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试论数学“再刨造”课堂学习环境的创设 中文摘要 中文摘要 许多国际比较研究表明东亚学生的数学成绩优于西方学生但是西方学者却认 为东亚学生的学习环境并不理想这严重地阻碍了学生创造力的发展在强调创新的知 识经济前提下，我们应该怎样与时俱进地创设合适的学习环境，发展学生创造能力 呢? 这正是本文的研究目的， 本研究采用理论研究法，借鉴数学教学论、数学方法论、认知心理学、创造心 理学等相关学科的理论，先分别追溯了“再创造”和学习环境问题的由来、定义等相 关问题，并在前人研究的基础上，给出了数学“再创造”课堂学习环境的界定，分析 了其所具有的七个基本特征：( 1 ) 提供源于现实的真实性任务；( 2 ) 支持数学猜想； ( 3 ) 支持提出问题；( 4 ) 支持对认知活动进行反恩；( 5 ) 激发创造动机：( 6 ) 以学 生为主体；( 7 ) 支持数学交流， 接着，笔者从如何创设数学情境、认知情境、学习共同体这三个角度探讨了应 该刨设怎样的学习环境，支持学生进行数学“再创造”式地学习，提出了相关的具有 可操作性的教学模式并以初中一年级学生为实验对象，采用案例研究法，阐述并验 证了本课题研究中所提出的支持学生用“再创造”法学习数学的环境的创设原则 关键词：t r 再创造”数学化学习环境情境学习共同体 作者：王丽 指导老师：朱汉林 堕丝! 壁：要! ! 塑：堡兰兰要堡丝塑型堡 蒌奎塑茎 a b s t r a c t a l t h o u g hm a n y i n t e r n a t i o n a l c o m p a r a t i v e s t u d i e ss h o wt h a tt h e p e r f o r m a n c ei nm a t h e m a t i c sm a d eb ys t u d e n t si ne a s ta s i ai ss u p e r i o rt ot h a t o ft h ew e s t e r n s t u d e n t s ，w e s t e r ns c h o l a r sc o n s i d e rt h a tt h e 1 e a r n i n g e n v i r o n m e n to ft h es t u d e n t si ne a s ta s i ai sf a rf r o m b e i n gs a r i s f a c t o r y t h u s m e d e v e l o p m e n to fc r e a f i v i t yo f t h es t u d e n t si sd a m a g e d s e r i o u s l y u n d e rt h e i n f l u e n c eo ft h ec r e a t i v i t y - o r i e n t e dk n o w l e d g ee c o n o m y ，h o wt oc r e a t et h e s u i m b l el e a r n i n ge n v i r o n m e n tt op r o m o t et h es t u d e n t s c r e a t i v i t vi sa nu r g e n t p r o b l e m w en o wh a v et of a c e b a s e do na ne m p l o y m e n to ft h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n df r o mm e t h o d o l o g y o f m a t h e m a t i c s ，c o g n i t i v ep s y c h o l o g y , c r e a t i v ep s y c h o l o g ya n d o t h e rr e l e v a n t t h e o r i e sr e s p e c t i v e l y t h i st h e s i sf i r s t l yd i s c u s s e st h er e l e v a n ti s s u e sa st ot h e o r i g i n ，d e f i n i t i o no f r e i n v e n t i o na n dl e a r n i n ge n v i r o n m e n t t h e ni td e a l sw i t h t h ed e f i n i t i o no fm a t h e m a t i c sc l a s s r o o ml e a r n i n ge n v i r o n m e n tb a s e do nt h e t h e o r yo fr e i n v e n t i o n , a n da n a l y z e ss e v e nb a s i cf e a t u r e st h a ti th a s ：( 1 ) t o p r o v i d ea c