（计算数学专业论文）定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文研究了大样本定时截尾寿命试验下对数正态分布、正态分布和w e i b u l l 分布 参数的近似置信域，并在理论基础上进行随机模拟。 对于对数正态分布场合，本文给出了样品试验时间对数和的渐近正态分布，构造 了枢轴量。在获得的近似置信区间的前提下，得到给定下仃的近似置信区间，最 终获得，盯的近似置信域。 对于正态分布场合，本文给出了总试验时间的渐近正态分布，利用对数正态场合 的结果得到参数的近似置信域。 对于w e i b u l l 分布场合，本文同样给出了总试验时间的渐近正态分布，构造了枢 轴量。然后利用坐标变换，借助e 。的近似式，用数值方法求解获得参数的近似置信域。 大量随机模拟的结果表明，本文的方法具有令人满意的置信度。 关键词定时截尾寿命试验对数正态分布正态分布w e i b u l1 分布 渐近正态分布近似置信域 塞堕塾星壹鱼堕墅工丛全坌鱼叁塑塑堑型重堕塑 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w es t u d yt h et y p e i l i f et e s to fl o g n o r m a l ，n o r m a l a n dw e i b u l l d i s t r i b u t i o n sw i t h l a r g en u m b e r s o f s a m p l e s ，g e tt h ea p p r o x i m a t ec o n f i d e n c er e g i o n so ft h e p a r a m e t e r s ，a n dd om a n y s t o c h a s t i cs i m u l a t i o n so nt h et h e o r e t i c a lb a s i sw i t h c o m p u t e r i nt h ec a s eo f l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，w eo b t a i nt h el i m i td i s t r i b u t i o no f t h es a r ao f t h e l o g a r i t h mo fe v e r ys a m p l e st e s tt i m e ，a n dc o n s t r u c tt h ep i v o t b yt h et w o s t e p m e t h o d ， w h i c hi sg i v e ni nt h i sp a p e r , w ec a l lo b m i nt h ea s s o c i a t e da p p r o x i m a t ec o n f i d e n c er e g i o n o f p a r a m e t e r s a st on o r m a ld i s t r i b u t i o n ，w ef i n dt h ep i v o t ，w h i c hw e g e tf r o mt h el i m i td i s t r i b u t i o n o ft o t a lt e s tt i m e ，i sa p p r o x i m a t ew i t ht h eo n ef r o mt h ec a s eo f l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n s o w ec a n g e tt h ec o n f i d e n c er e g i o n i nt h es a m e w a y a b o u tw e i b u l ld i s t r i b u t i o n ，w ea l s oo b t a i nt h el i m i td i s t r i b u t i o no f t o t a lt e s tt i m ea n d c o n s t r u c tt h e p i v o t a f t e r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n ，w e c a n g e t t h e a p p r o x i m a t e c o n f i d e n c e r e g i o no f p a r a m e t e r si nv i r t u eo f t h ea p p r o x i m a t ee x p r e s s i o no fe 。 