（计算数学专业论文）the+numerical+stability+analysis+of+twostep+rungekutta+s+for+delay+differential+equations.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 延迟微分方程在诸如控制论、环境科学、生物学、经济学等应用科学领域有广泛的应 用。然而，由于延迟微分方程的复杂性，很少能得到理论解的表达形式，因此研究延迟 微分方程的数值解法显得十分必要，而在数值解的研究中，数值稳定的研究又占有十分 重要的地位。 在过去的一段时间里，微分方程的数值处理是一个非常活跃的研究领域，许多数值方 法被用来解延迟微分方程，比如侈方法，线性多步方法，r u n g e k u t t a 方法等。在本文中，我 们考虑用两步r u n g e k u t t a 方法研究延迟微分方程的数值稳定性。 本文首先讨论了两步r u n g e k u t t a 方法求解常微分方程数值解的l 稳定性，然后就多延 迟量方程讨论了g p l 。稳定性，得到多延迟量方程是g p l 仇一稳定的充要条件是它是稳 定的。其次，文章基于化班代数稳定讨论了两步r u n g e k u t t a 方法求解非线性延迟微分方 程的g r ( 1 ) 一稳定性，g a g ( 1 ) 稳定性和弱g a r ( t ) 稳定性。最后给出了一些数值实验，数值实 验的结果显示理论上的结论是正确的。 关键词：延迟微分方程，两步r u n g e - k u t t a 方法，l 稳定，化砂代数稳定。 英文摘要上海师范大学硕士学位沦文 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e , ) p r o v i d eap o w e r f u lm o d e lo fm a n yp h e n o m e n ai na p p l i e ds c i e n c e s ，s u c ha sc o n t r o lt h e o r y , e n v i r o n m e n ts c i e n c e ，b i o l o g y , e c o n o m i c sa n ds oo u a sw e k n o w , m o s to ft h e mc a n n o tb es o l v e da n a l y t i c a u y ，s ot h en u m e r i c a lt r e a t m e n t so fd d e sb e c o m e s v e r yn e c e s s a r y f u r t h e r m o r e ，n u m e r i c a ls t a b i l i t yi sa ni m p o r t a n tp a r ti nn u m e r i c a la n a l y s i s 矾en u m e r i c a ls o l u t i o no fdd e 8h a sb e e nt h es u b j e c to fi n t e n s er e s e a r c ha c t i v i t yi nt h ep a s t f e wy e a r s ，m a n yn u m e r i c a lm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e df o rd d e s ，f o re x a m p l e ，o - m e t h o d s ， m u l f i s t e pl i n e a rm e t h o d s ，r u n g e k u t t am e t h o d sa n ds oo n i nt h i sp a p e r , w ea r ec o n c e r n e dw i t h t w o s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s ( t s r k ) i nc h a p t e r2 ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fl - s t a b i l i t yo ft w o - s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d sf o r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ) a l ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e st h eg p l m - s t a b i l i t y o ft s r k 丽如m a n yd e l a y s w es h o wt h a tt w o - s t e pr u n g e k u t t ai sg p 三m s t a b l ef o rd d ei f a n do n l yi ft h ec o r r e s p o n d i n gm e t h o d sf o ro d ei sl - s t a b l e ；i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h eg r ( 1 ) - s t a b i l i t y , g a r ( 1 ) s t a b i l i t ya n dw e a kg a r ( i ) s t a b i l i t yo nt h eb a s i so f ( k , 1 ) - a l g e b r a i c a l l ys t a b i l i t yo f t w o - s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s i nc h a p t e r5 ，w eg i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e so fd d e , t h e s e e x a m p l e sc a nc o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s ，l - s t a b i l i t y ，r 七耻 a l g e b r a i c a l l ys t a b i l i t y 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：日期： 塑! 