转化成为等价 的单调规划问题第二节针对一类非单调优化问题给出了一种凸凹化方法以将这 类问题直接转化成为等价的凹极d , l n - j 题，反凸规划问题或经典d c 规划问题第三 章给出了全局优化中新的填充函数方法填充函数方法是求解全局优化问题的一种 重要的数值方法，迄今对于一般形式的无约束全局优化问题或箱子集约束全局优化 问题的填充函数方法已相对发展成熟本章将讨论求解约束全局优化问题的填充函 数方法及求解由箱子集约束的非线性方程组转化来的全局优化问题的填充函数方 法第一节通过将无约束优化的填充函数方法及约束优化的罚函数方法相结合，给 出一种新的填充函数来跳出约束全局优化问题的当前局部极小点，并由此给出求约 束优化问题全局极小点或近似全局极小点的填充函数方法第二节给出了一种基于 填充函数方法的全局优化方法来求解箱子集约束的非线性方程组根据与方程组等 价的全局优化问题的特殊结构，我们构造出了特别的填充函数 关键词：最优性条件，全局优化，单调化，凸化，凹化，填充函数方法，非线性方程组 中图分类号：0 2 2 4 ，0 2 2 1 2 a b s t r a c t t h i sr e p o r tp r o p o s e ss o m eg l o b a lo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dg l o b a lo p t i m i z a t i o n m e t h o d s i tc o n s i s t s o ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1d i s c u s s e st h eg l o b a lo p t i m a l - i t yc o n d i t i o n so fs e v e r a ls p e c i a lk i n d so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m s 。t h ef i r s ts e c t i o n o ft h i sc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h es e q u e n t i a ll a g r a n g em u l t i p l i e rc o n d i t i o n so ft h ec - a p p r o x i m a t es o l u t i o n si nc o n v e xp r o g r a m m i n g ，a n dt h es e q u e n t i a ll a g r a n g em u l t i - p l i e rc o n d i t i o n s o f e x a c ts o l u t i o n s a r e o b t a i n e d f r o m t h e s e o f e - a p p r o x i m a t es o l u t i o n s m o r e o v e r ，s o m en e wc o i l s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n sa r ep r o p o s e d ，a n ds o m eg l o b a lo p t i m a l - i t yc o n d i t i o n su n d e rt h ep r o p o s e dc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n sa r ep r e s e n t e di nc o n v e x p r o g r a m m i n g t h es e c o n ds e c t i o ni n t r o d u c e san e wm e t h o df o rg l o b a lo p t i m a h t v c o n d i t i o n s l - s u b d i f i e r e n t i a lm e t h o d l - s u b d i f i e r u e n t i a li sas e to ff u n c t i o n sw h i c h a r ep o s s i b l yn o n l i n e a rf u n c t i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so f 工s u b d i f i e r n e n t i a la n d 工n o r i n a lc o n e t h e ns o m es u m c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a lo p t i m a l i t ya r eo b t a i n e db ya p p l y i n gl s u b d l