l a r g en u m b e r so fs t o c h a s t i c s i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h er e s u l t sa r e c o m p a r a t i v e l y s a t i s f a c t o r y k e yw o r d s t y p e i l i f et e s t l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o nn o r m a ld i s t r i b u t i o n w e i b u l ld i s t r i b u t i o n a s y m p t o t i c n o r m a ld i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t e c o n f i d e n c e r e g i o n 2 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 寿命试验的意义、特点及种类 1 1 1 寿命试验的意义和特点 寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重要手段。 对许多领域的工作者，尤其对工程界和生物医学界，各种各样的与寿命、存活时间或 失效时间有关的数据的统计分析都已发展成一个重要的专题。 寿命试验是可靠性试验中基本项目之一，它将系统或部件放在特定的试验条件 下，考察其失效随时问变化的规律。通过寿命试验可以了解系统或部件在一定条件下 寿命过程的特性失效的规律，并利用所得数据计算出产品的失效率、平均寿命、 可靠度等可靠性指标，进而把所获的信息反馈到设计、制造或使用维修中去，以期改 善可靠性、降低成本或合理安排维修和更换，使之获得更好的使用价值和经济效果。 通常，从总体中抽取容量为疗的一个简单随机样本，是指可以获得这胛个样本的 观测值。这种样本称作完全样本。然而，在工程与生物医学的许多研究中，由于种种 条件的限制，不可能获得完全样本。例如，一般的产品寿命都比较长，要把寿命试验 做到投试样品全部失效需要较长时间，特别对于长寿命产品需要更长时间，这是难以 实现的。在医学药物试验中，受试者可能中途失去观察( 如迁往它地而失访) ，或者 由于对受试药物不适应而中途停止试验，也可能是受预定的试验时间的限制不能观察 到所有受试者的寿命。在诸如此类的情况下我们只能得到一组不完全样本。所以实际 应用中一般进行截尾寿命试验。 1 1 2 截尾寿命试验的种类 截尾寿命试验通常有如下几种基本类型：定数截尾、定时截尾、随机截尾、混合 截尾。 ( 1 ) 定数截尾 ”个独立同型部件从t = 0 开始进行寿命试验，试验在固定失效数，终止，此时获 得前r 个寿命数据 ( 2 ) 定时截尾 x ( 1 ) x 【2 ) x ( ，) 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 刀个独立同型部件从时间，= 0 开始进行寿命试验，试验在固定时刻“终止，此时 观察到的失效数是一个随机变量。若在试验终止时刻观察到，个失效，则得寿命数据 x 1 ) x ( 2 ) z ( ，) f 0 ( 1 2 ) ( 3 ) 随机截尾 设x 。，x ：，x 。独立同分布f ( t ) ，对于常数厶，若x ， 三，则第i 个部件在。后 失去观察。即只能观察到 = x ，a l ，i = 1 ，n ( 1 3 ) 其中a = r a i n 。 ( 4 ) 混合截尾 这是一种定数与定时相结合的截尾方式，即试验做到x a t 。终止，其中，与气是 事先规定的失效数与定时截尾时间。 以上是常用的几种截尾寿命试验。对试验中途失去观察的情形，还可以推广到 厶，上。独立，且 厶 与 z ， 独立的情形。 1 - 2 几个寿命分布及其参数区间估计的研究现状 在分析航空、航天、电子、机械等高科技产品的可靠性特征时，常采用截尾寿命 试验进行统计分析。综观国内外文献，对于截尾寿命试验讨论的较多的是基于定数和 定时截尾寿命试验数据分布参数的点估计以及定数截尾寿命试验下分布参数的区间 估计。由于在定时截尾试验场合由于失效数，是随机的，因此对一般的寿命分布，其 参数精确置信区间( 或区域) 不易获得。因此关于定时截尾寿命试验下分布参数的区 间估计问题，文献很少。 本文对定时截尾寿命试验下对数正态分布、正态分布和w e i b u l1 分布参数的近似 置信区间进行了研究。因为研究过程中参考了指数分布的相关文献，所以首先把定时 截尾寿命试验下指数分布参数近似置信区间的研究现状做一下简单介绍，然后介绍对 数正态分布、正态分布、w e i b u l l 分布的研究现状。 