（计算数学专业论文）带形状控制参数的coons曲面在图像插值中的应用.pdf

摘要 数字图像是现代生活中重要的信息载体之一，广泛应用到社会生活的各个方 d ，越来越多的领域需要用到高分辨率的图像。但绝大多数数字化器记录图像的 辨率都比较低，由于硬件性能的限制，从硬件上着手改进需要付出比较昂贵的 e 价；对于网络传输的图像，由于网络带宽的限制和对传输速率的要求，也无法 e 网络上直接传输高分辨率的图像。因此，利用低分辨率的图像应用插值方法得 0 高分辨率图像成为人们追求的目标。此外，图像的几何畸变校正、图像旋转、 l 像、变形等，也都要用到图像插值，图像插值是数字图像处理中最基本、最重 的技术。 经典的i 羽像插值方法都是基于经典的采样理论，实质上是对理想低通滤波器 j 逼近，因而损失了图像的高频部分，降低了图像的质量，导致插值后图像的边 r 部分模糊。而图像边缘包含了一幅图像中最重要的信息，是图像最重要的特征 ：一，图像边缘的缺陷将严重影响插值后图像的视觉效果。因此，很多插值方法 g 致力于改善边缘部分的插值效果来提高整幅图像的视觉效果。 本文针对人眼对图像边缘的敏感性，提出了种对图像边缘的自适应插值方 。把双三次c o o n s 曲面引入到图像插值过程中，以分片双三次c o o n s 曲面为 础，建立原始的插值曲面模型。并根据图像的边缘特征，引入五个曲面形状控 0 参数，调整插值曲面的形状，把原始的插值曲面模型改进为带形状控制参数的 b 值曲面模型，这个改进的模型符合图像的边缘特征，解决了由于样条曲面的光 性所带来的图像边缘模糊和走样的现象。在准确的描述数字图像的基础上，就 f 以反算插值点，根据需要的分辨率对插值曲面进行重采样得到高分辨率的插值 i 像。 最后，通过大量的实际算例，验证了本文插值方法的有效性。在第六章中把 ：文方法应用于人物照片、文字图像、人造图像、自然景物和遥感图像等几类图 r ，得到了较好的数值结果和清晰的插值图像，大大改善了传统图像插值方法的 滑作用，保持了插值图像边缘清晰、自然、光滑，忠实反映了原始图像，提高 插值后图像的主观视觉效果。 ；键词：图像插值；双三次c o o n s 曲面；曲面形状控制参数 a b s t r a c t d i g i t a li m a g eh a sb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n f o r m a t i o nc a r r i e s i n m o d e ml i f e ，a n di th a sb e e na p p l i e di ne v e r ya s p e c t so fs o c i e t yl i f e w i d e l y h i g h r e s o l u t i o ni m a g ei sn e e d e di nm o r ea n dm o r ef i e l d s b u tm o s td i g i t a ld i g i t i z e r sc a l l o n l yr c c o r di m a g e s a tar e s o l u t i o nl o w e rt h a nd e s i r a b l e f o rt h el i m i t a t i o no f h a r d w a r e ，h i g h e re x p e r i s ew i l lb ep a i do u ti f h a r d w a r e i si m p r o v e do n h i g hr e s o l u t i o n i m a g ea l s oc a n n o tb e e nt r a n s m i t t e dd i r e c t l yi nn e tb e c a u s eo fi i m i t a t i o no fn e tb a n d b r o a d s o v a l i dm e t h o df o ri m a g ei n t e r p o l a t i o nh a sb e c o m et h ea l mw h i c h p e o p l ea r e p u r s u i n g i na d d i t i o n ，i m a g ei n t e r p o l a t i o ni sa l s or e q u i r e dw h e ni m a g ei sc a l i b r a t e d ， r o t a t e d ，m i r r o r e da n dm o r p h i n g ，e t c i m a g ei n t e r p o l a t i o ni st h em o s ti m p o r t a n ta n d b a s a lt e c h n i q u ei nd i g i t a li m a g e p r o c e s s i n g c l a s s i c a li m a g ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d sa r ea l lb a s e do nc l a