i f e r u e n t i a la n d 己n o r m a lc o n e f i n a l l y , w e o b t a i ns o m eg l o b a lo p t i m a l i t yc o n d i t i o n so f o ，1 ) q u a d r a t i cp r o g r a m m i n gp r o b l e m s b yt h ee x p l i c i td e s c r i p t i o n so ft h el s u b d i f i e r e n t i a lo fa u a d r a t i cf u n c t i o n sa n dt h e 一n o r m a lc o n eo ft h es e t ：l o ，1 ) t h et h i r ds e c t i o ns t u d i e st h eg l o b a lo p t i m a l - i t yc o n d i t i o n so ft h em i x e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gb ya p p l y i n gl - s u b d i f f e r u e n t i a l a n dl n o r m a lc o n ea g a i n i nt h i ss e c t i o n s o m es u f l i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rb o x - c o n s t r a i n e da n db i v a l e n t c o n s t r a i n e dm i x e dq u a d r a t i cp r o g r a m - m i n ga r ep r e s e n t e d a n dt h e ns o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o rl i n e a rc o n s t r a i n e dm i x e da u a d r a t i cp r o g r a m m i n ga r ep r o p o s e d c h a p t e r2d i s - c u s s e st h em o n o t o n i z a t i o n ，c o n v e x i f i c a t i o na n dc o n c a v i f i c a t i o ni ng l o b a lo p t i m i z a - t i o n t h ef i r s ts e c t i o np r o p o s e san e wm o n o t o n i z a t i o nm e t h o dt ot r a n s f o r ms o m e k i n do fn o n - m o n o t o n ep r o g r a m m i n gp r o b l e l l i si n t oe q u i v a l e n tm o n o t o n ep r o g r a m - m i n gp r o b l e m s a n dt h es e c o n ds e c t i o np r e s e n t sac o n v e x i f i c a t i o na n dc o n c a v i f i c a t i o n m e t h o dt ot r a i l s f o r ms o m ek i n do fn o n - m o n o t o n ep r o g r a m m i n gp r o b l e m sd i r e c t l y i n t oe q u i v a l e n tc o n c a v em i m m i z a t i o np r o b l e m s ，r e v e r s ec o n v e xp r o g r a m m i n gp r o l e m so rc a n o n i c a ld c p r o g r a m m i n gp r o b l e m s c h a p t e r3p r o p o s e sn o v e lf i l e d f u n c t i o nm e t h o d si ng l o b a lo p t i m i z a t i o n f i u e df u n c t i o nm e t h o d sa r eo n ec l a s so f i m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o i v i n gg l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s a n du pt o