1 2 1 指数分布 若随机变量服从指数分布，则其分布函数为 南京航空航天大学硕士学位论文 m ) = 1 - r 拦 ( 14 ) 其中旯是失效率，0 = 是平均寿命。 指数分布在可靠性理论及其他的随机模型中应用非常广泛，它可以用来描述系统 的寿命，特别对于某些电子元器件的使用寿命，指数分布是一个很好的模型。在某些 场合，如快修或随机变动的环境下，系统的寿命分布可以用指数分布来近似。 自从e p s t e i n 和s o b e l 在5 0 年代初关于指数分布寿命试验数据统计分析的著名 工作之后“1 ，指数分布开始广泛地应用于实际。许多军事与工业标准是基于指数分布 的假定上制定的，如美国军标m i l - h d b k 2 1 7 。1 。 在指数分布场合，定时截尾寿命试验是常用的寿命试验之一，很多人研究过这类 试验，特别关心各种可靠性特征量的置信区间的获得。 c o x 首先看到这个问题的困难，他在1 9 5 3 年建议用以下近似式 z 2 ( 2 ，+ 1 ) 一2 2 s 叫( 1 - 5 ) 其中，为失效数，s 为总试验时间。由此可得丑的置信区问 ( 乃：( 2 r + 1 ) 2 s ，z 乙：( 2 ，+ 1 ) 2 s ) ( 1 6 ) 对c o x 的建议尚未给出严格的证明，至今使用尚不普遍。e p s t e i n 在1 9 5 9 年把定时 截尾寿命试验结果转换成定数截尾型寿命试验结果，利用定数截尾寿命试验数据情形 下参数区间估计方法进行计算“1 ，该方法计算简便，但是缺少理论依据。b a r t h o l o m e w ( 1 9 6 3 ) 曾获得0 的极大似然估计分的精确分布”3 ，由于过于复杂而不能使用，虽然 b a r l o w 等人( 1 9 6 8 ) 对其给出求置信区间的计算程序“1 ，使用的人也不多。于是人们 转向大样本方法，首先想到的自然是极大似然估计舀的渐近正态性，可利用渐进等价 近似式 i 0 - 万0 ，n ( 0 ，1 ) ( 1 7 ) t v 2 ”7。7 其中 1 。2 矿r ( 1 8 ) 由此得到的置信区间只在样本容量相当大时才可使用，在中小样本场合其近似都较为 粗劣”儿町。幸好s p o r t t ( 1 9 7 3 ) 提出一种近似方法州，他指出，；：，的分布很接近 正态分布，即 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 ( 一妒) ( 3 4 r ) ( 0 ，1 ) ( 1 9 ) 由此可获得a 的置信区间 ( 丑( 1 + u a ，2 3 4 r ) 3 ， ( 1 一“1 一一2 3 4 r ) 3 ) ( 1 1 0 ) 这种方法即使在小样本场合，近似程度也不错。 曹晋华、程侃( 1 9 8 6 ) 提供了一种计算目的置信区间的精确方法“，但是该方法 仅利用样本容量n 和失效数，来构造参数目的置信区间，而没有利用具体的失效时刻， 因此对试验信息利用得不够充分。陈家鼎( 1 9 9 3 ) 利用样本空间排序方法提供了种 参数置信限的计算方法”，该方法具有某种优良性，但在进行系统可靠性综合时使用 起来有一定的困难。王宏( 1 9 9 6 ) 对指数分布混合寿命试验给出总试验时间的分布表 达式“，还是显得表达式复杂和计算量大，虽备有专用软件，仍会有不便之感，且计 算过于复杂将会导致最后结果仍然是近似的。 最近于丹、赵勇辉、薛宏旗( 1 9 9 9 ) 提供了一种指数分布定时截尾寿命试验数据 情形下参数的点估计方法，进一步利用c o r n i s h f i s h e r 展开给出了参数置信下限的 渐近展开，讨论了由指数分布定时截尾寿命试验数据部件构成的复杂系统的可靠性综 合问题，并得到系统可靠度置信下限的渐近展开，通过数值模拟结果比较，该方法比 较好“。另外，刘保友、王燕、茆诗松( 1 9 9 9 ) 用一种新的途径获得指数分布大样本 定时截尾寿命试验总试验时间的渐近正态分布，对失效率旯给出了近似置信区间，从 随机模拟结果看，该方法具有比较满意的置信度“。 1 2 2 对数正态和正态分布 对数正态分布在可靠性中有广泛的应用，它可以用来拟合寿命时间、修理时间等。 此外，它在经济、生物等领域亦有广泛的应用“。 对数正态分布的起源可以追溯到1 8 7 9 年，那时m c a l i s t e r 明确地描述了这个分 布的理论“。此后其大多数方面一直在研究之中。g a d d u m ( 1 9 4 5 ) 给出它在生物学里应 用情况的回顾“7 “”1 ：b o n g ( 1 9 4 9 ) 应用于癌症研究“”；a i t c h i s o n 和b r o w n ( 1 9 5 7 ) 对该 分布的历史、特性、估计问题作了详细的讨论1 ；h o r n e r ( 1 9 8 7 ) 指出，在a l z h e i m e r 氏病( 一种早老性精神病，迅速成为痴呆) 发作时期的寿命分布也遵从对数正态分布 2 1 而对于正态分布，由于正态随机变量可以取负值，因此不能用来描述寿命，但是 如果把其负部截去，构造一个截尾的随机变量，则可用来描述寿命。