（计算数学专业论文）广义变分不等式理论及其若干问题.pdf

广义变分不等式理论及其若干问题 ab s t r a c t t h e t h e o ry o f v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y h a s b e e n w e ll d e v e l o p i n g b e c o m e o n e o f v e ry e f fi c i e n t m a t h e m a t i c a l m e t h o d s . n o w a d a y s p o rt a n t r o l e i n t h e s t u d y o f a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s a r i s i n g i n 1 s i n ce 1 9 6 0 s a nd i t p l a y s a n i m - a n d e n g i n e e r i n g s c i e n c e s . b e c a u s e t h e t h eory o f v a r i a t i o n s l i n e q u a li t y c a n p r o v i d e p eop l e w i t h a s i m p l e a n d n a t u r al f r a m e w o r k f o r t h e r e s e a r c h o f u n r e l a t e d li n e a r a n d n o n li n e a r p r o b l e m s . i n t h i s t h e s i s w e f u r t h e r s t u d i e d s e v e r al mix e d t y p e v a r i a t i o n al i n e q u a li t i e s a n d v a r i a t i o n al i n c l u s i o n s p r o b l e m s . f i r s t l y , 勿 u s i n g a u x i l i a r y p r i n c i p l e t e c h n i q u e , w e p r o v e d t h e e x i s t e n ce a n d u n i q u e n e s s t h eor e m o f s o l u t i o n f o r t h e g e n e r a l i z e d s t r o n g l y n o n li n e a r s e t - v al u e d v a r i a t i o n a l - l i k e t y p e i n e q u a li t i e s p r o b l e m i n a h i l b e rt s p a ce a n d p r o p o s e d i t e r a t i v e al g o r it h m f o r c o m p u t i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s . s e c o n d l y , 勿 d e f i n i n g a n e w a u x ili a ry v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y , w e e s t a b l i s h e d a m o r e g e n e r al i t e r a t i v e a l g o r it h m f o r s o l v i n g t h e m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n al - l i k e i n c l u s i o n s p r o b l e m i n a r e fl e x i v e b a n a c h s p a c e a n d g a v e i t s c o n v e r g e n ce a n al y s i s . t h i r d l y , w e s t u d i e d t h e g e n e r a l i z e d m i x e d i m p li c i t q u a s i - i l - v a r ia t i o n al i n e q u a li t i e s p r o b l e m i n a h i l b e rt s p a c e . b y s u g g e s t i n g a n e w a u x i li a r y p r o b l e m , w e c o n s t r u c t a n d a n al y z e a n a l g o- r i t h m f o r s o lv i n g g e n e r a l i z e d m i x e d i m p li c i t q u a s i - q - v a r i a t i o n al i n e q u a li t i e s p r o b - l e m. f i n a l l y , u t i li z i n g t h e al t e r n a t i v e e q u i v al e n t f o r m u l a t i o n b e t w e e n g e n e r al m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n al i n e q u a l i t i e s p r o b l e m a n d i m