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东北大学硕士学位论文 摘要 双线性广义系统的无源控制与结构稳定性 摘要 源于物理的无源性概念，它将输入输出的乘积作为能量的供给率，体现了 系统在有界输入条件下能量的衰减特性。事实上，基于李亚普诺夫函数的稳定 理论，也可从无源性的角度加以解释，无源性与稳定性有着密不可分的关系。 双线性广义系统研究还处于初步和发展阶段。由于双线性广义系统增加了非线 性项，双线性广义系统的研究比线性广义系统要困难得多。目前，人们对双线性广 义系统研究还不多。 这篇论文研究了双线性广义系统在有界能量外部输入作用下的无源控制 问题，利用线性矩阵不等式和广义代数r i c c a t i 不等式，给出离散双线性广义 系统容许且严格无源的充分条件，并且基于此条件给出存在状态反馈控制器， 使得闭环系统容许且严格无源的充分条件，同时提出了相应的控制器设计。 双线性广义系统的稳定性研究具有广泛的实际意义，基于李亚普诺夫方程， 研究了双线性广义系统平衡点稳定的问题。用李哑普诺夫方法研究了双线性广 义系统的结构稳定问题，在此基础上，得到了一类双线性广义系统结构稳定和 李哑普诺夫方程的解的关系。最后，给出了这类双线性广义系统结构稳定的充 要条件。 关键词：非线性；双线性广义系统；零解渐近稳定；无源；状态反馈；一则 结构稳定 1 i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t p a s s i v ec o n c e p tc o m e sf r o mp h y s i c a ls y s t e m s i tt a k e st h ep r o d u c to ft h ei n p u ta n d t h eo u t p u ta st h es u p p l yr a t eo ft h ee n e r g y ，w h i c he m b o d i e st h ea t t e n u a t i o np r o p e r t yo fa s y s t e mu n d e rb o u n d e di n p u t i nf a c t ，t h es t a b i l i z a t i o nt h e o r yb a s e do nl y a p u n o v f u n c t i o nc a na l s ob ee x p l a i n e di nv i e wo ft h ep a s s i v i t y s ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e p a s s i v i t ya n dt h es t a b i l i t yi sa sc l o s ea sl i p sa n dt e e t h r e s e a r c ho fb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m si ss t i l lo nt h ei n i t i a la n dd e v e l o p m e n t a l s t a g e b e c a u s eb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sc o n t a i nn o n l i n e a ri t e m ，i t sr e s e a r c hi sm o r ed i f f i c u l t t h a nt h a to fl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s s of a r , r e s e a r c ho fb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m si ss t i l l l e s s t h ep a s s i v ec o n t r o lp r o b l e mi sd i s c u s s e du n d e rb o u n d e de n e r g ye x o g e n o u si n p u t s b ym e a n so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sa n dg e n e r a l i z e da l g e b r