n o wt h ef i l l e df u n c t i o nm e t h o d sf o rg e n e r a lu n c o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o no r b o x - c o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o nh a v eb e e nw e l ld e v e l o p e dr e l a t i v e l y t h i sc h a p - t e rd i s c u s s e st h ef i l l e df u n c t i o nm e t h o d sf o rs o l v i n gc o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o n a n ds o l v i n gt h eg l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e l n sd e r i v e df r o mb o x - c o n s t r a l n e ds y s - t e r n so fn o n l i n e a re q u a t i o n s t h ef i r s ts e c t i o np r e s e n tan o v e lf i l l e df u n c t i o nt o e s c a p ef r o mt h ec u l t e n tm i n i m i z e ro ft h ec o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s b yc o m b i n i n gt h ef i l l e df u n c t i o nm e t h o di nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o na n dt h e p e n a l t yf 1 1 n c t i o nm e t h o d si nc o u s t r a i n e do p t i m i z a t i o n a n dc o n s e q u e n t l yp r o p o s e ag l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e do nt h ep r e s e n t e df i l l e df u n c t i o n t h es e c o n d s e c t i o ni n t r o d u e e sag l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e do nf i l l e df u n c t i o nm e t h o d s t os o l v eb o x - c o n s t r a i n e ds y s t e m so fn o n l i n e a re q u a t i o n s t h ef i l l e df u n c t i o nh e r e i sc o n s t r u c t e db a s e do nt h es p e c i a lf o r m u l a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gg l o b a lo p t i - i i i m i z a t i o np r o b l e mw h i c ha r ee q u i v a l e n tt ot h eb o x - c o n s t r a i n e ds y s t e m so fn o n l i n e a r e q u a t i o n s k e yw o r d s ： c l c ： o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，g l o b a lo p t i m i z a t i o n ，m o n o t o n i z a t i o n ，c o n - v e x i f i c a t i o n ，c o n c a v i f i c a t i o n ，f i l l e df u n c t i o nm e t h o d ，s y s t e mo fn o n - l i n e a re q u a t i o n s 0 2 2 4 ，0 2 2 1 2 i v 复旦大学博士后研究工作报告 第一章几类优化问题的最优性条件 优化问题的最优性条件在优化理论和算法中占很重要的地位本章讨论几类特 殊优化问题的最优性条件 1 1凸规划中c - 最优解的序列拉格朗日乘子条件 本节讨论凸规划中e _ 最优解的序列拉格朗日乘子条件，并由此得出精确解的序 