p li c i t fi x e d - p o i n t p r o b l e m, w e e x t e n d e d n o o r s p r e d i c t o r - c o r r e c t o r i t e r a t i v e al g o r i t h m t o d e v e l o p t h e n e w m o d i fi e d it e r a t i v e al g o r i t h m f o r s o l v i n g g e n e r al iz e d m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n al i n e q u a li t i e s p r o b l e m i n a r e al h i lb e rt s p a c e a n d d i s c u s s e d t h e c o n v e r g e n ce c r i t e r i a o f t h e i t e r a t i v e s e q u e n ce g e n e r a t e d妙 o u r al g o r i t h m . o u r r e s u l t s i m p r o v e d a n d g e n e r a l i z e d s o m e p r e v i o u s l y k n o w n r e s u l t s . ke y w o r d s : v a r i a t i o n al i n e q u a li t i e s , v a r i a t i o n al i n c l u s i o n s , e x i s t e n ce t h eor e m 广又变分不等式理论及其若干问 题 c o n v e r g e n c e a n a l y s i s , i t e r a t i v e a l g o r i t h m , k k m t h e o r e m v a l u e d m a p p i n g , h i l b e r t s p a c e , b a n a c h s p a c e , d u e l s p a c e r e s o l v e n t o p e r a t o r , s e t - 论文独创性声明 本文是在我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文除了 特 别加以 标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构己 经发表或撰写的研究成果。 其他人士对本文的启发和所作的贡献均已 在论文中作了明 确声明和感谢。 作者签名: 日期: 论文使用授权声明 本人完全了 解上海师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即:学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部内容或 部分内容，可以 影印，缩印或其他手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规 定。 作者签名: 尸户 口叮， 导师签名: 日期: pr e f a c e 0 . 1 中 文引言 1 . 变分不等式理论的发展概况 我们现在所熟悉的 变分不等式起源于 g u d i o s t a m p a c c h ia 的 一篇论文以 及稍后 由 他 与 j a c q u e s - l o u is l io n s合 作的 另 一 篇 论 文( 参 看 文 献1 . 价 ) . 这 两 篇 论 文 发 表于六十年代中期。由于变分不等式可以为许多线性，非线性问题提供一个统一 的研究框架，使得它在许多领域中得到越来越多的重视和广泛应用，如:力学， 物理学，优化与控制，运筹学，非线性规划，经济学，机械工程等方面 ( 见文 献!3 - 2 0 ) ，成为目 前最有效的 数学方法之一。因此，自 上个世纪中 期以来变分 不等式理论就成为一个重要的研究课题。至今，仍然是国际上非常活跃的研究分 支。 举一 个 经典 变 分问 题的 例 子， 即 物 理 学中 的“ 障 碍问 题”( 见 4 1 ) : 设 q表 示 。 维 欧氏 空间的 一个 有界开 子 集， r 表示其边界， a ( u , v ) 为连续 双线 性 型 ， 且 满 足 a ( u , 的全 a liv 112 a 0 . h o ( q ) 表示由 所 有 这 样的 。 e l 2 ( s 2 ) 所 组 成 ， 它 的 广 义 导 数 为 爵l i = 1 , . . . , 。 仍 属 于 l 2 (q ) ， 且 它 在 边 界 r 上 的 迹 为 零 ， 规 定 其 范数为 iiv iih j (n ) 对给定的集合几 与障碍函数w 等于lp 的函 数u 所组成的锥上， 一 (ilv llv (n ) + e ii黝 l2(o )i 任 h i ( 卿， 要 在属于 h o ( 卿且 在 iz 中 几乎处处 大 于 或 求d i ri c h l e t 积分极小。最小化的u j . n 。及其研究小组应用拟变分不等式解决了磨擦问 题:k . a . iv l a l l a 等人也应用 拟变分不等式解决了晶体管问题等。 另外，在非线性泛函中，由于次微分概念的建立，特别是各种次微分概念的引 入，使得许多与次微分有关的多值非线性微分方程与相应的变分不等式等价。这 样， 人们可以利用已有微分方程的结果去解决一些变分不等式解的存在与唯一性 问 题; 更重要的是，以变分不等式为桥梁，人们发现许多多值非线性微分方程与 具 有自 由 边界 和 移 动 边界的 偏 微 分 方 程问 题 紧 密 相 关 ( 见 7 - 1 2 1 ) ， 而 这 些方 程 覆 盖了大量有具体物理背景的实际问题. 