t u a lt a s kf r o m t h er e a l i t y ( 2 ) t os u p p o r tm a t h e m a t i c a lc o n j e c t u r e ( 3 ) t oe n c o u r a g ep r o b l e m p o s i n g ( 4 ) t or e f l e c tc o g n i t i v ea c t i v i t y ( 5 ) t os t i m u l a t e c r e a t i v em o t i v a t i o n ( 6 ) t oc e n t e ro ns t u d e n t si nc l a s s r o o ml e a r n i n g ，( 7 ) t o s u p p o r t c o m m u n i c a t i o ni nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c s f i n a l l y , f r o m t h ea n g l e so f ai n t e r p l a yo f m a t h e m a t i c a lc o n t e x t , c o g n i d v e c o n t e x t ，c o m m u n i t i e s o fl e a r n i n g t h i st h e s i sc e n t e r s o nw h a t l e a r n i n g e n v i r o n m e n ts h o u l db e c r e a t e di nm a t h e m a t i c su n d e rt h ei n f l u e n c e o f r e i n v e n t i o nt h e o r yt op r o m o t ep r o d u c t i v el e a r n i n g b a s e do nac a s es t u d y , f e a s i b l e t e a c h i n gp a r e r na l s o h a sb e e ns u g g e s t e d b e s i d e s p r i n c i p l e so f c r e a t i n gm a t h e m a t i c sc l a s s r o o ml e a r n i n ge n v i r o n m e n t b a s e do nt h et h e o r yo f r e i n v e n t i o nh a v eb e e ne l a b o r a t e d k e y w o r d s ：r e i n v e n t m a t h e m a t i c l e a r n i n g e n v i r o n m e n tc o n t e x t w f i r e n b yw a n g l i s u p e r v i s e db y z h uh a nl i n y 646 0 4 8 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已 经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书 而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确 方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 圣丕i 日期：1 业生兰l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、 中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以 公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大 学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 期：上型：芏：2 期：a ! 盛! 出2 p 主翌型竖堂二受型丝三墨堂兰望! 堡墼! ! 丝 ： 苎! 兰簦塞 绪言 o 1 课题的提出及研究意义 许多国际比较研究再表明东亚学生的数学成绩优于西方学生如，国际数学教 育成就调查研究( i e a ) 的数据一再表明，中国学生的数学成绩总是高于美国学生的 成绩；近十年来中国队在国际数学奥林匹克竞赛( i m o ) 中频频夺冠但是，不少西方 学者却认为，东亚学生的学习环境并不理想比如： 大班级教学一般每班学生超过4 0 人，多至5 0 人以上； 教师的权威性过重师者，传道、授业、解惑也在我国的传统教育中，师道尊严 是长期笼罩在教师头顶上的光环在学生的潜意识中。教师的正确性似乎是神圣不可 侵犯的因此学生往往习惯于对教师所讲的一切全盘接受。 