列拉格朗日乘子条件此外，本节还提出了新的约束品性，并给出了凸规划问题在新 约束品性下的全局最优性条件 1 1 1 引言 考虑如下一般的凸规划问题： ( p ) m i a ，( z ) s t - g ( x 1 s z c 这里，：p x _ r u + o o 是真车半连续凸函数，sc 沙是闭凸锥，g ：珉，_ + e p 是g 凸映射，即关于锥s 是凸的ccx 是凸闭集令a = 和cl g ( x ) s ) 多数关于最优性条件的文献仅讨论优化问题取精确解时的情况，而现实问题中 存在很多要求求近似解的例子即使对于要求求精确解的问题，由于数据误差、算 法收敛性及计算精度限制等等因素，往往只能得到近似解因此研究近似解的最 优性条件是很有意义的点a a 称为问题( p ) 的c 最优解，如果对任意z a 成 立，( z ) ，( o ) 一，这里f 0 如果e = 0 ，那么问题( 尸) 的乒最优”即为精确最优 解，简称最优解文献 5 3 1 研究了一类特殊的凸规划问题的c 最优解，并在s l a t e r 类约 束品性下给出了 最优解的拉格朗日乘子最优性条件 约束品性是指优化问题的约束函数应该满足的性质迄今人们已经提出了各种 各样的约束品性一般来说，优化问题的最优性条件是在约束品性成立的条件下得 到的但是很多情况下，约束品性不能成立，这时怎样来建立最优性条件是很有意 义的问题最近文献 2 2 ，25 】对没有约束品性的凸规划问题给出了最优解的序列拉 格朗日乘子最优性条件本节给出了问题( p ) 的f 最优解的序列拉格朗日乘子最优性 条件，并提出了新的约束品性此外，对文献 5 3 1 所讨论问题给出了新的比s l a t e r 类 】 复旦大学博士后研究工作报告 约束品性弱的约束品性，且在此弱的约束品性下得到与【5 3 】中所给拉格朗日乘子最 优性条件相同的最优性条件令e = 0 ，则本节给出的最优性条件推广了文献 2 2 】所 给的条件，且与文献【2 2 】所给条件一致 本节主体部分结构安排如下1 1 2 给出了一些预备知识，1 1 3 给出了问题( _ p ) 的 序列拉格朗日乘子条件，1 1 4 讨论了一类特殊凸规划问题中的序列拉格朗日乘子 条件 1 1 2 预备知识 我们首先给出一些定义和记号设x 为自反巴拿赫空间，其连续对偶空间记 为x ，并且嵌入弱t 拓扑 对集合dcx ，其闭包记为c l d 如果acx ，那么表达式c l a 表示a 的弱+ 闭 包集合d 的示性函数而定义为 如c z ，= 0 。：蓁：i 三， 集合d 的支撑函数f f d 定义为盯口( u ) = s u p z 口豇( z ) 其法向锥( 口) 定义为 b c z ，= x l 口( y 一彳。，v 可。 雪：；三 给定0 ，则d 的争法向锥定义为 刍c z ，：= 口x ，i 口。：口( z ) + 耋：；兰 注意到当。d 时，成立刍( 。) = w x ：口( 矿一z ) s ，v y d ) ，设，：义- ru ( + o o ) 为真下半连续凸函数，则，的共轭函数广：x - ru + o 。，定义为 ，( ) = s p v ( x ) 一，0 ) i 。d o m f ， 这里，的定义城d o m f ，眭t d o m f = 如xl ，( z ) 0 ，我们有 a u ( x ) 一o t c ( a a o g ) ( z ) 对任何z x 因此，d ( 让，c ) e p i ( a o g ) + cue p i ( 幻) 故ue p i ( a g ) + 是锥 s + 占+ 对任何( l ，c 1 ) ，( u 2 ，c 2 ) ue p i ( 幻) ，存在a 1 ，a 2 矿使得 s + ( u l ，c 1 ) e p i ( a 1 9 ) ，( u 2 ，c 2 ) e p i ( a 2 9 ) + 因此，对任何z x 成立u l ( z ) 一e l ( a l 口) ( z ) 及让2 ( 卫) 一c a ( a 2 9 ) ( z ) 故x c f f ： 何a 【0 ，l 】，成立 a ( “l ( z ) 一c 1 ) + ( 1 一o l ) ( u 2 ( x ) 一c 2 ) ( o a l + ( 1 一n ) a 2 ) 9 ) ( z ) 对任何z x 于是， o ( l ，c 1 ) + ( 1 一血) ( 乱2 ，c 2 ) e p i ( o a l + ( 1 一) a 2 ) 9 ) + cue p i ( a 9 ) + s + 因此ue p i ( a g ) + 是凸锥 显然，e p i 略是闭凸锥因此ue p i ( 幻) + + e p i 昭是凸锥 2 。