近年来，变分不等式理论己朝各种不同的方向推广和拓展.如从早期的数量值 变分不等式到近年来的向量值变分不等式;而数量值变分不等式又根据实际问 题 的需要分为广义变分，拟变分，广义拟变分，隐拟，似拟变分以及各种混合变分 不等式，变分包含和补问题等等.人们利用各种方法来试图寻求这些变分不等式 问 题的 解 和 近 似 解， 取 得了 许多 令 人 可 喜的 成 果( 可 参 见【1 3 - 2 0 1 ) . 2 . 本文的研究动机 变分不等式理论中一个重要而困难的问题是对各类变分不等式如何发展可 广义变分不等式理论及其若千问题 行而有效的算法。为此，一直以来人们都在作着积极的探索和不懈的努力， 创造出各种不同的方法与技巧，如:投影法， wie n e r - h o p 仿程法，辅助原理 法，n e w t o n下降法及预解算子方程法等。其中最有效的方法莫过于出现在二 十世 纪七十年 代的 投 影法 ( 见!2 1 - 2 4 1 ) 以 及 它的 各种 推广形式( 见2 5 - 到) 。 例 如: 1 9 8 5 年， n o o r 在!3 9 1 中就利用投影法研究前述拟变分不等式( 0 . 1 .2 ) ，由 r i e s z - f f 4 c h e t 理 论有 a ( u , v ) =( t u , v ) , 然后 构造算法 u n + i =八( %一 p ( t %一f ) ) ( 其 中p k 为投影算子) 获得近似解。 1 9 9 0 年， s i d d iq i 和a n s a r i 在!州中进一步应用 投影法研究了非线性强拟变分不等式 ( n o o r 在国 的问 题成为它的特例):求 解 u k ， 使得( t u , 。 一 动2扭。 ， ” 一 动 ， 其中 t , a: h*h是 非线性算 子. 之 后， z e n g 在14 1 1 中 又改 进了 s id d i q i 和a n s a r i 的 收敛性结论。 但是，投影法过分的依赖h i l b e rt 空间的内 积结构，而且它的收敛性分析往往要 求算子强单调且l i p s c h it z 连续，从而大大影响了 它的 适用范围。 例如:带有非线 性项试 , ) 的 一 般混 合拟 变分 不等式问 题: + w ( g ( v ) , g ( u ) ) 一 w ( g ( u ) , g ( u ) ) _ 0 , ( 0 . 1 .3 ) 这类问题常产生于经济，交通，结构分析，多孔介质中液体渗流的平衡等 ( 参 见 1 8 , 4 1 , 4 2 , 剑).可是，由于非线性项试， .) 的出现，人们难以 利用投影法 去构造解的迭代算法。为了克服诸如上述困难，解决更广类型的变分不等式 问题， 人们不断 地探索新的 方法和技巧. 1 9 8 1 年， g lo w i n s k i ( 见!6 周 ) 引 入不依 赖投影的 辅助 原理技巧， 后来 c o h e n , c h a n g 及 d i n g ( 见 4 4 - 4 8 1 ) 又对其 做了 进 一步发展，用来研究一些推广的变分不等式和相补问 题的解的存在性，井得 到大量的数值方法，例如:自反b a n a c b 空间的混合变分不等式问题、一致光 滑s a n a c h 空间上带有二增生算子的集值变分包含问题等等;1 9 9 4 年，h a s s o u n i 和 m o u d a fi( 见囚 ) 提出 使用极 大单调 映 象的 预解算子来研究一类新的 单值映射 的混合变分不等式;2 0 0 3 年， n o o r 又利用预解算子方程，对一般混拟变分不等式 问 题 构 造了 p r e d i c t o r - c o r r e c t o r 迭 代 算 法 等 ( 见 !4 9 - 5 0 ) ) 。 研究各种不同类型的变分不等式解的存在性以及相应的近似解算法，不仅能使 变分不等式理论本身向 纵深发展， 而且还能促使变分不等式从解决障碍问 题， 水 坝问 题，弹塑性扭转等经典问 题逐渐应用到其它诸如生态，控制，规划等领域， 广义变分不等式理论及其若干问题 极具现实意义。受到前面的这些作者的启发和鼓励，本文主要运用辅助原理技巧 和预解算子方程法对广义混合型变分不等式及变分包含问题做了进一步的研究， 并得到了一些成果。 3 . 本文工作概述 本文在前人研究的基础之上做了如下工作: 1 . 第二章，研究h i l b e rt 空间上一类广义集值强非线性混似变分不等式问题: 求 解 。 h , 二e t ( u ) , ， a ( u ) 满 足 ( n 恤， ， ) ， ” 加 , 9 恤 ) ) ) + b ( g ( u ) , v ) 一 勿 ( 动, g ( u ) ) _ 0 , v v e h . ( 0 .1 .4 ) 其中映射 n , p: hxhy k, g: h h及t , a : h - + c b ( h ) 。注意到 当 g -i 时 ， 上述问 题即 为 h u a n g 和 d e n g 在5 4 中 的问 题 ( 2 . 1 ) e 所以 本 文的问 题 是 对h u a n g 和d e n g 5 4 中问 题( 2 . 1 ) 的 推 广. 首 先， 通过l i u a n d l i 在 5 司 中的 定 理， 即本文定理 2 . 1 : 设算子 n ( , ) 是关于第一变量 l i p s c h it z 连续的，具常数 a0 ; 若 t是 h - l ip s c h i t z 连 续， 具 常数 w 0 ， 且 关 于 算 子 n ( , . 的 第 一 变 量是 单 调 的 卜 又 对每 个 固定的 。 eh ， 有i n t d ( n ( t ( . ) , u ) ) # 0 ; 则 n ( t ( . ) , u ) 在i n t d ( n ( t ( - ) , u ) 内 不可能 是多 值映 象。 我们指出， 对上述广义 集值强非线性混似变分不等式问 题， h u a n g 和 d e n g 在!5 4 】 中 的 定理 4 . 