（凝聚态物理专业论文）分形晶格上s4自旋系统相变问题的研究.pdf

摘要 本文应用实空间重整化群( 简称r g ) 变换的方法，研究了s i e r p i n s k i 镂垫、 钻石型等级品格和s i e r p i n s k i 地毯上自旋系统的相交问题。其主要内容如下： 1 在s i e r p i n s k i 镂垫上研究了外场作用下具有二体和三体自旋作用的 i s i n g 系统，求出了系统的临界点和临界指数。与只有二体自旋作用的情况相 比较，考虑三体自旋作用后，系统仍然只存在零温相变。 2 应用实空间重整化群和累积展开的方法，研究了外场下一种特殊钻石 型等级晶格上s 4 系统的相变和临界性质，求出了系统的临界点和临界指数。 结果表明：系统除了存在一个g a u s s 不动点外，还存在一个w i l s o n f i s h e r 不 动点，与该等级晶格上的g a u s s 系统相比较，系统的临界指数发生了变化。 3 研究了外场中一簇钻石型等级晶格( 州个分支) 上s 4 模型的相交和临 界性质。结果表明；当3 掰s 1 2 时，系统存在g a u s s 不动点和w i l s o 小f i 出趿 不动点，且w i l s o n _ f i s h e r 不动点对系统的临界性质有决定性的影响。由r g 变换理论，计算了系统的临界指数；当m 1 2 鄹拼2 时，系统只存在g a l l s s 不动点( 五+ = 6 ，2 ，甜；= o 和蠼= o ) ，此时系统的临界指数与相应的g a u s s 系统的临界指数完全相同。 4 利用键移重整化群的方法，研究了s i e r p i i l s h 地毯上s 4 系统的相变 和临界性质，得出了系统的递推关系和临界点。我们得出了下面的结论：当 高斯分布常数6 。= o 时，系统存在g a i l s s 不动点和狮l s 0 丑一f i s h e f 不动点；当 高斯分布常数6 = o 对，系统只存在g a u s s 不动点。 关键词：相变，临界指数，s 模型，分形，重整化群 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，p h a s et r a n s i t i o n so fs p i ns y s t e m so nt 1 1 e s i e i p i n s k ig a s k e t ， d i 锄o n d - t y p eh i e r 盯c h i c a ll a t t i c e s a n ds i e r p i n s k ic a r p e ta r ei n v e s t i g a t e d b y m e a n so f r e a l 一s p a c er e n o n t l a l i z a t i o ng r o u p t h em a i nr e s u l t so f t l l i st h e s i sa r ea s f o n o w s ： 1 t h ei s i n gs y s t e mw i mt 、v 0 一s p i ni n t e r a c t i o n sa n dt r i p l e t _ s p i ni n t e 】m c t i o n so n t l l es i e r p i n s k ig a s k e ti s 咖d i e d ，a n di t sc r i t i c a lp d i n t 姐dc r i t i c a le x p o n e m sa r e o b t a i l l e d t h er e s l l l t si n d i c a t em a tm e r ei so n l yz e mt e m p e r a t u r ep h a s e 订锄s i t i o n i i l t l l es y s t e m 2 u s i n gt h e 煳h n a l i z a t i o n 一班o u p 扛a n s f o 矾a d o n mc 啪u l a t i v ee x 叫l s i o n 枷q u e ，t h ep h a s eh 锄s i t i o l l sa 苴1 dc d t i c a ip m p 硎e sd ft h es 4m o d e lo na 印e c i a ld i 锄o n d t y p e 拭e r a r c l l i c a ll 枷c ea 糟i n v e s d g a t e d t h er e s 山t ss h o wm a t t h e r ce ) ( i s t saw i l s o n f i s h e rf i x e dp