（运筹学与控制论专业论文）一类风险模型的推广.pdf

硕十学位论文 摘要 风险理论主要研究保险事务中的随机风险模型，是近代应用数学的一个重 要分支，也是当前精算学界的热门课题。经典的风险理论主要通过运用概率论和 随机过程理论来研究风险模型的余额过程，并研究其破产时间，破产概率，调节 系数等问题目前保险风险理论的研究是对古典风险模型的改造和推广，以使得 更符合保险公司实际经营的模型 在保险数学中，破产理论是保险风险理论研究的重要问题，它可以为保险公 司决策者提供一个早期的风险预警手段，因而对其进行研究具有重要的理论和现 实意义本文对理赔发生过程进行了两方面的推广：一方面在常利率离散时间风 险模型的基础上，将其中的索赔到达过程推广为更新过程得到更新风险模型，另 一方面，本文考虑在保险公司实际经营过程中具有相依关系的多险种同时并从的 情况，构造了理赔的发生过程服从c o x 过程的多险种的c o x 风险模型。本文包括 以下几章： 第一章：扼要介绍了风险理论的发展历程和现状，阐述了本课题研究的方向、内 容和意义 第二章：引入古典风险模型并给出常利率下的更新风险模型的定义 第三章：研究了常利率离散时间下，理赔过程推广为更新过程的风险模型，讨论 任一时刻盈余的性质，将破产概率的展式和生存概率所满足的积分方程表达出 来，并利用鞅方法得到了破产概率的上界估计 第四章：引入常利率的c o x 风险模型及双险种的c o x 风险模型 第五章：考虑在保险公司实际经营过程中具有相依关系的多险种同时并从的情 况，构造多险种的c o x 风险模型，得到破产概率的上界。并在理赔发生过程为混 合p o i s s o n 过程时，通过应用m a r k o v 链的性质，获得这种情况下终极破产概率 应满足的积分方程 关键词：破产概率；更新风险模型：转移概率；马尔科夫链；鞅；c o x 过程； 混合p o i s s o n 过程 a bs t r a c t r i s kt h e o r ys t u d i e sm a i n l yt h es t o c h a s t i cr i s km o d e lo fi n s u r a n c ea c t u a l l t y n o to n l yi ti sai m p o r t a n te m b r a n c h m e n to fa p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c si nm o d e r n ，b u t a l s oah o tt o p i ci nt h ep r e s e n ta c t u a r i a is c i e n c er e s e a r c h b yu s i n gp r o b a b i l i t ya n d s t o c h a s t i cp r o c e s s e st h e o r y ，t h ec l a s s i c a lr i s kt h e o r ys t u d i e sm a i n l yt h es u r p l u s p r o c e s so fr i s km o d e l ，r u i nt i m e ，r u i np r o b a b i l i t ya n da d j u s t m e n t c o e f n c i e n t i n o r d e rt od e s c r i b et h er i s kt h a ti n s u r a n c ec o m p a n yb e i n gf a c e dw i t h ，i n s u r a n c er i s k t h e o r yi saa l t e r a t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l s i ni n s u r a n c em a t h e m a t i c s ，r u i nt h e o r yi st h em a i nc o n t e n t so fi n s u r a n c er i s k t h e o r y ，i ts u p p l i e sav e r yu s e f u le a r l y w a r n i n gm e a s u r ef