ar i c c a t ii n e q u a l i t i e s ，a s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sd e r i v e da ss u c ht h a tap r e s c r i b e dd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rb i l i n e a r s y s t e mi sa d m i s s i b l ea n ds t r i c t l yp a s s i v e m o r e o v e r ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r o v i d e d f o rt h ee x i s t e n c eo fa d m i s s i b l ea n ds t r i c t l yp a s s i v e t h ed e s i g nm e t h o df o rs u c hs t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ri sa l s og i v e n i ti so fp r a c t i c a li m p o r t a n c et os t u d yt h es t r u c t u r a ls t a b i l i t yo fb i l i n e a rs i n g u l a r s y s t e m s b a s e do nl y a p u n o ve q u a t i o n ，t h es t a b i l i t yo fb a l a n c ep o i n tb i l i n e a rs i n g u l a r s y s t e mi ss t u d i e d t h e n ，l y a p u n o vc r i t e r i aa r eu s e dt os t u d yt h e i rs t r u c t u r a ls t a b i l i t y , t h u so b t a i n i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es t a b i l i t yo ft h e s es y s t e m sa n dt h es o l u t i o nt o l y a p u n o ve q u a t i o n f i n a l l y , t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r eg i v e nt o t h e s t r u c t u r a ls t a b i l i t yo ft h e s eb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a r ；s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s ；a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ；p a s s i v i t y ； s t a t ef e e d b a c k ；r e g u l a r ；s t r u c t u r a ls t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果 除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包 括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谓 意。 学位论文作者签名：镬玉两 日期：蛔，7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定： 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名 签字日期： 导师签名 签字闩期 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 由于线性系统已经进行了很长时间的研究，形成了一套较为完整的分析 和设计方法，并在实践中已经获得了相当广泛的应用。