1 的 映 射 t 事 实 上 是单 值的， 而非 集 值。 也就是 说 h u a n g 和d e n g 在踌 司 中的问题并非真正意义上的广义集值强非线性混似变分不等式问 题。 其次，利用辅助原理技巧，我们对h i lb e r t 空间上这类广义集值强非线性混似变 分不等式问 题引入一类辅助变分不等式。利用这一辅助形式，应用本文的引理2 . 1 和引理2 .2 我们证明了广义集值强非线性混似变分不等式问 题解的存在唯一性即: 本文定理2 .2 ;并且构造了 广义集值强非线性混似变分不等式问题的迭代算法2 . 1 : 在假设映象 9 : h一 h是强单调， 且 g ( o ) =。 及从弱拓扑到强拓扑连续的 条件 下，我们讨论了算法2 . 1 的收敛性，给出本文定理2 . 3 . 显然，本文研究的广义集值强非线性混似变分不等式问题i 和相应的辅助 问 题 i i 包括了 h u a n g 和 d e n g 在 5 4 ! 中 的 广义集值强 非线性混似变分不 等式问 题 广又变分不等式理论及其若干问题 和对应的辅助问题，所以本文对这一类问题给出的算法更具一般性;同时，本 文对算法的收敛性分析中，即:收敛性定理 2 .3 ，一些系数如p , k 的取值要求也 不同 于 h u a n g 和 d e n g 在!叫中 的收敛性定理 4 . 1 ; 另 外， 本文的结果实际 上也是 对n o o r 在5 6 中 结果的 改 进. 2 . 第三章，本文首先借助fte c h e t 微分给出一类新的辅助变分不等式，用以研 究自反b a n a c h空间上一类混合似拟变分包含问题: ( n ( t u , a u ) 一m * , n ( v , u ) ) +cp ( v , u ) 一w ( u , u ) - 0 , v v d. 其中 d为自反b a n a c h空间 b 中非空闭凸子集， w e b ，以及双元泛函 (p : bx b*( - o o , + o o ， 映射 t , a: d、b , n: b x b 、b , ， : dx d*b e 其次，我们证明了辅助变分不等式解的存在、唯一性即:本文定理3 . 1 .利用 这一辅助形式，构造了 近似解的迭代算法3 . 1 ，并讨论了算法的收敛性。 d i n g 和 、 a 。 在!6 3 中 对同 样问 题的辅助形式是本文辅助形式的 特例，因 此本文 对这类问 题提出的 算法比 d i n g 和 y a o 在6 3 的 算法 3 . 1 更具一般性; 在辅助问 题的 证明 方 法 上 也 完 全 不同 : 我 们 主 要 采 用了 c h a n g 5 7 中 的 定 理， 即 本 文的 引 理 3 .1 , 而 d i n g 和 y a o 在6 3 】 中的证明 方 法主要基于 k k m技巧; 最后我 们给出 算法的 收敛 性定 理即: 本文的 定 理 3 .2 ， 也与 d i n g 和 y a o 在 佑 司 中的 收 敛 性定 理 3 . 1 有所 差别， 体现在收敛条件里的 p 取值范围 不同. 3 . n o o r 等在文 1 9 , 8 6 , 8 7 ! 中曾 多次 提到: 如 何把辅助 原理技巧推广到用于 解 决 拟变 分 不 等式问 题 是 一 个 未 解 决的 难 题。 l u o 7 8 , d i n g 8 8 , z e n g 8 9 】 等已 成 功 地解决了n o o r 多次提及的这一公开难题。 本文第四章继续这一难题的研究，引入 一 类以 l u o 7 8 】 中的 隐 拟 h 变 分 不 等式 为 特例的 广 义混合隐 拟一 ， 一 变分 不等式问 题: 求 解 x h , 。 e t ( x ) , v a ( x ) , ， 满 足 9 ( 二 ) e k ( x ) ， 使 得 ( n ( v , v ) , n ( 7! , 9 ( x ) ) ) ? b ( 9 ( x ) , 9 ( x ) ) 一 b ( 9 ( x ) , u ) d ， k ( x ) , 其中 ， k为 h - + 萝 的 集 值映 象， k ( 幻为 或 h ) 中 的非 空闭凸 子 集。 在 许多 重 要 的 应 用中， k ( 劝具 有下 面 的 形 式: k ( x ) =二 ( x ) 十 k , d x e h ， 其中 二: hh 为单值映射。 广义变分不等式理论及其若干问题 我们首先引入辅助问题:对固定的 x e h , u e t ( x ) , v e a ( x ) ，求解 w = 。 ( 二 ， 。 ， 。 ) ， 及 夕 ( 。 ) 任 k ( 二 ) ， 使得 ( 9 ( w ) 一 9 ( x ) , n ( y , 9 ( w ) ) ? - p ( n ( u , v ) , + l ( y , 9 ( w ) ) ) + p b ( 9 ( x ) , 9 ( w ) ) 一 p b ( 9 ( x ) , y ) v ， k ( x ) 其中 映 射n , ， 为: hx hh， g : h - h , t , a 为: h c b ( h ) 的 集值映 射. 注意 到若 n ( y , 9 ( w ) ) = h ( ， 一 9 ( w ) ) ， 上 式即 为 l u 。 在! 7 8 中 对类 似问 题的 辅 助 变分不等式。利用k k m技巧，我们证明了辅助变分不等式解的存在和唯一性 即: 本文引 理4 .3 。 借助这一 辅助形 式， 我 们证明了 广义混 合隐 拟 一 n - 变分 不 等式问 题解的存在性，给出了逼近解的迭代算法:本文算法4 . 1 。最后讨论了迭代解序列 的收敛性。 由 于我们提出 的问 题和相 应的 辅助问 题是 对 l u o 在! 7 8 中的隐 拟h 变分不 等式问 题和相应的辅助问题的推广，这样我们利用辅助形式建立的算法适用范围也更加 广泛.同时，所得到结果对n o o r 提出的公开问题给出肯定回答，改进并推广了较 近的一些变分不等式的已知结果。 