o rt h er i s ko ft h ei n s u r a n c e c o m p a n y ，i th a si n l p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， w eg e ts o m eg e n e r a l i z e dr i s km o d e lb ye x t e n d i n gt h ec l a i mp r o c e s s f i r s t ， t h ec i a i m p r o c e s se x t e n d st h ed i s c r e t et i m er e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e s e c o n d l y ，a sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，ar i s km o d e lt h a tt h ec l a i m n u m b e ri sd e s c r i b e db yc o xp r o c e s si sp r o p o s e d ，i nw h i c hd e p e n d e n tc l a s s e so f i n s u r a n c eb u s i n e s sc o e x i s t t h et h e s i si n c l u d e sf i v ec h a p t e r s ： t h en r s tc h a p t e r ：i n t r o d u c e st h ee v o l u t i o n a lc o u r s ea n da c t u a l i t yo fr i s k m o d e l ，e x p o u n d e dt h ed i r e c t i o n ，c o n t e n ta n ds i g n i f i c a n c eo ft h i st h e s i s t h es e c o n dc h a p t e r ：i m p o r t st h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dg i v e sad e f i n i t i o no f t h er e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf b r c e t h et h i r dc h a p t e r ：t h i sp a p e ri sm e a n tt os t u d yt h ed i s c r e t et i m er e n e w a lr i s k m o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ，i tm a i n l yd i s c u s s e st h ec h a r a c t e ro ft h es u r p l u s t h ee x p a n s i o no fr u i np r o b a b i l i t ya n dt h ei n t e g r a le q u a t i o no fs u r v i v a lp r o b a b i l i t y a r ep r o p o s e d ，a n da ne s t i m a t i o no fu p p e rb o u n df b r t h er u i np r o b a b i l i t yi sd e r i v e db y m a r t i n g a l ea p p r o a c h t h ef b r t hc h a p t e r ：i n l p o r t st h ec o xm o d e lw i t hac o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n da c o xr i s km o d e lo fd o u b l el i n e t h ef l f t hc h a p t e r ：ar i s km o d e