（应用数学专业论文）带neumann边界条件的相场方程解的渐近性态.pdf

塞呈盔堂堕堂垡堡塞翼! ! ! 旦! ! ! i 摘要 本文中我们主要致力于处理带n e u m a n n 边界条件的相场方程解的渐近性态 相场方程是被用来描述材料的相变过程，人们期待用它来逼近经典的s t e f a n 型相 变模型而渐进性态的研究不但在数学上是重要的问题，这对实际的应用也具有重 要的意义在我们的工作中，所使用的主要工具是s i m o n l o j a s i e w i c z 不等式因为 我们所考虑的方程，其稳态问题带有非局部项，这就要求我们克服相应的困难，得 到渐进陛态的结果 本文组织如下：在第一章中，我们介绍了问题的背景以及研究的一些成果；在 第二章中我们考虑带n e u m a n n 边界条件的相场方程解的存在唯一性；在第三、第 四章中，我们考虑相应两个变量分别带n e u m a n n 边界条件的方程解的渐近性态 本文是基于作者已被数学年刊接收的论文【1 剐完成的， 关键词：渐近，相场方程，s i m o n - l o j a s i e w i c z 不等式，非局部项 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类3 5 8 4 0 中图法分类0 1 7 4 2 文献标识码a 复旦大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n t ot h ep h a s e f i e l de q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s w ek n o wt h a t t h ep h a s e f i e l d e q u a t i o n sw a su s e dt od e s c r i b et h ep r o b l e mo fp h a s et r a n s i t i o no f m a t e r i a l s ，w h i c hi sa na p p r o a c ht ot h ec l a s s i c a ls t e p h e np r o b l e m t h er e s e a r c h o fa s y m p t o t i cb e h a v i o ri sn o to n l ya ni m p o r t a n tp r o b l e mi nm a t h e m a t i c s ，b u ta l s o s i g n i f i c a n tt op r a c t i c a la p p l i c a t i o n i no u rw o r k as i m o n l o j a s i e w i e zt y p ei n e q u a l i t y i so b t a i n e da n da p p l i e dt ot h ep r o o fo ft h em a i nt h e o r e m o n eo ft h ef e a t u r e so ft h e p r o b l e mi st h a tt h es t a t i o n a r yp r o b l e mi n v o l v e san o n l o c a lt e r m ，s ow em u s tp u t t h r o u g ht og a i nt h er e s u l to fa s y m p t o t i cb e h a v i o r t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1 ，w ef i r s tp r o p o s et h ep r o b l e m a n di n t r o d u c ei t sb a c k g r o u n d i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s so ft h es o l u t i o nt ot h ep h a s e - f i e l de q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e ni nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h et w oc a s e so fp r o b l e m ( p 1 ) a n d p r o b l e m ( p 2 ) ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d sc o n v e r g e n c et oe q u i l i b r i u mp h a s e - f i e l d ，s i m o n l o j a s i e w i c zi n e q u a l i t y , n o n l o c a it e r m 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n3 5 8 4 0 第一章引言 1 9 8 6 年，c a g i n a l p 在考虑物质固一液两相相变问题时，在文献 2 】中提出了 一个新的模型，认为相变发生时，物质两相之间有个一定厚度的过渡窄带，设 n r ”( n 3 ) 为光滑区域，记u ( ，z ) 为q 中任一点x ，在t 时刻的温度分布， 又引进了一个光滑的相场函数妒( t ，。) 