教师用高密度的提问控制课堂据上海市某中学一堂几何课的数据统计，整堂课 共问了1 0 5 个问题，问答时间占整节课的5 6 ；教师把所教的知识内容分解为大量的 逻辑性较强、但认知水平较低的问题( 记忆性问题居多，推理性次之，但极少有创造 性、批判性问题) ，致使学生穷于应付老师的提问，没有足够的时间和空间去独立思 考 教学围绕考试指挥棒，强调就某一重要知识点进行大容量、高强度、重复训练 在扬州某中学的一堂关于合分比定理运用的几何课中，4 5 分钟内，老师给出6 条练 习题，每题包括2 3 个小题此外老师还要求一题多解教师讲得辛苦，学生做得疲 惫2 1 概而言之，这些数学课堂教学中呈现的是老师高度控制下的学生被动学习的情境 这样的学习环境严重地阻碍了学生创造力的发展，仅仅培养了代又一代“出类拔萃” 的考生，而绝不能造就高素质的有竞争力的人才i 因l l t ，迄今中国大陆本土的科学家 还无缘于诺贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫奖等世界顶尖科技奖项 进入了2 1 世纪以后，人们普遍认识到这样一个事实：未来社会的竞争t 必定是 i 。1 。1 霎糯蒸謇襄篙誓黯嚣鬻捌嚣3 n 6 毂p 4 学- 教育9 学报2 0 。 【习季素月创新意识的培养与数学学习环境的重建l j 】旅学教胃字于健- o l - 4 1 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设 第0 章绪言 创新人才的竞争有效地培养学生的创薪意识和创造能力应该是学校教育、课堂教学 的最高追求目标，应成为素质教育的核心内容作为中学里一门主要学科的数学，必 须在培养学生的创新意识和创新能力方面发挥应有的作用最新颁布的国家数学课 程标准( 义务教育版) 明确提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够具有初 步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”为了达 到这些教学目标，我们需要重新考虑初中数学究竟应当教什么、怎样教以及怎样评价 学习的阔题， 国际著名的数学教育学家弗赖登塔尔提出的“再创造”的教学原则给了我们很重 要的启示即在一定的指导下，由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来今天 的“再创造”可以促成明天真正的创造因此，用“再创造”的教学原则组织数学教 学，有利于培养学生的创新意识和创造能力 课堂教学的有效性依赖于一定的学习环境我们需要构建“再创造”的课堂学习 环境，从而在新的形势下达到提高数学教学质量的目的由此就有了本课题的提出 但是数学“再创造”课堂学习环境的定义是什么? 具有哪些基本特征? 具体地应 该如何来创设? 这些问题在学术界尚无定论因此本课题的研究具有理论和实践上的 双重意义 o 2 课题的研究方法 ( 1 ) 理论研究法 本文运用数学教学论、数学方法论、现代认知心理学和创造心理学等相关课程的 理论，探讨了数学“再创造”课堂学习环境的定义及其基本特征，并从如何创设数学 情境、认知情境、学习共同体这三个角度来探讨应该创设怎样的学习环境，以达到支 持学生用“再创造”进行数学学习的目的 ( 2 ) 个案研究法 ， 个案研究法是各类学科中最基本的一种研究方法，它通过对某一个体做系统、详 尽的深度分析，从而为整个研究提供丰富的经验材料或佐证，使研究建立在可靠的实 证研究基础上，具有可操作性 ， 笔者以苏州市第十中学初一( 2 ) 班全体同学及其数学老师钱颖为实验对象，主要 通过仔细观察并分析他们在课堂上的表现情况，说明并验证本文中所提的观点，同时 也为其提供了一个可操作性的教学模式 2 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设 第0 章绪言 0 3 论文的框架 l 数学“再创造”课堂教学环 l 境的基本特征 l数学“再创造”课堂教学环境的创设 i 创设数学情境1l 创设认知情境，l i 使之适台于横向数学化il 为数学化提供认知工具l 圈o - 1 论文流程图 3 型堂塑堂_ = 要剑堕邋兰墨窭堡塑剑堡 苎! 兰苎王：要! ! 堕：塑：堂翌堑塑：箜堑窒壁堕 第1 章关于“再创造”和“学习环境”的研究综述 1 1 关于“再创造” 二十世纪六十年代，在美国兴起“新数学”运动，对全球的数学教育界产生了 巨大的影响“新数学”运动以结构主义为指导思想，因此它强调以集合论与现代公 理为基础，提供给学生一个完善的演绎理论体系 但是，国际著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，数学是现实世界的抽象反映和 人类经验的总结，数学应该源于现实，并用于现实，应该通过具体的问题来教抽象的 数学内容 1 】在此基础上，弗赖登塔尔提出了一条学习数学行之有效的方法一“再创 造”学习法我国著名的数学教育学家唐瑞芬先生对此作了比较深入浅出的研究，使 “再创造”更加具体化，也更加易于操作 ( 1 ) “再创造”的内涵 弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通的常识，数学实质上是人们常识的系统化， 因而每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识在此基 础上，他提出了“再创造”的教学策略，即在定的指导下，由学生本人把要学的东 