若随机变量x 服 从截尾正态分布，即一m 7 ( ，仃2 ) ，则其具有概率密度 南京航空航天大学硕士学位论文 f ( x ) = i 焉1e x p - 专( x 一) ，x 。 ( 1 其中 c ；o ( 刍，仃 0 ，一 盯 0 ，x n ( t ，盯2 ) ，则有 p ( x 0 ) ：m ( 一坐) z0( 1 1 3 ) 郎 p ( x 0 ) 1 ( 1 1 4 ) 此时，正态分布亦可当作寿命分布来用。 对于对数正态和正态分布，s a m p f o r d 和t o y l o r ( 1 9 5 9 ) 提出一种获得卢，仃的极大 似然估计的迭代法。”，后来经w o l y n e t z 修改。”。”，这种方法容易程序化，适用于定 数和定时截尾两种场合，它实际上是d e m p s t e r 等人1 9 7 7 年提出的期望极大化算法”。 s a r h a 和g r e e n b e r g ( 1 9 6 2 ) 讨论过z ，盯的的最佳线性无偏估计，是为定数截尾样本而 确立的。n e l s o n 和s c h m e e ( 1 9 7 9 ) 给出了一些辅助性图表，可以用来求定数截尾 样本参数置信区间。但是对于定时截尾寿命试验下分布参数的区间估计，文献很少。 1 2 3w e i h u l l 分布 w e i b u l l 分布是指数分布的推广，它有较为广阔的应用，很多类型的产品在涉及 寿命问题时都广泛提倡用w e i b u l l 分布。由于参数的变化范围广，它可以用来代表广 泛的寿命分布规律，如用来反映电子元器件、滚珠轴承、电容器、光电单元、马达以 及许多生命体的寿命，此外，它还被应用于纺织品断裂及疲劳强度的研究中。 w e i b d l 分布是1 9 3 9 年引进的，由于它在描述老化、磨损等现象中的适用性与 灵活性，使得它从6 0 年代起受到重视。大量的统计方法的文献都是由该分布引出的， w e i b u l l 本人( 1 9 5 1 ) 讨论了该分布对于各种失效情形的适用性。“，l i e b l e i n 和 z e l e n ( 1 9 5 6 ) 将w e i b u l l 分布用于调查深槽轮滚珠轴承的疲劳寿命1 ，k a o ( 1 9 5 8 ) 将 w e i b u 1 分布用于描写电子管的失效”“，p i k e ( 1 9 6 6 ) o ”，p e t o 等人( 1 9 7 2 ) “，p e t o 和l e e ( 1 9 7 3 ) 。“，以及w i l l i a m s ( 1 9 7 8 ) ”用于分析致癌物的实验，s c o t t 和h a h n ( 1 9 8 0 ) 用于刻划早期放射反应的特性。“，以及j u c k e t t 和r o s e n b e r g ( 1 9 9 0 ) 用于 模拟人类特殊病的致命性o “。 在定时截尾试验场合，s i r v a n c e ( 1 9 8 4 ) 给出了w e i b u l l 分布参数的矩估计，并 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 证明了此估计具有相合性。张志华( 2 0 0 0 ) 给出了定时随机截尾数据情形下w e i b u l l 分布参数的矩估计，并讨论了其收敛性啪1 。但是对于w e i b u l l 分布定时截尾数据的区 间估计，国内还未见相关文章。 1 3 本文研究的主要内容 对于对数正态分布大样本定时截尾寿命试验，本文给出了样品试验时间取对数后 的期望、方差，得到样品试验时间对数和的渐近正态分布，构造了枢轴量。为克服直 接从枢轴量的渐近正态性求解参数，盯的联合置信域的困难，本文借助 w l o y n e t z ( 1 9 7 4 ) 提出的的m l e 丘的近似分布，首先构造了的近似置信区间，然后 求得了给定下盯的近似置信区间，最终获得了口，盯的近似置信域。随机模拟结果表 明，本文提出的方法具有比较满意的置信度。 对于正态分布作寿命分布时的大样本定时截尾寿命试验，本文给出了总试验时间 的渐近正态分布，得到了与对数正态场合样品试验时间对数和相近似的结果，从而可 以利用对数正态场合的结果得到参数的近似置信域。 对于w e i b u l l 分布大样本定时截尾寿命试验，本文同样给出了总试验时间的渐近 正态分布，构造了枢轴量。但是其中涉及到的样品试验时间的期望、方差的计算需要 用到不完全1 1 一函数，不易讨论枢轴量的性质。本文利用坐标变换，借助e 。