（计算数学专业论文）带有高阶振荡系数的抛物型方程的多尺度有限元方法.pdf

山东大学硕士学位论文 带有高阶振荡系数的抛物型方程的多尺度有限元方法 纪文峰 f 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 在现代科学与工程计算领域中，有很多重要的理论的与实际的问题是多尺度 问题，比如湍流问题，集成电路设计中的诸多问题，复合材料的电( 热) 传导问 题，多孔介质中的流体分析等等在这些问题中，由于在每一空间维上出现大小 多个尺度，而且大小尺度相差很大( 有时候在4 至5 个数量级上) ，这些问题如要 采用传统的有限元方法或者有限差分方法在每个小尺度上来解决，需要庞大高能 的计算机群，其运算速度、存储量等方面的要求远远超出我们今天计算机的发展 水平而且，我们解决多尺度问题往往是希望得到宏观上，也就是在大尺度上问 题的特性这里我们提出解决带有高阶振荡系数的抛物型方程的多尺度有限元方 法( m u h i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d m s f e m ) ， 在此之前，已有很多人针对不同的多尺度问题提出了不同的解决方法，如均 匀化理论- 6 ，。”，小波方法，变分多尺度方法等等对于某些特殊类型的方 程，羊丹平、t h o m a sy h o u 等人已提出其多尺度有限元方法的理论分析与数值实 验1 1 ，。然而在以往方法中均没有涉及到带有非周期高阶振荡系数的抛物型方 程的多尺度求解方法、本文对带有高阶振荡系数的抛物型方程给出其多尺度有限 元方法这一方法能够不求解每一个小r 度问题而精确高效的抓住大尺度特征 通过在各个单元上根据微分算子的性质建立多尺度有限元基来抓住每个单元上的 小尺度信息，再由总刚度矩阵将这些信息带给大尺度，这样对大尺度有用的那些信 息都被准确的捕捉到，而没有丢失与以往其他解决带有高阶振荡系数的抛物型 方程的方法不同的是，多尺度有限元方法不要求方程符合周期性等条件限制【5 】i 。” 从而使得这一方法得以更广泛的应用范围在本文中我们在某些合理的假设下， 给出了二阶抛物型方程的详细收敛性的理论分析 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：! - ! = = = = = = = ：= = = = 全文共分三壹 - 第一章对带有高阶振荡系数的抛物型方程 ll s ( “e ) 三 一守( ( t ，t ) v u 。) = f 、( z ，t ) n 【0 ，t 1 ， “e ( z ，t j 2 0 ， ( z ，t ) a q 0 t 1 ， lu e ( t ，o ) = g ( z ) ，z q 给出其多尺度有限元半离散解的建立方法，并给出半离散解的收敛性分析这里 e 是小参量，a ! ( x ，t ) 是对称z e 定_ f g 本章共分三节 第一节提出多尺度有限元方法半离散解的建立方法，即：若记 吼) 墨。是标 准有限元基，最= 8 u p p q j i 我们引进= s p a n 垂：) ，其中 包) 量1 是多尺度有 。限元基，其定义如下； il s ( 垂z ) 三鲁一v ( 如( z ) v 中：) = o ( z ，t ) k 【o ，了1 ， 西t ( z ，t ) = t ( 。) ( z t ) a k 0 ，t 】、 【中t ( z ，o ) = ：( t ) ， 。k 其中k r ，kcs h 则多尺度有限元方法半离散的变分问题为：求“! k 满足： v t 璃， g h ( z ) l _ 第二节中为了给出系数是。( ；) 时，抛物型方程多尺度有限元解的收敛性， 我们利用渐近展开的方法给出了一个重要中问结果： 定理1 记。；y ，小= “。( z t ；g ，r ) 一“。( z ) 一e “l ( t t ；y , r ) + 以( 。，如，r ) 其中如是0 , 2 1 ) 的解，“。“l ，以分别是f 1 2 1 4 ) f 1 2 “) ( 1 2 1 5 ) 的解，则有： 蛳舢(iill：ll j忆州瓢n ) 哪 墨c e 咖十j 】警) ) d t ) 0 ( j c 。，等三! 着重给出了半离散解的收敛性分析。我们首先给出u o 的以 蛾) 2 。