（概率论与数理统计专业论文）随机利率下带交易费的期权定价新模型.pdf

r 原创性声明 1 u l l l1i l l l i l l li l li i i m y 1 7 9 0 5 7 1 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：三圣l 日期：垫p ! ! 丝 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：赴导师签名：娃日 期：论文作者签名： ：基歪导师签名：趣2 日期： 幻j ，f6 二! i - 4 j = l 山东大学硕士学位论文 摘要 1 9 7 3 年，b l a c k 与s c h o l e s 给出了标准的期权定价方程，简称为b - s 方程， 后来m e r t o n 给出了期权价格的显式解。在随后的几十年里，期权定价理论取得 了很大的发展和改进，使其更加贴近实际情况，比如增加了标的资产分红，标的 资产头寸改变导致交易费，复合期权，随机利率下的期权，奇异期权等等。如何 更精确地计算这些非标准化的期权的价格成为众多学者和金融机构所关注的问 题 本文讨论了韦萨切克利率和不变方差弹性下带交易费的期权价格问题，所谓 不变方差弹性，也即c e v p 情况( c o n s t a n te l a s t i c i t yo f v a r i a n c e ) ，也即对通常 假设的股票服从几何布朗运动的推广，几何布朗运动只是其中的一个特殊情况。 本文分别考虑了六个方面：欧式看涨，利率方程与股票方程一般化，利差期权， 多资产期权，交易费定义一般化，随机利率与c e v p 下的交易费定义一般化 在推导期权价格方程上，采用构造无风险的投资组合的方式：在处理交易费 方面采用经典的l e l a n d 方法，也即在一个时间的小区间内考虑交易费，因为否 则可能会导致交易费向无穷逼近；因为随机利率与交易费的同时存在，所以得不 到期权价格v 关于利率r 和股价s 的显示表达式，但是结果在数值计算上是可 行的。 如果不存在交易费和随机利率，计算结果就是经典b s 公式。前人只推导 了c e v p 下有交易费的期权方程，本文加入了随机利率。推出了期权价格作为股 价，利率，时间的函数所满足的偏微分方程，由于股价和利率都含有随机因素， 所以涉及到对交易费部分中两个及以上的布朗运动的处理，这是前人未处理过的 情况，这是本文的第一个创新 然后，将结论推广到利率方程和股票方程一般化的情况；再次，考虑了利差 期权，这是是一个简单的特殊形式的多资产期权，文中给出了其定价结果。 值得注意的是，在处理头寸变化的过程中，采用了p a u lw i l m o t t 在 2 】中首 先提到的方法，也即舍掉布朗运动微元的高阶无穷小量，这个量并不是需要逼 近0 的变量，其对交易费的影响只是一个较小的常数。而影响交易费的主要部分 相对较大，并能随着交易频率提高趋于无穷大。 我们会注意到p a u lw i l m o t t 的方法虽然具有形式上的简洁性，但是舍去布 山东大学硕士学位论文 朗运动的高阶量有不精确之嫌，因此本文对交易费重新给出了一般的定义，假 设其为头寸改变量的二次可微的函数，具有合理性，而且对冲系数d e | t a 与头寸 改变频率有关，这是很有实际意义的。通常所假设的交易费为的情况可以通 过v 的二次可微的函数来逼近。构造一般化的交易费定义是本文的第二个创新 本文的第三个创新是在第二个创新基础上加入随机利率，给出了随机利率 和c e v p 下交易费定义一般时的期权价格方程。同样，对冲系数与价格方程不含 有交易频率的因素，期权价格是股价，时间，利率的函数。 最后，文中给出了c e v p 下带交易费的欧式看涨期权的隐格式有限差分计算 方法，并编写了程序。 关键词：随机利率c e v p 期权定价交易费一般化的交易费定 - r 山东大学硕士学位论文 a b s tr a c t i n1 9 7 3 ，b l a c ka n ds c h o l e sg a v et h es t a n d a r do p t i o np r i c i n ge q u a t i o n ，b - s e q u a t i o nf o rs h o r t t h e n ，m e r t o ng a v ei t se x p l i c i ts o l u t i o n d u r i n gt h es u b s e - q u e n ts e v e r a ld e c a d e s ，t h et h e o r yh a sm a d eg r e a tp r o g r e s sa n di m p r o v e m e n t s ， s ot h a ti th a sb e e nc l o s e rt or e a l i t y , s u c ha su n d e r l y i n ga s s e td i v i d e n d sb e i n g a d d e d ，p o s i t i o n c h a n g