而非线性系统很难用 数学方法进行处理，目前尚无解决各种非线性系统的通用方法。双线性系统 】 作为线性系统【2 4 ：的推广、非线性系统的最简形式应运而生。 1 1 双线性系统的含义与研究背景 1 1 1 双线性系统的意义 双线性系统的一般形式为 z a ( t ) x + u ( t ) x u + b q ) u ( 1 1 1 1 y = c ( t ) x 其中a ( t ) e r “，b ( t ) e r ”，n ( t ) x u 称为双线性项，可以表示为： n q ) x u 一f ( f ) 删， ( 1 1 2 ) x 尺“为状态向量，u r 一为输入向量，c q ) e r ，l 厂r “为输出向量。 双线性系统实质上是非线性系统，它是非线性系统 岩= f ( u ，t ) x + f ( u ，t ) ( 1 1 3 ) 岩；g ( x ，t ) v + g ( z ，t ) ( 1 1 4 ) 的简化。其中系统( 1 1 3 ) 称为状态线性系统( 或变结构线性系统) ，系统( 1 1 4 ) 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 称为输入( 控制) 线性系统，f 、g 为非线性函数。显然双线性系统就是在线 性系统的基础上增加了控制变量和状态变量的乘积项( 双线性项) 。该项包 含了双线性系统的全部信息。因此，它是一种最简单的非线性系统。如果n = 0 ， 则退化为线性系统了。 在时不变的情况下，系统( 1 1 。1 ) 可化为： 膏o ) ；a x e ) + 善m x o ) 玑o ) 4 - b u ( t ) ，x ( f 。) = 彳。( 1 1 5 ) _ii 1 i 】，( f ) = c x ( t ) 式中，x 尺”，u 尺p ，y e r 珊，分别称为状态、控制和输出向量， a ，f ( f = 1 ，2 ，p ) ，b ，c 分别称为系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵。系统( 1 1 5 ) 是一般形式的多变量双线性系统。 另外，在双线性系统研究中，还可以发现其他形式的表达式，如 岩o ) = 似o ) + m x p m o ) + b v ( t ) ( 1 - 1 _ 6 ) 其中v e r q 为另一与u e r v 独立的控制变量。一般称u 为倍增控制向量， 矿为叠加控制向量。这类系统称为具有独立的叠加和倍增控制向量的双线性 系统。 形如如下形式的系统称为双线性广义系统： e j r ( t ) = a x ( t ) 4 - 善f x o ) 配( f ) + b 【，( f ) ，x ) = x 。 ( 1 1 7 ) l ，0 ) ；c x q ) 其中e r ( r a n k o 和九) 0 ，使得 愀f ，x o ；t 。) 一圳g & - x ( - t o ) ，v t ：- t o ( 2 2 7 ) 成立，则称x c = 0 是指数稳定的。 值得注意的是上述定义中的稳定性均为局部稳定特性，即式( 2 2 5 ) 一 ( 2 2 7 ) 只要求对于满足1 1c6 ( ) 的初始条件成立。一般我们有如f 定义： 定义2 2 4 如果从系统( 2 2 1 ) 的任有限非零初始状态x 。出发的轨迹 东北大学硕士学位论文第二章基础知识 x ( t ；x o ，t 。) 都是有界的，且成立 撕，；f 。) 一t 卜o。 则称平衡点t = 0 是全局( 大范围) 稳定的。 2 2 2 稳定性判据 由定义判断系统的稳定性，需要解系统的状态变量。下面将要讨论的是 不需要求出状态方程的解而直接判断解的稳定性的李亚普诺夫第二方法，又 称为直接法。 为简便计，下面讨论定常系统的稳定性条件，即方程( 2 2 1 ) 可以表示 为 戈( f ) ；，0 0 ) ) ) ，( 0 ) = 0( 2 2 8 ) 对于一般的时变系统相应的结果，可参阅有关的文献。 定义2 2 5 如果存在标量函数v ( x ) 0 0 i ( o ) = 0 ) 对x 可微，沿方程( 2 2 8 ) 的解轨迹的导数连续，且满足 坐毕业：( 娑) rm o ) ) ；0 ，v t( 2 2 9 ) a xo x 其中 堂=(署瓦avox豢y 一。一i l 嵋 则称y 0 ( f ) ) 是方程( 2 2 1 ) 平衡点t = 0 的李亚普诺夫函数。 引理2 2 1 j 5 ：设u c r ”为原点工一0 的一个邻域。连续的实函数v ( x ) 对于 任意的x 【，为j 下定的充分必要条件为存在满足如下两个条件的严格单调增 函数d ( 砷和p ( f ) 。 ( 1 ) o 【( o ) = p ( o ) ； ( 2 ) a ( ) s 矿( x ) p ( 1 l x l l ) 。 东北大学硕士学位论丈 第二章基础知识 定理2 2 1 对于定常系统( 2 2 8 ) ，如果在平衡点t = 0 的邻域u 内，存在李 亚普诺夫函数v ( x ) ，则平衡点k = 0 是稳定的。 证明：设存在平衡点k = 0 邻域u 内的李亚普诺夫函数v ( x ) 。由引理1 ， 存在满足( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的严格单调增函数0 【0 ) 和p ( t ) 。考虑使得球域 s 。= x l l k l ise ) c _ u 的任意 0 。对于 0 ，取6 ( ) 0 ，使得 p ( 6 ) 墨a ( ) 由于对任意初态( | | i lc6 ( e ) ) ，有 丢矿o 媳v f 所以 故有 y p ) ) s 矿( 0t o ) ) = 矿) v f2 气 ( 1 l x l l ) sv ( x ) = v 0 ，则系统( 2 2 8 ) 是渐近稳定的。 证明：由定理2 2 1 知系统( 2 2 8 ) 是稳定的。并且由定理2 2 1 的证明知， 对于任意给定的初始条件e u ，存在。，0 ，使得 愀r ) l f ce 。，v ta t o 因为矿( x ( f ) ) 是f 严格单调增函数，且有下界，所以极限l i m y ( f ) ) 存在。令 墼矿0 ( f ) ) ；l ( 2 2 i s ) 假设0 ，由w ( x ) 0 ，v t2 t o ，一定存在充分小整数l ，0 ，使得 w ( x 、 f ，v t t o 所以，矿( o ) ) c 一，v ， t o ，存在有限的s ( y ) 一上) 彳，使得 v ( x ( t 。) ) = l 这结论与式( 2 2 1 5 ) 矛盾，故l = 0 。由李亚普诺夫函数的定义，y ( m ) 一0 意 味着x ( 0 0 1 = 0 ，即 ! i m x ( o ；0 证毕 定理2 2 3 对于定常系统( 2 2 8 ) ，如果在平衡点t = 0 的邻域u 内，存 在李亚普诺夫函数v ( x ) ，且满足 ( 1 ) y ， f x 2s 矿0 ) sy 。忙f ( 2 坛u ( 2 ) 暑y ) ) s 一斗i i z n 慨u 其中y ，o ，y ：，o 弘，0 为给定的常数，则该系统是指数稳定的。 证明：设满足条件( 1 ) 、 ( 2 ) 的李亚普诺夫函数y 0 ) 存在，则有 丢旷o ( r ”s 一昔i 卜1 1 2 ，蜥u 一1 3 东北大学硕士学位论文 第二章基础知识 矧s 一昔矿( 了( f ) ) 一 y ： 对任意给定的初始条件x ( t 。) = x o ，对上式两端从t 。到t 积分，得 l n y ( 戈( r ) ) 一l n y ( 戈( 岛) ) s y g ：( t - t o ) 所以 渊小川矿( x ( f ) ) y ：铲0 川 根据上式及条件( 1 ) ，有 l l x ( f ) | | 2 寺y ( ) e x 。 一昔( r 一) 啪1 1 2e x p 悟叫 = l l x o l l 2e x p 一九( f t c ，) 1 其中0 【：旦，九。旦。 y 1y 2 统 证毕 以上各定理给出了非线性定常系统稳定性的充分条件。对于线性定常系 幸( f ) t a x ( t ) 其中a r 为定常矩阵。如果取二次型 矿( x ) 一x 7 ( f ) 既( f ) ，p 是对称阵 作为式( 2 2 1 6 ) 的李亚普诺夫函数，那么，沿解轨迹有 ( 2 2 1 6 ) a v 出= 2 r ( t ) 既( r ) + z 7 ( t ) 戥( 小：x 7 ( t ) ( 爿7 p + 删) x ( r ) ( 2 2 1 7 ) 4 。p + p 4 ；一q 一1 4 ( 2 2 1 8 ) 东北大学硕士学位论文 第二章基础知识 显然q 也是对称| 珲。万程( 2 2 1 8 ) 称为李亚普诺夫方程。那么，由式( 2 2 1 8 ) ， 式( 2 2 1 7 ) 可化为 尝= 叫7 ( t ) ( ，) c 。 ( 对任意j ，0 ) 因而，由定义( 2 2 1 2 ) ，y ；x r 段可作为李亚普诺夫函数。并且华。0 ，于 口f 是有如下定理。 定理2 2 4 系统( 2 2 1 6 ) 是渐近稳定的充分必要条件是，对某个已给的对 称一定阵q ，矩阵方程( 2 2 1 8 ) 有唯解p ，且j p 也是正定的。 证明略。 如果令 y 。入。