现在来证e p i 眩= c l ( ue p i ( a g ) + + e p i 略) s 十 首先我们有 e p i 螃 ue p i ( a 9 ) + e p i 昭， s + 又由印i 娃为闭集，我们有 e p i 眩3c l ( ue p i ( a 9 ) + e p i 蛄) a s + 事实上，对任何a s + ，( 札l ，c 1 ) e p i ( a 9 ) + ，( 2 ，c 2 ) e p i 蛄，成立 及 2 ( z ) 一c 2 5 c ( 。) ， 4 复旦大学博士后研究工作报告 这里z 为x 中任意元素因此对任何z a ，成立 u l ( x ) 一c 1 + u 2 ( x ) 一c 2 0 = 5 a ( z ) 故 e p i 嫒) ue p i ( 幻) + + e p i 娓 其次，如果a o ，那么( o ，- 1 ) 岳e p i 咳因此， ( o ，一1 ) 簪c l ( ue p i ( 幻) + + e p i 昭) x c & 何0 , o ，c o ) 聋e l ( ue p i ( a 9 ) 。+ e p i 略) ，令b 为连接( o ，1 和( 钍o ，c 0 ) 的线段，即 a b = ( 1 一o ) ( o ，- 1 ) + a ( u o ，c o ) io l 1 0 ，1 m 那么，我们有 b n c l ( ue p i ( a 9 ) + + e p i 娓) = d a e s + 事实上，如果存在a ( 0 ，1 ) 使得 a ( u o ，c o ) + ( 1 一o ) ( o ，一1 ) = ( a “o ，a c o 一( 1 一a ) ) c l ( u e p i ( a g ) + + e p i 略) 那么，由于 o ) r + cc l ( ue p i ( a 9 ) + e p i 昭) ( 由 o ) s + ，0 r + ce p i ( 叻) a e s + 和( o pce p i ( 配) 得知) 及c l ( ue p i ( a g ) + + 印i 略) 为凸锥，我们有 s + ( o u o ，“c 0 ) = ( o 让o ，口c 0 一( 1 一n ) ) + ( o ，1 一n ) c l ( ue p i ( a 9 ) + + e p i 娓) a e s + 因此 ( 钍o ，c 0 ) c l ( ue p i ( a 9 ) + + e p i 蛄) ， 于是得出矛盾 由汉恩一巴拿赫分离定理，存在( z ，卢) x r ，( z ，卢) 0 使得 q ( o ( z ) + c o z ) + ( 1 一n ) ( o ，一1 ) ( z ，p ) = a ( u o ( x ) + c o 卢) 一( 1 一) 卢 o ，饱 0 ，1 】 和 s u p( u ( x ) + c 卢) s0 ( “，c ) d ( 乩s + e p i ( 9 ) + e p i 略) 5 复旦大学博士后研究工作报告 令a = 0 ，我们得到卢 0 2 s u p ( u ( x o ) 一c ) ( ，c ) d ( u e s + e p i ( 蛔) _ + e p i 略) 因此，成立( u o ，c o ) 聋c l ( ue p i ( 幻) + + e p i 略) a e s + 于是，如果a o ，那么 e p i 眩= c l ( ue p i ( 幻) 4 + e p i 皓) a 6 s + ( i i ) = e p i ( f + “) = c l ( e p if + e p i 嫒) ，由( i ) ，我们有 e p i ( ，+ 以) + = c l ( e p i ，。+ c l ( ue p i ( a g ) + e p i 略) ) a e s + = c l ( e p i ，。+ ue p i ( a 9 ) + e p i 略) a e s + 引理1 1 2 3 r 参见剐设 g 为下半连续凸函数，如果e p if + e p ig 是弱+ 闭的，那么对任俄20 ，成立 岔( ，+ 以) ( o ) =u ( 以。，( 口) + 。：以( 。) ) 芝：；嚣 1 1 3序列拉格朗日乘子条件 引理1 1 3 1 a a 为问题( p ) 的e 一最优解当且仅当 ( 0 ，- f ( a ) + e ) e p i ( f + 5 a ) 证明a 为问题( p ) 的一最优解当且仅当。为函数( ，+ 以) ( z ) 在x 上的p 最优解， 即当且仅当对任何z x 成立( ，+ 以) ( z ) ( ，+ 以) ( o ) 一e 因此，a 为问题( p ) 的c _ 最 优解当且仅当0 c o 。( f + 以) ( o ) ，即对任何。x ，成立 ( ，+ 6 a ) ( 茁) ( f + 以) ( n ) 一e = f ( a ) 一e 因此，由引理1 1 2 1 ，我们有a 为问题( p ) 的一最优解当且仅当 ( 0 ，- f ( a ) + f ) e p i ( f + 以) 如下定理给出了刻划( p ) 的e 最优解的序列拉格朗同乘子条件 6 复旦大学博士后研究工作报告 定理1 1 3 1 。设口a nd o r a f 点。是问题( p ) 的e 最优解当且仅当存在序列 e n ， ， 白) cr ， h ) cs + ， “。) ， ) ，( 撕jcx 7 ， 其中让n 馥。，( 8 ) ，v n 日h ( a 。