o i n ta n dag a u s s i 距f i x 酣p o i n t c o m p a r e d w i mt l l eg a u s s i a l lm o d e lo nt 坞s 锄eh i e m r c h i c a ll a 坩c e ，m e 翻t i c a lc x p o 蛐4 n t s o f 抑os y s t e m sa r em 丘打e n t 3 ，t h ep h a s e 虹锄s i t i o 王l sa n dc r i t i c a lp p e r t i e so f 吐幛s 4m o d e lo na i l yo f d i a i i l o n d t y p e1 l i e r a r c 缸c a il a 砸c e s ( mb r a n c h e s ) a r es m d i e d f 0 rt i l ec a s eo f 3 1 2 ，吐心r ee x i s t sa w i l s o n f i s h e r f i x e dp o na n dag a 啪s i a n f i x e dp o h 也 m l d 也ef o n n e rh 鹤ad e c i s i v ee f f e c to nt l l ec r i t i c a lp 叩r t i e so ft h es y s t c m f o r t h ec a s eo f 1 2a n d 肌s 2 ，m e 碍o m ye x i s t sag a u s s i a i lf e dp o i n t ( 世+ = 6 2 2 ，甜；= o ，噬= o ) ，a 1 1 dm e 嘶t i c a ：le x p o 矾n t so fs 4s y s t e ma r e i d e n t k a l 埘也m o s eo f m ec o n s p o n d i n gg a u s s i a ns y s t e mo nt h e s el a 伍c c s 4 u s i n gm eb o n d - m o v i i l g r e n o r m a l iz a _ t i o n - g r o u pm e m o d ， t h e p h 船e 缸a n s 诋o n s 跖dc 出i c a l 辩o p e r t e so fs 4e y s t e mo ns i 娜b 啦翠甙甜e i n v e s t i g a t e d ，a n di t sr e c u r s i o nr e l a t i o n s 趾df e dp o i n t sa r eo b t a i n e d f o r 也e c a s eo fg a u s s 洫d i s 最b 越i o nc o n s 协n t6 。= o ，呶翳麟i s t saw i l s o n - f i s 燃 a b s t r a c t f i x e dp o i n ta n daga _ u s s i a n 丘x e dp o i m f o rt h ec a s eo fg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n c o n s t a l l t6 = 0 ，t h e r eo n l ye x i s t sag a u s s i a nf i x e dp o i n t ， k e y w o r d s ：p h a s et r a n s i t i o n ，c r i t i c a le x p o n e m ， s 4m o d e l ，f - r a c t a l ， r e n o 加a l i z a t i o ng r o u p l i i 第一章综述 1 1 相变与临界现象 1 1 1 相变简介 相变与临界现象是统计物理学的一个重要分支，它广泛地存在于自然界 中。根据热力学理论，把相变划分为级相变和二级相变等类别，二级相交 的相交点称为临界点。在临界点附近，系统的某些热力学量趋向于无穷，系 统内部有很强的涨落和关联，这些现象称为临界现象。 人们对相变的认识大致分为三个阶段。1 8 6 9 年，a n d r e w s 提出了临界 点的概念标志着人们研究相变理论的开始。1 9 3 7 年苏联物理学家l a l l d a u 提 出了平均场理论【1 】，该理论成功的预言了i 临界点的存在。但是，随着对相变 与临界现象研究的不断深入和实验技术的逐渐提商，人们发现临界行为和朗 道理论的预言相差甚远，朗道的平均场理论遇到了挑战。 0 n s a g e r 在1 9 4 4 年求得了二维i s 址g 模型的严格解【2 1 ，这标志着相变理论 的研究进入了第二阶段。