（应用数学专业论文）广义kirkman方gks（n13n）的存在性.pdf

广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 摘要 摘要 设s ，n 为给定的正整数，x 为一个3 n 元集合x 上边为8 的3 n 阶广 义k i r k m a n 方，简记为g k s ( s ，3 n ) ，是一个s s 阵列，其满足以下条件： ( 1 ) 1 每一位置或为空，或包含x 中的一个3 元子集； ( 2 ) 每行每列都是l a t i n 的( 即x 中每个元素恰好出现在每行每列的一 个位置中) ； ( 3 ) x 的每个点对至多出现在该阵列的一个位置中 最近，e t z i o n 【9 】发现了应用广义k i r k m a n 方构造最优双常重码的方法， 并且提出研究问题：建立广义k i r k m a n 方g k s ( s ，3 n ) 的存在性 平凡的g k s ( s ，3 n ) 是g k s ( s ，o ) ，x = 谚，其包含s s 个空位置非平凡的 g k s ( s ，3 n ) 存在的必要条件是0 6 ，除了4 个可能的例外，所有的g k s ( n + 1 ，3 n ) 都 存在我们通过建立多种直接构作方法( 第二节) 和若干有效的递归构作方 法( 第三节) 得到本文结果 关键词：广义k i r k m a n 方；s t a r t e r - a d d e r 构作；正交拉丁方 作者：王长远 指导教师： 杜北梁( 教授) e x i s t e n c eo fag e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r eg k s ( n + 1 ，3 n )a b s t r a c t e x i s t e n c eo fag e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r eg k s ( n + 1 ，3 n ) a b s t r a c t l e tn ，sb et w op o s i t i v ei n t e g e r s ，xi sa3 n - s e t ag e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r eo f s i d esa n do r d e r3 no nx ，o rm o r eb r i e f l y , ag k s ( s ，3 佗) ，i sa ns sa r r a y , s u c ht h a t ( 1 ) e a c hc e l le i t h e ri se m p t yo re l s ec o n t a i n sa nu n o r d e r e d3 - s u b s e tf r o mx ； ( 2 ) e a c hr o wa n dc o l u m ni sl a t i n ( t h a ti s ，e v e r ye l e m e n to fxi si np r e c i s e l yo n e c e l lo fe a c hr o wa n de a c hc o l u m n ) ； ( 3 ) e v e r yu n o r d e r e dp a i ro fxi si na tm o s to n ec e l lo ft h ea r r a y r e c e n t l y e t z i o n 【9 j 9h a sf o u n dam e t h o do fc o n s t r u c t i n go p t i m a ld o u b l yc o n s t a n t w e i g h tc o d e sb yg e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r e s h ep u tf o r w a r do n es t u d yq u e s t i o n ： e s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fag e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r eg k s ( s ，3 n ) at r i v i a lg k s ( s ，3 n ) i sag k s ( s ，0 ) h a v i n gx = 谚a n dc o n s i s t i n go fa nsxs a r r a yo fe m p t yc e l l s an e c e s s a r yc o n d i t i o no nsa n d 礼f o rt h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a l g k s ( s ，3 n ) i st h a t0 6w i t ha tm o s t4p o s s i b l ye x c e p t i o n sf o rn t h i si sa c c o m p l i s h e db yd e s c r i b i n g d i r e c tc o n s t r u c t i o n sf o rg k s ( n + 1 ，3 n ) sf o rs m a l ln ( s e c t i o n2 ) a n db yt h eu s eo f r