s s i c a ls a m p l i n g t h e o r y t h e ya p p r o a c h t op e r f e c tl o w p a s sf i l t e r s s oh i g hf r e q u e n c yp a r t sa r el o s t a n dt h e q u a l i t yo fi m a g ei sr e d u c e d i nt h i sw a y t h ee d g eo f i m a g eb e c o m eb l u r m o r e o v e r , t h ee d g e s o f i m a g ei n c l u d et h em o s ti m p o r t a n ti n f o r m a t i o ni nt h ei m a g e ，a n di ti st h eo n eo f m o s ti m p o r t a n t c h a r a c t e r si ni m a g e t h eb u gi nt h ee d g eo fi m a g ew i l la f f e c tt h ev i s i o ne f f e c to f i m a g es e r i o u s i y s o ，m a n yi m a g ei n t e r p o l a t i o nm e t h e d sa l lp a ya t t e n t i o nt oi m p r o v i n gt h ee d g et oi m p r o v et h e v i s i o ne f f e c to f t h ew h o l e i m a g e a i m i n ga t t h es e n s i t i v i t y o f h u m a ne y e s t o e d g eo f i m a g e ，as e l f - a d a p t i n g i m a g e i n t e r p o l a t i o n m e t h o df o re d g ei sp r e s e n t e di n 也i sp a d e lb i c u b i ec o o n ss u r f a c ei si n t r o d u c e dt ot h ef i e l do f i m a g ei n t e r p o l a t i o n p r i m a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c em o d e li s f o u n d e db a s e do nap i e c e w i s e b i c u b i cc o o n ss u r f a c e 1 1 1 e nf i v es u r f a c es h a p e p a r a m e t e r s a r ei n t r o d u c e d a n ds u r f a c e s h a p e i s a d j u s t e da c c o r d i n gt ot h ei m a g ee d g ef e a t u r e i nt h i sw a y , t h ep r i m a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c em o d e l i sr e v i s e dt om o d e lw i t hs h a p ep a r a m e t e r s t h er e v i s e d m a t h e m a t i c sm o d e lc a ns o l v ee d g eb l u e o nt h eb a s eo f p r e c i s ed e s c r i p t i o no fd i g i t a l i m a g e ，t h ei n t e r p o l a t i o ns u r f a c ei sr e s a m p l e df o rl l i g hr e s o l u t i o ni m a g e t h en u m e r i ce x p e r i m e n t sp r o v et h ev a l i d i t yo ft h i sm e t h o d t h i sm e t h o dc a r l a c h i e v ep r e f e r a b l er e s u l t st os o m e i m a g e d a t as u c ha sh u m a n p i c t u r e ，n a t u r a ls c e n e r y ， a r c h i t e c t u r e sa n dr e m o t e s e m i n gi m a g e t h er e s u l t s s h o wt h a tt h em e t h o dc a l l i m p r o v et h es m