他的工作证明：哈密顿量连续的系统仍然能导致热 力学函数在临界点附近的奇异性行为。随后，由杨振宁和李政道提出的相变 理论揭示了相变问题的本质，提出了相变产生的机制，从而使人们对相变问 题的认识达到了一个新的深度。 1 9 6 5 年，w i d o m 理论的提出标志着相变理论的研究进入了第三阶段。 1 9 7 1 年，w i l s o n 把量子场论中的重整化概念应用到相交理论中，并运用标度 律和普适性概念，建立了一整套研究相变与临界现象强有力的理论体系一重 整化群理论【3 4 】。该理论在保持重整化变换前后系统配分函数保持不变的前 提下，求出系统的临界点和临界指数。事实证明重整化群理论的提出使相变 理论的研究取得了突破性的进展。 1 1 2 标度变换和普适性 标度变换形象地说就是尺度变换。发生连续相变时，系统内部出现各种 尺度的涨落，这种涨落用关联长度来描述。在临界点附近，关联长度趋向于 第一章综述 合金的有序一无序相变等。其一维和二维问题的严格解己分别由i g i | | ! 堡 玳违! 目程i 引甜。兰飘繇狮i i i 善i 蜒霞引f 抵凳糖曩嵝篙雹登。 罐堪耋挺翼蒿型冀萋y 嚣薹霉髦矽毫霉要点臻馨氆薄：蠹辩囊孙娑堇 夏曩裂弱专薄i * 蔓裂二鞫黟参裁笃i 醅螽熨 强o z “疆秀曦降州噬1 臻? ! 嘲艉壤摊通m 忻哮。鋈錾零萋 军彦渗m 陲；堰哥。阳罐礁摊耍琊j 互作用参数，k ：= ，：( r ) 为 约化的三最近邻格点相互作用参数，& = 日，( kr ) 为约化磁场，其中t ，。( f - 1 ，2 ) 为交换积分，为b o l t 珊锄常数，丁为热力学温度， 表示二最近邻格 点， 表示三最近邻格点。系统相应的配分函数为 z = e 印( _ 朋) ( 2 2 ) 扣 2 3 重整化群变换过程 为简单起见，这里取一个生成元进行r g 变换，如图2 2 所示，各格点 上的自旋分 l1 2 图2 2s i e r p j n s k j 镂垫上生成元的重接化群过程 其中l ，2 和3 表示生成元的外部格点， 4 ，5 和6 表示内部格点 3 别以q ，c r 2 ，c r 3 ，c r 4 ，c r 5 ，吼来表示，令矗= 岛，根据( 2 1 ) 该生成元的有效哈密 顿量为 一口= 墨q 乃+ k 2 h c r 4 c r 6 + c r 2 九码+ 吒) u 棚 矿，6( 2 3 ) + 等q + 如q ， - j - lf 4 考虑到自旋q ，盯：，c r 3 中的每一个都处在两个生成元中，而r g 变换是对整个 系统的有效哈密顿量进行的，所以我们在( 2 3 ) 式的第三个求和中的吼，盯。， 项的前面乘e 了因子1 ，2 1 0 第一章综述 s i e r p i n s l d 镂垫 将一个等边三角形的三边中点用直线连接起来，形成4 个边长为原来边 长一半的小等边三角形，将中间一个倒三角形挖去，对剩余的三个小等边三 角形再实施与前面相同的操作，不断重复下去，便得到s i e r p i n s k i 镂垫。如图 1 2 所示。 a 行= o 刀= 1 ，= 2，= 3 图1 2s i e r p i n s l 【i 镂垫的迭代过程 钻石型等级晶格 这种品格也是由迭代过程生成，其基元( 构造过程中的第玎= q 级) 是一个 由两点和一键组成的晶格，然后四个这样的基元组成一个生成元( ，= l 级) ， 这个生成元的每一个键再被生成元本身来代替。这样的过程重复进行无穷多 次，最后得到的晶格称为钻石型等级品格。如图1 3 所示。 玎= o n = 1 图1 ，3 钻石型等级晶格的生成过程 选取不同的生成元可以得到不同类型的钻石型等级晶格。图1 4 给出了 两种不同生成元的示意图。 眦 第一章综述 上世纪八十年代，g e f e n 等人首先研究了k o c h 曲线、s i e r p i n s k i 地毯等分 形晶格上自旋模型的相变问题【1 3 1 6 】，并且得出结论：分形上的自旋系统能 否发生有限温度的相变取决于分形晶格的分岔度是否无限。从此，分形上自 旋模型的相变问题引起了众多学者的关注。1 9 8 2 年，r b ，g r i 题t h s 研究了等 级晶格上的自旋系统 1 7 ，发现某些等级晶格上离散型的自旋模型是可以精 确求解的。随后，b h u 予1 9 8 5 年讨论了等级晶格上自旋系统的普适类问题 1 8 。发现，分形维数和连接性不能作为判断等级晶格上自旋模型普适类问 题的标准，即使具有相同的分形维数和连接性的分形晶格的自旋模型也可能 属于不同的普适类，只能说分形维数和连接性是影响等级晶格上自旋模型普 适类的一个因素。1 9 8 6 年，z d w 缸g 和c d g o n g 又对x 分形晶格上i s i n g 模 型的相变问题进行了研究 1 9 】，结果表明：此系统只存在零温相变，且其临 界指数与具有相同分形维数的分形晶格上的自旋系统的临界指数一致。