e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s ( s e c t i o n3 ) k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dk i r k m a ns q u a r e s ；s t a r t e r - a d d e rc o n s t r u c t i o n ；o r t h o g o n a ll a t i n s q u a r e s i i w r i t t e nb yw a n gc h a n g y u a n s u p e r v i s e db yp r o f d ub e i l i a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：互挺日期：包咄 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致，除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名 日期： 日期： 广义k i r k m a n 方c k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 一 引言 芦l 士 jl 置 设s ，珏为给定的正整数，x 为3 他元集合x 上边为s 的3 ，；阶广义 k i r k m a n 方，简记为o k s ( s ，3 竹) ，是个sxs 阵列，其满足以下条件： ( 1 ) 每一位置或为空，或包含x 中的一个3 元子集； ( 2 ) 每行每列都是l a t i n 的( 即x 中每个元素恰好出现在每行每列的一 个位置中) ； ( 3 ) 3x 的每个点对至多出现在该阵列的一个位置中 d e z a 和v a n s t o n e 7 】在研究置换阵列时，发现广义k i r k m a n 方能够构造置 换阵列置换阵列能够应用于电缆中的数据传输和区组密码设计【5 ，1 4 最 近，e t z i o n 【9 】发现了应用广义k i r k m a n 方构造最优双常重码的方法，并且 提出研究问题：建立广义k i r k m a n 方g k s ( s ，3 n ) 的存在性 平凡的g k s ( s ，3 n ) 是g k s ( $ ，o ) ，x = d ，其包含s s 个空位置非平凡的 g k s ( s ，3 n ) 存在的必要条件是0 6 ，除了4 个可能的例外，所有的g k s ( n + 1 ，3 n ) 都存 在我们通过建立多种直接构作方法( 第二节) 和若干有效的递归构作方法 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 一引言 ( 第三节) 得到本文结果在递归构作中，需要包含一个最大平凡子设计的广 义k i r k m a a x 方的概念如果广义k i r k m a n 方g k s ( n + t ，3 n ) 包含一个t 子 阵g k s ( t ，o ) ，则称它包含一个最大的平凡子设计容易看到，g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性等价于包含一个最大平凡子设计g k s ( 1 ，0 ) 的g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在 性在第四节我们给出了本文主要结论的证明 2 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 二 直接构作 二直接构作 为建立本文结果，我们需要若干直接构作本节我们对此作一介绍 我们的直接构作是使用s t a r t e r 和a d d e r 设g = ( 五( 1 ，2 ) ) u c o l ，0 0 2 ， 0 0 3 。砌 ，s t a r t e r 是个集合s = ，y i ，忍】：1 i 2 s 一2 n u ( ( 地，v i ) ：u i , v i 有 不同的下标，2 s 一2 n + 1 i 竹) ，且满足下列性质： 1 s 是五 1 ，2 ) 的一个划分； 2 五中的每个非零元作为( j ，歹) 纯差，歹= l ，2 ，至多出现一次，并且磊中 的每个元素作为( j ，k ) 混差，j 七，j ，七 ) u o o 。，。，c o s n 嘞】中的每个元素，在所得到的阵列的每行每列中恰好出现 一次容易验证，g 的每个点对至多出现在阵列的一个位置中 口 这种s t a r t e r - a d d e r 方法是在构作k i r k m a n 方时使用的嵌入强s t a r t e r 方法 的一种推广【1 2 j 我们将利用定理2 1 去构作广义k i r k m a n 方为了表示方 3 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 二 直接构作 我们把( i ，歹) 表示为西 引理2 2 当讫 8 ，1 1 时，存在g k s ( n + 1 ，3 扎) 证明：c k s ( 9 ，2 4 ) ： x = ( 历 1 ，2 ) ) u 0 0 1 ，0 0 2 ，0 0 3 ，0 0 4 ，o 。5 ，6 ) s 0 1 1 1 3 10 2 1 2 3 22 1 2 24 1 7 25 1 6 26 1 8 27 1 5 28 1 4 2 a ( s ) 0 3 5 1 824 7 g k s ( 1 2 ，3 3 ) ： x = ( z 1 2 l ，2 ) ) u 。