互：兰兰 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：撇导师签名： 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d s m a n yp r o b l e m si nc h e m i s t r y , e n g i n e e r i n g ，b i o l o g ya n de c o n o m i c sc a l lb em o d e l e db yi n i t i a l v a l u ep r o b l e mo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sf o l l o w s ， 他) = f ( t ，y ( t ) ，v ( t r ) ) t 0 ， v ( t ) = ( t ) t 0 ( 1 1 1 ) w h e r e7 - 0d e n o t e st h ec o n s t a n td e l a y , 咖( ) i sag i v e nc o n t i n u o u si n i t i a lf u n c t i o n ，s a t i s f i e s c o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es o l u t i o nyt o ( 1 1 1 ) ，s u c hc o n d i t i o n sc a n r e f e rt o 【8 】a n d 【16 t h ee q u a t i o n ( 1 1 1 ) i sc a l l e dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e ) l o n g t i m ea g o ，p e o p l ea l w a y sb e l i e v et h a tt h e r ei s n ta n yd i f f e r e n c eb e t w e e nt h en u m e r i c a lt r e a t m e n t so f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n0 0 d e ) a n dd d e 8 i nf a c t ，t h ea n a l y s i so f t h es t a b i l i t yo f n u m e r i c a l m e t h o df o rd d e 8i sm o r ec o m p l e xt h a nf o ro d e a n df e wa n a l y t i ce x p r e s s i o n so ft h ea n a l y t i c s o l u t i o no fd de 8c a nb eo b t a i n e d ，s ot h en u m e r i c a lt r e a t m e n t so fd d e 8b e c o m ev e r yn e c e s s a r y f u r t h e r m o r e ，n u m e r i c a ls t a b i l i t yi sa ni m p o r t a n tp a r ti nn u m e r i c a la n a l y s i s t h ee q u a t i o n ( 1 1 1 ) h a so n ed e l a yt e r m ，i ft h e r ea r em a n yi n f l u e n c ef a c t o r so fp a s ts t a t e s s h o u l db ec o n s i d e r e d ，w es h o u l dg e t 7 ( t ) = f ( t ，可( t ) ，y ( t 一7 1 ) ，! ( 一吃) ，v ( t 一) ) t 0 ， 仇1 ； v ( t ) = ( t ) t50 ( 1 1 2 ) w h e r ef ，d e n o t eg i v e nf u n c t i o n s ，：r c 饥+ 1 _ c ，死 0 ，i = 1 ，2 ，ma r et h ed e l a y t e r m s 咖：r ci sag i v e ni n i t i a lf u n c t i o n w h e r e a sv ( t ) i su n k n o w nf o rt 0 t h ee q u a t i o n ( 1 。1 。2 ) i sc a l l e dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a n yd e l a y s 。 i ti st h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rt oi n v e s t i g a t et h en u m e r i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e sw i t hr e s p e c tt o t h ef o l l o w i n gt e s te q u a t i o n s ，( 1 1 3 ) i sd d e 8w i t hm a n yd e l a y s ，( 1 1 4 ) i sn o n l i n e a rd d e , m 矿 ) 一a y ( t ) + b , y ( t 一 r i ) t o ； i = 1 y ( t ) = ( 亡) t 0 w h e r eoa n db i ( i = 1 ，2 ，m ) a r ec o m p l e xp a r a m e t e r s 可7 ( t ) = f ( t ，秽( t ) ，y ( t f ) ) t 0 ， y ( t ) = ( 亡) t 0 w h e r efi sn o n l i n e a rw i t ht ，y ( t ) a n dy ( t 一7 - ) 1 2c u r r e n tt h e o r ya n da l g o r i t h mr e s e a r c h ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) f o rl i n e a rd d e , ，i n19 7 8 。b a r w e l l 【2 ，3 】p r o p o s e dt h ec o n c e p t so f 尸- s t a b i l i t ya n dg p s t a b i l i t y , w h i c ha r es i m i l a rt ot h ea - s t a b i l i t yi nt h en u m e r i c a lo d e i n th o u t ，m z l i ua n d s p i j k e r 1 2 ，1 3 ，2 0 ，2 1 1m a d eo u t s t a n d i n gc o n t r i b u t i o n st ot h es t u d yo ft h ep 。s t a b i l i t ya n dg p - s t a b i l i t y i n19 9 7 ，k u a n g 17 g a v e a l li m p o r t a n tc o n c e p to fp l s t a b i l i t yc o r r e s p o n d i n gt ot h el - s t a b i l i t y ( b ye h l e ，i n1 9 6 9 ) i no d e y hc o n g ，j nc a i 7 c o n s i d e r e dt h ep l s t a b i l i t yo fr o s e n 。 b r o c km e t h o d s i n2 0 0 0 ，b y a n g ，l q i ua n dk u a n g 2 5 m a d ea ni n v e s t i g a t i o no nt h eg p l 。 