1 9 8 7 年，yk w u 和b h u 研究了s i e 叩i n s 虹地毯上的相交问题【2 0 】，指出分形结构 的任何微小变化都有可能导致系统发生有限温度相变。1 9 8 8 年，z r y 姐g 研究了一类钻石型等级品格上i s m g 模型的相变问题【2 1 】，得到了这些晶格上 的i s i i l g 模型的严格解。以上，研究的大部分是离散型的自旋模型，随着认识 的深入，只研究离散型的自旋模型已不能满足理解实际物理系统的需要，人 们逐渐对连续型自旋模型( 如g 跚s s 模嚣! 和模型) 的相变问题产生了兴趣。 1 9 9 7 年，s l i 和z r 陆g 应用实空间重接化群( 简称r g ) 方法【2 2 研究了m 层s i e m i s k i 镂垫和一族钻石型等级晶格( 简称d h ) 上g a u s s 模型的相变问题。 随后，j yz h u 等人研究了g a u s s 系统的动力学临界问题【2 3 】，并在平移对称 晶格上求出了严格解。随后，x - m k o n g 等人把g a u s s 模型进行了推广，在一 些非均匀分形晶格上研究了有外场情况下g 瓤塔s 模型的相交问题【2 4 】。2 0 0 4 年，刘杰等又对s i e r p i n s l ( i 镂垫上具有三体自旋相互作用的g a u s s 模型的相变 问题进行了研究【2 5 】，并求出了系统的临界点和临界指数，并把此结果与只 有二体自旋相互作用的g 肌s s 模型进行了比较。随着研究的深入，权重函数 满足更复杂分布的s 4 模型的楣变问题逐渐得到了人们的重视。2 0 0 5 年，y l i 等人研究了一般钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质【2 6 】，并把所得结果与 平移对称晶格上的s 4 模型进行了比较，得出了分形晶格的分形维数决定了系 7 筇- 一- 章综述 统是否存在w i i s o n f i s h e r 不动点的结论。 1 4 本文的主要工作 本文研究了几种分形晶格上的l s i n g 模型和s 4 模型的相交和临界性质。在 第二章中，我们应用格点消约( d e c i m a t i o n ) r g 变换的方法，在有外场的情 况下，研究了二体自旋作用和三体自旋作用都存在时s i e r p i i l s k i 镂垫上的i s i n g 模型的相变和临界性质，并把结果与只有二体自旋作用的情况相比较，得到 了考虑三体自旋作用后系统仍然只存在零温相变的结论。在第三章我们应用 实空间重整化群和累积展开的方法，在有外场的情况下，研究了一种钻石型 等级品格( s d h 晶格1 上s 4 模型的相变和临界性质，求出了l 强界点和临界指 数。我们发现该系统除了存在g a u s s 不动点，还存在w i l s o n f i s h e r 不动点，把 此结论与该等级晶格上的g a u s s 系统比较发现这两个系统属于不同的普适 类。利用同样的方法，我们还研究了一簇钻石型等级晶格上s 4 模型的相变问 题。在第四章中，我们应用键移熏整化群和累积展开的方法，在无外场的情 况下，研究了s i e r p i n s k i 地毯上s 4 模型的相变和临界特性，首先我们得到了 四个递推关系，然后又分两种情况对这个递推关系进行了讨论，分别得到了 这两种情况下系统的临界点。 8 第二章 s i e 印i n s k i 镂垫上具有三体自旋 作用的i s i n g 模型 2 1 引言 s i e r p i l l s k i 镂垫( 简称s g ) 是一种典型的有规分形。研究该分形上的自 旋问题对于理解分形上的相变和临界性质具有重要的意义。s g 晶格可通过 迭代过程产生，如图2 1 所示，将一个等边三角形的三边中点用直线连接起 来，形成4 个边长为原来一半的小等边三角形，将中间一个倒三角形挖去 对剩余的三个小等边三角形再实施与前面相同的操作，不断重复下去，便得 到s g 。我们知道分形维数和分岔度是分形的两个重要参数，由它们的定义， 可知s g 晶格的分形维数d ，= 1 n 3 ，1 n 2 ，最小分岔度r = 3 ，最大分岔度 胄一= 4 7 】上世纪八十年代，g e 劬等研究了分形晶格上的相变问题 【1 3 - l6 】，发现对于仅考虑最近邻相互作用的s g 晶格上的i s i g 模型只存在零 温相变。 aa n = 0以2 1 h = 2 = 3 图2 1 s i e r p i n s l d 镂垫的迭代过程 本章应用格点消约( d e c i i i i a t i o n ) 重正化群( 简称r 0 ) 变换韵方法，在有外 场的情况下，研究了二体自旋作用和三体自旋作用都存在时i s i n g 模型的相 变和临界性质，与只有二体自旋作用的情况相比较，考虑三体白旋作用后， 得出了系统仍然只存在零温相变的结论。 