lt h a tt h ec l a i mn u m b e ri sd e s c r i b e db yc o x p r o c e s si sp r o p o s e d ，i nw h i c hd e p e n d e n tc l a s s e so fi n s u r a n c eb u s i n e s sc o e x i s t t h e u p p e rb o u n d a r yo fb a n k r u p t c yp r o b a b i l i t yi s o b t a i n e dw i t hm a r t i n g a l ea p p r o a c h t h r o u g ht h ea p p l i c a t i o no ft h e o r yo fm a r k o vc h a i n ，t h ei n t e g r a lo fi n f i n i t er u i n p r o b a b i l i t yi sc o n c l u d e dw h e nt h eo c c u r r e n c eo ft h ec l a i m sf 0 1 l o wt h em i xp o i s s o n p r o c e s s i i 硕士学位论文 k e yw o r d s ： r u i np r o b a b i l i t y ；t h er e n e w a l “s km o d e l ；t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y ； m a r k o vc h a i n ； m a r t i n g a l e ； c o xp r o c e s s i i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：岳早移 日期：口7 年暨月2 男日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文 收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服 务。 作者签名：瓴甥7 蕾作者签名：均。羽7 p 导师签名。夏巫少辛 及矽。彳 日期：d 7 年夕月砑日 时一7 钆卧卵 硕士学f 7 = 论文 1 1 课题意义 第1 章绪论 经典的风险模型是通过研究随着时间f 的变化公司盈余额的变化来研究公 司的破产概率的，当盈余额首次为负时，称为公司破产然而，风险模型研究较 多是在连续时间的基础上进行的，而在日常生活中许多问题都是离散的例如： 保费不可能连续不断的收取，索赔也不可能在事故一发生就进行，离散时间风险 模型意义更直观，在实践中更易于应用，基于此种情况，早在1 9 8 6 年，n l b o w e r 等人在a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s 一书中专门讨论了离散时间的风险模型而且 在保险事务中，保险公司会将其保费进行投资，因而带利率的情形引起不少学者 的关注 另外，经典的风险模型其索赔过程由p o s s i o n 过程构成，而当模型中索赔发 生点过程变成更新过程时，我们则称之为更新风险模型根据这一实际情况，本文 将常利率离散时间风险模型中的索赔到达过程推广为普通更新过程，利用马科夫 链的性质，借助转移概率将破产概率的展式和生存概率所满足的积分方程表达出 来，并利用鞅方法得到了破产概率的上界估计 最后，经典风险模型及其拓广模型假设风险是同质的且具有独立性，实际上 保险公司都是同时经营一批风险，一般来讲这些风险具有一定的相依关系本文 考虑在保险公司实际经营过程中具有相依关系的多险种同时并从的情况，构造了 理赔的发生过程服从c o x 过程的多险种的c o x 风险模型，得到破产概率的上界 并在理赔发生过程为混合p o is s o n 过程时，通过应用m a r k o v 链的性质，获得这 种情况下终极破产概率应满足的积分方程 一类风险模犁的推广 1 2 国内外研究现状综述 保险风险理论产生于保险公司承担项目的可行性研究，其研究对象来自保险 商业的各种随机模型初期的风险理论主要与寿险有关，研究的是个体风险模型， 通常称为个体风险理论集体风险理论把全体投保者看成一个整体，索赔的产生 