西自己去发现或创造出来【2 】但是这并不是说要机械地去重复历史中的“原始创造”， 而应该根据自己的体验并用自己的思维方式重新去创造出有关的数学知识 ( 2 ) “再创造”的本质 数学的再创造过程其实就是学生在教师的引导和帮助下，运用数学的方法观察现 实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，发现其规律的过程而这个过程 就是让学生创造数学化例如，将空间完形为图形是空间的数学化；整理平行四边形 的性质，使之成为推理关系，以得出平行四边形的一个定义，这是平行四边形概念领 域的数学化安排几何定理使之从少量的几个可以推出全体，那是几何的数学化( 公 理化) ，然后借助于语言学的方法组织这个体系，这是形式化 特莱弗斯( t r e f f e r s ) 和哥弗里( o o f f r e e ) 把数学化的过程细化为横向和纵向两 唐瑞芬数学教学理论选讲 嘲华东师范大学出版社2 0 0 1 p 1 2 2 嘲 荷兰佛赖登塔尔作为教育任务的数学【m 】上海教育出版社1 9 9 5 p 2 4 堇篓塑兰二要鲨堂堂翌堑塑塑型塑第1 章关于w 再创造”和“学习环境”的研究综述 种成分横向数学化把生活世界引向符号世界，使个问题的领域变得易于进行数学 上的处理【3 l 例如，从般的背景中确认特殊的数学；图式化；以不同的方式将个 问题公式化或形象化；发现规律；发现关系；将现实世界的问题转化为数学问题等活 动含有较强的横向成分纵向数学化则或多或少涉及复杂的数学处理过程，包括学习 过程中数学层次的提高( v a na m e r o m ，2 0 0 2 ，p 5 3 ) 例如，将某个关系表示成公式； 证明一些规则；调整与完善模型；形成新的数学概念；推广并建立一般化的理论等活 动就含有较强的垂直成分 ( 3 ) 为什么需要在数学教学中引入“再创造” 这主要基于素质教育的需要，数学学科产生发展的自身特点以及让学生主动学习 的建构主义学习理念 江泽民主席在1 9 9 5 年全国科技大会上的讲话中就提出：创新能力是一个民族进 步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力在随后召开的第三次全国教育工作会议，将 创新精神和实践能力确定为全面推进素质教育的重点，并且提出：培养创新人才是全 党全社会的战略性任务因此有效的培养学生的创新意识和创造能力应该是学校教 育、课堂教学的最高追求目标，应成为素质教育的核心内容作为中学里- f l 主要学 科的数学，必须在培养学生的创新意识和创新能力方面发挥应有的作用 弗赖登塔尔认为数学是常识的系统化所以数学是易于创造的历史上很多数学 原理是在世界各个地方由不同学者分别独立发现的因此每个人在学习数学的过程 中，都可以根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识 数学研究历来比较重视成果的积累，而理论成果经过严格逻辑整理之后，已抹掉 了实际思想过程的痕迹例如，数学家往往不按照他们的发现、创造的真实过程来介 绍他们的工作，实际上经过艰苦陷折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔 带过具体的表现在数学教科书上，就是我们只能看到简约、漂亮的数学体系的陈述 过程这在一定程度上导致了长期以来，数学教育的认识过程往往表现为从基本概念 和原理出发，逐渐展开理论体系，使讨论的内容渐渐接近实际问题这样的数学对学 生而言，是无迹可寻且望尘莫及的，很难激发他们重新创造的欲望在对其敬而远之 的同时，学生把数学学习变成对基本概念、原理、公式的死记硬背，却缺乏运用数学 知识分析问题和解决问题的能力 1 3 1 【荷兰佛赖登塔尔数学教育再探【m 】上海教育出版社1 9 9 9 2 p s ? 5 试论教学“再创造”课堂学习环境的创设 第1 章关于“再创遗”和“学习环境”的研究综述 因此我们需要用“再创造”的方法来进行数学教学，引导和帮助学生，把要学的 东西自己去发现或创造出来，让数学发展的历程在个人身上羹现用今天的“再创造” 促成明天真正的创造通过再创造培养学生运用数学的方法研究现实世界以及数学领 域内部各种具体现象的能力；通过再创造帮助学生在正确认识数学体系的形成过程 中，体会公理系统形成体系的必要性及其作用 按“再创造”的放学策略进行数学教学，还有着合理的教育学、教育哲学依据： 学生通过自身活动所得到的知识与能力，远比被动接受教师传授来得透彻与 巩固，而且源于现实，也更容易用于现实 4 】 “再创造”是种发现，有其自身的乐趣，能激发学生的学习兴趣和深入追 寻探索的内部动力f 5 】 拉卡托斯认为，数学是经验性或似经验性的因此数学学习是一种经验性的活 动，学生要与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识 ( 4 ) 怎样指导“辑创造” 一般而言，学生不能自发地形成数学思维，强调数学学习是学生的主动探索和发 现的活动过程，并不能否定数学教师在教学中的重要指导作用那么应该怎样指导， 才能促使学生感到创造的需要，从而更好地进行“再创造”学习呢? 