的近似式 得到变换的近似式，用数值方法求解获得参数的近似置信域；最后在此理论基础上进 行了随机模拟。 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章对数正态分布定时截尾寿命试验 参数的近似置信域 2 1 样品试验时间对数和的渐近正态性 设产品寿命x 服从正态( ，盯2 ) 分布，其概率密度为 m ) = 丽1e x p ( 一击。刊2 ，- - o o 。 ( 2 2 ) 设样本y l ，m 来自总体( 2 2 ) ，令 t = i n 只，i = 1 ，n ( 2 3 ) 则葺，矗是来自总体( 2 1 ) 的一组样本。其中y ， 0 ，一o 。 x 。 t j 显然， ( ：) ，1 k n ) 相互独立同分布。对( 2 4 ) 式两边取对数，令 则 最瓴) = i n s ( ，p ，k = l n y 女，b = i n t ； s k o 。) ：抒 【0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 7 攻吒 ，、l = ) r 0(i 占 hl f f “岛 女 x x 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 易知 瓯( t o ) ，1 k n ) 相互独立同分布。 记& ( “) 的分布函数为g ( f ) ，并设妒( x ) ，r e ( x ) 分别为n ( 0 ，1 ) 分布的密度和分布函 数，即 删= 忑1 口2 ，- o o x + o o ( 2 7 ) 吣) = 去e 一；”机- c o t o ) 由此得s 。( f 。) 的分布函数为 中( 型) r “ 盯 。( ! 趟) f f 。 盯 等 面。字0 m t t b o g ( r ) = m ( 半) f f 。 ( 2 1 0 ) 【 1 t f o 可知s t ( t o ) 是既非离散型又非连续型的随机变量，但是它是有界变量，其均值与方差 存在，可由s t i e l t i e s 积分求出。令 ：生坐 (11202) 2 一 ( ) 盯 则 南京航空航天大学硕士学位论文 e s 以o ) 】= f z , a c ( f ) _ 椭( 警。e ) ( t o 盯- j ) = 聪妒( 半胁“面( t o 盯- t ) = 岸( 僦训吣胁 石( t o 盯- 1 ) = 盯x 9 ( x ) 出叫妒o ) d x + t 。面( z o ) = 一叩( z 。) + ( 一岛) 中( z 。) + 岛 = 一盯 妒( z o ) + z o o ( o o ) 】+ t o 日鄙( f 。) 】= 睁2 d g ( t ) = p 椰( 三型) + f ；五( 鱼二坐) jd = 鲁妒( 半肌姻2 - - 。了t o - 1 ) = f ( 佩训2 贴胁钾2 - - 。了t o - , u ) = 盯2 x 2 妒 ) a x 十2 掣x 妒 ) a x + 2 妒 ) a x + f ；五( z 。 = 一盯2 z o p ( z o ) + ( 盯2 + 2 一f ；) o ( z o ) 一2 t c r l p ( z o ) + f ； = 一盯2 z o 妒( z o ) + 【2 + ( “一o z o ) 2 一r ；】( z o ) 一2 ( t o 一仃z o ) 仃妒( z o ) + f ； = 一仃2 z o 妒( z o ) + ( 盯2 - 2 c r z o t o + 盯2 z ；) 也( z o ) 一2 ( t o o z o ) 盯妒( z 。) + f ： d s 。( r 。) = e s ：( 岛) 卜e 2 i s ( b ) 】 = 一盯2 z o 妒( z 。) + ( 口2 - 2 c r z o f o + 盯2 z ；) o ( z o ) 一2 ( t o o z 。) c r 妒( z 。) + ，； 一【盯2 妒2 ( z 0 ) + 2 0 - 2 z o 妒( ) 巾( ) + 盯2 z ；2 ( z 0 ) - 2 c r t o 妒0 0 ) 一2 0 r z o t o m ( z o ) + t o q = 一盯2 z o 妒( z o ) + ( 盯2 + 盯2 磊) 巾( z o ) + 2 盯2z o 妒( z 0 ) 一盯2 妒2 ( z o ) 一2 0 r 2 z o 妒( z o ) o ( z o ) 一仃2 z ：由2 ( z 0 ) = c r 2 妒( z o ) 2 z o o ( z o ) 一z o 一妒( z o ) + o ( z o ) 1 + z g 面( z o ) ) 得到 e s 女o o ) = 一g z 。中( z o ) + p ( z o ) 】+ b ( 2 1 2 ) d s 。