s t a b i l i t yo fr u n g e k u t t am e t h o d s f o rn o n l i n e a rd d e s ，t o r e l l i 2 2 】i n t r o d u c e dr n s t a b i l i t ya n dg r n s t a b i l i t y t h e yr e q u i r e t h a tt h ed i f f e r e n c eo ft w on u m e r i c a ls o l u t i o n si sb o u n d e db yt h em a x i m u m d i f f e r e n c eo ft h ei n i - t i a lv a l u e s i n1 9 9 7 ，m z e n n a r o 2 9 1c o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fr u n g e - k u t t am e t h o d s f o rn o n l i n e a rs y s t e m so fd d e , u n f o r t u n a t e l y , r e c e n ts t u d i e ss h o wt h a ta l lo r d e rb a r r i e ra c t u a l l y e x i s t s 5 ，3 0 ，t h i ss h o w st h a ts u c hr e q u i r e m e n t sa r et o os t r o n g i n19 9 9 ，h u a n gr e l a x e d t h er e q u i r e m e n t so fr n s t a b i l i t ya n dg r n s t a b i l i t y 11 1 。t h ec o n c e p t s0 fg r - s t a b i l i t ya n dc a r - s t a b i l i t y a r ei n t r o d u c e d i n 1 0 1 ，h u a n gf u r t h e ri n t r o d u c e dg n ( t ) s t a b i l i t y , c a r ( i ) 一s t a b i l i t y , a n dw e a k o a r ( 1 ) s t a b i l i t yo nt h eb a s i so f ( k ，) - a l g e b r a i c a l l ys t a b l er u n g e k u t t am e t h o d s 2 m a n ym u m e r i c a lm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e df o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd d e i n t h i s p a p e r w ea r ec o n c e r n e dw i t ht w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s ( t s r i oo ft h ef o r m ： 严h f ( t n + c a h ，鲰+ 口巧j ) ， i = 1 川2 一，s ，( 1 2 1 a ) j = l g 住- l , 严h f ( t 州+ c a h ，一1 + o 巧g n - l j ) ， i = 1 ) 2 ，2 ，s ，( 1 2 1 b ) j = l + 1 = ( 1 一p ) + 一1 + b i ， + 茂珞- 1 t ， n = 1 川2 ( 1 2 1 c ) i = 1 i = 1 3 5 ， w h e r e 玩+ b i = 1 + 口，c a = n 臼，一v ( t n ) ，t n = n h ，h 0i sa s t e p s i z ea n d0 0 1 1 2 1l = 11 = 1 o b v i o u s l y , t h ec o m p u t a t i o n0 f + 1r e q u i r e so n l ys o l v i n gt h ef i r s te q u a t i o no fn o n l i n e a re q u a - t i o n s ( 1 2 la ) ，w h e r e a s ，lc a l lb eo b t a i n e db yu s i n gt h ev a l u e sc o m p u t e di nt h ep r e v i o u ss t e p ， t h u sc o m p a r i n gw i t ht h es a m eo r d e ro n e - s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s ，t h et w o - s t e pr u n g e k u t t a m e t h o d sm q u k en oa d d i t i o n a lw o r k f o rt h et w o 。s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) ，w ew i l lr e p r e s e n ti tb yt h ef 0 1 1 0 w i n gt a b l e ： 一 c 1a l la 1 2 a l j c 2a 2 1a 2 2 a 2 8 ：。： 岛a s la 8 2 a s 8 9 6 l 幻b 。 6 16 2 k t h em e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) g i v e nb yt h ea b o v et a b l ea r es t u d i e di n 1 4 1a n d 【1 5 】 1 3m a i nw o r ko ft h ep a p e r i nt h i sp a p e r , w ea p p l i e st h et w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d st ot h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h el s t a b i l i t yo ft h et w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s t oo d e ；i nc h a p t e r3 ，w ea p p l i e st h et w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s t o 3 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 上海师范大学硕士学位论文 ( 1 1 3 ) ，w eg e tt h et w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o rd d e a l eg p 厶n s t a b l ei fa n do n l yi ft h e c o r r e s p o n d i n gm e t h o d sf o ro d e i sl - s t a b l e i nc h a p t e r4 ，w ea p p l i e st h et w o - s t e pr u n g e k u t t a m e t h o d st o ( 1 1 4 ) ，w ec o n c e r n e dc r ( o - s t a b i l i t y , g a r ( 1 ) - s