4 . 第五 章， 本文 研究了 带 有非线性项 诚 , ) 的 一般混拟变分不等式问 题: + p ( 9 ( v ) , 9 ( u ) ) 一w ( 9 ( u ) , 9 ( 二 ) ) _ 0 , ( 0 . 1 . 5 ) 其中 k为h上的闭 凸子集，映射 t , g : hh , 试， 今为: hx hru 十 0 o 的双元泛函。 根 据n o o r 4 9 中 的 引 理 3 . 1 : 一 般 混 拟 变 分 不 等式问 题等 价于隐 不 动 点问 题， 即 9 (u ) =j v (u ) ( 9 ( u ) 一 p t u ) . 我 们 改 进了 n o o r 在 4 9 , 5 0 中 对 h ilb e rt 空 间 上 一 般 混 合拟变分不等式的预测校正算法，引进带有误差项的迭代次数更少的自 适应算法 即:本文算法5 .2 。更重要的是，我们对算法5 .2 在无限维实h il b e rt 空间讨论了收敛 性， 并 给出了 迭 代解 序列收 敛的 一 个充 分必 要条 件; 而 n o o r 在!4 9 冲的 收 敛性 定 理仅限于有限维实h i l b e rt 空间，只是给出一个收敛的充分条件。 广义变分不等式理论及其若干问题 且 0 . 2 p r e f a c e 1 . p r o b l e m b a c k g r o u n d t h e v a n a t i o n a l i n e q u a l it i e s w e a r e s t u d y i n g c o m e f r o m o n e p a p e r o f g u d io s t a m - p a c c h i a a n d a n o t h e r p a p e r c o o p e r a t e d 妙j a c q u e s - l o u i s a n d g u d i o s t a m p a c c h i a ( s e e 1 - 2 ) i n t h e 1 9 6 0 s . l a t e r t h e t h e o ry o f v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y h a s b e e n w e ll d e v e lo p - i n g a n d b e c o m e o n e o f v e r y e ffi c i e n t m a t h e m a t i c a l m e t h o d s . n o w a d a y s i t p l a y s a n im p o rt a n t r o l e i n t h e s t u d y o f a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s a r is in g i n p u r e a n d a p p li e d s c i e n c e s i n c l u d i n g m e c h a n i c s , o p t im i z a t io n a n d o p t i m a l c o n t r o l , o p e r a t i o n r e s e a r c h a n d e n g in e e r i n g s c ie n c e s , e t c . ( s e e 卜洲 ， b e c a u s e v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y t h e o ry c a n p r o v i d e u s w i t h a s i m p l e a n d n a t u r a l fr a m e w o r k f o r t h e r e s e a r c h o f u n r e l a t e d l i n e a r a n d n o n l i n e a r p r o b l e m s . t o e x p l a i n t h is p o i n t , a l l ow u s p r e s e n t a n i n i t i a l p r o b l e m o f v a r i a t i o n a l k i n d b a s e d o n a p r o b l e m o f p h y s i c s , w h i c h l e a d s u s t o a c l a s s i c a l v a r i - a t i o n a l i n e q u a l it y . f o r s i m p li c it y ，p r e s e n t a o n e - d im e n s i o n e x a m p l e ( s e e 间) c o n s i d e r a b o d y a c r z , w h i c h w e c a ll t h e o b s t a c l e , a n d t w o p o i n t s p i , 几n o t b e lo n g in g t o 式 l e t u s c o n n e c t p l t o p 2 妙a w e i g h t l e s s e l a s t i c s t r in g w h os e p o i n t s c a n n o t p e n e t r a t e a . we a r e i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g t h e s h a p e a s s u m e d b y t h e s t r i n g . wi t h t h is a i m w e i n t r o d u ce t h