( f 。) 】= 0 - 2 妒( z 。) 2 z 。面( z 。) 一z 。一妒( z 。) 】+ 巾( z 。) 1 + z ：面( z 。) ) ( 2 1 3 ) 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 令 ( 2 1 4 ) 由l i n d e b e r g l e v y 中心极限定理知 一s ( t o ) - e s 三( t o ) ：塑避1 2 三坠螋与( o ，1 ) 变量( 2 1 5 ) 4 d s ( t o ) 】4 d i s 。( f 0 ) 】 。 其中 i ( “) ：s ( t o ) 胛 ( 2 1 6 ) “三”表示“依分布收敛”。( 2 1 5 ) 式表明样品试验时间的对数和渐近正态分布。 选枢轴量 蛳2 鬻 ( 21 7 ) 记为n ( 0 ，1 ) 分布的上口分位点，则当样本容量”充分大时，得近似式 p _ “卅2 厶h ( ，o - ) u 一2 石 = 1 一口，0 t 。o 中( 与坐) 一中( ) 鼍_ y 岛 ( z 。) 。 ” 0 y 7 ( 2 3 5 ) w o l y n e t z ( 1 9 7 4 ) 指出。，无论样本容量大小，无论定数还是定时截尾，下面的近 似是足够精确的 4 - n n ( 丘- - a ) r ( ”一1 ) 分布( 2 3 6 ) q 1 3 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 其中 鼍， 。= ，+ ( ”一，) 矿( 训矿( j 。) 一乞 “0 ：怒，和字 q 3 ” ，为截尾时间t 。之前的失效数，丘，子分别为a ，盯的m l e 。 记( 功为f ( 刀) 分布的上口分位点，则由( 2 3 6 ) 可以得到的置信度为 1 一昙( o t o 一2 一a z o 西( z o ) + 妒( z o ) 】+ 其中见( 2 1 1 ) 式。 即e s i ( t o ) 】 z 证毕。 引理2 4 ( 1 ) 若善。与( 0 ，1 ) 变量，且y 。斗+ o 。，则 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 l i m p 孝。 y 。) = 1 ( 2 4 1 ) ( 2 ) l i m p s q o ) 0 ，当，n 时，对v x r 1 ，有 巾( x ) 一s p 善。 x ) m ( x ) + 占 所以 o ( v ) 一占 p 己 v n ) o ( v 。) + 占 1 一占 l i m 尸 善。 v 。) 1 + 占 令占。0 ，得l i m p 孝。 v 。 = 1 ( 2 ) 由( 2 1 5 ) 、( 2 1 7 ) 得，”圩( ，盯) ! j ( o ，1 ) 变量， 记 忙意铲 由引理23知，生；剿是一个与n无关的正数。故n-oo时，vn寸+00。4d s ( t o ) 】 由结论( 1 ) 得， ! 骢p s ( “) ) 21 受p 4 n h ( , u ，仃) 0 当x 0 ，从而y ( x ) 0 总之，对任意x ，y ( x ) 关于x 严格单调增加，从而 y ( x ) l i m 妒( x ) = j i x 妒( x ) 中( x ) 一妒2 ( x ) 】= _ m o ( x ) 0 即( p ( z ) 一x 妒( x ) ( x ) 一9 2 ( x ) 0 。证毕。 对给定的，由( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 7 ) 构造关于参数盯的枢轴量 日( 盯l ) 2 而丽医瓦s ( t o 再) + o i z o 瓦( 1 ) ( z 面o ) + 面o ( z o 丽) - 鬲t o 丽2 4 7 ) 其中z 。：鱼型。可以得到以下定理 量堕塑望墅巫趟堡圭兰垡堡塞 定理2 6 对给定置信区间( 2 4 3 ) 中的豇，当叮 0 时， 群( 盯f 1 ) 0 ( 2 4 8 ) 证令日川肋2 而a 其中 a = j ( 岛) + 盯 毛( z 。) + 妒( = 。) 卜“ b 2 伊( z o ) 【2 z o 中( z o ) 一z o 一伊( z o ) c = ( ) 1 + 气2 _ ( 气) 因为( z o ) ：= ( 譬) ：一畔：一垒 o 6 6 讹) _ ( 去e 音) ：0 ( z q = - - z o 成( 去e 一手) = 吾 虻0 0 ) 叫寿) ：成( 去e 专) = 等北。) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 。) 