有限元大作业-11题.doc

国防科技大学有限元大作业 姓 名： 姜一华 学 号：XS11012012 2012/5/20一、问题描述如图1、2所示三杆均质杆组成的桁架结构设杆的截面积为A，材料为弹塑性材料，弹性段模量为E1，在塑性屈服段(sss)其模量为ETE1/2，其应力应变关系如图所示。在弹塑性范围内用有限元法求C位移与拉力P之间的关系（仅考虑0P3ssA即可）。图1.三杆组合桁架图2.材料应力应变关系杆结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的桁架系统。在结构力学中常将承受轴力或者扭矩的杆件成为杆。在有限元法中将上述单元称为杆单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，杆件的轴线方向也是互相交错，因此，对杆件系统的分析，必须涉及单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换。二、基本理论（一）局部坐标系统杆单元的描述这里先推导局部坐标系中的杆单元的单元刚度矩阵。如图3所示，杆单元只承受轴向力，外力作用于单元节点上。杆单元的长度为、截面积为、杨氏模量为。图3.局部坐标系中的杆单元（1） 单元位移函数假设，其中和为待定系数。杆单元受力后，节点满足，。通过这两个条件可确定和。解得：其中为单元形状函数矩阵，为单元节点位移。（2） 单元应变、应力矩阵单元应变为：其中应变矩阵。由应力-应变关系得单元应力为：其中应力矩阵为。（3） 刚度矩阵和载荷向量对于任意杆单元，其势能为：其中，为单元刚度矩阵，为单元载荷向量。由最小势能原理可知，当时，系统能量最小。由此得到单元刚度方程。(二)局部坐标系与整体坐标系的转换设单元节点位移在局部坐标系下的形式为，在整体坐标系下的形式为。如图4，两种坐标系之间的关系为：图4.坐标变换写成矩阵形式：令，则局部坐标系下节点位移与整体坐标系下节点位移的关系可简写为。将坐标变换矩阵代入局部坐标系的势能表达式：得到局部坐标系下的单元刚度矩阵与整体坐标系下的单元刚度矩阵关系为。其中，三、问题的有限元解答这里根据固体力学的知识，将该问题分为三个阶段进行有限元分析，过程如下。（一）三杆均为弹性变形在弹性变形阶段，应力-应变关系满足关系式。（1） 结构的离散化与编号对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如图5所示，有关节点和单元的信息如表1表3所示。xy图5.三杆桁架结构表1.节点编号和单元编号节点xy1L02003-L040-L表2.单元编号及对应节点单元节点i节点j434241表3.各单元的长度及轴线方向余弦单元长度cossin2L-2222L012L2222（2） 各单元的矩阵描述各单元刚度矩阵如下：（3） 建立整体刚度方程将所得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成总体刚度矩阵；同时将所有节点载荷矩阵进行组装，形成总体载荷向量。单元刚度矩阵叠加形成整体刚度矩阵：总体位移向量，由各节点总体位移向量构成。总体载荷向量，由节点外载荷向量构成，其中分别为各节点上的支反力，为作用于节点的外载荷。将总体刚度矩阵、总体位移向量和总体载荷向量写在一起，得到如下总体刚度方程：（4） 约束处理及刚度方程求解边界条件为：实现上述约束条件的办法是删除总体刚度方程中与零位移相应的行和列，这样总体刚度方程成为如下形式：求解可得拉力P与位移的关系为：当拉力继续增加，中间的杆首先达到弹性极限，进入塑性屈服段。而其余两杆仍处于弹性变形范围内，这样就进入第二种情况。下面继续对第二阶段的情况进行讨论。（二）中间杆塑性变形，其余两杆弹性变形弹性变形阶段，应力-应变变化规律为；塑性变形阶段，应力-应变变化规律为。类似前面的推导，得到整体刚度方程：代入约束条件，整体刚度方程化为如下形式：求解得：（三）三杆均为塑性变形在塑性变形阶段，应力-应变关系为。根据虚功原理，若单元在节点力下处于平衡，则节点力在节点虚位移上所做的外虚功等于应力在对应的应变上所做的内虚功，即：节点力在虚位移上做的功为：单元中内力的虚功为：由虚功原理可得：当杆处于塑性变形时，推导出的单元刚度矩阵与弹性变形时完全相同，只不过方程中多了一项。令，将其看作节点力，则有：在整体坐标系中，单元节点力为：由此得单元、在整体坐标下的节点力分别为：写出整体刚度方程，代入约束条件，求得：综上所述，在弹塑性范围内C节点位移与拉力P之间的关系为：通过对比可以发现，这里使用有限元方法求得的结果与后面通过固体力学方法求解所得结果完全相同。四、问题的固体力学解法如图6，在节点C上施加载荷P时，三根杆作用于节点C的力分别为，相应的位移为。图6.节点受力分析及虚位移关系由题意可列出平衡方程和几何方程如下。各杆的应变分别为： 当三杆都处于弹性变形阶段时，应力-应变关系为作用于节点C的拉力为：当拉力继续增加时，假设中间杆先达到弹性变形极限，此时中间杆应力，应变，得到。相应的，其余两杆应变，仍处于弹性变化范围内，假设成立。 当中间杆处于塑性变形阶段，其余两杆处于弹性变形阶段。作用于节点C的拉力为：当拉力继续增加，其余两杆也达到弹性变形极限，其应力，应变，得到。 当三杆都处于塑性变形阶段作用于节点C的拉力为：综合上面的讨论结果，可得节点C位移与拉力P之间的关系为：五、小结及感想这学期选修了有限元课程，我受益匪浅，当然首先要感谢老师的精辟的演讲。在这里我简单谈谈自己的学习感受。有限元是一种方法，把一个大块离散成很多小块，也就是说，当我们面对一个大块时，很难用一组方程来描述，通过有限元这种方法转化成很多小块，进而每个小块都可以用方程来表示，最终建立起一个庞大的方程组，而有限元软件就是解这些方程组的。怎么解这些方程组是软件的事情，但是怎么合理地建立这些方程组，计算出来的解的判断，分析就是力学概念的体现。建模是合理的简化，而且要合理。我觉得，模型不是越复杂越好