2 2s i e r p i i l s k i 镂垫上的i s i n g 模型 2 2s i e r p i n s k i 镂垫上的i s j n g 模型 9 第三章钻石型等级晶格上j 5 4 模型 的临界性质 3 1 引言 上世纪八十年代，g e f e n 等研究了分形晶格上的i s i 雌模型和p o 娃s 模型 的相变问题 1 3 一1 6 】，从此以后，人们对分形晶格上自旋模型的相变问题产生 了浓厚的兴趣并取得了一系列的成果【1 7 3 8 】。近年来，作为i s i n g 模型的推 广，分形晶格上自旋可以连续取值的s 4 模型的相变和临界问题引起了人们的 关注，如，l i 和k o n g 应用实空间重整化群的方法，研究了形个分支一般钻 石型等级晶格上s 4 模型的相变问题，求出了系统的临界点和临界指数【2 6 】。 由于一般的钻石型等级晶格是可以约化的，而本章第二部分所研究的特殊钻 石型等级晶格是不可约化的，这更加接近于自然界的真实系统，因此，研究 不可约化的特殊钻石型等级晶格的相变问题可以为理解自然界中系统的临 界特性提供一个更好的理论依据。而且，对一般钻石等级晶格而言，键的数 目大于或等于三的钻石型等级晶格的s 4 模型的临界性质还未见报道。因此， 研究这种晶格上s 4 模型的相变问题具有一定的意义。本章应用实空间重整化 群和累积展开的方法，在有外场的情况下，研究了一种特殊钻石型等级晶格 ( 简称s d 均和一族钻石型等级晶格i 简称( 坍d h ) ，) 上s 4 模型的相变和临界性 质，求出了临界点和l 临界指数。 3 2 特殊钻石型等级晶格上的s 4 模型 我们所讨论的s d h 晶格的构造过程如图3 1 所示。这种晶格由迭代过程 生成，其基元( 构造过程中的第行= o 级) 是一个由两点和一键组成的晶格，然 后五个这样的基元组成一个生成元( 拧= 1 级) ，这个生成元的每一个键再被 生成元本身替代，这样的过程进行无穷多次，最后得到的晶格称为s d h 晶 格。这种晶格是非均匀晶格，即格点的配位数与格点的位置有关，其分形维 数d ，= l n 5 1 1 1 2 = 2 3 2 2 此晶格上s 4 模型的有效哈密顿量可以写为 第三章钻石型等级晶格匕s 4 模型的临界性质 耻静h 一”一) 懈一字嘉a 。幻 一等等一：。聂每一萼+ ：。五+ 一。詈， ( 8 ) s ： ( ” 图3 2s d h 晶格的r g 变换过程：( a ) s d h 晶 格的一个生成元； ( b ) 生成元经过r g 变 换后的晶格 经过一次变换后图3 2 ( a ) 内部格点被消去变到图3 2 ( b ) ，以s ：，j ：来表示变 换后各格点上的自旋，经过此变换后系统的配分函数保持不变，这个过程可 由下式表示 i 。凼出ze x p ( 日) = c e x p ( ) ，( 3 5 ) 上式中c 是与自旋无关的重整化常数，日为此生成元经过r g 变换后的有 效哈密顿量。 我们定义部分迹，记为( ，r ) ， ( p 丁) = c 出l 出2e x p ( 日) ( 3 6 ) 把( 3 4 ) 式代入( 3 6 ) 式，得到部分迹 第三章钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质 其中 峭唰鬻 ， = 4 ( p ”) 。， 4 = e 幽出：e x p ( 风) ， e p ”) 凼。出：e x p ( 风) e 出。出：e x p ( 日。) ( 3 8 a ) ( 3 8 b ) 由于矿为小量，对e 7 作级数展开，则部分迹可表述为 ( 脚：爿f 1 + ( 矿) 。+ 去( y 2 ) 。+ 刍( y 3 ) 。叫 ( 3 ，) 由( 3 5 ) 式可以看出，经r g 变换后系统的有效哈密顿量为 日= h 彳+ t n ( ，+ ( y ) 。+ 刍( 矿2 ) 。+ 刍( 矿3 ) 。+ ( s - 。， 考虑到l n ( 1 + x ) = 石一等+ 等，我们得到 ：l l l 爿十( 矿) 。+ y 2 ) 。一( 矿) ：) + ( 3 - 1 1 ) 上式的展开称为累积展井，这里只保留到二阶近似，一可视为累积展开的零 级项。 3 2 2 重整化群变换的递推关系 利用( 3 4 ) 式和( 3 8 ) 式，我们可以计算( 3 1 1 ) 式中的各阶累积展开项。由 ( 3 4 a ) 式和( 3 8 a ) 式得到累积展开的零级项为 彳= e 出出2 e x p ( 。) = e x p ( 日。) ， 1 6 第三章钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质 经过计算得到 其中 h ：= 丘1 1 s 。