er e s u l t i n gt r a n s a c t i o nc o s t s ，c o m p o u n do p t i o n s ，o p t i o n s u n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，e x o t i co p t i o n s ，a n ds oo n h o w e v e r ，h o wt op r e - c i s e l yc a l c u l a t et h e i rp r i c e si sap r o b l e mp a y e dc l u ea t t e n t i o nt ob ym a n ys c h o l a r s a n df i n a n c i a li n s t i t u t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n gw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s u n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ea n dc e v p t h es oc a l l e dc e v pi sa c t u a l l yas p r e a d o fg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n w h i c hi so n l yas p e c i a lc 躐o fi t s i xr e s p e c t sa r e c o n s i d e r e d ：e u r o p e a nc a l lo p t i o n ，g e n e r a lc a s eo fi n t e r e s tr a t ea n ds t o c kp r i c e e q u a t i o n s ，s p r e a do p t i o n ，m u l t i - a s s e to p t i o n ，g e n e r a l i z e dd e f i n i t i o no ft r a n s a c t i o n c o s t s ，a n dg e n e r a l i z e dd e f i n i t i o no ft r a n s a c t i o nc o s t su n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a n dc e 矿p i nt h ep r o c e s so fd e r i v a t i o no fo p t i o np r i c e s ，w et a k ea d v a n t a g eo ft h em e t h o d b yc o n s t r u c t i n gar i s k l e s sp o r t f o l i o ；w eu s et h ec l a s s i cm e t h o d ”l e l a n d m e t h o d t od e a lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s ，t h a t 8 ，t oc o n s i d e rt r a n s a c t i o nc o s t si nas m a l l t i m ei n t e r v a l ，o t h e r w i s e ，t h e ym a ya p p r o a c hi n f i n i t y ；s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ea n d t r a n s a c t i o nc o s t se x i s ta tt h es a m et i m e ，s ow ec a n tg e tv se x p l i c i te x p r e s s i o n w h i c hi si nr e g a r dt os ，ra n dt , h o w e v e r ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni sf e a s i b l e i ft r a n s a c t i o nc o s t sa n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ed on o te x i s t ，t h ee q u a t i o n b e c o m e sc l a s s i cb se q u a t i o n p r e d e c e s s o r so n l yh a v ed e 砒t h ec a s ei n v o l v - i