1 ，0 0 2 ，9 ) l s 0 1 3 1 7 10 2 4 2 9 21 1 1 22 1 3 24 1 6 25 1 8 26 1 1 1 28 1 5 29 1 7 2 a ( s ) 041 0 7 6l891 1 s 1 0 1 2 21 1 1 1 0 2 a ( s ) 35 口 下面我们将推广上述s t a r t e r - a d d e r 构作首先，当i = 2 s 一2 n + 1 ，2 s 一 2 扎+ 2 时，条件“，虢有不同的下标”可用“抛棚n + l ，忱。一孙+ l 有相同下标1 ； u ：m 竹+ 2 v 2 棚n + ：有相同下标2 ”来代替但是，此时我们需要另外的条件： ( 3 ) 对于( 讹，v i ) ，i = 2 s 一2 n + 1 ，2 s 一2 n + 2 ，纯差都是奇数；( 4 ) 对应于( u ，忱) 的a d d e ra i ，i = 2 s 一2 n + 1 ，2 s 一2 n + 2 ，或都是奇数或都是偶数阵列仍然从第 0 行开始按照从左上到右下斜对角线方向循环生成在第歹行第a 2 础n + 。一歹 列位置，当歹是奇数时，放置三元组( 坳。一2 叶l + j ，忱。一州，l + 歹，0 0 1 ) ，当歹是偶 数时，放置三元组 抛。一2 n + 1 + 互忱。一孙+ l + 歹，0 0 2 ) ，在第j 行第a 2 s - 轨+ 2 一歹列 位置，当歹是奇数时，放置三元组【u 。一2 n + 。+ 歹，1 2 2 川n + 。十歹，0 0 。) ，当j 是偶数 时，放置三元组( 坳棚n + 2 + 歹，v 2 棚n + 2 + j ，0 0 1 ) 引理2 3 当n 7 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ) 时，存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 证明：g k s ( s ，2 1 ) ： x = ( 磊 1 ，2 ) ) u o o l ，。0 2 ，0 0 3 ，。4 ，0 0 5 ) 4 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 二 直接构作 s 0 1 2 1 0 21 1 3 2 5 23 1 6 x1 2 4 24 1 7 25 1 2 27 1 6 2 a ( s ) 0431725 g k s ( t 0 ，2 7 ) ： 义= ( 五ox 0 如 果存在3 - m o l s ( h ) 和3 - i m o l s ( h + 坎，佻) ，佻为整数，1 i p ，则存在3 h m o l s ( h n 一1 ( 九+ u ) 1 ) ， ：壹忱 i = 1 为了应用上面的构作，我们需要下面的引理 引理3 5 ( 【1 】) 对任意的正整数钉，u 2 ，3 ，6 ，1 0 ，存在3 - m o l s ( v ) 引理3 6 ( 【2 ，8 】) 对任意的正整数u ，礼，u 4 n ，除了( u ，n ) = ( 6 ，1 ) 及可能的例外 ( 口，佗) = ( 1 0 ，1 ) ，存在3 - i m o l s ( v ，n ) 引理3 7 ( 1 0 】) 设h ，心是正整数，如果h 1 ，让5 ，则除了( h ，u ) = ( 1 ，6 ) 和可能 的例外( ，牡) ( 1 ，1 0 ) ，( 3 ，6 ) ，( 3 ，1 8 ) ，( 3 ，2 8 ) ，( 3 ，3 4 ) ，( 6 ，1 8 ) ) ，存在3 - h m o l s ( h u ) 引理3 8 ( 【8 】) 设素数幂q 5 ，则存在含有q 条不交截态的3 - m o l s ( q ) 和含有 q 一4 条带洞不交截态的3 - m o l s ( q ) 横截设计t d ( k ，n ) 是区组长为七组型为舻的g d d 众所周知，横截设计 t d ( k ，礼) 的存在性等价于( k 一2 ) - m o l s ( n ) 的存在性 引理3 9 ( 1 】) 1 对任何的素数幂q ，存在t d ( q + 1 ，g ) ； 2 对任何的正整数n 4 0 ，n 岩e = ( 4 2 ，4 4 ，4 6 ，5 1 ，5 2 ，5 4 ，5 8 ，6 0 ，6 2 ，6 6 ，6 8 ，7 4 ) ， 存在t d ( 8 ，n ) 1 0 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 四 主要结果 四主要结果 引理4 1 当佗( 3 5 ，4 0 ，4 2 ，4 5 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，6 0 ，6 5 ，6 6 ，7 5 ，9 0 时，存在g k s ( n + l ，) 证明：结论可以从构作3 1 得到我们需要3 - h m o l s ( x ，9 ) 和g k s ( i g i i + 1 ， 3 1 a i l ) 作为输入设计，这可以从引理3 7 ，引理2 2 和引理2 3 得到下面我们 对于每个n ，列出了合适的型为h “的3 - h m o l s ： 礼= 3 5 ：3 - h m o l s ( 7 5 ) ； 死= 4 0 ：3 - h m o l s ( 8 5 ) ； n = 4 2 ：3 - h m o l s ( 7 6 ) ； 礼= 4 5 ：3 - h m o l s ( 9 5 ) ； 扎= 4 8 ：3 - h m o l s ( 8 6 ) ； n = 4 9 ：3 一h m o l s ( 7 7 ) ； 他= 5 0 ：3 一h m o l s ( 