特莱弗斯( t r e f f e r s ) 列出了下列五条原则，简洁而系统地阐述了“有指导的再 创造”的指导方法： 在学生当前的现实中选择学习情境，使之适合于横向数学化 为纵向数学化提供手段和工具 相互作用的教学系统 承认和鼓励学生自己的成果 将所学的各个部分结合起来 ( 5 ) “再创造”教学的课题条件 数学教学要贯彻荐创造原理，并不是说必须让每位学生亲自经历一切数学知识的 再创造过程对数学知识不同的认知要求决定了这样做是没有必要的此外学校教学 的课时限制及学生各种繁重的课业都意味着这样做是不可能，也是不现实的一个比 踟唐瑞芬数学教学理论选讲 m 嘲i n 4 i 华东师范大学出版社2 0 0 1 p 1 2 6 一p 1 2 7 6 堕堡墼堂：曼型堕：堡堂学丑! ! 塑的创设第1 章关于“再刨造”和“学习环境”的研究综述 较实际的做法就是教师精心安排，选择适当的课题，在客观条件的允许下，尽可能让 不同层次的学生进行不同层次的再创造因此课题的选择要能够激发学生创造的欲 望，有助于学生体验数学发现、研究的过程，有助于学生对数学的理解 1 2 关于“学习环境” 1 2 i 环境论的发展历史 2 0 世纪上半叶，学习理论主要是行为主义的活动舞台行为主义比较重视实验观 察，强调研究的客观性无论是桑代克的“刺激一反应联结”，还是斯金纳所提出的“刺 激一反应一反馈”模式，都体现了环境对学习的支配作用 随后的格式塔理论和信息加工理论则侧重于探讨人们学习的内部思维过程但 是，不考虑人的情感、动机、社会交流等内在和外在因素对学习的影响 与上述两种极端立场相对立，加涅认为学习应当被看成内在的认知过程与外部环 境交互作用的结果他在教学设计原理中写道：“学习就是这样的认知过程，他把 来自外部环境的刺激转化成了为获得某项新技能所必需的内部信息过程” 二十世纪8 0 年代末，建构主义思潮在西方兴起建构主义在认知问题上提供了 关于导致理解的解释过程的新的观点激进建构主义者认为：“知识只能源自主体本身 主动的建构，认知活动具有个体的特殊性。认知活动是主体与一定环境相互 作用结果”【6 】但这里的“一定环境”主要是指单纯的自然环境 然而在充分肯定认知活动个体性质的同时，我们应清楚地看到认知并非一种纯粹 的个人行为社会建构主义认为，个体的认知活动是在一定的社会环境中得以实现的， 特别是在此必然的有一个交流、反思、改进、协调的过程因此社会建构主义者则往 往特别重视对合作学习、语言交流、学习环境等问题的深入研究 1 2 2 学习环境的界定及其创设原则 鉴于环境对学习的重要影响，学习环境的设计成为当前国外教育心理学中的一个 活跃的领域 ( 1 ) 学习环境的界定 华生( b r e n tg w i l s o n ) 认为学习环境即学习被支持和刺激的地点在最低程度 上，一个学习环境应包括学习者和学习者行动( 使用工具、搜集和解释信息，与他人 交互作用等) 的空间这种观点将学习环境定位于学习场所，强调了学习发生的“地 旧郑毓信，梁贯成认知科学建构主义与数学教育 m 上海教育出版社2 0 0 2 p 1 5 0 7 试论数学“再刨造”课堂学习环境的创设 第l 章关于“再创造”和“学习环境”的研究综述 点”或“空间”，还不能体现学习环境的本质特征 普金斯( p e r k i n s ) 进一步提出了分析学习环境的因素，他认为学习环境由以下 五要素组成：7 1 1 ) 信息库( i n f o r m a t i o nb a n k s ) 信息库是学习环境中最主要的信息资源，它负责向学生提供要学习的领域知识和 教学材料传统课堂教学中，信息库通常是课本、教师讲授的内容以及词典等等随着 信息技术的发展，信息库种类也越来越多，基于计算机的信息库由于检索速度快和高 交互的特点，得到了越来越广泛的应用 、 2 ) 符号簿( s y m b o l sp a d s ) 符号簿被用于支持学习者的短时记忆，如记录思路、写下要点、处理方程等等 符号簿可以是卡片、练习本以及计算机编辑器等 3 ) 建构工其箱( c o n s t r u c t i o nk i t s ) 建构工具箱主要用于提供认知工具，帮助学生寻找特定信息、完成认知操作、实 现某种设想等等实验室设备是最常用的工具箱计算机扩展了工具箱的种类学生不 仅可以构造实物，还可以利用计算机软件构造虚拟的事物 4 ) 任务情境( p h e n o m e n a r i a ) 任务情境是学习任务呈现给学习者的问题解决情境任务情境蕴含着等待学生学 习的知识和智力操作在学习环境中它起着集成其他学习要素的作用 5 ) 任务管理者( t a s km a n a g e r s ) 任务管理者是学习活动的管理者教师、学生、带有明确指导信息的课本以及计 算机软件都可以充当任务管理者 在此基础上，我们可以把学习环境概括为是一种支持学习者进行学习的各种学习 资源的组合这里学习资源不仅包括信息资源、认知工具、人类教师等物理资源，还 包括任务资源等软资源任务情境在学习环境中起着集成其它各种学习资源的作用 ( 2 ) 学习环境的创设原则 对学习环境的设计意味着需要考虑教什么，怎样教以及怎样评价学习的问题在 社会建构主义的理论基础上，约翰d 布兰恩福特安l 布朗等认为有关学习环 境设计的四个视角( 即以学习者为中心、以知识为中心、以评价为中心、以共同体为 川杨开城建构主义学习环境的设计原则 j 中国电化教育2 0 0 04 8 型i 堕! 壁：要型堕：堡兰兰翌堑垫塑型丝 蔓! 