t a b i l i t ya n dw e a kg a r ( i ) - s t a b i l i t y o nt h eb a s i so f ( k ，f ) 一a l g e b r a i c a l l ys t a b l et w o s t e pr u n g e k u a am e t h o d s i nc h a p t e r5 ，s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa l eg i v e nt oc o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s 4 上海师范大学硕士学位论文c h a p t e r2t h el s t a b i l i t yo ft w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o ro d e c h a p t e r2 t h el - s t a b i l i t yo ft w o - s t e pr u n g e - - k u t t a m e t h o d sf o ro d e 2 1t h el s t a b i l i t yo ft w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o ro d e b e f o r ea c t u a l l yd e a l i n gw i t hn u m e r i c a ls t a b i l i t yo ft w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ef i r s ts t u d yl - s t a b i l i t yo ft w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s a p p l y i n g ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) t ot h ef o l l o w i n gt e s te q u a t i o n ： 矿( 舌) = ( 考) t 0 ，r e ( a ) o ； u ( t ) = 如 t = 0 t h a ty i e l d sa s i m p l er e c u r r e n c er e l a t i o nf o rt h ea p p r o x i m a t i o n s 鲰= 1 ，2 ，) w h e r e 掣。+ 1 = r ( ) 影露+ f ( h ) y 拜一1 r ( 云) = l 一0 + 6 丁无( j h a ) 一1 e e ( h 1 = 0 + 5 r h ( t h a ) 一1 e h = a h ( 2 1 1 ) ( 2 。1 2 ) ( 2 1 3 ) t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n ( 2 1 2 ) t u r n so u tt ob ez 2 = r ( h ) z + f ( 无) a na p p l i c a t i o no f 【2 1 】o fl i u a n ds p i j k e rl e a d st ot h a tt h ep o l y n o m i a lp ( z ) = 名2 一r ( h ) z f ( ) i sas c h u rp o l y n o m i a li fa n do n l yi f ( i ) k 毳) i 1 ( i i ) i f ( 元) i l z r ( 无) l f o ra n yz ，i z i = 1 ( i i i ) p ( z ) 0 f o ra n yz ，l z l = 1 i ti sv e r ye a s yt os h o wt h a tt h ep o l y n o m i a lp ( z ) i sas c h u rp o l y n o m i a li ft h ef o l l o w i n gc o n d i 一 5 c h a p t e r2t h el s t a b i l i t yo ft w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o ro d e 上海师范大学硕士学位论文 t i o n sh o l d ： r ( 九) l 1 0 ， i f ( ) i 0 t h u s ，i ft h ep o l y n o m i a lv ( z ) i sas c h u rp o l y n o m i a lf o ra n yh ，冗e ( 元) 0 ，t h et w o s t e p r u n g e k u t t am e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) i sa s t a b l ef o ro d e l e tu ss t u d yt h ee x p o n e n t i a ls o l u t i o ny ( t ) = c e c o f ( 2 1 1 ) ，w h e r eci sac o n s t a n tt ob e d e t e r m i n e da n dc 0 ，t h e nw eh a v ee = 入 i np a r t i c u l a r , t h ee x p o n e n t i a ls o l u t i o ny ( t 1 = c e a l s os a t i s f i e s y + h ) y ( t ) = e m c o n s e q u e n t l y m ( 砷l i m 一y ( t + h ) 荆= o ，。0 s 0 w eh o p et l l en u m e r i c a ls 。l u i 。na l s 。p r e s e r v et i l i sp r o p e 啊t h a ti s m ( 砷l i m 。一鲰+ l 蜘2 oh 。l d s f o ra n yn a t u r a ln u m b e rn 1 f r o mt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n ( 2 1 2 ) ，w eh a v e v ( z ) = z 2 一r ( h ) z f ( 元) = 0 ( 2 1 4 ) o b v i o u s l y , l i m = 0 ，i ya n do n l yi v ( z ) = 0 辛 1 ( 2 1 5 ) n - 0 0 1 i m鼽+ 1 = 0 ，i fa n do n l yi fp ( z ) = 0 兮 一l i m z = 0 ( 2 1 6 ) jk()_一re()_一 d e f i n i t i o n2 1 1t h et w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) i sl - s t a b l e 矿i t 括a s t a b l ea n d 6 ，要m y n + 1 = 0 r e ( ) 一一 t h e o r e m2 1 1a s s u m et h et w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) i sa s t a b l e , t h e n i ti sl s t a b l ei ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ( i ) a s j ( 1 0 ) = b j ， ( i i )a l j o = 8 5 ，j = 1 ，2 ，8 p r o o f w eo n l yn e e dt op r o v e ! i m z = 0 ，f r o mt h ed e f i n i t i o no fr ( h ) ，w eh a v e r e ( h ) _ - o o r ( 无) = 1 一p + 6 t ( 去，一a ) 一1 e r ( o o ) = 1 0 一b t a 一1 e f r o mt h ec o n d i t i o n ( i ) ，w eo b t a i na t e 。