n gc e v pa n dt r a n s a c t i o nc o s t sw i t h o u ts t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，h e r e ，w eg e t t h eo p t i o n p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h e r et h eo p t i o np r i c ei saf u n c t i o no f 山东大学硕士学位论文 s t o c kp r i c e ，i n t e r e s tr a t ea n dt i m e b e c a u s es t o c kp r i c ea n di n t e r e s tr a t eb o t h h a v es t o c h a s t i cf a c t o r s ，i ti n v o l v e sh o wt od e a lw i t hm o r et h a no n eb r o w n i a nm o - t i o n ，w h i c hi sn o td e a l tw i t hb yp r e d e c e s s o r s t h i si st h ef i r s ti n n o v a t i o ni nt h i s p a p e r t h e n ，w es p r e a dt h ec o n c l u s i o nt ot h ee a s ei nw h i c hi n t e r e s tr a t ee q u a t i o na n d s t o c kp r i c ee q u a t i o na r eg e n e r a l i z e d a n dt h e n ，w ec o n s i d e rt h es p r e a do p t i o n s ， w h i c hi sas i m p l em u l t i - a s s e to p t i o n ，a n di t sp r i c ee q u a t i o ni sg i v e n a n d ，w e h a v ed e r i v e dt h ee q u a t i o no fam u l t i - a s s e to p t i o nw h o s ep r i c ei sd e t e r m i n e db yn o p t i o n s w h i c hi si n f l u e n c e db ym s t o c h a s t i cf a c t o r se a c h i t sn o t e w o r t h yt h a t ，i nt h ep r o c e s so fd e a l i n gw i t hp o s i t i o n c h a n g e ，w eu s e p a u lw i l m o t t m e t h o dw h i c hi sf i r s tm e n t i o n e di nt h er e f e r e n c e 【3 】t h eh i g h e r o r d e ri n f i n i t e s i m a lo fb r o w n i a nm o t i o n sd i f f e r e n t i a li ss a c r i f i c e d ，w h i c hi sn o tt o b el e ta p p r o a c h0 a n di ti so n l yas m a l l e rc o n s t a n t t h em a i np a r tc o n s t i t u t i n g t r a n s a c t i o nc o s ti sb i g g e r ，a n di tb e c o m e si n f i n i t ea st r a n s a c t i o n f r e q u e n c ya p - p r o a c h e si n f i n i t e w em a yf i n dt h a tt h o u g hp a u lw i l m o t t m e t h o di sm o r es i m p l e ，i ti sn o t a b s o l u t e l yp r e c i s eb e c a u s eh i g h e ro r d e ri n f i n i t e s i m a lo fb r o w n i a nm o t i o n sd i f - f e r e n t i a li ss a c r i f i c e d i nt h i sp a p e r ，a n o t h e rd e f i n i t i o no ft r a n s a c t i o