e c a r t e s i a n a x e s s y s t e m o x y , w h i c h p l a n d几h a v e c o o r d in a t e s ( 0 , 0 ) a n d ( l , 0 ) r e s p e c t iv e l y . s u p p o s e t h a t t h e lo w e r p a r t o f t h e b o u n d - a r y o f o b s t a c l e a ( i n t h e z o n e in w h i c h w e a r e i n t e r e s t e d ， i .e . i n 0 , l ) is a c a r t e s i a n c u r v e o f e q u a t io n y =0 ( 二 ) . e x p e r i e n ce t e l ls u s t h a t i f y =。 ( 二 ) i s t h e s h a p e a s s u m e d 勿t h e s t r i n g , t h e n 二 ( 0 ) =二 ( 1 ) =0( 0 .2 . 1 ) 二 ( x ) :5 0 ( 二 )( 0 . 2 .2 ) s i n ce t h e s t r i n g d o e s n o t p e n e t r a t e t h e o b s t a c l e 广又变分不等式理论及其若干问题 u 0 s i n c e t h e s t r i n g b e i n g e l a s t i c a n d w e i g h t l e s s m u s t a s s u m e ( 0 .2 .3 ) a c o n v e x s h a p e . a n d ( u ( x ) 一 1p 恤 ) ) u n ( x ) = 0 , ( 0 .2 .4 ) s i n c e t h e s t r i n g t e n d s t o a s s u m e t h e s h a p e w i t h t h e m i n i m u m l e n g t h , t h e s t r i n g t a k e s a li n e a r s h a p e w h e r e i t d o e s n o t t o u c h t h e o b s t a c l e . e x p r e s s i o n ( 0 .2 . 1 ) , ( 0 .2 .2 ) , ( 0 .2 .3 ) a n d ( 0 .2 .4 ) c o n s t i t u t e a f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m w e a r e d e a l in g w i t h : s e a r c h in g f o r 。 t h a t s a t is fi e s ( 0 . 2 . 1 ) , ( 0 . 2 . 2 ) , ( 0 .2 .3 ) a n d ( 0 . 2 .4 ) c o n s t i t u t e s a v a r ia t i o n a l p r o b l e m . i f w e p u t t h e a b o v e t h o u g h t w e ll p o s e d ( ， 间) ， i t w i ll le a d t o a n o r d i n a ry v a r ia t io n a l i n e q u a li t y p r o b l e m : g i v e n t h e o b s t a c l e f u n c t i o n ip h l ( 1 2 ) a n d s u p p o s e f l b e a c o n e w h i c h is c o m p o s e d o f .全叻 a . e .讯 f l , t h e p r o b l e m c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s t h e f o ll o w i n g : f i n d i n g 。 川( f 2 ) a n d u ?p a .e . i n f l , s a t i s f y i n g a ( u , 。 一 。 ) _ 0 v v 玛( 。 ) ，。 _ 0 a .e . i n f l ( 0 .2 .5 ) w h e r e a ( u , v ) i s a c o n t i n u o u s b i l i n e a r f o r m . p r o b l e m ( 0 . 2 . 5 ) c a ll e d o b s t a c le p r o b l e m i s o n e k i n d o f c l a s s i c a l v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y . d u r i n g 1 9 6 6 t o 1 9 6 9 , s t a m p a c c h i a ( s e e 1 - 2 , 5 ) s t a r t e d t o s o l v e i t a n d p r o v e d t h a t i t h a d u n i q u e s o l u t i o n u n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s . t h e s o l v i n g p r o c e s s o f t h a t p r o b l e m r e s u l t e d i n a s e r i e s o f i m p o rt a