1 0 5 ) ； n = 5 4 ：3 - h m o l s ( 9 6 ) ； 竹= 5 5 ：3 - h m o l s ( 1 1 5 ) ； n = 5 6 ：3 - h m o l s ( 7 8 ) ； n = 6 0 ：3 - h m o l s ( 1 0 6 ) ； 扎= 6 5 ：3 一h m o l s ( 1 3 5 ) ； 钆= 6 6 ：3 - h m o l s ( 1 1 6 ) ； 礼= 7 5 ：3 - h m o l s ( 1 5 5 ) ； 礼= 9 0 ：3 - - h m o l s ( 9 1 0 ) 引理4 2 当n 4 3 ，4 7 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，7 3 ，7 4 ，1 1 8 ) 时，存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 凸 证明：结论同样可以从构作3 1 得到这里我们需要3 - h m o l s ( x ，鸟) 和g k s ( i 伉f + 1 ，3 1 a , i ) 作为输入设计，这可以从引理3 3 ，3 8 ，3 5 ，3 6 ，引理2 2 和引理 2 3 得到下面我们对于每个礼，列出了合适的型为胪s 1 的3 - h m o l s ： n 3 - h m o l s ( h u s l )引理3 3 中的( u ，危；v l 耽，铷) 4 3 3 - h m o l s ( 7 s 8 11( 5 ，7 ；2 ，2 ，2 ，2 ) 4 7 3 - h m o l s ( 8 s 7 1 ) ( 5 ，8 ；2 ，2 ，2 ，1 ) 5 7 3 h m o l s ( 7 7 8 x 、 ( 7 ，7 ；2 ，2 ，2 ，2 ) 5 8 3 h m o l s ( 7 r 9 x 1( 7 ，7 ；2 ，2 ，2 ，2 ，1 ) 5 9 孓h m o l s f 7 7 1 0 1 ) ( 7 ，7 ；2 ，2 ，2 ，2 ，2 ) 7 3 3 - h m o l s ( 8 s 9 1 )( 8 ，8 ；2 ，2 ，2 ，2 ，1 ) 7 4 3 - h m o l s ( 8 s 1 0 1 ) ( 8 ，8 ；2 ，2 ，2 ，2 ，2 ) 1 1 83 h m o l s ( 1 3 s 1 4 1 1 ( 8 ，1 3 ；3 ，3 ，3 ，3 ，2 ) 1 1 口 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 四 主要结果 引理4 3 当n 5 1 ，5 2 ，5 3 ，6 1 ，6 2 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 6 ，8 9 时，存在g k s ( n + 1 ，3 佗) 证明：结论同样可以从构作3 1 得到这里我们需要3 - h m o l s ( x ，9 ) 和g h d ( i g “+ l ，3 1 c t i ) 作为输入设计，这可以从引理3 4 ，引理2 2 和引理2 3 得到 下面我们对于每个他，列出了合适的型为胪s 1 的3 - h m o l s ： n 3 - h m o l s ( h ”s 1 1引理3 4 中的( u ，h ；v 1 ，v 2 ，吻) 5 1 3 - h m o l s ( 7 6 9 1 ) ( 7 ，7 ；2 ) 5 23 _ h m o l s f 7 6 1 0 1 ) ( 7 ，7 ；2 ，1 ) 5 33 - h m o l s ( 7 8 1 1 1 1 ( 7 ，7 ；2 ，2 ) 6 13 - h m o l s ( 7 7 1 2 1 ) ( 8 ，7 ；2 ，2 ，1 ) 6 2 3 一h m o l s ( 7 71 3 1 1 ( 8 ，7 ；2 ，2 ，2 ) 6 7 3 - h m o l s ( 8 7 1 1 1 1( 8 ，8 ；2 ，1 ) 6 8 3 - h m o l s ( 8 7 1 2 1 ) ( 8 ，8 ；2 ，2 ) 6 9 3 - h m o l s ( 8 7 1 3 1 ) ( 8 ，8 ；2 ，2 ，1 ) 7 63 - h m o l s ( 8 8 1 2 1 1 ( 9 ，8 ；2 ，2 ) 8 9 3 - h m o l s ( 8 0 9 11 ( 1 1 ，8 ；1 ) 结合引理2 2 ，2 3 ，2 4 ，和引理4 1 ，4 2 ，4 3 ，我们有 口 引理4 4 设n 为正整数，当7 仡6 2 且n 叠 3 7 ，3 8 ，4 1 ，4 4 ，4 6 时，存在 g k s ( n + 1 ，3 n ) 引理4 5 设s ，t 为非负整数，假设存在t d ( 8 ，t ) 如果存在g k s ( t + 1 ，3 t ) 和 g k s ( s + 1 ，3 s ) ，s t ，则存在g k s ( 7 t + s + 1 ，2 1 t + 3 s ) 证明：我们从t d ( 8 ，t ) 的一个组中去掉一s 个元素，得到型为t 7 s 1 的 7 ，8 ) g d d 应用引理3 2 ，得到型为t t s l 的3 - h m o l s 这里我们需要一个含有一条 公共截态的3 - m o l s ( k ) ，k = 7 ，8 ，作为输入设计，这可由引理3 8 得到从构 作3 。