nc o s ti s g i v e nw i t c hi sm o r eg e n e r a l ；w h a t sm o r e ，i ti sl e tb eat w i c e - d i f f e r e n t i a lf u n c t i o n o fp o s i t i o n c h a n g e ，s oi t sr e a s o n a b l e ；d e l t ai sr e l a t e dt ot h ef r e q u e n c yo fp o s p t i o n c h a n g e s ，w h i c hh a sp r a c t i c a ls e n s e t h eo r d i n a r yc a s et h a tt h et r a n s a c t i o n c o s t sa r el e tt ob em c a l lb ea p p r o a c h e db yat w i c ed i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o no fv t h i si st h es e c o n di n n o v a t i o ni nt h i sp a p e r t h et h i r di n n o v a t i o ni st h a ts t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ei sc o n s i d e r e d ，g i v i n gt h e p r i c ee q u a t i o nw i t hg e n e r a f i z e dd e f i n i t i o n o ft r a n s a c t i o nc o s t sf o r mu n d e r s t o c h a s - t i ci n t e r e s tr a t ea n dc e v p s i m i l a r l y , d e a l td o e sn o ti n c l u d et r a n s a c t i o nf r e - q u e n c y a n do p t i o ni saf u n c t i o no fs t o c kp r i c e ，t i m ea n di n t e r e s tr a t e f i n a l l y , w eg i v et h ei m p l i c i tf o r m a tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n dp r o g r a m m e s f o rt h ec a l c u l a t i o no ft h ep r i c eo fo p t i o n sw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s k e y w o r d s ： s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ec e v p o p t i o np r i c i n g t r a n s a c t i o nc o s t sg e n e r a l i z e dd e f i n i t i o no ft r a n s a c t i o nc o s t s 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t s 中文摘要 a b s t r a c t 1 引言 1 1 什么是期权 1 2 期权定价的历史 1 3 期杈定价的发展 2 期权定价理论基础 2 1 期权基础 2 2 利率模型基础 2 3 期权定价基础 5 5 7 1 1 3 随机利率与c e v p 下带交易费的期权价格1 5 3 1 随机利率下欧式看涨期权价格。1 5 3 2 随机利率与c e v p 带交易费的欧式看涨期权价格1 8 3 3 股票方程与利率方程一般化2 1 3 4 随机利率与c e v p 下有交易费的利差期权定价 2 5 3 5 随机利率与c e v p 下多资产期权定价 2 8 4 交易费定义一般化3 1 4 1 交易费定义一般化下的期权价格3 1 4 2 随机利率和c e v p 下的交易费定义一般化3 2 5c e v p 下带交易费的欧式期权数值解 参考文献 致谢 1 3 6 4 4 4 5 一 v 2 2 2 4 山东大学硕士学位论文 1 引言 1 1 什么是期权 期权( o p t i o n s ) 是一种选择权，期权的买方向卖方支付一定数额的权利金后， 就获得这种权利，即拥有在一定时间内以一定的价格( 执行价格) 出售或购买一定 数量的标的物( 执行价格) 出售或购买一定数量的标的物( 实物商品、证券或期货 合约) 的权利。期权的买方行使权利时，卖方必须按期权合约规定的内容履行义 务。