n t t h i n g s a b o u t v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y t h e o ry, a n d i n s p i r e d p e o p l e t o f o r m u l a t e v a r i o u s v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s f r o m v a l u a b l e p r o b l e m s i n p u r e a n d a p p li e d s c i e n c e s . f o r e x a m p l e , in 1 9 8 2 , a . b e n s o u s s a n a n d j . l . l i o n s ( s e e 6 ) s u g g e s t e d a k i n d o f e l - li p t i c a n d h y p e r b o li c n o n li n e a r q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s w h i l e s t u d y i n g i m p u l s e c o n t r o l : fi n d 、 e k( x ) , s .t . a ( u , v - u ) _ ( f , 。 一 。 ) ，v v ek ( 二 )( 0 . 2 .6 ) 血w h i c h t h e s e t k d e p e n d s o n x . 广义变分不等式理论及其若干问题 l a t e r w e fi n d t h a t ma n y m u l t i - v al u e d n o n li n e a r p a rt i a l d i ff e r e n t i al e q u a t i o n s ( p d e ) i n v o l v i n g s u b d i ff e r e n t i a l ( i .e . p d e s w i t h fr e e b o u n d a ry o r 功 。 v i n g b o u n d - a ry ) a r e e q u i v a l e n t t o s o m e q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l it i e s , s i n ce v a r i o u s s u b d i ff e r - e n t i a l s s u g g e s t e d i n n o n l i n e a r f u n c t i o n al a n al y s is . t h i s f a c t e n a b l e s u s t o s o l v e q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y p r o b l e m s ( q v i p ) b y u t i li z i n g t h e k n o w n p d e r e s u l t s . r e v e r s e l y w e c o n s i d e r t o u s e q v i p s k n o w l e d g e t o d e al w i t h m u l t i - v a l u e d n o n li n e a r p d e s ( s e e 7 - 1 2 ) . v a r ia t io n a l i n e q u al i t y t h e o ry c o n t a i n s t h e li n e a r o r n o n li n e a r v a ri a t io n a l i n e q u al - i t y p r o b l e m , t h e a f i n e v a r i a t i o n a l i n e q u a li t y p r o b l e m , a n d t h e c o m p l e m e n t a r y p r o b - l e m. i n r e c e n t y e a r s , u s i n g n o v e l a n d i n n o v a t i v e t e c h n i q u e s v a r i a t i o n al i n e q u a l i t y t h e o ry h a s b e e n e x t e n d e d a n d g e n e r a li z e d i n d i ff e r e n t d i r e c t i o n s . v a r i o u s i n t e r e s t i n g e x t e n s i o n a n d g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c al v a r i a t i o n al i n e q u al i t y w i t h p u r e t h e o ry o r a p p li e d s c i e n ce b a c k g r o u n d h a v e b e e n s t u d i e d ( s e e 1 3 - 2 0 f o r m o r e d e t a i l s ) , a n d p e o p l e h a v e m a d e a l o t o f p r o g r e s s . 2 . re s e a r c h mo t i v a t i o n o n e o f m o s t i n t e r