( p ) ，y ：= 九一( p ) ，= 九。( q ) 显然有 y 。i l x l l 2s y ( x ) sy ：2 ，v x e r ” 矿( 石) s 一2 ，v x e r “ 因此，对于线性定常系统来说，如果是渐近稳定的话，则一定是全局指数稳 定。 例2 2 1 已知 砉； 三斗 试判断其稳定性。 解：取q ；i ，方程( 2 2 1 8 ) 一舱圳乏刨三二 。 1 1 嗣 1 5 东北大学硕士学位论文第二章基础知识 从而有方程组 解得 所以 一5 只2 5 号2 = 一1 5 冀口+ 墨1 2 置2 = 0 # 2 2 只2 + 置2 2 只2 一一1 p 1 2 而1 ，罡：= 而3 ，弓，= 鼍 p ； 1 7 ， 1 0 1 _ _ 1 0 1 1 0 3 _ 1 0 p 是1 卜定阵，因此，该系统是渐近稳定的。 东北大学硕士学位论文 g z _ 章离散双线性广义系统的无源控制 第三章离散双线性广义系统的无源控制 这一部分研究了离散双线性广义系统在有界能量外部输入作用下的无源 控制问题，利用线性矩阵不等式和广义代数r i c c a t i 不等式，给出离散双线 性广义系统容许且严格无源的充分条件，并且基于此条件给出存在状态反馈 控制器，使得闭环系统容许且严格无源的充分条件，同时提出了相应的控制 器设计。 3 1 离散双线胜广义系统的无源性 双线性系统是最接近线性系统的一类非线性系统。双线性系统可以对化 学、物理、经济、生态等过程中的许多现象进行描述。因此，它具有一定的 实际背景，有关无源性理论方面，近年来，许多学者已作了大量工作，冯纯 伯等 1 6 - 1 8 j 讨论了非线性系统的无源性，取得了许多开创性成果。俞立 1 9 - 2 0 等 讨论了不确定线性系统的鲁棒无源控制问题，董心壮 2 1 - 2 2 - 等讨论了离散广义 系统的无源控制问题，但关于双线性广义系统的无源控制问题未见相关文献。 这一部分研究了离散双线性广义系统在有界能量外部输入作用下的无源控制 问题。在适当假设下，利用广义李亚普诺夫函数、线性矩阵刁i 等式和广义代 数r i c c a t i 不等式，给出离散双线性广义系统容许且严格无源的充分条件。 得到双线性广义系统零解渐近稳定且无源的充分条件，并在此基础上，设计 状态反馈无源控制器，使得闭环系统零解渐近稳定且无源，同时给出相应的 控制器构造。 考虑如下形式的离散双线性广义系统 1 7 东北大学硕士学位论文第三章离散双线性广义系统的无源控制 p 蹦( 。+ 1 = 倒 卜f i l 删2 心+ 曰“ ( 3 1 1 ) z ( k 、= c x ( k ) + d “ 其中( ) 彤是状态变量，z ) r 9 是输出向量，“ ) r 9 是外部输入， h ) = ( 嵋 ) “2 纰) “，( 七) ) 。，爿，口，c ，d ，；，i = 1 ，2 ，p 是常数矩阵，并且 r a n k ( e ) i i _ r o 使得无源不等式 a v v ( x ( k + 1 ) ) 一矿( x ( ) ) 0 埘切输入“成立。 引理3 1 1 2 4 ：离散广义系统( 3 1 2 ) 是容许的当且仅当存在可逆对称矩阵 p 满足不等式 e r p e 芑0 a t p a e t p e 0 定理3 1 1 对于离散双线性广义系统( 3 1 1 ) 如果存在可逆对称矩阵p ， 使得0 i 等式 e 7 只e 0( 3 1 3 ) q 。d 7 + d b 7 p b 0( 3 1 4 ) p a ，- 删e p ”a r 驯p n + ( a r 砌p b - c 7 ) q _ 1 l7 删7 p j l 7 p 8 j ( 3 1 5 ) f b 丁俐一cb r p 1 0 ( 3 2 8 ) 成立，其巾 厶= a f p a e t p e 群p n n 7 p an 7 p n 上 爿7 吗一c 7 n lp b f b j p a - cb i p n ) - t 7 z 一1 rc 0 q 一1x z = b ；p b 2 + ( 霹朋，- d z 7 ) q _ 】f b p b 2 - d 2 ) + e l 0 ( 3 2 9 ) r - ( b ；p ab ；p n ) + 暇且一珥) q ( b p a c 碍脚) 则系统( 3 2 1 ) 存在状态反馈控制律( 3 2 2 ) ，使得闭环系统( 3 2 3 ) 容许且 具有严格无源性，而且在此情形下控制律( 3 2 2 ) 呵取为 ( 七) = 一z 。1 t x ( k ) ( 3 2 1 0 ) 证明：经计算可得： l = l 1 + t r z - 1 t + ( 。