o o t h n e s se f f e c to ft r a d i t i o nm e t h o d sg r e a t l ya n dk e e pt h ee d g e so f i n t e r p o l a t i o ni m a g e s t i l ls h a r pa n ds m o o t h k e yw o r d s ：i m a g ei n t e r p o i a t i o n ；b i c u b i cc o o n ss u r f a c e ：s u r f a c e s h a p e p a r a m e t e r 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 1 前言 数字图像处理技术是随着计算机技术发展而开拓出来的一个新的应用领 域，汇聚了光学、电子学、数学、摄影技术、计算机技术等学科的众多方面【l 】。 它把图像转换成一个数据矩阵，在计算机上对其进行处理。计算机图像处理 和计算机图形学的结合已经成为计算机辅助设计的主要基础。可以预计，随 着计算机规模和速度的大幅提高。数字图像处理技术的发展前景和应用领域 将更加广阔。 1 1 图像及其表示 视觉是人类从大自然中获取信息的最主要的手段。据统计，在人类获取 的信息中，视觉信息约占6 0 ，听觉信息约占2 0 ，其他的如味觉信息、触 觉信息等加起来约占2 0 【2 】。由此可见视觉信息对人类的重要性，而图像正 是人类获取视觉信息的主要途径。 人们从与生俱来的感觉中，就建立了关于图像的概念，然而，要给图像 下一个准确的定义却并不容易。所谓“图”就是物体投射或者反射光的分布； “像”是人的视觉系统接收图的信息而在大脑中形成的印象或认识。前者是 客观存在的，而后者是人的感觉。图像应该是两者的结合。因此，在图像处 理中不能仅仅把图像看成是二维平面上或者三维立体空间中具有明暗或色彩 变化的光分布。 图像会以各种各样的形式出现：可视的和非可视的，抽象的和实际的， 适于和不适于计算机处理的。在一般意义下，一幅图像是另一个事物的一种 表示。一幅图像包含了有关其所表示物体的描述信息。图像可以根据其产生 方式或存在形式分为以下几种类型 3 】： 图1 1 图像的类型 f i g u r e l 1t y p e so f i m a g e s 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 在图像( i m a g e ) 集合中，有一个非常重要的，包含了所有可见图像( v i s i b l e i m a g e ) 子集。在该子集中又包含了几种不同方法产生的图像子集，一个子集 为图片( p i c t u r e ) ，它包括照片( p h o t o g r a p h ) 、图( d r a w i n g ) 和画( p a i n t i n g ) 。 另一个子集为光学图像( o p t i c a li m a g e ) ，即用透镜、光栅和全息技术产生的 图像。物理图像( p h y s i c a li m a g e ) 是物质或者能量的实际分布。不可见的物 理图像的例子如温度、压力、高度以及人口密度等的分布图。图像的另一个 子集是由连续函数和离散函数组成的抽象的数学图像，其中后一种就是能被 计算机处理的数字图像( d i g i t a li m a g e ) 。数字图像指的是一个被采样和量化后 的二维函数( 该二维函数由光学方法产生) ，采用等距离矩形网格采样，对幅 度进行等间隔量化。至此，一幅数字图像是一个被量化的采样数值的二维矩 阵。这里我们要注意，图像的原本状态是连续的，处理的结果一般也要以连 续的形式演绎。只是当使用计算机作为工具来实现算法时。我们才用图像的 离散表示形式【3 】。 1 2 图像处理的发展 随着图像数据的大量涌现。逐渐形成了“图像处理”学科。所谓图像处 理就是对图像信息进行某种目的的加工修正以满足人的视觉心理或应用需求 的行为【3 】。广义上讲，图像处理分作图像的模拟处理( 光学方法) 和图像的 数字处理( 电子学或数字方法) 。前者已经有很长的发展历史，从简单的光学 滤波到现在的激光全息技术。光学处理理论已经日趋完善，而且处理速度快， 信息容量大，分辨率高，又很经济。但是光学处理图像精度不够高，稳定性 差，操作不便。后者通常称为数字图像处理，简称图像处理。数字图像处理 是随着计算机技术的兴起而产生的借助于计算机的图像处理技术，其主要工 作是将图像信号转换成数字格式并利用计算机进行某些数学运算和分析，以 提高图像的实用性。数字图像处理技术处理精度比较高，而且还可以通过改 进处理软件来优化处理效果。最早的图像处理是上世纪二十年代，纽约与伦 敦间通过海底电缆传输的数字化新闻图片，它使跨大西洋传送一幅图片的时 间从一个多星期减少到少于三个小时 2 。上世纪五十年代，美国喷气推进实 验室应用数字图像处理技术，处理了“徘徊者7 号”太空船送回的四千多张 月球照片，获得了空前清晰的效果 2 。从上世纪六十年代起，随着电子技术 和计算机技术的不断提高和普及，数字图像处理进入高速发展时期。