为 基底的插值算子： “i = i m t o 忙妻u 慨恻螂 ， = 审 北 斗 j j 滞 ，、i、 山东大学硕士学位论文 其中l h u ( x t ) = eu ( x i ，t ) 亚( z ，t ) ，v u c ( f i ) 为得到1 1 毗一u 州的误差估计，我 们给出了若干的中间结果： 定理2 u ! 是( 1 2 1 ) 的解，“! 满足( 1 3 4 ) ，则我们有 o 缸删h 捌c z 。i i v ( ? & - - - u 抓训t 定理3u ! 是( 1 2 1 ) 的解，u ：满足( 1 3 4j ，则我们有 i l 毗一“川。，n + 。l t v ( u 。一u ：) | 1 0 - 【、d t 蚓m ) l l 蚓1 2 , n + c ( ) z 。t l 忆刎候z 。i i i i 删 在给出定理2 ，引理1 4 ，定理3 的基础上，再利用c d a 引理，我们就顺利的 得到下述关键性结论： 定理4 “，是( 1 2 1 ) 的解，u ：是( 1 2 1 ) 的半离散多尺度有限元解，则我们 有 17 2 。- - i t 圳蚓叭) 1 1 蚓k n 圳! ) 舢i i k 拙+ e 店z i i i i 删t 第二章：肾对时间变量t 也直用( 。n ! ( ，r k i n 方法进行离散化【1 1 1 ，给出多尺度 有限元方法的全离散解，并给出其详细的收敛性的理论分析 本章共分两节 第一节提出多尺度有限元方法的全离散解的建立方法，即：令i k = s p a n 亚 其中 m ，) _ ；= 。满足： i 工! ( 面。) = 警一v ( n ( ，r ) v 画) = 0 ，( z ，) k l 。， 西i ( z ，t ) = ，( z ) ，( z ，t ) o k 厶， i 中：( z ，t 。，l ) = 皿。( z ) z k 其中 。) ：。是标准有限元基，则多尺度有限元全离散的变分问题为，求u k 使得 j ，。( 筹”) d t + ( 嘴一，”：) + l 。( n v u ，v ”) 出= 上。( ，”) d r ，v ”豫， i = 珊og h o w ； y 山东大学硕士学位论文 第二节是多尺度有限元方法全离散解的收敛性分析过程经过理论推导，再 利用定理4 的结果，将得到： 定理5 u ! ，u 分别满足( 1 2 1 ) ( 2 21 ) 则我们有 i i “一“! ( “) l l s c ( + + k ) l l u 0 1 j2 舯+ ( h ，+ ) 片”i i , , 0 1 1 2 ，n 出 + 、层e “i b o l t ：。，n 出+ ) 第三章是针对一组带有高阶振荡系数的抛物型方程，给出它们系统的渐近展 开方法，而这些渐近展开的结果正是多尺度有限元方法解的收敛性分析时的最重 要中间结果之一我们要讨论的这组方程为： 帅扣等一。( n ( ；妄) 砜扣 其中k = o 1 2 3 第一节给出k = 2 时，系数为。( ；j t ) 时的抛物型方程的渐近展开方法及其误 差估计： 定理6 记：= u 。一u o 一= ( 毗一o z ) 一= 2 ( u 2 一班) 其中“。是( 1 2 1 ) 的详， o ，h 1 u 2 0 仉分别是( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 3 ) ( 3 1 1 6 ) 1 3 1 1 7 ) ，( 3 11 8 ) 的辑，则有： 。m ! 。a ! x 。i i ：( t ) | | ：! + z 7l l v 。( s ) l i i 。d s c s 2z 7 【| | 百a t t l ol i 2 。+ i i u 。l 刍，1 d s 完全类似的，我们在第二节给出k = 3 时，系数为。( ；专) 时的抛物型方程的 渐近展开方法及其误差估计： 定理7 记。= u = 一“o 一( “l 一0 ：) 一e 2 ( u 2 一吼) 一e 3 ( u 3 一毛) 其中吐是 f 12 1 ) 的解，则有： 踌忙( f ) 幢：+ 知v 小) i l i a d s _ = 南ll y t f d y d v 则由( 1 2 6 ) 可直接得到u o = u ( x t t ) 又将( 1 2 7 ) 对y 在y 一周期上取平均得 ，一 剐 故 鲁= o 则可得 u o = 1 1 0 ( z ，t ) 即u o ( 。