为一个随机过程，如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础上逐步发 展起来的风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热 门课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究其破产概率、调节系数等问 题，其中被广泛研究的经典风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型，讨论 有限时间内的生存概率以及最终破产概率等问题国内外的学者们已对经典风险 模型进行了大量的研究，其研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表的博士论文f l 】，他首先对破产论进行了研究，提出了一类重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程，但他的工作不符合现代数学的严格标准，随后以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上，构造了 l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型，并给出了主要结果因此，风险理论较为系统 的理论形成应该说始于l u n d b e r g ”1 和c r a m e r 【3 ，4 1 了同时随机过程理论的逐渐成 熟为风险理论的研究提供了新的方法国际领先学者h a nu g e r b e r 以严格的概率 论基础，进一步研究了破产论，对风险理论进行了系统的论述，见文献 5 1 7 近年来，风险理论的研究范围逐渐扩大，其中破产概率的计算和估计是风险模型 的核心问题风险理论发展至今，已形成许多新的方法。国内对其研究有南开大 学的吴荣【1 8 19 】教授等，她们研究了研究了经典风险模型中盈余过程在首次破产前 的极大盈余额大于某一定值，首次破产前瞬间盈余，破产赤字等的联合分布及其 他的推广模型 研究破产理论具有很大的现实意义，是研究经营者稳定性的强有力方法古 典风险模型是最简单的一种，目前保险风险理论的研究是对古典风险模型的改造 和推广，以使得更符合保险公司实际经营的模型，其中较常见的推广有以下几方 面： 风险模型最初的研究是在连续时间的基础上进行，而在日常生活中许多问题 都是离散的早在1 9 8 6 年，n l b o w e r 等人在a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s 一书 中专门讨论了离散时间的风险模型，该模型将单位时间内收取的报费视为常数， 每一时期的理赔量视为独立同分布的随机变量g e r b e r ，h u ( 1 9 8 8 ) 研究了离散 的情况之后，不少学者将其模型与结果合理化1 9 9 8 年3 月，成世学，伍彪在运 筹学学报发表了完全离散的经典风险模型，研究了与风险有关的最终破产 概率，破产前的盈余和破产时赤字的概率律，并对任意的初始盈余，给出了上述 概率或概率律的递推解、变换解与显式解 2 硕士学何论文 同时在保险实务中，保险公司会将其保费进行投资，因而带利率的情形引起 不少学者的关注s u n d tb ，t e u g e l sjl 【2 0 】( 1 9 9 5 ) 研究了带利率的风险模型2 0 0 2 年3 月，孙立娟，顾岚在应用概率统计发表了离散时间风险模型的破产问 题，研究了引入利率的离散时间保险风险模型，得到了描述破产严重程度的破 产前盈余分布、破产持续时间分布的递推公式，并对具体实例给出数值计算结果 其后被推广为具有相依利息率的风险模型、具有马尔可夫链利率的风险模型等， 关于这些模型有研究文献【2 l 2 2 1 经典风险模型其索赔过程由p o s s i o n 过程构成，而当模型中索赔发生点过程 变成更新过程时，我们则称之为更新风险模型( 有的文献称之为a n d e r s o n 模 型) g r a n d e l l 【2 3 j ( 1 9 91 ) 将其推广为更新过程2 0 0 2 年2 月，吴荣，杜勇宏在工 程数学学报发表了常利率下的更新风险模型，证明了任一索赔时刻的资产 余额构成一个齐次马尔科夫链，且给出转移概率利用转移概率得到了风险问题 