特别是 上世纪九十年代开始，随着计算机多媒体技术和信息技术的蓬勃发展，突破 了限制数字图像处理发展的数据量庞大、处理速度相对较慢、硬件成本较高 等限制，数字图像处理技术越来越深入到军事领域、医学领域、商业领域、 艺术领域、出版领域、广告领域甚至人们的日常生活。 1 3 课题研究的目的和意义 随着数字图像处理技术的广泛应用，数字图像作为信息载体在日常生活 重充当着越来越重要的角色，越来越多的领域需要用到高分辨率图像。例如 对于侦察卫星，卫星图像的分辨率和清晰度越高，识别军事目标的可能性越 2 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 大、准确度越高，对军事和国防事业具有重要的意义，但由于硬件性能的限 制，航空照片或卫星照片往往达不到所需的分辨率，而硬件的改进要付出昂 贵的代价，采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方 面进行改进就具有十分重要的实用价值。对于网络传输的图像，由于网络带 宽的限制，无法以满足需求的速度传输高分辨率图像。这时，利用低分辨率 的图像应用插值方法得到高分辨率图像就成为人们追求的目标。此外，图像 变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告 等影像特技处理中。在进行图像的一些几何变换时，例如对一幅图像进行旋 转、镜像、转置、变形以及各种几何畸变的校正等，由于数字图像的像素坐 标必须采用离散的整数来表示，通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重 合的现象，也必须要用到图像插值。 图像插值是数字图像处理中最基本、最重要的技术。自从有了计算机图 形学和图像处理，就有了图像插值。图像插值是图像处理中图像重采样过程 中的重要组成部分，而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩 等，因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。 经典的图像插值方法都是对一幅图像的不同部分的都作相同处理，通常 会导致插值后的图像的边缘部分模糊或出现马赛克干扰现象 4 】。而图像边缘 部分包含了一幅图像中最重要的信息，图像边缘的缺陷将严重影响插值后图 像的视觉效果。如何去除图像插值中的边缘平滑效应，怎样很好地保持图像 的局部边缘特征，怎样实现对图像边缘部分的自适应处理，使插值后图像边 缘部分清晰而无锯齿等干扰现象，提高插值后图像的主观视觉质量成为摆在 我们面前的一个急需解决的问题。 1 4 应用领域 随着计算机可视化和虚拟现实的研究与发展，图像插值技术的应用范围 也愈来愈广。图像显示、图像传输、图像分析、动画制作、电影合成、媒体 广告、高分辨率视频、高清晰度电视的研究、数码相机的使用、打印、图像 重建、图像编码解码、图像压缩、遥感图像的几何校正、卫星图像分辨率的 提高、医学图像处理等都涉及图像插值，随着信息技术的蓬勃发展，图像插 值技术的作用将越来越重要。 1 5 本论文主要工作 传统图像插值方法的平滑作用会损失图像的高频部分，使插值图像轮廓 变得模糊。而图像边缘包含一幅图像中最重要的信息，图像边缘部分出现的 这些缺陷将严重影响插值后图像的视觉质量。几乎所有的图像插值算法都试 图实现对图像边缘部分的自适应处理，本文提出了一种根据图像边缘特征把 数字图像构造成适合描述图像边缘特征的插值曲面的图像插值方法。首先把 数字图像构造为分片双三次c o o n s 曲面；然后引入曲面形状控制参数，根据 图像边缘特征调整插值曲面形状，以符合图像的边缘特征，刻画图像边缘区 域的不连续性：最后对插值曲面进行重采样。避免了样条函数的单纯平滑作 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 用和振铃效应，提高了图像边缘的清晰度，有效保持了图像细节。 在第二章中对现有的图像插值方法进行了综述；在第三章，依次阐述了 第一类、第二类和第三类c o o n s 曲面以及双三次c o o n s 曲面。第四章、第五 章是对本文工作的详细介绍，在第四章中，详细阐述了根据图像边缘特征， 对一般双三次c o o n s 曲面进行形状调整的方法和形状控制参数的选择原则。 第五章中阐述了重建插值曲面和重采样的过程。第六章通过多种实际算例的 数值结果和图像插值结果，验证了本文方法的有效性。 4 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 2 图像插值综述 2 1 问题的定义 插值就是确定某个函数在两个采样值之间的数值的运算，插值的本质是 以基函数的加权和平移的离散形式来表达一个连续的函数。 所谓图像插值就是一个图像数据的再生过程，利用已知采样点的灰度值 估计未知采样点的灰度值，在给定的空间范围内，从有限的离散采样数据重 复原出原来连续的图像信号【5 】。 一般来说，图像插值须满足以下两条假设： ( 1 ) 插值的像素灰度值在二维欧氏空间中是一个连续的曲面； ( 2 ) 所采用的图像插值模型应满足插值条件，即在原图的采样点上，插值 结果应该与原图中的像素值保持一致。 2 2 图像插值的两种观点 图像插值的处理过程中有两种观点：离散的观点和连续的观点【3 】。 