相反，买方可以放弃行使权利，此时买方只是损失权利金，同时，卖方则赚取 权利金。总之，期权的买方拥有执行期权的权利，无执行的义务；而期权的卖方只 是履行期权的义务。 期杈主要有如下几个构成因素：( 1 ) 执行价格( 又称履约价格) 。期权的买方 行使权利时事先规定的标的物买卖价格。( 2 ) 权利金。期权的买方支付的期权价 格，即买方为获得期权而付给期权卖方的费用。( 3 ) 履约保证金。期权卖方必须存 入交易所用于履约的财力担保。( 4 ) 看涨期权和看跌期权。看涨期权，是指在期权 合约有效期内按执行价格买进一定数量标的物的权利；看跌期权，是指卖出标的物 的权利。当期权买方预期标的物价格会超出执行价格时，他就会买进看涨期权，相 反就会买进看跌期权。 按执行时间的不同，期权主要可分为两种：欧式期权和美式期权。欧式期权，是 指只有在合约到期日才被允许执行的期权，它在大部分场外交易中被采用。美式期 权，是指可以在成立后有效期内任何一天被执行的期权，多为场内交易所采用。 1 2 期权定价的历史 由于期权价格是期杈合约中唯一随着市场供求变化的量，因此期权定价问题是 期杈的核心问题。但是长期以来，并没有很满意的定价模型，1 9 7 3 年以来f i s h e r b l a c k ，m y r o ns c h o l e s ，m e r t o n 提出b l a c k - s c h o l e s - m e r t o no p t i o np r i c i n gm o d e l ，给出 欧式期权显示表达式，创造出具有划时代意义的定价模型，为衍生品定价提供了理 论基础，并将数学工具应用到金融市场中。 2 山东大学硕士学位论文 他们作出了如下的基本假设： ( 1 ) 证券价格遵循几何布朗运动； ( 2 ) 允许卖空标的证券； ( 3 ) 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； ( 4 ) 在衍生证券的有效期内，标的证券没有现金收益支付； ( 5 ) 不存在无风险套利机会； ( 6 ) 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； ( 7 ) 在衍生证券有效期内，无风险利率是常数。 这是期权定价理论的重大突破，极大地推动了期权交易市场的发展。 尽管b - s 公式给出了期权合理定价的重要方法，但是由于b - s 公式中无风险利 率，红利率，股票波动率都是常数，然而在现实生活中不仅期权方式变化多端，而，一， 且无论无风险利率，红利率，股票波动率都是随着市场变化的，而且标的资产的市 场价格也受很多方面因素的影响，因此很多学者尝试对b - s 公式进行改进，研究期 权的方法也层数不穷，主要有偏微分方程法，鞅方法，m o n t e - c a r l o 方法，倒向随机 微分方程方法，有限差分法，二叉树方法等。其中m o n t e - c a r l o 方法是早在1 9 世纪 就被提出，但是由于其使用需要大量的随数，广泛应用还是在1 9 3 0 年计算机兴起之 后。该方法利用计算机模拟标的资产的随机运动和对应的期权收益，并将这一收益 按无风险利率进行贴现，有大量的随机样本得到的贴现后收益的算术平均值就是期 权的估计值。这种方法计算速度较慢，但是由于计算简单可以计算很多到期日确定 的奇异期权。 后来b r e n n a n 等又给出了美式期权定价的一种算法。但是到1 9 7 9 年，c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n 提出了著名的二叉树模型。二叉树模型很好地诠释了期权怎样同一种 拥有两种可能的未来价格的资产结合起来形成无风险的套利，并进一步推导出期权 的价格，该模型被认为是一种离散情形下的模型。此后，二叉树模型经r e n d l e m a n 等人进一步深入和扩展，所有这些论文都表明当期权的生命周期被分割成间隔 越来越小，数目越来越多的时间段时，通过二叉树模型取得的价格会越来越趋近 于b l a c k - s c h o l e s 价格。 3 山东大学硕士学位论文 1 3 期权定价的发展 b l a c k - s c h o l e s 公式给出了期权的定价方法，但是该模型必须满足苛刻的条件才 能成立。随后几十年中，模型不断被改进。比如假如随机利率，也即假设利率满足 一定的随机微分方程，也可以假设标的资产支付红利，这也会改期权的真实价 值，或者也可以加入标的资产的交易费，或者甚至假设改变了标的资产满足的微分 方程，比如波动率满足不变方差弹性，也即c e vp r o c e s s 在现实中，期权交易者所 处的环境原没有模型假设巾的那么完美。当交易者面临不可忽略的交易费并且固定 的常数利率也变为了随机的，头寸的不断调整会招致巨大的交易成本，在这种情况 下，如何为寻找期权真实价值或寻求对冲策略成为人们关注的新的课题。 ( 1 ) c e v ( c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c e ，方差常弹性) 期权定价模型：由于c e v p 模 型有闭式解，并且描述了股票价格收益方差和股票价格之间的逆向相关关系。