中的几个重要的量和分布：破产概率、破产时余额分布以及破产前瞬间余额分布 的级数展开式和积分方程 另一方面，理赔发生的过程推广为c o x 过程，2 0 0 3 年12 月，何树红，徐兴富 在云南大学学报发表了双c o x 风险模型，在保费到达和理赔发生都服从c o x 过程的假定下，得到了破产概率的上界并在假设保单的到达和理赔的发生具有 相同的累积强度过程时，给出了破产概率的明确表达式同时伴随着保险公司经 营险种的多元化以及多险种的不断开发和投放，一种保单索赔的发生往往可能会 同时导致另一种保单的索赔，为此，人们开始关注多个具有相关性的索赔到达过 程的风险模型 1 3 课题研究内容 1 3 1 常利率离散时间更新风险模型的破产概率 在常利率的更新风险模型中，盈余( f ) = “矿+ c f ”咖一f 折( f ) ，而在 日常生活中许多问题都是离散的，根据这一实际情况，本文将常利率的更新风险 模型推广为离散的情形，则盈余过程可表示为： 七f 七1 u ( 尼) = 材( 1 + ，- ) 。+ c ( 1 + ，) “川一一( 1 + ，) 扣2 j j = l产l 并在此基础上讨论了常利率离散时间更新风险模型，证明了瓦时刻的盈余变量 一类风险模犁的推广 u ( 七) ( j | o ) 为齐次马尔科夫链，给出转移概率q ( x ，口) ，得出了破产概率的展 式和生存概率所满足的积分方程，并利用鞅方法得到了最终破产概率的上界估计 从而，加强了模型的现实描述能力 1 3 2 多险种的c o x 风险模型 假设保险公司同时经营d 种不同值的风险，在每一个索赔时刻这种索赔可能 是由d 种风险中的任何一种造成的，用指标变量e 表示第k 次索赔的风险类别， 一般来讲这d 种风险具有一定的相依关系，本文研究了不同质且具有相依关系的 多险种同时并从的c o x 风险模型， 不同质的c o x 风险模型可构建为： i “) x ( f ) = ( 1 + p ) 心1 ( f ) 一乙圪 七= l 本文运用鞅方法得到了破产概率的上界并在理赔发生过程简化为混合 p o i s s o n 过程时，通过应用m a r k o v 链的性质，获得了终极破产概率应满足的积 分方程。 1 4 课题来源 本课题源于甘肃省教育厅科研项目 项目编号：0 6 0 3 一0 7 4 硕十学位论文 第2 章常利率下的更新风险模型简介 2 1 古典风险模型的定义 古典风险模型理论由l u n d b e r g 于1 9 0 9 年创立， 究风险模型 对于f o ，古典风险模型的定义如下： u o ) = 甜+ c f s o ) 其中：u ( f ) 为保险公司在时刻f 的盈余； “= u ( 0 ) 为保险公司的初始准备金； c 为单位时间内收取的保费； 他首次利用随机过程来研 ( 2 1 ) s ( f ) = 墨表示到时刻f 时的理赔总额。其中墨表示第f 次的理赔额， f = l f = 1 ，2 ， 墨) 独立同分布；m ( f ) 表示到时刻，时的理赔次数，m ( f ) 服从p o s s i o n 分布 下面给出古典风险模型破产时刻和破产概率的定义 定义2 1 ：破产时刻为 丁= i n f f ：u ( f ) o ) ，当破产时刻丁= 时，可认为对 任何丁0 ，都有u ( f ) 0 ，即破产不发生 定义2 2 ：初始资本金为z ，时，保险公司的破产概率为 v ( “) = p r 丁 在实际工作中，保险人关心的是在一个有限时间内破产是否发生，即保险 公司在有限时间，内的破产概率 定义2 3 ：初始准备金为“时，保险公司在有限时间，内的破产概率为： v ( “) = p r 丁 ou ( 后) _ o 定义 破产概率为： r、 y ( u ) = p u u ( 七) a “，这意味着左端线性函数斜率( 1 + 8 ) “大于右端函数在，= o 点 的切线斜率m 二( r ) = “，方程有两个解，除去平凡解，= o ，那唯一的正解，= r 被定义为调节系数 对古典风险模型，破产概率主要有以下结果： 定理2 1 对于材o ，有： 。