在离散观点中，人们把数字图像看成离散采样点的集合，每个点具有其 各自的属性，主要原理是将目标图像上的像素点映射成源图像上的点，然后 将目标图像上的像素点的颜色值取作源图像上对应点处的颜色值。而当对应 源图像上的点不是整数格点时，图像在源图像对应点处的颜色值可用该点邻 近若千格点处的颜色值表示。 另一方面。图像通常源自物理世界，它们服从可以用连续函数描述的规 律，基于这种考虑，图像及其内容经常可由连续函数更好地描述。在连续观 点中，对原始的离散表示的数字图像用连续函数进行刻划，再根据图像缩放 的倍数要求对该连续表示的图像进行重新采样，最后得到新的离散表示的数 字图像。 由于数字图像是以离散为基础的，因此一味坚持连续的观点而忽略离散 这个基本特征是危险的。 由于图像所对应的景物中的物体及成像的设备用连续函数能更好地表 示，因此将思路只局限于离散数学和逻辑运算同样也是不明智的。 2 3 图像插值的一般步骤 一般来说，图像插值分为两个步骤： ( 1 ) 首先选择一种连续模型拟合原图像，把离散的图像矩阵变换为连续 的。 ( 2 ) 然后用所期望的采样率对该连续模型重采样。 图像重采样过程可通过下面步骤来完成： 首先对输出采样栅格( 即输出离散图像坐标平面) 使用逆映射函 数，将结果映射到输入栅格，由此产生的结果为一重采样栅格。该栅 格表明了对输入图像重采样的位置。然后对输入图像在这些点进行采 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 样，并将采样值赋给相应的输出像素。图像的重采样可能产生混叠情 况，表现为图像中出现莫尔条纹、锯齿边界或细节丢失。 2 4 图像插值中的空间变换 图像插值与图像缩放均属于图像的空间变换。图像的空间变换，也称几 何变换或几何运算，空间变换是一种调整图像中各物体之间空间关系的变换。 这种变换可以看成是将各物体在图像内移动。其效果可形象化地理解为把图 像看成一张橡皮膜，对该膜作任意拉伸并在若干点把变形后的橡皮膜固定下 来后的结果。实际上，空间变换的结果可以比上述比喻宽得多，一个不受约 束的空间变换，可以将图像中的一个点变换到图像中任意位置，也就是说几 何变换可以将原图像变得面目全非。但本文所关心的空间变换是一种保持变 换前后图像局部特征性的变换。 空间变换常用于： ( 1 ) 实现数字图像的放大、缩小及旋转。 ( 2 ) 实现畸变图像的校正：几何校正、图像校直等。畸变的原因可以是多 种多样的，如摄影系统或镜头畸变。 ( 3 ) 实现不同来源图像( 如航空摄影、卫星遥感、合成孔径雷达等不同来 源) 的图像配准。 ( 4 ) 图像样式转换、地图投影、变形、特殊视觉、特技效果。 ( 5 ) 此外，几何运算中的二维正交变换在图像处理中扮演着重要的角色。 如，傅立叶变换后平均值正比于图像灰度的平均值，高频分量指示图 像中目标的边缘信息，利用这些性质可以从图像中抽取特征。又如在 变换域中，图像能量往往集中在少数项上，或者说能量主要集中在低 频分量上，这时对低频成分分配较多的比特数，对高频成分分配较少 的比特数，即可实现图像数据的压缩编码；再者，舍弃变换系数矩阵 中某些幅度小的系数，可缩减计算维数，提高计算速度。 2 4 1 变换原理 一个空间变换需要两个独立的算法。首先，需要一个算法来定义几何变 换本身，用来描述每个像素如何从其初始位置“移动”到终止位置，即每个 像素的运动。同时，还需要一个用于灰度插值的算法，这是因为在一般情况 下，输入图像的位置坐标为整数，而输出图像的位置坐标为非整数，反过来 也是如此。 空间变换可如下表示。 设( “，v ) 为源图像上的点，( x ，力为目标图像上的点，则几何变换将源图像 上( “，v ) 处的啦值与目标嗽上( x ，y ) 处的颜色值对应起来： 似，v ) ( x ，y ) 并具有以下关系： x = x ( u ，v ) y = y ( u ，v ) ( 由v ) 计算对应点( x ，y ) ) 或 6 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 “= u ( x ，力，v = v ( x ，y ) ( 由( x ，j ，) 反求对应点( “，v ) ) 其中x ( u ，v ) 、r ( u 。v ) 或己， ，y ) 、v ( x ，_ ，) 均为变换。 由( 2 4 卜1 ) 对应的变换称作向前映射法也叫像素移交法，即一个输入像 素被映射到四个输出像素之间的位置，其灰度值按插值算法在四个输出像素 渐渐进行分配。 而由( 2 4 卜2 ) 对应的变换称作向后映射法也叫像素填充法，输出像素一 次一个地映射回到输入图像中，如果一个输出像素被映射到四个输入像素之 间，则其灰度值由灰度级插值决定。 数字图像的几何变换从根本上讲是一个采样过程。正如所有采样数据一 样，数字图像也会受到混叠现象的干扰。图像处理中，出现混叠的现象有两 类：一类产生于图像采集过程：另一类产生于重建后图像的重采样。此处， 图像重采样指将一幅采样图像( 即经采样后得到的离散图像) 从一个坐标系 到另一个坐标系的过程 2 。两个坐标系之间由空间变换( 映射) 函数相互联 系。 2 4 2 几何变换 空间变换是图像处理中一种基本的图像预处理方法，可分为一般矩阵变 换、仿射变换、透视变换， 即投影映射及多项式变换。其中简单几何变换是 最常用的几何变换之一。 