s 6 + 七1 2 0 ：+ s ；) + 七l3 ( s ：+ s ；) + 史1 4 ( s 。+ s b ) ， ( 3 1 2 ) 2 k 2 2 ”2 i i = 与兰等， = 一知 “= 瓮署 由( 4 ) 式和( 8 b ) 式得到一阶累积展开项为 t 忙甓 聊 = 也t s 。s a + 七2 2 ( s ：+ s ；) + 七b ( s ：+ s ：) + 七“( s 。+ s a ) ， 其中 ”一鲨譬氍铲， 驴鳖警甏驴， “ ( 6 3 一置) 4 ( 6 3 + k ) 。 一器， ”一坐等等乎 1 7 第三章钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质 ( 矿z ) ：肇些：竺型， ( 3 1 4 ) 、h f 。幽：e x p ( 日。) 利用( 3 1 3 ) 式和( 3 1 4 ) 式，经过复杂的计算，得到二阶累积展开项为 y2 ) 。删)b = 尼”s 。+ 七，2 ( s ：+ s ；) 十屯3 ( 占：+ s ；) + 七3 4 ( s 。+ ) ， 其中 ”万若杀万( 9 6 ( 8 霹+ 6 ；( 2 孵一3 妒 ( 芷2 一1 5 霹+ 1 2 砖k ) ( 霹k + 屯k 2 ) + 世3 ( 2 置2 + 5 瑶一9 霹k ) + 霹( 5 k 2 + 5 霹+ 1 2 碍k ) ) ， 也：2 石- j 5 蓊4 8 足2 ( 8 霹+ 霹( 2 1 碍一”置) 一 一 ( 足2 1 5 霹+ 1 2 瑶芷) ( 酵k + 6 3 k 2 ) + k 3 ( 2 足2 + 5 霹一9 碍芷) + 霹( 5 k 2 + 5 霹+ 1 2 瑶世”， 。而i 话酉( 2 4 x 4 ( 7 n 暇+ 置2 ( 1 孵啦) + 岛聊。碍啕) ， 2 屯2 砭_ = i 赫9 6 足( 8 霹+ 霹( 7 j 蟹一1 3 足) 一( x 2 3 ；+ 4 霹置) ( 霹五+ 6 3 k 2 ) + k 3 ( 2 j i = 2 + 酵一3 埒k ) + 霹( 5 k 2 + 霹+ 4 瑶足) ) 根据( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 和( 1 5 ) 式，求得生成元经r g 变换后的有效哈密顿 量为 日= ( _ | l l + 屯l + 毛1 ) s 。+ ( 毛2 + 七2 2 + 屯2 ) 如：+ 5 ；) + f 3 1 6 1 ( 七1 3 + _ j 2 3 + 也3 ) ( s ：+ s ：) + ( t 4 + _ j 2 4 + k ) ( s 。+ 屯) 为了得到与变换前形式相同的哈密顿量，需要对自旋进行重标，令 s 净乒，( f = 球，6 ) ，则变换后的哈密顿量可改写为 第三章钻石型等级品格上s 4 模型的临界性质 其中 肚一等嘉一，咎吒矿z 嘉n 叫竽嘞一：嘉+ 硝等， 层鬲磊， ( 3 1 8 ) 足= ( 七l l + 七2 l + 女3 1 ) 孝1 ， ( 3 1 9 ) “；= 一3 ( 毛3 + 七2 3 + 七3 3 ) 舌4 ， ( 3 2 0 ) 魁= 3 ( 七1 4 + i 2 4 + 屯4 ) 孝 ( 3 - 2 1 ) ( 3 1 9 ) 一( 3 2 1 ) 式就是r 6 变换的递推关系，由它们出发可以求出系统的临界点 和临界指数。 3 2 3 临界点和临界指数 为了求得系统的不动点，我们令k = 足= 芷，“净如= “， 嘣= 坞= 办+ = o ，由递推关系可以求得系统的不动点为 a ：五= 0 ， = o ，晟+ = o ； b ：足+ = 屯，3 ，”+ = o ，而= o ； c ：茁= o 1 4 2 也，甜+ = o 0 9 5 霹，厅+ = o ( 3 2 2 ) 其中a 为稳定不动点，b 为g a u s s 不动点，c 为w i l s o n - f i 出e r 不动点，且 w i l s o n - f i s h e r 不动点对系统的临界性质有决定性的影响，由w i l s o n f i s h e r 不动点我们可以计算出系统的临界指数。 根据r g 变换理论，把k ，“；，蟛在c 点附近展开，保留线性项可得 在不动点邻域的线性交换矩阵为 1 9 第三章钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质 r 。= l 蓁蓑豢i = ( ；：孑；：季j ；曼。 c ，z s ， r = i 篆筹甏i = il 苫sz ，荨，。? 。| | b z s ， l 锄；叫叫l ” ” 。“” 8 k 钆3 a h 3j r p = 盖乩o s o ，。