一如 叭彩2 币蒜币习q 地 ( 2 4 ) 6 硕士学位论文 式子( 2 4 ) 右边不等式称为古典风险模型的l u n d b e r g 不等式，e 柏称为古典风险 模型下的l u n d b e r g 上界 2 2 常利率下的更新风险模型 自从经典的风险模型建立以来，对它有许多推广，其中一种推广考虑了利 息因素，并将理赔过程从齐次的p o s s i o n 过程推广为一般的更新过程参见文献 【2 4 2 8 】，其中文献【2 5 】研究了一种常利率下的更新风险模型： 虬( f ) = 材+ c p ”咖一p v 研( f ) ( 2 5 ) 其中：( f ) 表示r 时刻的资产余额 f ，、 x ( f ) = 乞表示时间( o ，f 】时间间隔内的索赔总额 七= l 点过程 ( ，) ，o 是一个普通更新过程，表示( o ，力时间间隔内的索赔个数 互表示第七次索赔时刻，五，互一互，五一正，独立并且有相同的分布k ( ，) ， 期望为三 乞表示第七次索赔值大小， 乏) _ 是独立随机变量，有相同的分布f ( x ) 且 f ( 0 ) = 0 定义2 4 ：初始准备金为材，风险过程 以( 纠脚的破产概率为： ( u ) 2 p g ( r ) oi ( f ) o 破产显然只能发生在索赔时刻瓦，则 ) = 尸t g ( 丁= 瓦) 1 ( o ) = “ = p g ( 眈( 乇) 即得马尔科夫性 p ( 乏) 召j 砸：| 一，) = 尸 虬( 乃) b lu ( 五一，) ) 其转移概率为 q ( 疗一1 ，x ；，z ，曰) = p ( 霸一) 眈( 瓦_ 1 ) + f 掣一乙bi 眈( 乙- 1 ) = x ：p 旧7 i + c 兰竺一z t 曰) 6 与时间n 无关，即为奇次马尔科夫链，记作q ( x ，曰) 2 2 1 破产概率 定理2 3 破产概率有如下的展示： ( 砌5 善j c 0 9 ( 甜，武) j c 0 9 ( 五，呶) j c o q ( 彩丸一。) q ( 书呶) 证明 由于破产只能发生在某索赔时刻乙，故 ( 材) = 以r o ，配( 互) o ，以( 瓦一。) o ，( 瓦) o ) 月= l = 喜j c o q ( “，也) f q ( 五，呶) j c o q ( 矗- z ，吨。) q ( - - ，丸) 足埋z 4 生存概_ 翠吼( 材) 满足如卜的枳分力程： 砌) = j c o 批r ( 竿刊卵( y ) 其中j ( f ) ：舢埘+ c 掣 证明 以丁= 乙i ( o ) = “) = rp 仃= 乙一。1 ( 1 ) = _ ) q ( 甜，也) 对上式两边”2 求和，得 ( 甜) 一。q ( “，咖) = f ( y ) q ( 甜，砂) 用 ) = l 一( 甜) 代入上式，得 眈( 甜) = f ( 少) q ( 甜，方) 当y 0 时，( y ) = 0 ，由定理2 2 可知 一e m + c 竿一互) 斗m + c 等互) ) = j c o 哪) r 啪矿甜+ c 竽刊卵( 少) 2 2 2 破产时余额分布 为了更精确地描述“破产”的严重程度， g e r b e r ，g o o v a e r t s 和k a s s 【8 引入了函 数 ( 不( ”，y ) = p ( 丁 ，一y ( 丁) 01 ( o ) = “) 定理2 5 破产时余额分布q ( 甜，y ) 有如下展式： 9 一类风险模型的推广 g ：( 材，y ) = 艺j c o q ( “，也) j c o q ( 五，也) j c o q ( 吒一：，魄一。) q ( 小呶) 证明 g ( 甜，少) = ( “) = 尸 丁 o 。，一y ( 丁) o ，以( 瓦一。) o ，一y ( 乙) ol 乩( o ) = 甜) ”= l = 芝j c o q ( 甜，如) j c o q ( 五，呶) f q ( 印丸一，) q ( 书吨) 定理2 6 破产时余额分布瓯( 甜，y ) 满足如下积分方程： g 6 ( w ) = j c o 水( f ) r 们矿酊+ c 等叫卵( z ) 其中s ( f ) ：甜矿6 ，+ c 掣+ y 证明 户 丁= 乙，一y ( 丁) 0l 以( o ) = “) = f p 叮= 瓦一，一y 乩( 丁) oi ( 1 ) = 置) 9 ( “，如) 对上式两边刀2 求和，得 g 6 ( 甜，y ) = q ( 甜，龙) + f g ( z ，y ) q ( 甜，出) 用吼( “) = 1 一( 甜) 代入上式，得 ( “) = f ( y ) q ( “，砂) 当一y z o 时，g ( 甜，y ) = 1 ；当z 一y 时，g ( 甜，y ) = 0 。