夕) ( 口) ，i o n 、l 争( o ) ，使得 + + 叫- - 4 0 ，当n o o 且 ，觋( + + 厶一( a n 夕) ( o ) ) = 证明“= 净”设口是问题( p ) 的最优解由引理1 1 3 1 ，我们知道 ( 0 ，一，( ) + e ) e p i ( ，+ 以) 又由引理1 1 2 2 e p i ( ，+ 以) = e l ( e p i ，+ + e p i 眩) = e l ( e p i ，+ + ue p i ( a 9 ) + e p i 略) s + 因此，存在序列 ，ce p i 广+ ue p i ( a g ) + + e p i 昭使得 1 2 u 面n - + o 且磊_ - ( a ) + 6 于是存在序列 k ) c 舻， ( 让。，) ) ce p i ，( ( ，风) ) c ( a 。9 ) + 及 ，饰) c e p i 昭使得 乱n + + w n = _ 0 及+ 风+ = 毛_ 一，( o ) + e 当n - o o 由 e p i ，+ = u “让，乱( o ) + e 一，( o ) ) iu 铰，( ) ， 0 e p i ( a g ) + = u “让，( ) + 7 7 一( a g ) ( o ) ) iu 岛( 幻) ( 口) ) 町o 及 e p i 酷= u ( ，钉( n ) + ( ) ft ，0 r i d ) ， ( 0 存在序列( 岛 ， 伽) ，( 白 c 使得 让n 反。( a ) 及= ( n ) + 一，( o ) ( a n 9 ) ( o ) 及风= ( n ) + 一( a 。9 ) ( o ) 如( 8 ) 及= w 。( n ) + 厶 7 复旦大学博士后研究工作报告 于是 o l n + 风+ = ( 。+ + 。) ( o ) 一f ( a ) 一( ) t n g ) ( a ) + ( + + 厶) 令n 斗o o ，我们有 - f ( a ) + e = l i m ( c + 风+ 7 - ) = - l ( a ) + ) i m ( + 7 h + 靠一( a 。g ) ) ( n ) ) y l , - - - 0 0，r 因此。 。l _ i m o 。( e n + 仉+ 厶一( a n 9 ) ( 回) = f “乍”反过来，设存在序列 ) ， ) ， 厶) cr + ， h cs + ， u 。) ， ) ， 撕jcx ， 其中仳。玩。，( o ) ，v 。鼋。( a 。g ) ( o ) ，w n 学( o ) ，使得 u n + + w n - - + 0 ，当n 斗o o 及 l i m ( f n + + 白一( a 。g ) ( o ) ) = e 令z 为a 中任意元素，由争次微分和膪( o ) 的定义，对任意正整数n ，成立 ，( z ) 一，( o ) u n ( 茹一8 ) 一岛 ( a 。g ) ( z ) 一( a 。9 ) ( o ) t k ( z a ) 一目。， 0 埘。( z a ) 一 。 将这些不等式相加，我们得到 ，( z ) 一f ( a ) ，p ) 一f ( a ) + ( a 。g ) 0 ) 一( a 。9 ) ( 。) + ( a 。g ) ( ) ( 世。+ 牡。十z ) ( z a ) 一( + 哺。+ 厶一( 凡；g ) ( o ) ) 令佗_ ( 3 0 ，我们有，( z ) 一i ( a ) 2 一 推论1 1 3 1 设n a n d o m f 则n 为问题( 尸) 的精确最优解当且仅当存在序 列 e 。) c u ， a 。) cs + ， 乱。 ， t k ， 切。 cx 7 ， 其中u 。展。，( 口) ，v n 岔。( a 。9 ) ( n ) ，w 。孑( o ) ，使得 乱n + + 加。0 且 - 0 ，( a 。g ) ( n ) 一0 当礼- o o 8 复旦大学博士后研究工作报告 证明令= 0 由定理1 1 3 1 ，口是问题( p ) 的最优解当且仅当存在序列 ) ， ， 厶cr + ， k ) cs + ， u 。) ， ) ， 伽。) cx ， 其中仳。扶。，( 。) ，a = 。( a 。口) ( o ) ，w n 堙( o ) ，使得 + + - 0 ，当 _ + 0 0 且 1 i m ( + + 厶一( a 。夕) ( n ) ) = 0 n 由 ) ， 仉) ， 厶，c 0 及( a 。9 ) ( d ) 0 ，我们有 。l 。i r a 。e , , 2 墨恐锄。，i 璁i 白= 。l + i r a 。( a n g ) ( ) = 0 令= m a x ( c a ，啦，岛 于是当礼- 。o 时成立岛- - 4 0 ，且。绣。，( ) ， 良。( k 9 ) ( 8 ) ， t ) n 盼( o ) - 定理1 1 3 2 令o a a d o mf 设集合e p if + + ue p i ( a g ) + e p i 皓是弱+ s + 闭的，则n 是问题( p ) 的e 一最优解当且仅当存在 使得 且 ， 7 ，( r 斗，a s + 0 旌，( o ) + 岛( a g ) ( 吐) + 畦( a ) e + 卵+ 一( a g ) ( = e 证明由引理1 1 3 1 ，o 是问题( p ) 的- 最优解当且仅当( o ，- f ( a ) + e ) e p i ( f + 以) + t 蜾e p if + ue p i ( a g ) + e p i 略是弱闭的，由引理1 1 2 3 ，我们知道 s + e p i ( ，+ 以) ( 口) = e p i ，+ ue p i ( a g ) + e p i 略 s + 因此，如果a 是问题( p ) 的e _ 最优解，那么存在a s + ，( i t , o t ) e p if ，( 口，卢) ue p i ( a 夕) 和，7 ) e p i 瑟使得 s + 。 