= 盖乩唧 扣南，叩：2 + ( 1 _ 2 棚忙击 第三章钻石型等级晶格上s 4 模型的临界性质 数。由结果可知，此系统除了存在一个g a u s s 不动点外，还存在个 w i l s o n f i s h e r 不动点，且w i l s o n f i s h e r 不动点对系统的临界性质有决定性的 影响。与该等级晶格上的g a u s s 模型相比较，系统不仅多了一个w i l s o n f j s h e r 不动点，而且系统的i 临界指数也发生了变化，这表明这两个系统属于不同的 普适类。 3 3 一族钻石型等级晶格上s 4 模型的结果 为简单起见，我们取( 2 d h ) ，晶格来研究。该晶格的生成过程如图3 3 所 示。利用类似的方法我们可以得到其他的( 所d 暇) ，晶格。为了表述简单，我 们取生成元来进行重整化群变换。图3 4 表示了( m d h ) ，晶格的生成元的重整 化群变换过程，其中各个格点的配位数为g 。= m ”，吼= 2 m ，g 。= 聊”1 ， g ：2 ，我们可以写出系统的有效哈密顿量。变换前生成元的有效哈密顿量 为 日= 上+ 矿， 。 ( 3 2 4 ) 峨= 量善c 叩一叩。 。，一等姜c + 2 ，一等鲁一等萼f _ 1 - 扭i _ _。 一- 一嘉一萼+ 喜( 虬+ ) + ，争+ 詈， 玎二o”= l 图3 3 ( 2 d h ) 3 晶格的生成过程 万= 2 第三章钻石型等级品格上s 4 模型的临界性质 y = 一“：( s ? + s b 口 r g - - - j 一 i： ( 3 2 6 ) 图3 4 生成元的重整化群过程 变换后生成元的有效哈密顿量为 肚碱萨等鲁一譬4 - 鲁飞坚 n ：， 喁一。嘉坞萼。 利用同样的方法，我们可以得到( 棚h ) ，钻石型等级晶格的递推关系( 见 壅! ：! ( 型! 型2 1 圭墨堕箜塑! ! ! 唑! 塑! 至垫盛塑堡 竺 茎：! 1 2型蟹 垡 3o 4 8 4 0 0 1 7 o 40 5 0 8 0 0 1 2 0 50 5 1 5 o o l o o 6o 5 1 8 0 0 0 9 o 7o 5 2 0o 0 0 8 0 8o 5 2 1 0 0 0 7 0 90 5 2 1 o 0 0 6 o 1 0 0 5 2 0 0 ，0 0 50 1 1o 5 1 7 o 0 0 4 o ! ! 垒：! ! ! ! ：! 丝 ! 第三章钻石型等级晶格上二s 4 模型的临界性质 附录) 。通过计算我们得到了下面的结论：当3 1 2 时，系统存在g a u s s 不动点和w i l s o n _ f i s h e r 不动点，且w i l s o n f i s h e r 不动点( 见表3 1 ) 对系统的 临界性质有决定性的影响，由r g 变换理论，我们可以计算系统的临界指数 ( 见表3 2 ) ：当m 1 2 和m = 2 时，系统只存在g a u s s 不动点k = 6 ，2 ，“；= 0 ， 蹦= o ，此时系统的临界指数与g a u s s 模型的临界指数完全相同，这时这两 个系统属于同一普适类。 表3 2 ( 珊d h ) 3 上s 4 系统的w i l s o n 。f i s h e r 不动点所对应的临界指数 为了更形象地说明w i l s o n f i s h e r 不动点随埘值的变化，我们把表3 1 所 表示的w i l s o n - f i s h e r 不动点的大小画在同一个图中( 见图3 5 ) 。同样，我们 用图3 6 形象地说明临界指数随脚值的变化。在图3 5 中，我们令6 ：= 6 ， ”：= “从图3 5 可以看出，随着m 值得增大，w i l s o n - f i s h e r 不动点的值趋 向于( o 5 ，0 ) 从图3 6 可以看出，随着珊值得增大，球的值逐渐减小，p 趋 向于o 5 3 4 结论 本章应用实空间重整化群和累积展开的方法，在有外场的情况下，研究 第三章钻石型等级品格上s 4 模型的临界性质 附录 ( 研d h ) ，钻石型等级晶格的递推关系 足，：坠! ；塑 其中 掌=层蕊 = 觜， 小一等，= 糍等， 轩一型鼍等罄笋照， k 一墅每基澄产如一五) 【如十 j b 一絮等产， k 一坐氅杀茅咝 k = ( 4 8 五3 ( 1 9 6 ；+ 酵( 4 8 霹一3 8 足) + 丘4 ( 3 酵一6 醒k + 2 置2 ) 一2 屯k 3 ( 一5 砖+ 6 醒x + 2 k 2 ) 一2 6 ；世( 一1 5 磋+ 1 8 窿k + 1 1 k 2 ) + 足2 ( 2 4 鹾一1 2 ；k + 1 3 k 2 ) + 霹( 1 3 磁+ 1 8 霹足+ 3 0 量2 ) ) m “；) ，( ( 6 2 一k ) 7 ( 6 2 + k ) 5 ) ， 盟 掣 盟 氅 杂 | i k 第四章 s i e 印i n s k i 地毯上的s 4 模型 4 1 引言 s i e r d i n s k i 地毯是典型的分岔度为无限的分形晶格。