c e v p 期权定价模型首先有c o x 提出；b c c k c r s 和m a c b e t ha n dm e r v i l l e 分别利用股票和期 权数据研究了欧式看涨期权在c e v p 模型下和b l a c k - s c h o l c s 假定下的关系：c o x a n dr u b i n s t e i n 对c e v p 模型进行了更详细的分析；b o y l ea n dt i a n ( 1 9 9 9 ) 构造了一 个三叉树方法逼近c e v p 过程，并且使用它定价回溯和障碍期权。并且在不同弹性 因子的各种c e v p 过程里，得到了对结合时变模型参数的解析解 ( 2 ) l e l a n d 在1 9 8 5 年的一篇文章”o p t i o np r i c i n ga n dr e p l i c a t i o nw i t ht r a n s a c t i o n s c o s t s ”中考虑了当交易费用只发生在离散点时的期权对冲策略，改进了b l a c k - s c h o l e s 模型。他考虑了带交易费用时期权的复制，给出了依赖于交易费用和费用频 率的复制方法。 4 山东大学硕士学位论文 2期权定价理论基础 2 1期权基础 期权：持有者在确定的时间，按确定的价格出售或买入一定数量的标的资产的合 同，但是他不必承担必须执行合同的义务。在期权合同中，标的资产的确定的交易 价格称为敲定价格，确定的日期为到期日，安合约限定执行买入或者售出的标的的 资产的行为称为实施。 ( 1 ) 期权按合约中买入或者卖出标的资产划分为两种： 看涨期权( c a u o p t i o n ) ：在确定的时间，按确定的价格买入一定数量的标的资产的 合约。 看跌期权( p u t o p t i o n ) ：在确定的时间，按确定的价格卖出一定数量的标的资产的 合约。 期权按合约中的实施时间的不同划分为两种： 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) ：只能在合约规定到期日实施。 美式期权f a m e r i c a no p t i o n ) ：能在合约规定到期日之前任意一个工作日实施。 设k 为敲定价格，t 为到期日，则在到期日期杈的价值为： 看涨期权：y r = ( s r k ) + 看跌期权：= ( k s r ) + 这里s 为标的资产在到期日t = t 时的价格 期权是未定权益，所以期权的价格也就是这个未定权益的价值 ( 2 ) 常见奇异期权 1 亚式期权a s i a no p t i o n s 也称为平均期权，其收益依赖于标的资产价格在期权 有效期内一段时间的某种平均，根据平均的方式，亚式期权可以分为算术型亚式期 权和几何型亚式期权z a i 对价格进行平均时，可以采用时间轴上某些离散点的平均， 也可以采用某段时间资产价格的连续平均，具体的说，假设 s 1 s 2 ，s 3 。，s n 5 山东大学硕士学位论文 是标的资产在【o ，t 】上n 个不同时刻 的价格，则 算术平均价格a ( n ) 是： 几何平均价格g ( n ) 是： a ( n ) = 坠学 对于连续情况，算术平均值足o 矗= ；t 跚 和皿 山东大学硕士学位论文 3 障碍期权b a r r i e ro p t i o n s 障碍期权是一种受一定限制的特殊期权，减少投资者风险，目的是把投资者的 投资收益或损失控制在一定范围内。障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期 权。 敲出期权是当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废；敲入期权只 有当标的资产价格达到一个热定障碍水平时，该期权才有效。障碍期权的收入不仪 取决于资产在到期日的价格，而且取决于标的资产的价格是否超过了某个“障碍”。 例如：一个下降出局期权( d o w n - a n d - o u to p t i o n ) 就是一种障碍期权，它在股票 价格低于某个障碍价格时就自动到期无效。同样，一个下降入局期权( d o w n - a n d - i n o p t i o n ) 在它的有效期内，股价必须至少有一次跌到障碍价格之下，该期权才有价 值。这些期杈也叫敲出期权( k n o c k - o u to p t i o n ) 与敲入期权( k n o c k - i no p t i o n ) 4 利差期权s p r e a do p t i o n s 指终端时刻的价值等于两种标的资产的价格之差的期权。 5 复合期权c o m p o u n do p t i o n s 指期权的期权，复合期权有四种类型：基于某个看涨期权的看涨期权、基于某个 看涨期权的看跌期权、基于某个看跌期权的看涨期权、基于某个看跌期权的看跌期 权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。 