兰茎王：要剑垫：塑：堂翌堑垫：塑型塞簦垄 中心的程度) 在学习环境的设计中有非常重要的意义 学习者中心环境者认为，有效的教学始于学习者带入教学环境的已有知识，包括 文化实践和信仰，也包括学科内容知识学习环境以学习者为中心的程度是与表现学 习者用他们目前知识建构新知识的程度相一致的，他们目前所知道和相信的知识影响 他们对新信息的解释学习者中心环境者试图帮助学生把他们的先前知识和当前的学 习任务联系起来教师的处境较为困难，因为他们不能和所有的学生有共同的生活经 验，因此他们必须去了解每位学生的特殊兴趣和强弱 知识中心环境者认为，教给学生一般的解决问题和思维能力已远远不够，思维与 解决问题的能力需要组织良好的、能在合适情景中应用的知识因此，他强调弄懂意 义的理解型学习和情境学习此外，他还强调培养学生对学科的整体理解 评价支持学习者认为，反馈对学习而言起到奠基作用通常，学生们会得到考试 分数，是在学习结束时的终结性评价但是，课堂教学中却很少提供反馈的机会学生 还需要形成性评价，为学生提供修正或改进思维和理解的机会而且评价必须能够反 映各种各样环境中的学习目标 共同体中心环境者认为，理想的状态是学生、教师和其他参与者分享重视学习和 高标准的准则这样的目标促进人们之间互动、接受反馈、相互学习 这四个视角之间本身是相互交叉和重叠的，互相影响因此需要在学习环境四个 视角之间保持一致使学生的学习无论在校内还是在校外都能得到促进和提高 1 3 关于数学“再创造”课堂学习环境 1 3 1 数学“再创造”课堂学习环境界定 根据普金斯( p e r k i n s ) 学习环境五要素的观点，我们可以把“再创造”课堂学 习环境定义为一种发生在课堂上，支持学习者进行数学“再创造”学习的各种学习资 源的组合其中学习资源不仅包括信息资源、认知工具、教师等物理性资源，还包括 任务情境等软资源而且任务情境在学习环境中起着集成其他学习资源的作用 要注意的是，从宏观上来讲，数学的“再创造”即是数学化的过程；从微观来讲， 这其实包含了不断地发现问题与解决问题的过程所以这里的任务情境不仅包括学习 任务呈现给学习者的问题解决情境，还包括提供给学习者的问题发现情境 1 3 2 数学“再创造”课堂学习环境的基本特征 ( 1 ) 提供源于现实的真实性任务 q 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设第1 章关于“再创造”和“学习环境”的研究综述 源于现实的真实性任务整合了多重内容和技能，有助于学生用真实的方式应用所 学数学知识发现并解决问题，体验数学化过程同时也有助于学生意识到学习数学的 意义和价值，从而感觉到创造的需要所以所创设的课堂环境应该蕴含源于现实的真 实性任务，促使学生应用所学知识发现并解决问题，体验数学化过程。 ( 2 ) 支持数学猜想 综观数学发展史，数学上所有的创造，几乎都是从猜想开始的数学“再创造” 对学生而言，本质上就是一种创造因此在课堂上需要引导学生对概念的产生，定理、 公式的发现，规律的探索等问题进行猜想 ( 3 ) 支持问题提出 数学创新源于数学问题爱因斯坦认为，在创造的过程中，提出一个问题往往比解 决一个问题更重要因此在“再创造”的数学课堂上，要注意引导学生，使其学会提出 问题为此应在课堂上给学生以适当地点拨、示范，指导学生提问的方向和质疑的方 法以及思考问题的途径 ( 4 ) 支持对认知活动进行反思 认知心理学家认为。反思即是认知主体对自身学习活动的过程，以及活动过程中 涉及的有关事物( 材料、信息、思维、结果等) 的学习特征的反向思考因此它能够 监控认知活动的进展，给主体提供有关进展的反馈信息，间接地促进和推动这种进展 而弗赖登塔尔认为，“再创造”过程是由各种层次构成的，变得有意识及易于反恩是 提高“再创造”层次的手段所以只有以反思为核心，才能使学生真正深入到数学化 过程中 ( 5 ) 激发创造动机 心理学家认为，动机是驱使人们参与活动的一种动力或是动因因此它是一切学 习的原动力，是调动学生积极学习的主观因素数学的“再创造”对于学生而言，本 质上是一种创造因此所创设的课堂学习环境，能够使学生感觉到创造的需要，激发 他们创造的动机 f 6 ) 以学生为主体 “再创造”要求在一定的指导下，由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出 来因此学生是“再创造”学习中的主体所以所创设的课堂学习环境。能够使学生积 极主动地参与到数学化过程中，使学生真正成为学习的主体 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设 第1 章关于“再创造”和“学习环境”的研究综述 ( 7 ) 支持数学交流 数学交流及是用动作、模象、语言和符号为载体。对数学的认识、情感等进行表 达、接收和转换嘲所以它提供了一种方式使学习主体能够充分表达自己的思想、认 识和情感有助于学生之间能够取长补短、集思广益，同时也有助于培养学生互动、 合作的精神，建立融洽的师生关系，形成良好的学习氛围，从而促使学生能够主动地 探索数学问题并善于解决问题所以，在课堂上需要创设学习共同体，促使学生进行 数学交流，同时提高“再创造”参与度 8 1 丁亿数学交流的价值及其内容与形式 j 】数学教学1 9 9 8 2 “ 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设第2 章创设数学情境使之适合于横向数学化 第2 章创设数学情境，使之适合于横向数学化 数学的“再创造”过程其实就是引导学生创造数学化的过程特莱弗斯( t r e f f e r s ) 和哥弗里( g o f f r e e ) 把数学化的过程细化为横向和纵向两种成分横向数学化把生活 世界引向符号世界，使一个问题的领域变得易于进行数学上的处理因此要让学生创 造数学化，首先就要创设合适的数学情境，使之适合于横向数学化 数学情境富含数学背景，有助于学生运用数学工具处理数学问题一般地。