由定理2 2 可知 脚m 一+ c 竿刮 = f 越r ( 川- 6 ，+ c 竿叫卵( z ) 2 2 3 破产概率上界的估计式 设相邻理赔的时间间隔 彬，f 1 ) 为独立同分布的随机变量，其共同分布函数为 k ( w ) ，乙= 彬表示第 次索赔发生的时刻，则( 2 5 ) 可以写成 f - l 1 0 硕士学位论文 ( d = “矿+ c f 矿咖一等乙p 烈f _ 引 考虑 ( f ) 的折现过程 瓦丽 ， 瓦丽 = e 一函( f ) ，则 ( 2 6 ) ) = ”+ o ) 其嘲归c 孚一善妒 引理2 1 设x ，】，为相互独立的随机变量，则对任意非负有界b o r e l 可测函数有 e 厂( x ，y ) i x = x 】= g ( 力，口j ， 其中g ( x ) = 研( z ，y ) 为b o r e l 可测函数 引理2 2 当理赔时间间隔形满足研p 。 o 内是下凸的，而且，只要理赔量以正概率取足够大的值，g ( ，) 的一阶导将一直为正，于是2 f ，1 ：1 存在唯一的正根 一类风险模型的推广 引理2 3 p 娟引，以1 ) 为关于盯一代数族3 。= 仃( ( 石) ，( z ) ) 的上鞅。 证明嘲) _ c 等一警v 研 圳孙c 竽唧也 e e r 略( 毛is 。一。 = p 一置( 乙_ 1 ) e e 冲 一r ( c 竿一乙e 一织) i3 川 玎吲聃一尺( 等唧一州is 川 g 吲州十( c 等掣伽。嘲 = p r ( 1 ) 定理2 7 在引理2 2 的条件下，对任意初始盈余“o 有 ( “) 已靠“， 其中尺满足( 2 7 ) 证明 记乃表示破产时刻，则乃人聊为一有界停时，其中m 为某常数。 由停时定理 p 娟“e e x p 一r ( 不) p r ”e e ，【p 一r ( 毛h ) ) 玎舰e e x p ( 乇椭) ) 乞s 。 = e e x p 一尺( 吃) ) 乞。 乞；。 = p ( 乃m ) 令有少( 甜) e 一 1 2 硕+ 学位论文 第3 章常利率离散时间更新风险模型 风险模型研究较多是在连续时间的基础上进行的【2 6 2 7 1 ，而在日常生活中许多 问题都是离散的例如：保费不可能连续不断的收取，索赔也不可能在事故一发 生就进行离散时间风险模型意义更直观，在实践中更易于应用同时在保险实务 中，保险公司会将其保费进行投资，因而对带利率情形的研究十分必要和有意义， 且取得了许多有关破产概率方面的结果，参见文献 2 8 3 0 文献 3 1 对常利率下 离散时间的风险模型利用递推的方法进行研究，本文将该模型推广为离散时间更 新风险模型文献 3 2 提出了常利率离散时间的更新风险模型，导出了生存概率 的递推表达式本章研究了常利率离散时间更新风险模型，利用马科夫链的性质， 借助转移概率将破产概率的展式和生存概率所满足的积分方程表达出来，并利用 鞅方法得到了破产概率的上界估计 3 1 模型描述 盈余过程 u ( 后) ，尼= o ，1 ，2 ，3 ，) ，u ( o ) = 为保险公司的初始盈余， 数，正常整数c 为单位时间保费收取率，则盈余过程可表示为： 七 u ( 尼) = “( 1 + 尸) + c ( 1 + 厂) 扣h s ( 尼) ，= l 利率r 为常 ( 3 1 ) 当总索赔过程s ( 后) = 一( 1 + 厂) 扣弓，其中( 后) ou ( 尼) o ) 。定义破产概率为： 一类风险模型的推广 3 2 破产概率 州= p 望吣， o ，u o 1 ) o ，u ( ，z ) 五) 研x ( o ) 】一互。以硼以卯 定理3 4 若存在正数r ，满足e ( p 。争) ：1 ，则( x ) e 也 证明 ( “) = 尸( u ( 尼) o ，了后) 量f 七、 = p ( “( 1 + r ) + c ( 1 + ，) h 一一( 1 + 厂) 扣弓 “，| 尼) ，= l，= l ，f 女1i 令三( 尼) = ( 1 + ，) 一弓一c ( 1 + ，) 小1 及形( 后) = p 脱，则对朋 ， = l，= l 设 m + 1 ，z n ( m + 1 ) ，( 行) g ，= m + 1 ，z 】) n 萑 ( ，l + 1 ) ， ) ) ， e ( ，z ) i 矽( 1 ) ，形( 2 ) ，( m ) = 形( ，z ) e p r 工“) 一“1 ) 碰氅州l + ，) 札。