l 不难得到结论口 引理4 6 设r ，s ，t 为非负整数，假设存在t d ( 9 ，t ) 如果存在g k s ( t + 1 ，3 t ) ， g k s ( r + 1 ，3 r ) 和g k s ( s + l ，3 s ) ，_ s t ，则存在g k s ( t t + r + s + 1 ，2 1 t + 3 r 4 - 3 s ) 1 2 广义k i r k m a n 方g k s ( n + l ，3 n ) 的存在性 四 主要结果 证明：我们从t d ( 9 ，t ) 的两个组中分别去掉t 一，- 个和t s 个元素，得到型 为t 7 r l s l 的 7 ，8 ，9 ) 一g d d 应用引理3 2 ，得到型为t 7 r 1 8 1 的3 - h m o l s 这里我 们需要一个含有一条公共截态的3 - m o l s ( k ) ，惫= 7 ，8 ，9 ，作为输入设计，这可 由引理3 8 得到根据构作3 1 可得结论 引理4 7 设礼为正整数，当6 3 n 9 7 时，存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 证明：从引理4 1 ，4 2 ，4 3 ，我们知道结论对于钆 6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 6 ， 8 9 ，9 0 ) 成立对于剩下的n ，结论可以由引理4 6 得到，= 8 ，9 ，1 1 ，r 7 s= 0 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 这里我们需要t d ( 9 ，t ) ，g k s ( t + 1 ，3 t ) ，g k s ( r + 1 ，3 r ) 和g k s ( s + 1 ，3 s ) 作为输入设计，它们可以分别从引理3 9 和引理2 2 ，2 3 得到 口 引理4 8 设n 为正整数，当9 8 n 2 8 8 时，存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 证明：由引理4 2 ，我们知道结论对于佗= 1 1 8 成立对于剩下的结论可以 由引理4 6 得到，1 3 t 3 2 ，t 是素数幂，1 4 r + s 2 t ，r ，s = 0 ，7 ，8 ，t 。 这里我们需要t d ( 9 ，t ) ，g k s + l ，3 t ) ，g k s ( r + l ，3 r ) 和g k s ( s + l ，3 s ) 作为输入 设计，它们可以分别从引理3 9 和引理2 。2 ，2 3 ，2 4 得到 d 引理4 9 设n 为正整数，当n 2 8 9 时，存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 证明：结论可以由引理4 5 得到，t 4 0 ，tge u 4 1 ，e = ( 4 2 ，4 4 ，4 6 ，5 1 ，5 2 ，5 4 ， 5 8 ，6 0 ，6 2 ，6 6 ，6 8 ，7 4 ) ，7 s 3 5 这里我们需要t d ( 8 ，亡) ，a g s ( t + 1 ，3 t ) ，g k s ( s + 1 ，3 s ) 作为输入设计，它们可以分别由引理3 9 和引理2 2 ，2 3 ，2 4 得到 口 结合引理4 。4 ，和引理4 。7 ，4 8 ，4 9 ，我们得到本文的主要结果 定理4 1 0 设他为正整数，当似7 且几乒( 3 8 ，4 1 ，4 4 ，4 6 时，存在g k s ( n + i ，3 礼) 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 五 总结 五总结 本文我们证明了，对任意的正整数佗 6 除了至多有4 个可能的例外， 都存在g k s ( n + l ，3 竹) 对于较小的正整数n 6 ，通过计算机穷搜索我们发现 不存在g k s ( n + 1 ，3 n ) 因此，共有5 个值礼 6 ，3 8 ，4 1 ，4 4 ，4 6 ) ，我们还没有确 定g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 1 4 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 参考文献 参考文献 【l 】r j r a b e l ，c j c o l b o u r na n dj h d i n i t z ，m u t u a l l yo r t h o g o n a ll a t i ns q u a r e s ， i n ：c r ch a n d b o o ko fc o m b i n a t o r i a ld e s i g n s ( c 3 c o l b o u r na n d3 h d i n i t z , 2 n de d j ，c r cp r e s s2 0 0 6 ，1 6 0 - 1 9 3 f 2 】r j r a b e l ，c j c o l b o u r n ，j x y i na n dh z h a n g ，e x i s t e n c eo fi n c o m p l e t e t r a n s v e r s a ld e s i g n sw i t hb l o c ks i z e 加ea n da n yi n d e x 入，d e s i g n s ，c o d e sa n d c r y p t o g r a p h y , 1 0 ( 1 9 9 7 ) ，2 7 5 3 0 7 【3 】i a n d e r s o n ，c o m b i n a t o r i a ld e s i g n s ：c o n s t r u c t i o nm e t h o d s ，e l