可用 文字语言、符号语言、及图像语言来表示在教学中，数学情境的创设涉及到素材( 背 景) 的选取、内容的组织和呈现为了能够引导学生在数学课堂上顺利地进行横向数学 化，情境的创设应遵循以下基本原则 2 1 现实的数学情境 数学来源于实践恩格斯说过：“数学中的数与形的概念不是从其他任何地方，而 是从现实世界中得来的” 弗赖登塔尔也认为数学的概念、结构与思想都是物理世界、社会存在与思维世界 各种具体现象的反映，也是组织这些现象的工具 这也就是说，任何抽象的数学概念、命题、甚至数学思想和方法都有具体、生动 的现实原型所以要从现实生活中去运用数学 ( 1 ) 数学情境的素材可以来源于生活如讲授命题：“宇兰、磊，a ，b r + 当 且仅当a = b 时，等号成立”时，可先创设一个实际应用的情境 数学情境1 某商家用一个两臂之长有差异的天平称量售出物品为示公平公正， 售货员每次都将物品放在左、右两个托盘中各称一次，再把两次结果相加并除以2 计之，问这种称量准不准确? 如不准确，吃亏的是商家还是顾客? 试说明理由 9 1 ( 2 ) 素材还可以源于其他相关学科纵观整个数学的发展史可知，随着人类社 会的不断的发展，数学也不断向人类几乎所有的知识领域渗透，甚至于和其他领域相 结合而形成了一系列交叉学科。如数学物理、数理化学、生物化学、数理经济学等等 1 9 李燕高刨设情境使学生在参与中学会学习 j 中学数学教学2 0 0 3 2 1 2 试论数学“再创造”课堂学习环境的创设第2 章刨设数学情境，使之适合于横向数学化 因此这些相关学科为数学的应用提供了丰富的背景 数学情境2 设有某物体沿直线做变速运动，开始时物体位于点o ，经过时间t 后， 物体达到点m ，再从m 点出发，经过时间t 后，物体到达点n 求物体在t 时鲴的瞬 时速度， 以上的情境看似蕴含物理问题。其实正是对此类问题的研究导致了导数概念的发 现 ( 3 ) 著名的数学家希尔伯特认为，了解一种理论的最好方法是找出并研究那种 理论的原型的具体例子也就是说，在数学被创造的地方，让它再次被创造因此还可 以在数学发展史中寻找材料。从数学地创造来看数学地再创造如导数概念源于求运 动某物体某个时刻的瞬时速度或是求曲线上一点处的切线所以还可以给学生提供如 下的情境，来探索导数的概念 数学情境3 设函数y = f i x ) ，定义域为( a ，b ) ， 其图像是一条平面曲线k ( 如图2 。1 ) m 和n 是曲线 上的两点，其横坐标分别是x 和x + a x 连接点m 和 点n ，得至割线m n ，求函数y = f i x ) 在点m 处的切 线 ，? l 形硼、 oa x x + a xb t 霸1 1 现实的情境蕴含了真实性任务，整合了多种知识和技能，有助于学习者用真实地 方式应用数学知识，同时也有助于学生意识到学 - 3 数学的意义和价值，从而感觉到创 造的需要 另外。张楚廷老师认为：“数学应用毕竟是数学创造的主要动力”0 】因此源于实 践的数学情境还有利于激发学生数学创造的动机，从而促进数学“再创造”的顺利进 行 2 2 丰富的数学情境 心理学的研究表明，同一信息可以有多种心理表征方式多种情境或多个角度有 助于学生建立多种且统一的心理表征，以防止不同经验、文化背景对知识理解的影响 因此需要创设丰富的数学情境，引导学生探索和整合知识，促进横向数学化的顺利进 行， 因为数学产生于广阔的常识和现实，考虑到巨大的空间和连续的源流，这里情境 的车富性不仅仅指其表达形式的多样性，还包括所选数学素材( 背景) 的丰富性 1 试论数学“再创造”课堂学习环境的剖设第2 章创设数学情境，使之适合于横向数学化 以概念的教学为例数学概念即是反映数学对象本质属性的思维形式【川因此概 念“再创造”的关键在于发现概念的本质属性而同一数学对象的本质特征在不同的 情境下是不变的，但其表现出的非本质特征是却是不尽相同的，如果在不同的情境下， 把这个数学对象的本质属性与其各种非本质属性加以比较、分析、归纳，就会大大提 高对其非本质属性的认识程度在概念教学时，可以借助传统的变式创设如下丰富 的数学情境，帮助学生探索概念的本质特征，促进数学“再创造” ( 1 ) 在教学中提供不同形式的直观材料或事例，引导学生发现概念的本质属性 即借助变式探索概念的本质属性以异面直线概念的创造为例 1 2 1 情境3 直观材料豳形变式 圈2 2 该情境通过日常生活中的多个直观材料( 如左图) ，组织已有的感性经验，同时 借助不同形式的图形( 见右图) ，使学生原有的感 生经验从具体直观上升到图形水平， 进而促进他们归纳概念图形的基本特征 ( 2 ) 在教学中通过变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征即借助 变式引导学生建立某概念的多个角度的表征在概念的对象集合中，有一些对象由于 其拥有“标准的”形式、或者受到感性经验的影响或者一些“先入为主”等原因比较 容易成为该概念的“代言人”这样容易限制学生的思维，人为地缩小概念的外延 要解决这个问题，我们需要在创设情境时注意变换概念的非本质属性，以突出其本质 属性以三角形高的定义为例 0 1 张楚廷数学与包q 造【m 】湖南教育出版牡1 9 9 0 p l1 5 ”刘逸。