1 简单变换 像素坐标变换中，一些简单变换是经常用到的，几种简单变换可以组成 复杂的变换。 ( 1 ) 恒等变换 函数表示为：仁三；，矩阵表示为：i = 瞄 ( 2 ) 平移变换 函数表示为：o 三；：z ，矩阵表示为：i = 巴 【v = y + n 1 fl 。 ( 2 4 2 - 2 ) 其中a ( x o ，) 被平移到原点，此变换即为将图像位移0 孑可而得到的 确岛为： i = p 潮亿铊嘞 7 4 但 1，jh ” 0 o l o 1 o 1，j x y l 丌o o o o o 北 o ，o 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像捅值中的应用 上式中dd 为特定常数，此变换即为图像在x 轴方向上放大c 倍，在y 轴 方向放大d 倍而得到的图像。当系数c 。d 小于1 时实际是缩小变换。 ( 4 ) 翻转变换 函数表示为：s ：；一x ，矩阵表示为：i = 言i 司 司 c z 4 - z s ， 上式中c 为特定常数。此变换即为图像围绕= c 的垂直翻转而得到的图 像。类似可以得到图像围绕v 0 = c 的水平旋转而得到的图像。 ( 5 ) 旋转变换 函数表就髋v - - - - x s i n “( e 搿) y c 酊o “s ( 舄e ) i+ 蔬攀爷湘 n 2 s ， 一般地，若将源图像上的点( 玑v ) 与目标图像上的点( x ，y ) 建立如下的对应 关系：卜y1 】- 阻v 1 a 2 2 0 i ( 2 4 2 - 6 ) i 码i 盯3 2 1 l 其中( f = 1 ，2 ，3 ；y = 1 ，2 ) 为实数。的不同取值方法，将对应成不同的变 换，特殊的如上述缩放、剪切、旋转、平移等变换。 仿射变换具有一些特殊的性质，如将平行直线映射成平行直线，将三角 形映射成三角形。仿射变换的乘积和逆变换仍为仿射变换。但仿射变换不能 保证四边形到四边形的映射，因为仿射变换有六个自由度。而平面上的三个 点便可确定仿射变换。因为这个原因，仿射变换只能实现一部分比较简单的 平面映射。 但实际图像处理中所用到的几何变换往往不是按给定的变换函数关系求 最终目标图像的过程，而是根据实际畸变图像畸变亮度测量来确定变换函数 关系的过程，一般采用控制点法。 3 点控制法 控制点法是通过测定若干特定坐标点( 即所谓可控制点的位移量) 来确 定坐标变换方程的系数的方法。如图2 1 所示，若已知该图所示输入图像与输 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 出图像上四对对应点( 即控制点对) 的位移量，则可利用这四对已知控制点 对，求解下列坐标变换方程中的系数口至h 。 f u = p ( x ，y ) = a x + 砂+ c x y + d 【v = q ( x ，y ) = “4 - 痧+ g x y + h ( 2 4 2 7 ) 系数a 至h 确定后，就得到确定的坐标变换关系，进而可据此完成图 像的坐标变换。 入输出 图2 1 控制点的空间映射 f i g u r e2 1s p a t i a lm a p p i n g o f c o n t r o lp o i n t s 上例是坐标变换幂函数方程： “= v = ( 2 4 2 - 8 ) 中的一个特例。对一般的阶幂函数，系数个数及为确定这些系数所需的控 制点对数需根据具体值来确定。一般来说，适当提高阶次可提高校正精 度，但随着阶次| 的提高，为确定幂函数系数所需的控制点对数量亦随之增 多，并且坐标变换所需计算量亦增多。实用上，一般取为2 或3 。 对= 2 的情况，上述的幂函数可展开为： j ”= + 口1 0 x + 口o i y + q 2 0 x + + y + a l i 矽 【v = 6 帅+ 6 l o x + b o i j ，+ k x 2 + y 2 + 6 l l x y ( 2 4 2 9 ) 即为确定此方程共有1 2 个待定系数口i 。及b i ；，为此共需6 对控制点对才能位 移确定此坐标变换方程的系数。同时可导出，当= 3 时，坐标变换方程l 共有 2 0 个系数需要确定，为此至少需要l o 对控制点对才能唯一地确定这些系数。 在实际应用中，对应点对的测量难免有误差，为了避免由于个别对应点对的 测量误差严重影响所求坐标变换方程系数的精度，通常采用多控制点对( 即 选取多于所需的控制点对) ，而后用最小二乘方法求解坐标变换方程的系数。 9 w r厶脚“p厶刖 。p厶：童。p厶!呈 = = 办 力 工 x 烈 托 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 2 5 采样与重建 2 5 1 采样理论 图像插值中经常需要在连续域与离散域中相互切换，采样理论是联系这 两个域之间的桥梁。理想的图像通常被看作一种二维连续函数，即它的灰度 是其位景的连续函数，为了能在计算机上进行处理，必须在空间和灰度上对 它进行数字化，即采样和量化。 考虑一种理想的情况，使用冲激数组c o m b ( x ，y ) 对图像f ( x ，y ) 进行均匀 采样。