( 1 0 ) = b ，w h e r ee 8 = ( o 0 ，1 ) t ，6 = ( b a ，8 2 ，b s ) t ，s ob t = ( 1 一o ) e r a ，t h e nr ( o 。) = 1 0 一( 1 一o ) e t a a 一1 e = 0 s i m i l a r l y , f r o mt h ec o n d i t i o n ( i i ) ，w eh a v e 庐( o o ) = 0 s o ，f r o mt h ee q u a t i o np ( z ) = z 2 一r ( h ) z f ( 无) = 0 ，w eh a v e ! i m z = 0 r e ( ) 一一” 7 c h a p t e r3a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft w o - s t e pr u n g e k u n am e t h o d sf o rd d e s _ 海师范大学硕士学位沦文 c h a p t e r3a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft w o - - s t e p r u n g e - - k u t t am e t h o d s f o rd d e s 3 1t h eg p l m s t a b i l i t yo ft w o s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l li n v e s t i g a t eg p l m s t a b i l i t yo ft h et w o - s t e pr u n g e k u t t am e t h o df o r d d e 3 w i t h o u tl o s to fg e n e r a l i 哆，w ed e a l sw i t h2d e l a yt e r m sf i r s t l y 矿( ) = a y ( t ) + b l y ( t n ) + 6 2 y 0 一死) t 0 ( 3 1 1 ) v ( t ) = ( t ) t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no f ( 3 1 1 ) i s t 0 入一a b l e a n 一6 2 e a 忍= 0 ( 3 1 2 ) t h et e s te q u a t i o n ( 3 1 1 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei fa n do n l yi fa l lr o o t so f ( 3 1 2 ) h a v en e g a - f i v er e a lp a r t s l e m m a3 1 11 2 4 1i f t h ec o e f f i c i e n t sa b la n db 2o f ( 3 1 i ) s a t i s f y r e ( a ) 0 8 l i m = 0 ， f , - o o 上海师范大学硕士学位论艾m a p t e r3a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o rd d e s s i m i l a rt ot h el - s t a b i l i t yi nc h a p t e r2 。w eh o p et h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fd de 8a l s os a t i s f y l i m 址= ，n 1 i j 记( a ) _ 一 n 0f o ra n y 1yn n o ww eg i v et h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ( p ) m 玩 lira翮i=1ne(a)-,- = o i 凡e i n j l d e f i n i t i o n3 1 2an u m e r i c a lm e t h o df o rdd e si ss a i dt ob eg p l 2 s t a b l e 莳a n do n l yi fi ti s g p 2 一s t a b l ea n di t sc o e f f i c i e n t sa ，b la n d5 2s a t i s f y i n gc o n d i t i o nl p ) 1 w i t hm = 2 ) a n dt h en u m e r i c a l s o l u t i o n 弧o f l 3 1 1 ) s a t i s f i e s l i m 訾= 0 m c a ) - - , - c o f n n o ww ec o n s i d e rt h ea d a p t a t i o no f t h et w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d s ( 1 2 1 a ) 一( 1 2 1 c ) t o ( 3 1 1 ) ，t h e nt h ea p p r o x i m a t i o n s t oy ( t n ) a r ed e f i n e db y 户h a ( y n + 。巧j ) + h b l ( y n - - m l + 6 。+ 。巧呐蛳，j ) j = lj = 1 一1 i = h a ( y n 一1 + + h b 2 ( y n - - r n 2 + 如+ 。巧- m 2 慨j ) j = l o 巧j 矗一l j ) + h b l ( y n m 1 + 6 l 一1 + j = lj = l 5 + l = ( 1 一p ) + 1 9 i 鼽一1 + + h b z ( y n m 2 + 如一1 + o 巧f 厶一m 1 + 6 1 1 j ) n 巧珞m 2 硒1 j ) j = t 仇，i + 庆_ 1 n = 姚2 i = 1 w h e r e 铷= 妒( t n ) ，( f o rt n 0 ) ，一( n ) ，h 0 ，兀= ( m i 一魂) ，0 瓯1 ，m i 1 ， m i n ，i = 1 ，2 9 渊 c h a p t e r3a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft w o s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sf o rd d 肚海师范大学硕士学位论文 1 0 d e f i n e = ( ，1 ，珞2 ，) tb =