2 ( z 。) ：妒( ) = 一詈p ( z 。) ( 2 5 1 ) q ( 白) = 1 一o ( ) 己= 一中) = 詈妒( z 。) ( 2 5 2 ) 所以 爿：= ( s o o ) + 口 z 。中( z 。) + 妒( z 。) 】一屯) ： 口扣。h 妒( 引】+ 盯卜詈。( 钔一。詈妒( 铂十詈妒( z 0 ) 】 仃口一，r 。1 = 妒( z o ) 占：= ( 妒( z o ) 【2 面( 铂) 一一妒( z 0 ) ) ： ，2 2 詈绯姚0 _ ( z 0 ) - z o - 妒) 】+ 北0 ) 2 一詈配。) + z o 兰殳妒( z 0 ) 卜( 盯一手北0 ) ) 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 ：盈毗) 面( ) 一生毗) 盯盯 + 丝妒2 ( ) + 鱼伊( ) 盯仃 壹 0 2 ( 气) 一2 z o 妒( ) 面( ) 仃仃 = ! 当妒( z o ) k 0 2 2 z ；( z o ) 一2 面( z o ) + 1 】 仃 c ：= ( o ( z 。) 1 + z ；面( ) 】) ： = 一_ = z = - 0 妒( z o ) 【1 + z 2 0 - 6 ( z 。) + o ( z 。) 【2 z 。( 一z o ) 6 ( z o ) + z ；三卫妒( z 。) 盯 盯 ” 。盯、 一粤妒( z 。) 2 2 z ；m ( ) 十1 1 一盈西( 毛) 面( 毛) 盯盯 。 ( b + c ) ：= b o + c ：= 一2 z o 妒( z 0 ) 面( ) 一缢m ( ) 五( z 。) 盯仃 一z 仃z o 面( z 。) p ( ) + z o o ( ) 】 所以 蹦咖h 志炉丝等筹掣盟 2 寺 妒( ) 2 z o o ( z 。) 一一妒( ) 】+ ( ) 1 + z ；面( ) 旷2 2 c ，妒( z o ) 一( s ( f o ) + o z o o ( z o ) + 仃妒( z o ) 一o ) 】k o ( z o ) 2 z o 面( z o ) 一z o 一妒( z o ) 】+ ( z o ) 1 + z g - 6 ( z o ) 】 一盯 i ( f o ) + 盯z o o ( z 。) + 盯妒( z o ) 一f 0 】_ 【一警妒( z 。) 面( ) 一! 益o o 。) 面( 气) 】) 仃 盯 。 由引理2 5 知， 毋p i ) 的分子= 2 t 。一g ( t 。) 一仃中( z 。) 】 2 z 。妒( z 。) 巾( z 。) 一z 。妒( z 。) 一( 0 2 ( z 。) + ( z o ) + z g , d ( z o ) 面( z o ) 一2 z o 面( ：。) 一i ( ，。) 一o z 。( 2 。) 一o - 妒( z 。) 】 妒( 白) + 如o ( “) j 堑堑堕堇鳖盔堂堕主堂焦堡窒 = 2 t o s p o ) 】 三。妒( ) 中( 白) 一。o 妒( 毛) 一妒2 ( 毛) + 中( z o ) 】 2 0 g o 一z 。妒( z 。) m ( z 。) 一妒2 ( z 。) o ( z 。) + 巾2 ( z 。) 一妒2 ( z 。) 面( z 。) 2 2 t o s ( f o ) 】 巾( z o ) z d p ( z o ) ( z o ) 一妒2 ( z o ) + 2 0 - z o 妒2 ( z o ) + z o c p ( z o ) o ( z o ) 一2 ( z o ) 】 2 t o s ( t o ) o z 。 o ( z o ) 一妒( ) m 0 。) 一妒2 ( z 。) = 2 一g ( t 。) 】 。( z 。) 一z 。p ( ) m ( z 。) 一妒：( z 。) 0 因为h 。( o r i ) 的分母也大于零，所以嫒p l ) 0 。 证毕。 由定理2 6 知，对给定置信区间( 2 4 3 ) 中的，日p i ) 关于盯在( 0 ，+ 。) 内严 格单调增加。 定理2 7 对给定置信区间( 2 4 3 ) 中的“， 蚬砷一。，舰即= 击 。 ( 2 5 3 ) 其中“+ 0 ”表示变量保持正值趋于零。 证 因为z 。= t o 仃- , u ，所以 盯哼o z 。j + ，盯哼+ z 。呻o 故( 2 4 7 ) 式分子中，l i m c r p ( z o ) ：+ o o - + u 舰i m 田。( z o ) 2 ：甄( “一u ) o ( z o ) 2 ( f o 一刚：! i ，r n 。o ( z o ) = f 0 一u 可得 。l 。i m 。日p f ) 的分子= 虱r o ) 一 。 j 将叭卜将矿。仨去b _ 1 由定理2 6 、定理2 7 知，对任意实数c j i 与，关于盯的方程h p l 卢) = c 的 记“。