：) r + 丁7c k 。，+ ( 。吾) c z s ，c k 。， s 厶+ ( ? 手) + r 7 z 。1 z ( k 。，+ z 。r 一2 l 一 东北大学硕士学位论文 第三章离散双线性广义系统的无源控制 将( 3 2 1 0 ) 式代入即得 l s l l 0 ， 利用定理( 3 2 2 ) 可知闭环系统( 3 2 3 ) 是容许的且具有严格无源性。 3 3 结论 证毕 本章研究了离散双线性广义系统的无源控制问题，利用线性矩阵不等式 和广义代数r i c c a t i 不等式，给出了离散双线性广义系统是容许的，且具有严 格无源性的充分条件，并且给出存在状态反馈控制器，使得闭环系统是容许 的，并且具有严格无源性，同时提出了相应的控制器设计方法。 东北大学硕士学位论文第四章一类不确定离散双线性广叉系统的无源控制 第四章一类不确定离散双线性广义系统的 无源控制 由于模型误差、条件变化和数据误差等因素均可引起系统矩阵的不确定 性，所以在实际控制系统中，参数不确定性是广泛存在的。本章将研究未知 定常不确定参数的离散双线性广义系统的无源控制问题。目的是设计状态反 馈控制律，使得闭环系统从外部输入到被调输出之间是严格无源的。 4 1 概念与问题的描述 考虑具有如下形式的不确定离散双线性广义系统 出( 2 + 1 ) = ( 爿+ 鲋) x ( 2 ) + 蓦( m + z 讧( - ，( 。) + 曰“( ) ( 4 1 1 ) z ( k ) e q ( 七) + d u ( k ) 其中x ( 女) 彤是状态变量，z ( 女) 月9 是输出向量，“ ) 尺9 是外部输入， h ) = ( “。 ) h 2 仲) h ， ) ) 7 ，4 ，b ，c ，d ，n i ，i ；1 ，2 ，p 是常数矩阵，并且 r a n k ( e ) = r n 。h a ，a n i ( i = 1 ，2 ，p ) 是不确定的实数矩阵，并且具有如f 形 式 【鲋，a n l ，：，a n p 】；m f n 。，n 。2 1 ，一，虬- 】， ( 4 1 2 ) f 7 fsj 其中m ，虬，n 2 1 ，n p l 分别是适当维数的常数矩阵，f e r 妯是未知的定 常矩阵闻数，他们反映了不确定性的结构。式中的，表示适当维数的单位矩 阵。满足( 4 1 2 ) 式的不确定性称为是允许的不确定性。 一2 3 东北大学硕士学位论丈第四章一类不确定离散双线性广义系统的无源控制 定义4 1 i 对于系统( 4 1 1 ) ，如果存在非负函数矿( z ( 忌) ) 0 ，使得无源 不等式 a v = v ( x ( 足+ 1 ) ) 一v ( x ( 七) ) z t ( 七) “( 七) ( 4 1 3 ) 对任给的k 0 ，任意的输入信号u ( k ) 和所有允许的不确定性均成立。则称系 统( 4 1 1 ) 是严格无源的。 定理4 1 1 对于系统( 4 1 1 ) ，如果存在可逆对称矩阵p g r ”，使得对 所有的允许的不确定性有 e 。雕0 ( 4 1 4 ) l = ( a + 埘) 7 w p ( 爿+ a a ) n s p ( a + a a ) b t e ( a + a a ) 一c ( 爿+ 蜊) 7 p n , n ：p n l n ：p n b 7 p n , ( 4 + 鲋) 7 心 n j p n ， n r p n p b 1 p n ， ( 爿+ 削) 1b c 7 n r , p b n 己p b b 7 p b d 7 一d 0 ( 4 1 5 ) 成立，则系统( 4 1 1 ) 是严格无源的。 证明：由定义( 4 1 1 ) ，令矿b ( ) ) = x 7 ( ) e 7 e e l ( k ) ，显然有矿b ( 女) ) = o ， 且有 a v 一2 2 7 ( 七) “( 七) = 【( 4 + 幽) x ( 后) + 薹( m + 叭扣( 七姐r + b u ) 】7 p 【( 爿+ 鲋) 工( 七) + 善p ( f + 叭川嵋+ 口u ( 七) h ( 七) e 7 p e x ( 七) 也7 ( 女) “( 七) 0 = ( z 7 ( 忌) ，工7 ( 七) “( 七) ，( 七) “， ) ，“( 七) ) 上 2 4 工( 七) x ( 七) h ，( 七) x ( 七) 甜，( 七) “( 七) 查! ! 垄堂婴主兰堡堕叁 堑! 兰二鲞至堕塞墨堂翌垡：竺兰墨垫堕垄塑墨型 即有yc2 2 7 ( ) “( 足) ，故取k ( x ( 忌) ) = 丢y ( x ( 七) ) 就能满足定义( 4 _ 1 1 ) ，所 以系统( 4 1 1 ) 是严格无源的。 