2 2 利率模型基础 ( 1 ) 韦萨切克利率模型 设眠，t 0 为布朗运动，则韦萨切克模型为： d r , = ( o t 一卢尼) d r + c r d w t 其中a ，卢，矿为正数。 这个随机微分方程有闭形式的解： r , - - - - e - b t 凰+ 1 - e - a t ) + c r e - b tf 0 2 沙d 巩 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 山东人学硕士学位论文 下面我们来验证，利用i t o 公式，令： 巾，x ) = e 堆凰+ 芸( 1 _ e - 3 t ) + a e - 卢t x ( 2 3 ) 设五= f e 毋d 巩，则忍右边的部分可以写为f ( t ，五) ，这里我们使用的技巧 是将右边分成两部分，一部分变量t 与x 的函数( 不含随机性) ，另一部分为i t o 过 程五 为了使用i t o 公式，需要对f ( t ，x ) 求偏导： ( 2 4 ) 用d x t d x t = ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 山东大学硕士学位论文 下面计算忍的方差，令x t = e 肛忍，则我们有： 试= a e 肛d t + o r e 8 t 瓶- d 睨 ：盯e 肛d t + 仃e 譬佤d 眦 ( 2 8 ) 以及e x t = 凰+ 蔷( e 卢一1 ) 删三2 2 五a p 芝d + t 蓉瓤x t d t 仁9 ， ： 五+ 2 仃e 譬砰d 玩+ 盯2 e 犀 将上式两边积分，得到： 群：粥+ ( 2 q + 矿2 ) 厂沙墨咖+ 厂。e 譬t 雄3 2 a d ( 2 1 0 ) 群= 粥+ ( 2 q + 矿2 ) 沙墨咖+e 譬雄d ( 2 1 0 - ，0，0 两边取期望，利用i t o 积分的期望为0 ，以及上面e x t 得到的结果 e x ；= x + 0 2 a + 矿、) l 矿”e x t , d 1 t = 焉+ ( 2 a + a 2 ) f o 。e 舡( 岛+ 昙( e 舡一1 ) ) 舡 = 墙+ 字( 凰一茜) ( 胪_ 1 ) + 可2 a + a 2 万a 【e 2 卢t - 1 ) 彤( 五) = ，c ( t ，x t ) d t + 厶( ，x t ) d x t + 言厶。( t ，x t ) d x t d x t = ( q 一卢，( t ，x t ) ) d t + a d w t ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 这表明f ( t ，五) 满足确定r 的随机微分方程，而且，( 0 ，知) = 风由 于，( t ，五) 满足确定忍，并且具有与忍相同的初始条件，因此于对t 0 ，f ( t ，五) = 忌 因为片e 加d w ：服从正态分布，均值为0 ，方差为 t e p s d s = 万1 ( e 2 肛一1 ) 因此r t 是均值为e - 成风+ 芳( 1 一e - 肛) ，方差为翕( 1 一e 一2 彤) 的正态随机变量。 特别是，无论参数q 0 ，卢之0 ，仃0 如何选取，总有正的概率使得j r t 取负值，对 于利率模型，这是不利的。 山东人学硕士学位论文 韦萨切克模型具有如下我们所期望的性质：利率是均值回复的。 当r = 等时，( o l p 忍) d 芒+ a d w t 为负时，迫使忍回r e 暑； 当忍 o 生成的， 那么最满足 我们构造投资组合 7 r t = v t a 1 & 一赳只， ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 选取k i t 份股票和2 t 份零息票，使得投资组合7 r t 在陋，t + a t 内为无风险的，即 选取适当的n 和2 。，使得 6 丌t = 6 v , 一1 t 6 & 一2 t 6 只为无风险的，且 d i t r t = r t t r t s t = n ( k 一1 t & 一a 2 t p t ) j t ( 3 3 7 ) 1 5 伊 外 洋坛 咄黧翌挑以 山东大学硕士学位论文 由i t o 公式得： 因为r = p ( r t ，t ，t ) 满足( 3 3 5 ) ，所以， ( 3 3 8 ) 一2 。 r p - a ( 目一7 ) 石o p m = 一孔( 瓦o p + 互1 口2 2 丽0 2 p 冲 ( 3 3 9 ) 又有，为了消除6 1 r t 中的风险部分，可令： 也即： l 产丽o v ， 2 t = ( 3 4 0 ) 一百c o v 丽t o p 【r p 一。( 目一r ) 丽c o p 】配 ( 3 4 1 ) 冲2 器+ 盯，a r 2 筇丽o a v + 互l o 2 0 2 v + r s 筹+ 口( 州罾一r y = 。， ( 3 4 2 ) t ，t ) = ( s k ) + ，r r ，s r + ! 