朱汉林韧等几何研究【m 】中国矿业大学 | _ l 版杜p 2 2 1 鲍建生，黄荣金等变式教学研究( 续) j 数学教学，2 0 0 3 2 1 4 岛图 釜 垫堡塑堂“堡刨戳坶堂学习环境的剑设第2 章刨设数学情境使之适合于横向数学化 情境4 图2 - 3 借助于以上的数学情境，学生就能从多个角度探索并创造三角形的高的定义 2 _ 3 “愤悱”的情境 孔子日：“不愤不启，不悱不发”这就启示我们“愤悱”的情境，可以促使学 生进入积极的学习状态 建构主义者认为，学生是数学活动中的认知主体，知识只是在它与认知主体在建 构活动中的行为相冲突或相顺应时才被建构起来的主客体( 学生和数学知识) 之间 的相互作用正是认知活动的本质所在这也提示我们，使学生的思维处于“冲突”的 状态，有利于知识的建构 认知心理学研究表明，当原有的认知结构一时不能同化、接纳星现在眼前的新知 时，或新的信息与原有的认知结构不相符时。或动用、调集了全部已有的知识经验、 方法后仍不能解决面临的问题时，他们便会在心理上生成一种强烈的心理冲突，谓之 认知冲突 认知冲突会激超学生的思维震荡，引起学生学习需要的不平衡，从而在情感领域 中生成一种强烈的乐于学习、主动参与探索、渴望获取问题解决办法的心理倾向因 此它能促进整个“再创造”学习 以下是在课堂上创设“愤悱”的情境，引发认知冲突，促进数学化的常用方法： ( 1 ) 充分利用和挖掘教材中及学生认识上新旧知识对立或矛盾的因素，罨学生 于矛盾情境中，使他们产生解决矛盾的迫切需要 假设学生已有的数系概念仅仅扩充到有理数，以无理数概念的产生为例 情境5 要求学生作一个边长为1 的等腰直角三角形，并计算斜边的长度 ( 建议学生将之记为2 ) 这是一个在形式上就让学生感到陌生的数由此学生会有疑问，这是有理数吗? 塑堡塑堂：璺型丝：堡堂堂翌型塑塑剑垫第2 章刨设数学情境，使之适合于横向数学化 从而促使他们去探索这个数的实质 让学生带着这个疑问，引导他们尝试着用已有的数去逼近它 即： 1 4 2 2 ，1 4 4 2 1 5 ，1 4 1 2 - - j 之上的学习任何一种新的知识技能，都是以已经习得的、从属于他们的知识 技能为基础的 1 6 堡堡塑堂! ! 壹剑堕：塑堂堂旦梦境的创傲笫2 章创设数学情境。使之适合于横向数学化 建构主义的数学学习观认为，学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主 动的建构活动 这就启示我们，为了更好地进行“再创造”教学，所创设的情境还需以学生的“数 学现实”为基础这就要求教师了解学生的“数学现实”知道每个学生对将要学的内 容都知道些什么，关心些什么，能做些什么，想要做些什么 b e l l 的诊断型教学建议我们可以从观察、提问、谈话、分析学生活动的产品中获 得一些诊断的信息方法就是要求学生对各种各样的情景进行预测，并解释各种预测 的原因通过挑选涉及已知错误概念的关键任务，教师能够帮助学生检验他们的思维， 弄清楚为什么他们的各种各样的想法需要改变，以及怎么改变p 3 例如：在学习立体图形的平面展开图( 见附录1 ) 这堂课之前的一天中午， 钱老师从班级中随意抽取了2 0 名学生，要求他们思考如下的三个问题，并在放学前 把思考结果交给老师 ( 1 ) 你知道怎样把一个圆锥沿侧面展开吗? 若知道，写出具体的步骤： ( 2 ) 你知道怎样把一个三棱锥展开为平面图形吗? 若知道，写出具体的步骤； ( 3 ) 如果有一张长方形的纸，你知道怎样去做一个立体图形( 如长方体) 吗? 若知道，写出具体的步骤； 把学生的答案整理如下： ( 1 ) 第一题同学们回答得不错，他们一致认为把圆锥沿其侧面上的某一条母线 剪开并摊平即可； ( 2 ) 学生对于第二题的回答还可以，2 0 名学生中除了少部分回答得让人不知 所云外，大部分同学认为应该通过剪开三棱锥的某些棱来完成三棱锥的展开操作，其 中有两名同学认为只要沿其中一条侧棱展开就可以了； ( 3 ) 学生对于第三题的回答就不尽如人意了2 0 名学生中除了4 位同学回答不 知道外：有2 位学生认为应该通过裁剪长方体的平面展开图，然后将其折叠而成；有 4 位同学认为先裁剪长方体的侧面展开图，并将其折叠成长方体的侧面，然后裁剪长 方体的上，下两个底面，再贴上去；还有1 0 位同学认为在给定的纸上，依次裁剪长 方体每个面，最后依次贴起来 综合分析以上学生的回答，钱颖发现，大部分学生或多或少对于如何将多面体展 i 轧【奖】约翰布兰思祸特安布朗等人是如何学习的m 华东师范大学j 版礼2 0 0 2 p 1 5 0 1 7 堕鲨塑堂：要塞! 望：堡堂堂望堑堕堕创堡第2 章创设数学情境，使之适合于横向数学化 开为平面图形有一定的了解，但是还不旨意识到多面体可由平面图形围成针对以上 情况，钱颖准备了多个多面体和多个平面图形模型，打算让学生通过观察和自己动手 操作，经历和体验图形的变化过程 2 5 符合学生年龄特征及数学思维特点的情境 瑞士著名的心理学家皮亚杰认为，处于不同