l i sh o r w o o d ，l i m - i t e d ，c h i c h e s t e r ，e n g l a n d ( 1 9 9 0 ) 【4 】t b e t h ，d j u n g n i c k e la n dh l e n z ，d e s i g nt h e o r y ，c o m b r i d g eu n i v e r c i t yp r e s s ( 1 9 8 6 ) 【5 】c j c o l b o u m ，t k l o v ea n da c h l i n g ，p e r m u t a t i o na r r a y s ，d rp o w e r l i n e c o m m u n i c a t i o na n dm u t u a l l yo r t h o g o n a ll a t i ns q u a r e s ，i e e et r a n s a c t i o n so n i n f o r m a t i o nt h e o r y , 5 0 ( 2 0 0 4 ) ，1 2 8 9 - 1 2 9 1 【6 】6c j c o l b o u r n ，e r l a m k e n ，a c h l i n ga n dw h m i l l s ，t h e e x i s t e n c eo f k i r k m a ns q u a r e s d o u b l yr e s o l v a b l e ( ，3 ，1 ) 一b i b d s id e s i g n s ic o d e sa n dc r y p - t o g r a p h y , 2 6 ( 2 0 0 2 ) ，1 6 9 - 1 9 6 【7 】m d e z aa n ds a v a n s t o n e ，b o u n d sf o rp e r m u t a t i o na r r a y , j s t a t p l a n n i n f e r 2 1 ( 1 9 7 8 ) ，1 9 7 - 2 0 9 【8 】b d u ，o nt h ee x i s t e n c eo fi n c o m p l e t et r a n s v e r s a ld e s i g n sw i t hb l o c k 伽e ，d i s c r e t e m a t h 1 3 5 ( 1 9 9 4 ) ，8 1 - 9 2 【9 】9 t e t z i o n ，o p t i m a ld o u b l yc o n s t a n tw e i g h tc o d e s ，j c o m b i n d e s i g n s 1 6i 2 0 0 8 ) ， 1 3 7 - 1 5 1 1 0 】g g ea n dr j r a b e l ，s o m en e wh s o l s s o m sd ，t y p e s 护a n dl m u l ，j c o m b i n d e s i g n s ，9 ( 2 0 0 1 ) ，4 3 5 - 4 4 4 1 5 广义k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 的存在性 参考文献 【1 1 】n c k p h i l l i p sa n dw d w a l l i s ，a l ls o l u t i o n st oat o u r n a m e n tp r o b l e m ，c o n g n u m e r 1 1 4 ( 1 9 9 6 ) ，1 9 3 - 1 9 6 【1 2 】a r o s aa n ds a v a n s t o n e ，s t a r t e r - a d d e rt e c h n i q u e si o rk i r k m a ns q u a r e sa n d k i r k m a nc u b e s 盯s m a l ls i d e s ，a r sc o m b i n a t o r i a ，1 4 1 ( 1 9 8 2 ) ，1 9 9 - 2 1 2 【1 3 1l h s o i c h e r ，o nt h es t r u c t u r ea n dc l a s s i f i c a t i o n 巧s o m a s ：g e n e r a l i z a t i o n s 盯 m u t u a l l yo r t h o g o n a ll a t i ns q u a r e s ，e l e c t r o n i cj 。c o m b i n a t o r i c s ，8 0 ) ( a 9 9 9 ) ，r 3 2 ( 1 5p a g e s ) 【1 4 】d r d el at o r r e ，c j c o l b o u r na n da c h l i n g ，a na p p l i c a t i o nd ，p e r m u t a t i o n a r r a y st ob l o c kc i p h e r s ，c o n g n u m e r 1 4 5 ( 2 0 0 0 ) ，5 - 7 1 6 y - g k i r k m a n 方g k s ( n + 1 ，3 n ) 斟j 存- a 性 附录 附录 g k s ( n + l ，3 n ) ，n 为正整数，n 【1 2 ，2 2 】u 【2 4 ，3 4 】u