c o m b ( x ，y ) 表示如下： 兰塑 c o m b ( x ，j ，) = 6 ( x m a x ，y n a y ) ( 2 - 5 - 1 - 1 ) u t i m 其中，m ，l , l = o ，1 ，2 ， 那么，取样后的图像可表示为： 厶( x ，力= f ( x , y ) c o m b ( x ，y )( 2 5 1 - 2 ) 式中，厶( x ， 和f ( x ，y ) 分别代表取样后的图像与原始连续图像。若令 乃( ，v ) 、f ( u ，力、f c o m b ( x ，y ) ) 分别代表厶( x ，y ) 、f ( x ，y ) 、c o m b ( x , y ) 的傅 立叶变换，则有： 日( “，v ) = f ( u ，v ) + f c o m b ( x ，力)( 2 5 i - 3 ) 我们知道，冲激阵列的傅立叶变换仍然是冲激阵列，其强度为1 a x a y ， 各冲激之间的间隔在u 轴方向上为a u = i a x ，在v 轴方向上为v = l y ，其 表达式可写成： 1 f c o m b ( x ，y ) ) = c o r a b ( u ，v ) z x m y 2 击互娶( u - m a u , v - n a y ) ( 2 。5 1 4 ) 因此上式又可以写成： f a 酬) 2 击肥邪) c o m 卿吨v 一) 喇口 = 击胪) 圭奎( u - - 口- - m a u , v - - 埘删 = 南皇重卿一石mp 砻( 2 5 1 - 5 ， 由上式可以看出，采样后图像的频谱是原始图像频谱在频域上的无限重 复，重复周期在轴方向上为a u = 1 a x ，在v 轴方向上为a v = l a y 。 1 0 若f ( x ，y ) 是有限带宽的，即当川 u c 和h v 。时，f ( u ，v ) = 0 ，那么适当 选择取样间隔缸和a y ，可以使m 和”取不同整数值时，f ( u m a x ，v 一玎妙) 互不重叠。只要f ( “，v ) 中各相邻f ( u r e l a x ，v n l a y ) 之间不发生重叠，我们 就可以通过低通滤波器重现出f ( u ，v ) 来。 显然，各相邻f ( u m l a x , v n z l y ) 之间不相互重叠的条件是： l a x 2 u 。和l a y 2 v 。 ( 2 5 1 6 ) 或 a x 1 1 2 u 。和缈s 1 1 2 v 。 ( 2 5 1 7 ) 上面讨论的结果就是著名的采样定理【6 】： 对于一个函数，( x ，y ) 。若其傅立叶变换f ，v ) 在频域的一个有限区域外 ( 即m “。或i 叫 v 。) 处处为零，则当采样间隔缸1 1 2 u 。和a y 1 1 2 v 。时， f ( x ，y ) 可由它的样本值正确地重现。这里- 最大采样间隔血= 1 1 2 u 。和 缈= l 2 v 。称为奈奎斯特间隔，而l ，缸和1 ，匈称为奈奎斯特频率。 2 5 2 图像重建 由离散样本到连续模型的这一过程叫重建。重采样过程中的一个问题是， 重采样栅格并不总是与采样栅格相重合，也就是说。对输出离散图像坐标使 用逆映射函数得到的采样位置并不一定与输入离散图像坐标相重合。这是因 为，连续映射函数的值域为实数集，而输入栅格为接数集的缘故。为了解决 这一问题，可将离散的图像采样点转换成一个连续的表面，这一过程便是图 像重建【7 】。完成输入图像后，便可以在任一位旨对其进行采样。重建一般采 用插值完成。 对于有限带宽的图像，如果采样间隔小于奈奎斯特间隔，就可以用理想 低通滤波器滤出原始图像的频谱。这个过程可以表示为： v ( u ，v ) = a x a y f d ( u ，v ) r ( u ，v )( 2 5 2 1 ) 式中r ( u ，v ) 表示如下： 胄c “= ：凳鬯和卜降k 时( 2 5 2 - 2 ， 知道f ( u ，v ) 后，通过傅立时反变换即可获得原始图像f ( x ，力，根据卷积 定理，又可写成： ，( y ) = a x a y f a ( x ，y ) + r ( x ，y ) = 厶( x ，力( a x 却) 月( x ，y ) 其中，r ( x , y ) 为对r ( u ，v ) 的求傅立叶反变换的结果。 眉( y ) ：( 4 。) 里譬业里罂型 z m l c x2 硎。y ( 2 5 2 - 3 ) ( 2 5 2 4 ) 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 ( 2 5 2 3 ) 式说明，对满足图像采样的定理的图像样本数据来说，利用s i n c 函数对它进行内插可以获得原始图像。 2 6 插值函数的要求 对图像重采样来说，插值这一步必须能从离散采样值f ( i ) 重建原二维连 续信号f ( x ，y ) 。其中五y r ，i , j + o ) 。因此点( 矗力的值必须从相邻的离 散样本估计得到。这可用离散图像采样值与一个二维重建滤波器的二维连续 脉冲响应h ( x ，们相卷积而得： f ( x ，) ，) = f ( i ，j ) h ( x - i ，y - j ) ( 2 6 - 1 ) ， 其中h ( x ，y ) 称为插值函数，也叫做插值核。 对插值函数的要求为： ( 1 ) 一般要求 得到高质量插值的代价是计算时间。因此，选择有最好折衷的基函数很 重要。在几个需要考虑的因素中，最重要的是h ( x ，力的支撑，即h ( x ，力不等于 零的最小区间。