，t ) 是关于x , t 的函数，与y ，r 无关由( 1 2 8 ) 得 ”0 2a v z “o + a v u l ( 1 2 1 0 ) 而且，由v 。v o = 0 知v o = ( x ，t ，r ) 由( 1 2 7 ) 及( 1 2 1 1 ) 得 “一帕，r ) 筹 ( 1 2 1 2 ) 其中x ，满足： v ( o ( ，r ) v x ) = v ( o ( ，r ) v ，) 4 山乐大学硕士学位论文 ! = = = = = = ! ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = ：! ! = ：= = ：- = 再将( 1 29 ) 对y ，r 取周期上的平均，得 一 + 一 一 = d 即 尝v 。咖：， 矾 ” ” 瓦o u o v 。( 。v ：u 。) 一v 。( 。v v u l ) = ， ( 1 2 1 3 ) 整理即得 ： 等坷。( a v 跏) 可 ( 1 2 1 4 ) 其中如= 我们称( 3 ，1 4 ) 是均匀化方程，u o 是均匀化解在本小节接下来的工作中，我 们尝试着给出多尺度解毗与均匀化解“o 之间的误差估计 如果我们引入记号以，称它为一阶修正项，它满足： it ) 三警一v - ( a v 0 。) = 0 ，( z ，t ) q 【o ，t 1 ， 日e ( 茗，t ) = “1 ，( z ，t ) a q o ，引，( 1 2 1 5 ) 【以( z ，o ) = 0 ， z n 则我们有 定理1 记4 x ，：y ，r ) = 吨( z ，；可，1 _ ) 一u o ( z ，t ) - - g l l ( z ，亡v ，r ) + s 以( 嚣，z ；y ，r ) ， 其中e 是( 1 2 1 ) 的解，u 0 ，u l ，口。分别是( 1 2 1 4 ) ，( 1 2 1 1 ) ，( 1 2 1 5 ) 的解，则有： i i z l l 鲰 f ( i l u o l l ：川瓢蝴侥 上：1 n + i l 等嗣 即 证明 u s u 0 u l + 以| l c e f ( 1 l “o i l 2 ，n 十i r e j 0 ( 瓦o z ，z ) 一( v ( n v ；) 。) = ( 瓦o z ，z ) + ( a v z , v z ) 5 、( 1 ，2 1 6 ) 山东大学硕士学位论文 将z = u r u o 一u z + 以代入上式并逐项展开，并注意到( 鲁，：) + ( n v 目。，v 。) 为零， ( 裳，：) 一( v ( a v z ) 。) = ( 鲁，z ) + ( a v u 。，v z ) 一( 磐z ) ( a v u o ，v z ) 一s ( 刁o u ，z ) 一s ( a v u l ，v z ) 将v = v 。+ v ，击= 袭+ 鲁代入， ( 象，z ) 一( v ( a v z ) ，z ) = ( “o t t ，：) + ( a v u 。，v z ) ( 警，：) 一( a v u o ，v z ) 一e ( 鲁，z ) 一( 鲁，z ) 一e ( a v ；u 。，v z ) 一( a v 。u - ，v ；) 我们将( a v ：u o v z ) ，( a v ，u ，v z ) 分别展开 ( 警，z ) 一( v ( a v z ) ，z ) = ( ，z ) 一( 警，z ) + ( v 。( o v 。) ，z ) + ；( v ，( a v 。呦) ，：) 一( 号争，z ) 一e ( 警，z ) 一e ( a v 。u ，v z ) + ( v 。( 。v u i ) ，z ) + ；( v v ( a v v “1 ) ，z ) = ( ，z ) 一( ，z ) 一( 害，。) 一e ( ，z ) 一s ( a v 。u ，v z ) + ( v 。( a v ：u o ) = ) + ( v ：( a v u 1 ) ，z ) + ( v p - ( a v v u o ) ，。) + ( v 。( a v p u l ) ，。) 注意到( 1 , 2 8 ) ( 1 29 ) 式，即 u o = n ( 1r ) v 。t t o + n ( ，r ) v u 1 v ，锄= 警十等一v x v o - - ， 我们可以得到： ( 裳：z