0 = 乱+ 口+ 埘且a + p + r = 一，( o ) + 由 e p i f + = u ( “( n ) + s 一，( o ) ) f 乱绣，( o ) ， 9 e p i ( a g r = u “u ，( o ) + 叩一( a g ) ( o ) ) l 牡岛( k 9 ) ( n ) 叩o 及 e p i 略= u 扣，口( o ) + ( ) l ”圣c 珐缸) ， ( 0 存在e ，r ，( 0 使得 因此 o j ( a ) 且口= 乱( n ) + e f ( a ) 岛( a 9 ) ( n ) 且卢= v ( a ) + 叩一( a 9 ) ( o ) 叫岛如( n ) 且7 = w ( a ) + ( 一s ( a ) + e = a + 卢+ ，y = 牡( o ) + v ( a ) + w ( a ) 一，( d ) 一( a 9 ) ( o ) + e + 叩+ ( = 一，( 口) 一( a g ) ( a ) + e + 叮+ e 于是，e + 卵+ e 一( a g ) ( a ) = 反过来的结论由定理1 1 3 1 易得 - 注1 1 3 1 条件“集合e p if 。+ ue p i ( 幻) + e p i 略是弱闭的”可被看作 针对问题( p ) 的新的约束品性 艋计 推论1 - l 3 2 如a n d o r a ，设集合e p if 4 + ue p i ( 幻) + e p i 好是弱， 闭的则n 是问题( p ) 的精确最优解当且仅当存在a 叠霉谴得 0 o f ( a ) + o ( a g ) ( a ) + l v 0 ( ) 且( a 9 ) ( 口) = 0 证明令e = 0 由定理1 1 3 2 ，我们知道口是问题( p ) 的精确最优解当且仅当存 在 e ，町， 一 c i i 蛞 p e 略 e + ， c ： 。芦 十 r吼q印 ，州 u 一 d | l 蛞 p e 复旦大学博士后研究工作报告 及 ， 吒) ， 叫。 cx 7 ，i = 1 ，p ， 这里a m c a ) ，( a ：吼) ( n ) ， 学( n ) ，使得 且 乱。+ 以+ + 口- 0 ，当n - o o 。1 i r a 。( + 斑+ 厶一( a ：吼) ( a ) ) 证明由引理1 1 3 1 ，8 为问题( p 1 ) 的e 最优解当且仅当( 0 ，一，( o ) + e ) e p i ( ，+ 砖) + 由引理1 1 4 1 及定理1 1 3 1 的证明，可知存在 h ) ， 壤 ，( 厶 ， 镌，cr + ，江1 ，p 及 嵋) ， 哆) cr ，j = 1 ，m ， ， 畦 ， 甜。) cx ，i = 1 ，p 这里“n 馥。，( 。) ，i ( a ：吼) ( ) ，( 聍霹，哼) ，孵( 。) ，使得 这里2 ( 所，觞) 由于对任何j = 1 ，m ，( 吩n 吩7 ，哼) 咳，故叮以6 j = 嵋醪( 。) 于是，凳。( 哆一心霹( n ) ) 0 因此， 墨恐( + 壤+ n n 。o 一 。l i r a o o ( e - - k 。+ 喊+ 厶 n o o 一 p ( a 觏) ( 口) ) l ：l 芦m ( a 缸) ( n ) + ( 哼一心譬( 。) ) ) ；= l 3 = 1 定理1 1 4 2 对问题( p 1 ) ，令o snd o r a ，设集合 1 4 1 、n 当 o斗 h0 8+ 吐 m 谢 + i l n 叫+ 蛩 如 。硝 卜 吃 m 烈 + f i 野如 一 哆 。础 + 吼磕 ，耐 一 厶 + 磕 。烈 + n0 熙 且 复旦大学博士后研究工作报告 是弱+ 闭的则口是问题( p ) 的e 一最优解当且仅当存在 使得 且 f ，琅，( ，九，i = 1 ，p ，r + ，p r ， 一b t p a ，( o ) + ( 九吼) ( 。) + 莒( 8 ) t n e + 付( 一( a 。矶) ( n ) se 证明由定理1 1 3 2 的证明和引理1 1 4 1 ，如果集合 e p i ，+ u ( e p i ( a 。吼) + + q 乇) + e p i 略 2 0 ，e i b , l = lj = l 是弱闭的，那么。是问题( p ) 的f - 最优解当且仅当存在 使得 即 e ，准，e ，a 。r + ，i = 1 ，p ，i ， 0 馥，( ) + ( 九吼) ( 。) + 哟( 。) + b t 似 一b t p 4 ，( o ) + 6 l h ( a 。9 4 ( n ) + 唾( n ) ， 且 m e + 叩+ e 一( 九吼) ( o