支撑越长，计算时间越长。另一个重要的因素是基函数内在 的估计质量。其它方面包括分析操作的难易，计算的难易，和当h ( x ，y ) 不能严 格插值，需要转换时，决定新离散值的效率。 ( 2 ) 可分离性 对高维数据插值： ，( x ) = 厶识m 一k ) = ( 耳，x 2 ，) r 9 ( 2 6 2 ) r e z 来说，要零基函数( x ) 是可分离的，这样可以减少计算负担，如： 仍。( j ) = 兀尹( ) 。这个限制的非常有益的结果是数据可以一行行，一列列的 分散处理f 1 ( 3 ) 对称性 对任何成像系统来说，保持图像的空问关系是至关重要的。要求卷积式 中包括的滤波器响应不会引起任何相位衰减。于是对称性可以满足此要求， 即要求仍。( z ) = 蛾。( 一x ) 。 ( 4 ) 正则性 许多人认为基函数的正则性很重要。当，需要微分时，正则性是重要的， 但在日常图像处理应用中很少要求，最多要求，的梯度。所以，没必要一定 要求有高度正则性的基函数。 2 7 主要插值方法概述 将插值广义地分为两类一一基于场景的图像插值和基于对象的图像插值 【8 【9 】。基于场景的图像插值用已有的图像像素数据直接决定被插图像的像素 数据 1 0 1 h 。基于对象的图像插值则从已有的像素中获取对象信息来决定被 插图像像素数据 1 2 1 1 3 1 4 1 。 带形状控制参数的c o o n s 曲面在图像插值中的应用 2 7 1 基于场景的插值方法 2 7 1 1 线性方法 对于图像插值，经典的插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值 来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现为信号的离散采样 值与插值基函数之闻的一i 维卷积。这种基于模型的加权平均的图像插值方法 统称为线性方法。 经典的插值方法有；( 1 ) 最近邻域法：( 2 ) 双线性插值：( 3 ) 双三次b - 样条插 值；( 4 ) 双三次样条插值：( 5 ) s i n c 函数 ( 1 ) 最近邻域插值 最近邻域插值的基函数是最简单的一种插值方法，它是一个方波，通过 将原始图像与矩形函数卷积来实现插值。它在方波脉冲的边缘有轻微的不对 称，它的表达式如下： ( x ) = 它是将与( ，v o ) 点距离最近的已知整数坐标点( “，v ) 点的灰度值作为待插 像素点( ，v 0 ) 的灰度值。最近邻域算法引起了重采样图像相对于原始图像的 漂移。这就意味着在保留予图像的相对位置的情况下是不能使用最近邻域算 法的。在( ，) 点各相邻像素间灰度值变化较小时，这种方法是一种最简单、 效率最高的方法，但当( ，) 相邻像素灰度值差很大时，这种方法只是简单 地进行点复制，失真相当严重，会产生较大的误差，是最粗糙的插值方法。 ( 2 ) 双线性插值 这种方法是对最近邻域法的一种改进，即用线性内插法。 对于一维的插值情形，它使得每一点的灰度值由离它最近的两个点的值 决定： 设给定的样本数据为f ( x k ) ，样本之间的间隔为l ，现在要对x 处进行插 值，结果为j - ( x ) 。且有x 的最近邻点为吒( 左边) 与托+ 。( 右边) ，我们定义 这三个点间距离如下： s = 工一毛，1 一j = x k “- - x ( 0 5 1 ) 那么，使用线性插值方法求取广( x ) 可表示为： ，( x ) = ( 1 一s ) f ( x a + s f ( 黾“) 对于二维情形，可表示为： f ( i + ，j + v ) = ( 1 一“) ( 1 一v ) f ( i ，) + ( 1 一“) ，矿( f ，+ 1 ) 十“( 1 一v ) f ( i + l ，) + u v f ( f + 1 ，+ 1 ) ，2 1 2 一 。2 臼 工 “ 。一：。2 0 o 带形状控制参数的c o o n s 曲面在圈像插值中的应用 线性插值算法相当于用三角形函数对采样图像进行卷积。较之于用矩形 函数进行卷积，其低通滤波效果有所改善。但由于它削弱了截至频率附近的 频率，使得图像被平滑化，尤其在图像放大倍数较高时尤为严重。 ( 3 ) 双三次b 一样条插值 b 样条是矩形函数的几次卷积结果，三次b 样条是简单矩形函数四次卷 积的结果，它在图像处理中应用非常广泛 1 5 1 。b 样条作为插值函数加宽了扩 展部分使插值时每一边有两个点，它是一个较好的低通滤波器，尤其是截 至带得到了改善。然而，它们从l 至2 都为正数，因此，它在截至频率附近 做了一定程度上的不必要的平滑。由于三次b 样条是对称的，它只需要在( 0 ， 2 ) 区间上定义即可，具体表示如下： 日( 石) = 了2 一i 1 f x l 2 ( 2 一卜i ) o x l 吉( 2 - i x | ) 3 l x 2 0其它 当我们利用扩展的四点进行插值时，若最近一点的位置偏移量为d ，这里 d 为区间( 0 ，1 ) 内的数，插值函数的四个样本点将被使用：厂( d ) ，f ( 1 一d ) ， f ( 1 + d ) 和f ( 2 一d ) 。对于三次样条，不论d 为何值，这四个点处的值的总和为 1 。即对任意的偏移值，插值函数的总和为1 。因此，在插值过程中直流分量 的增益为1 。这一特殊的性