它的构造过程如下， 首先取一个正方形，将其分为b 2 个相等的小正方形，从中按一定的方式挖 去z 2 个小正方形，然后剩下的( b 2 一f 2 ) 个小正方形的每一个再按照同样的 办法进行分割和取舍，直至最小正方形边长达到晶格常数数量级为止，最 话形成的晶格称为s i e r p i n 酾地毯 7 】。它们的分形维数为 d ，= l n ( b 2 一，2 ) l n b - ( 4 1 ) 在以前的工作中，l i n 和k o n g 研究了s i e r p i n s h 地毯上的g a u s s 模型的 相变问题，求出了系统得临界点 3 8 】，但是该晶格上的s 4 模型的相变和临 界性质还未见报道。本文应用键移和实空间重整化群结合累积展开的方法， 研究了s i e r p i r l s k i 地毯上s 4 模型的相变和临界性质，求出了系统的临界点和 临界指数。 4 2s i e i p i l l s l 【i 地毯上的s 4 模型 s 4 模型是由i s i n g 模型扩展而来的，在i s i i l g 模型中引入权重函数 彤( 墨，s ：，蚧) = 兀占( s ? 一1 ) 后，自旋变量_ 可以取一。到m 内的任意值。 此时i s i n g 模型的有效哈密顿量为 日= s ，j j ，一 s u o 。 x 第四章s i e r p l n s k i 地毯上的s 4 模型 时系统不但存在g a u s s 不动点，而且存在着w i l s o n f i s h e r 不动点。由 w i l s o n f i s h e r 不动点可求得y = 0 4 7 1 ( 2 ) 当6 = o 时，对应着k = 0 和“= o ，也就是只剩下被挖去的那部分 晶格，由( 4 2 3 ) 一( 4 2 6 ) 式可得到这时系统的不动点为 d ： 足= o ，“= o ，足。= 0 ，甜。= o ； e ： k = o ，甜= 0 ，k 。= 6 。，”。= o ； 其中d 为稳定不动点，e 为g a u s s 不动点，这时系统只存在g a u s s 不动。 进一步可以求得v = o 4 7 7 4 5 结论 本章利用键移重整化群的方法，研究了s i e r p i n s k i 地毯上s 4 系统的相 变和临界性质，得出了系统的递推关系，并得到了系统的临界点和临界指 数。我们得出了下面的结论：当6 。= 0 时，系统存在g a u s s 不动点和 w i l s o n - f i s h e r 不动点；当6 = o 时，系统只存在g a u s s 不动点。 参考文献 j p h y s a 1 7 ，1 2 7 7 1 2 8 9 ( 1 9 8 4 ) 17 r b g r i m t h sa 1 1 dm k a u 如a 1 1 s p i ns y s t e m so nh i e r a r c h i c a l l a t t i c e s i n t r o d u c t i o na n dt h e m l o d ) r n 锄i c 】i m i t j 】p h y s r e v 。b 2 6 ，5 0 2 2 - 5 0 3 2 ( 1 9 8 2 ) 1 8 】b 。h u 。p r o b l e mo f u n i v e r s a l j 锣i np h a s em m s i t i o n so nh i e r a r c l l i c a ll a n i c e sp 】 p h y s r e v l e t t 5 5 ，2 3 1 6 2 3 1 9 ( 1 9 8 5 ) 【19 】z d w a n g ，c d g o n h a m o c r i t i c a lb e h a v i o ro ns o m ef r a c t a l s 【j p h y s r e v a 3 4 ，1 5 3 1 1 5 3 7 ( 1 9 8 6 ) 2 0 】y k w ua n db h u p h a s et r a n s i t i o n so nc o m p l e xs i e 印i 矗s k ic a r p e t s 【j p h y s r e v a 3 5 ，1 4 0 4 一1 4 1 1 ( 1 9 8 7 ) 2 1 z r y a n g f 锄i l yo fd i 锄o n d 一咖eh i e r a r c h i c a ll a t t i c e s 【j 】p h y s r e v b 3 8 ( 1 ) ，7 2 8 7 3 1 ( 1 9 8 8 ) 【2 2 】s l ia i l