为n ( 0 ，1 ) 的上a 分位点，则盯的方程 h ( o - l ) = “。石 ( 2 5 4 ) 的解为给定下，盯的置信度为1 一口的单侧置信上限； h ( o - i ) = 一u a 石 ( 2 5 5 ) 的解为给定下，盯的置信度为1 一口的单侧置信下限。 给定下，盯的置信度为l 一要的近似等尾置信区间( 吼，屯) 的端点五、吼分别为下 日( 仃i ) = 一“。石，h ( o - 0 = 。石 ( 2 5 6 ) 因为。 口 1 ，故。 詈 。所以上面方程应满足。i j l _ ， 南京航空航天大学硕士学位论文 由( 2 4 3 ) 、( 2 5 6 ) 最终可获得，盯的近似联合置信域 p 暑“一班s p + 焉锄( 肛1 ) 骺( ，0 脚 ( 25 7 ) l彦( ) 盯子u ( ) 利用公式( 2 4 5 ) ，可以得到大样本时置信域( 2 5 7 ) 的置信度为 p ( 丘一号t a 4 ( n 一1 ) p + 1 c t ：1f 卅4 ( 疗1 ) ，i ( 岛) ，d - l ( p ) 盯 6 - u ( ) ) 、# - 、n 。 1 一【1 一p 丘一下o 1t a l 4 ( ”一1 ) s 丘+ 下o ir 。4 ( ”一1 ) ，s ( t 。) 、，门 、， 一 1 p 占l ( ) 仃舌。( ) ) = l 一 1 _ ( 1 一翱一 1 一( 1 一詈) 】= 1 一口 即置信度至少为1 一口。 2 5 随机模拟例子 预先给定n ，口，盯，t o 的值，随机模拟的主要步骤如下 ( 2 5 8 ) ( 1 ) 产生服从( ，盯2 ) 分布的随机数，“：，“。，获得截尾数据一，x ：，k ，并计 算失效数r ； ( 2 ) 计算参数，盯的m l e , 五，子； ( 3 ) 计算的近似置信区间； ( 4 ) 给定置信区间中的，计算盯的近似置信区间，最终获得，盯的近似置信域 ( 5 ) 重复前面步骤1 0 0 次，求出在各个样本容量和截尾时间下的覆盖率。 具体模拟结果列表如下，其中表2 卜2 6 列出了参数，盯的近似置信域，表 2 7 - 2 8 列出了置信域的覆盖率。模拟图中“十”表示参数的极大似然估计值，“o ， 表示参数的真值。 定时截尾寿命试验下几个分布参数的近似置信域 表2 1 ，z = 5 0 ，口= 0 1 ，= 5 ，盯= 2 ，f o = 5 2 9 8 3 ，丘= 4 9 3 2 6 ，6 - = 1 9 7 3 9 6 - 。( )6 - u ( ) 4 3 6 5 10 1 4 8 22 1 6 l l 4 4 9 1 20 5 6 9 02 5 0 1 3 4 6 1 7 30 8 4 4 32 8 0 0 l 4 7 4 3 41 0 5 3 83 0 7 3 1 4 8 6 9 61 2 3 3 03 3 2 8 0 4 9 9 5 71 3 9 4 33 5 6 9 5 5 1 2 1 81 5 4 3 43 8 0 0 3 5 2 4 8 01 6 8 3 64 0 2 2 4 5 3 7 4 11 8 1 6 74 2 3 7 4 5 5 0 0 21 9 4 4 34 4 4 6 2 表2 2 n = 5 0 ，口= 0 1 ，= 5 ，盯= 2 ，o = 4 6 0 5 2 ，丘= 4 8 7 8 0 ，6 - = 2 0 2 3 9 l 吼( )屯( ) 4 2 9 5 30 8 6 3 52 3 4 1 4 4 4 2 4 81 0 2 7 12 5 8 7 6 4 5 5 4 31 1 7 4 42 8 1 9 1 4 6 8 3 81 _ 3 1 0 93 0 3 9 4 4 8 1 3 31 4 3 9 43 2 5 1 0 4 9 4 2 81 5 6 1 73 4 5 5 4 5 0 7 2 31 6 7 9 23 6 5 3 9 5 2 0 1 81 7 9 2 6 3 8 4 7 2 5 3 3 1 31 9 0 2 5 4 0 3 6 l 5 4 6 0 72 0 0 9 44 2 2 1 1 表2 3 r = 5 0 ，口= 0 1 ，= 一5 ，o - = 2 ，o = 一4 6 0 5 2 ，丘= 一5 1 7 7 i ，6 - = 2 0 9 5 9 芦 6 - 。( )6 - ( ) - 5 6 4 5 70 2 3 2 52 5 0 2 7 5 5 1 1 80 6 6 8 22 8 5 8 5 - 5 3 7 7 90 9 5 6 73 1 7 4 6 - 5 2 4 4 01 1 8 0 4 3 4 6 5 1 5 1 1 0 21 3 7 3 0 3 7 3 7 3 4 9 7 6 31 5 4 6 83 9 9 5 7 4 8 4 2 41 7 0 7 64 2 4 3 0 4 7 0 8 51 8 5 8 94 4 8 1 3 - 4 5 7 4 62 0 0 2 74 7 1 2 1