证毕 考虑如下的离散双线性广义系统 既( + 1 ) = ( 爿+ 甜) x ( 七) + 善( f + m 沁( 七- 小) + 置“( 庀) + + 口) ( 1 ) ( 尼) ( 4 1 6 ) z ( k ) = c x ( k ) + d l u ( k ) + d ( | ) ( 七) 其中x ( k ) e r “是状态变量，z ) r 9 是输出向量，u ( k ) e r 是外部输入， h ) = ( ) “： ) ) ) 7 ，a , b ，c ，d ，f ，i = 1 ，2 ，p 是常数矩阵，并且 r a n k ( e ) = r 0 ，则 一2 5 东北大学硕士学位论文 第四章一粪不确定离散双线性广义系统的无源控制 其中 a + b g + 胛( m + 虬g ) 。a + b g + 艘( m + 氓g ) 】 s ( a + b g ) 7 ( 上1 一m q 一1 m7 ) 。( 4 + b g ) + 6 ( 虬+ 也g ) 7 ( n o + n b g ) l = ( p - - b i ( d 1 + 刖。辟_ 厂，6 = ( q ) 引理4 1 3 给定适当维数的矩阵y ，c ，d ，其中l ，是对 y + c f d + d t f r c 丁 0 对所有满足f 7 fs i 的矩阵f 均成立，当且仅当存在一个标量) 0 ，使得 1 ，+ e c c 74 - e d 7 d 0 。 4 2 不确定双线性广义系统的无源控制 假设不确定离散双线性广义系统( 4 1 6 ) 中的状态向量x ( k ) 是完全可测 的，对系统( 4 1 6 ) 作如下的状态反馈 ( 1 ) ( ) = o x ( k ) ( 4 2 1 ) 则系统( 4 1 6 ) 在控制器( 4 2 1 ) 下的闭环系统为 e x ( k + 1 ) = 4 工( 七) + ( j + 叭p ，+ 骂“ ) ( 4 2 2 ) z ( k ) ；c x ( k ) + d 1 “ ) 其中 4 = 爿+ b g + m f ( n o + n 6 g ) ，c c = c + d g 由引理4 1 1 可得 定理4 2 1 对于不确定离散双线性广义系统( 4 2 2 ) ，如果存在可逆对称 矩阵p e r ”，使得 2 6 东北大学硕士学位论文第四章一类不确定离散双线性广义系统的无源控制 e t p e 2 0 l 1 = 衅p a c e 1 p e赶p b l 一q 毽p a c c cb r p b l 一d t 一政 ( 4 2 3 ) 0 ( 4 2 4 ) 对于所有允许的不确定性均成立，则系统( 4 2 2 ) 是严格无源的。 定理4 2 2 对于不确定离散双线性广义系统( 4 1 6 ) ，如果d 。+ 珥可逆 且存在可逆对称矩阵p ，q 及常数az o ，e ，0 ，使得对于所有允许的不确定性 f 述不等式 e t p e2 0 t p a e t p e t t z 一】r 7 胁一c t 茚p a c 一。 n d 0 n ，l 0 n p l m 1 “ m t p b l g z 一1 c 0 以及 = a e a o e 7 雎+ ( 竭一c j ) q 一1 ( 研腿一c 。) co ( 4 2 8 1 成立。山矩阵求逆公式知l = p + 玛q - 1 砰p ，根据引理4 1 3 得到 a = 鬈( p + 鸭q - 1 目7 p ) 4 - e 7 p e c j q 。b i 只4 c 一鬈p b a f f 2 。1 e + c c 7 q c 。 s j 7 h 刁+ 6 7 n e 7 p e + c c 7 q + 1 c a p b l q 一1 c c + e 7 q 一1 c ( 4 2 9 ) 其中a = a + b g ，n = n 。+ 心g 。只须使( 4 2 9 ) 式右端小于零就能使( 4 2 1 ) 式 成立。 即为 其中 y + w f n + n 7 f 7 w 7 0 f 4 2 1 0 ) y ：j 7 h j 4 + b n 7 一e r p e + e 7 q 一1 c 。一万7 p b 。q 1 c 。一c q 一1 辟p j = 一q 。霹p m 引理4 1 4 ，( 4 1 1 0 ) 式成立当且仪当存在 个常数，0 ，使得 东北大学硕士学位论文第四章一粪不确定离散双线性广义系统的无源控制 】，+ e h z i v 7 + e - n 7 n 0 ，a l 0 ，其巾矿，v 为满足方程( 5 1 2 ) 的正定矩阵： 则系统( 5 1 4 ) 是零解渐近稳定的。 证明：取系统( 5 1