窆( 1 + ，) 州】 i 哪- + ，矽( m 脚尉篡渺) 机c 一m 一+ 1 1 ) i 胎匹1 + ，) 叫+ 怒，( 1 ”) _ 胁m ) 甜咿，) ( 1 + ，) - 1 】 ：f 呦m n 帅，( 1 + 圹m 形( m ) 甜扣+ ，) 巾】) e 哦+ ，) 州+ o m n 矽( 聊) 门 砷异( 者叫旷一1 ：p r c a 1 + ，p 1 + 雅+ - 舭帅，1 州刊肜( m ) 矽( 历) ，故是上鞅 由引理中的上鞅不等式得： n y ( x ) = 尸( u 三( 尼) 功= 尸( u ( 尼) p 尺j ) 七= 0 七= 0 = 尸( 粤疑形( 尼) p 船) e 咄研渺( 0 ) 】_ p 一般 o 七月 一 1 6 硕士学位论文 第4 章c ox 风险模型简介 4 1 常利率下的c o 风险模型 前面几章考虑了索赔过程推广为普通更新过程，这一章考虑索赔过程推广 为c o x 过程的情形，其中文献 3 3 研究了一种常利率下的c o x 风险模型： 记( q ，f ，p ) 是一完备概率空间，以下涉及的所有随机变量都定义在( q ，f ，尸) 上 ( 1 ) 点过程= ( f ) ：f o 是强度为兄( f ) 的c o x 过程，表示( o ，f 时间间隔内的索赔 个数； ( 2 ) 独立同分布的随机变量 乙 捌表示第后次索赔值大小，它的分布函数是f 定义风险盈余过程为： 毋+ c 等一p 训研d ” ( 4 1 ) 其中：x ( f ) = 乙表示时间 ( o ，f 时间间隔内的索赔总额 七= l ( 3 ) 假设强度过程旯( f ) 是一时齐玎态的m a r k o v 过程，当旯( f ) = 五时，( o ，f 】上的索 赔数服从均值为的p o s s i o n 分布；所有的状态过程a ( f ) 可交换，设仇= 仍( 乃) 为 过程五( f ) 离开状态五的速率，而岛表示进入状态乃的概率，嘞表示从以到乃的转 移强度，从而有： 设g = ( g 。，g ：。，吼) 为初始平稳分布，由于各状态互通，有g ，仍= g j 仉如。 = l 定义4 1 ：初始状态为名的破产概率为 ( “) = 尸( ( r ) oi 厶= 以) ， 记口= g f 呸，则y ( “) = 吼( “) f = lf - l 用( “) 表示不破产概率，故有哦( “) = 卜甲，( “) 对常利率下的c o x 风险模型，破产概率主要有以下结果： 1 7 一邓 协胁 嘶m11 一类风险模型的推广 定理4 1 记f = 卜f 是f 的尾分布，则 ( 万甜+ c ) ( “) = 啾( o ) + 万r o 膨+ 仍r ( z 沈一qr 万( z 助 + qf f 丽( “一啦一识芝岛r ( 驰 证明 考虑时间区间( 0 ，厅】上的( f ) ，可分成下面四种情况： 1 无索赔发生，状态五无转换； 2 无索赔发生，状态五有一次转换； 3 发生一次索赔，但是索赔量没有引起破产，状态五没有变化； 4 发生一次索赔并且状态丑至少改变一次 运用条件概率，得到生存概率的表达式并化简得 舡) _ ( - 卅卅+ d ( 纠p 舶+ c 等l 如) ( 1 卅+ d ( 纠r 。字小等一z 卜 如) ( 1 卅+ d ( 纠喜鹘p + c 等 + d ( 办) 应用t a y l o r 展示，则有 小等h 州拼c ，等 ：m 知) + ，( “) ( “万+ c ) 掣+ 硼) 于是将式( 4 4 ) 代入式( 4 3 ) 中，两边同除以 ，则式( 4 3 ) 可化简为 ( 万“+ c ) ， ) = ( 呸+ 仇) ，( “) + ( + 仇) ， ) ( 艿”+ c ) 办 一呸r 争十c 等一z m 一仇扣+ c 等 + 掣，= ll c ， j “ 并令j j l 专o ， ( 艿”+ c ) ， ) = ( + 仍) ，( 甜) 一r ，【“一z 弦( z ) 一仍艺弓，( “) 在( 4 6 ) 中把甜换成f ，得 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 硕士学位论文 ( 田+ c ) ，( f ) = ( + 仇) ，( f ) 一qf ，【f z 弦( z ) 一仍主弓，( f ) ，= l 再对式( 4 7 ) 从o 到“积分得 ( 砌+ c ) ，( “) 一椰，( o ) 一万r ，( f 砂 ( 4 7 ) = ( + 仍) r 疋涉+ qrm h p ( 1 一，( z ) ) 出一仍喜弓f 足) 班 ( 4 8 ) 其中对rf ，【f z p ( 1 一，( z ) ) 以采用分布积分可得 r c ， r z