【0 ，列 我们可以使用计价单位独立对( 3 4 2 ) 进行将维处理，假设： 可= p ( r ，t ，t ) ( 3 4 3 ) 丝铲 口 l 一2乩学 弱也 砖 r矿饥 y 矿卯丽 塑掀如 帮 一 叻y 晌 + + 型咿胍 铲 札 仃 一 1 r 一 + 一滔争 爿阢 翌加 坐丹 翌卯 2 2 盯 1 2 + y 万兰船 c ，) p 2 c 一 纠 盯 )一 扣翌西 y 一弘厂t 翌艘等 酽 一 2 l 扣坐粥 + 一y 一汜y 型挑咿 = = 么 疏 配 6 + 最盟巩叭 ，i-，、_， 黼 = 幻 ， y 山东大学硕士学位论文 那么可以得到下面转换关系： 酉o v = 箬+ p 罾一可筹箬， 一= v 一十r 一一t ， 出疣一疣 7 a t ，疣 a y a a 尸 a y a p 丽刨万一瓦瓦，8 r8 r。a r ua t a ya y o s 一瓦o y ， a 2 v仓a 2 po v a 2 p o r 2 叫而一yy o y 。一o r 2所2 俨ya 2 v1a p 一一一1 ， o r o s f o y 2po r 铲v10 2 v o s 22 酽 把上式带入( 3 4 2 ) ，得到： 而且令 ( 3 4 4 ) 0 口2 y v 。r 1 ( o 拶p ， 罾+ 扣 暑一2 盯- 啦p s y 1 石0 p + 弘12 张刍等) 2 】器 一刍【箬+ 譬筹+ n ( 口一r ) 等一r 万s 】可面o v 3 4 5 + 刍【箬+ 譬等+ 口( 口一r ) 箸一例= 。 其中的鼠为随机利率显式解中的量 那么( 3 4 2 ) 转化为 罾可2 等_ o ， 且y a ( y ，t ) = 等器= ( y - k ) + 由推广的b l a c k - s c h o l e s 公式得出其解： v ( y ，t ) = y n ( d 1 ) 一k n ( d 2 ) ， ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 山东大学硕士学位论文 则： 其中，d l =譬i 鲈! t 2 ，d 2 ：d 。一 f 绵) d s 、孙) 幽 再利用( 3 1 2 ) 回到原变量s , r ，t ，v 其中d ；= y ( s ，r ，。) = p ( s ，r ，t ) y a ( 南，。) q = s ( 啦) 一k p ( r ，t ，t ) ( 噬) ， ，呓：d ：一镢丽面 随机利率下的期权价格与标准的期权价格的区别在于： ( 1 ) 零息票代替e - r ( t 一。) ； ( 2 ) 台代替常数波动率盯1 3 2随机利率与c e v p 带交易费的欧式看涨期权价格 口 设股票价格满足：d & = r t s t d t + t 1 鼯d w t ，其中0 0 ，所以i 学i = 学 c e v p 下带交易费的期权价格方程为方程 ( 5 1 2 6 ) ( 5 1 2 7 ) ( 5 1 2 8 ) ( 5 1 2 9 ) 山东人学硕士学位论文 其中， 边界值为： 这里使用具体的数值进行计算，假设 k = 0 0 0 1 f 1 = 1 以= 0 0 4 a t = 0 0 4 d s = 1 r = 0 1 盯= 0 2 k = 9 5 3 7 ( 5 1 3 0 ) ( 5 1 3 1 ) ( 5 1 3 2 ) h r ? 然侮 盯 ，孝 户胁 而附协粉 n ， 一 歹 r 一 一 o l t 九 一 v i o 一 一 一 叩 “ = = 力 、， 罔一吣0 但 y y y ，-i_，、-_l 写m a t l a b 计算出的期权价格的匡缘为： 隐格式差分方法计算方程的m a f l a b 程序一 一 o f u n c t i o nv = e u r o p ( a l p h a k ，d t ，p l o t p o c l e a r ；d c ；a l p h a - - 1 量= 0 0 01 ；d t = o 0 4 疆o t = p 一 ? j u s a g e = e u r o p ( 1 ，0 0 4 。0 。0 4 。一p ) y d ti st h ei n t e r v a lr e g a r d i n gt ot r a n s a c t i o nc o s t s j e - sw h o ms = p l t h 饥p l o tt h eg r a p h ，o r d s e ，n og r a p h , s 一 ? ；? ；h a i t i a ld e f i n i t i o n j r = o1 ：j s i g m a = 0 2 y d e l t at - - o 0 4 一 d e l t a _ s = l ；4 k - - - - - 9 5 ：, j t = 2 一 s t = 2 0 0 一 t - - d d t at ：d e l t at ：t i + i s = d d t as ：d d t as ：s t ；v m = l e n g t h ( t ) ：v n s = t e n g t h ( s 弦 v - - z e r o s ( n t 。- 1 n s -