来表示物质的状态，一1 妒11 ，当p 接近 一1 时，表示物质为固态；接近1 时，表示物质为液态再由统计力学中的l a n d a u - g i n z b u r g 理论，通过对自由能量泛函取极小，导出妒满足的方程，再与能量守恒 方程耦合，得到如下的相场模型， 1 r 妒c 一( 2 妒+ 妄( 妒3 一妒) = 2 u ，( t ，z ) r + q ( 1 ，1 ) u 一k a u = 一言妒，( t ，o ) r + q( 1 2 ) 其中，r 0 为时间松弛因子，( 0 是与相变带的厚度有关的量相场模型是一种 新型的相变模型，对于它的研究已有很多进展c a g i n m p 首先在系数限制晕 0 ，轨道t 陋，+ o 。) 一( 妒( ，f ) ，u ( ，t ) ) 在 h k 中相对紧 证明：全局存在唯一性的证明可参考文献 4 i ，并且对任意时间t 0 ，我们有下面的 估计： 一一 l i 妒l l - 。c ，i i u i i c ，1 1 妒c i l 2 d t 兰c ，i i w l l 2 d tsc ， j oj 0 广t，0 v u i i c i i a ，zi i a u i l 2 d r g 川v 妒c i l 2 d t g ( 2 1 ) ( 2 2 ) 本文中，如无特别说, y l ，c 代表仅依赖于初值的正常数下面利用文1 3 1 中阐述 的标准的抛物型技巧来获得紧性 对( 妒，u ) c 。( ( o ，。) ，c 。( 豆) ) x c 。( ( o ，。) ，c 。( 丽) ) ，将方程( 1 2 ) 乘上( 一a u 。) 并在q 上积分，就得到 i i w , 1 1 2 + 面d ( 百k | | “1 1 2 ) = z ( ；忱“c ) 如 = 一( ；v 妒c v u t ) 出 冬割v 忱1 1 2 十割v m i l 2 ， ( 2 3 ) 进而有， 怖。卅d ( k i i a “知v 洲， 将上式从0 到t 积分，并利用( 2 2 ) ，就得到 z 2 i i v 洲i i 出姐 将不等式( 2 4 ) 两边乘上t ，计算得 磊d 。k i i a 1 1 2 ) 一k i i a u i l 2 + t 悍圳i i 翱v 慨1 1 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 复旦大学硕士学位论文 将上式从0 到t 积分，并利用( 2 2 ) ，就得到 2+：112fotli“旷+；totkilxull t l l wi i d tk d t 。f v 妒川2 d t 0 00 ， 2 + t 2 l i “| | 2 + i t f v 妒t ij 2 ， j g + c t ， ( 2 6 ) 所以有 i i u l | 2 c ( 1 + ) g ，t d ，( 2 7 ) 将方程( 1 1 ) 微分，然后乘上一x i o t ，并在q 上积分，就得到 ；墨| l v 忱i i 。+ ( 。| | 慨旷譬| | 慨胪+ g 忪川2 + c l l v “川2 + c l l v 蚓r ( 2 固 将不等式( 2 8 ) 两边乘上t ，计算得 ；墨。1 1 v 妒川2 ) 一；i i v 妒川2 + ；f e 2 | | 妒州2 e t ( i i 妒川2 + i i v 札川2 + 1 i v 妒川2 ) 注意到( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 5 ) ，我们就可以得到 | | v 咿t l | 2 g ( 1 + ) g ，t 6 ( 2 9 ) 由方程( 1 1 ) 和椭圆方程正则性理论，有 i | 妒l i 备。c 0 ( 2 1 0 ) 又对任意的( 妒，u ) g ( ( o ，。) ，h 2 ) e ( ( o ，o o ) ，h 1 ) ，存在 ( 妒，“”) g 。o ( ( o ，o o ) ，g 。( 再) ) g 。( ( o ，o 。) ，g 。( 孬) ) ， 使得在h 2 日1 中， ( 妒m ，扎m ) + ( 妒，札) 所以对( 咿，u ) e ( ( o ，o 。) ，日2 ) g ( ( o ，o 。) ，日1 ) ，( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) 式仍成立这就证明了 轨道t 【，+ 。o ) 一( 咿( ，) ，u ( - ，t ) ) 在k 中的紧性证毕 引理2 1 使得我们可以定义非线性岛一半群s ( t ) ( 见 1 4 ) ( 妒( z ，t ) ，u ( z ，t ) ) = s ( 亡) ( 妒o ，u o ) 5 复旦大学硕士学位论文 6 ( 妒o ，t 6 0 ) 的u 一极限集定义如下： u ( 妒o ，t 上o ) 垒( ( 砂( z ) ，u ( z ) ) l 刍k ，s ，t ( 妒( z ，。) ，札( z ，t 。) ) i 9 2 ( 矽( z ) ，u ( 。) ) ，a s “，+ o 。) 将方程( 1 1 ) 两边乘慨加上( 1 2 ) 两边乘上乱，然后在q 上积分，利用边界条 件，就得到 d - 7 d 。算( i v 卯喈14 一尹2 肛r 恻j 2 + 翱v 让i t 2 = o , w 。 记 y ( 妒，u ) = z ( 譬i v 妒1 2 + ；妒4 一五1 妒2 + 了2 “2 ) d z ， ( 2 1 1 ) 则对( b ) ，( b ) 的解( 妒，“) 我们有 警川2 + ! 笋l l v 圳2 趣姚 o t ( 2 1 2 ) 定义2 1 设e 为完备的度量空间，s ( ) 是定义在e 上的岛非线性算子半群， 假设y ( 。) ：e r 为连续函数，若满足： ( ) 对任意的z e ，v ( s ( t ) z ) 关于t 单调递减 ( i i ) 矿( z ) 在e 中下有界，即存在常数g ，使得对任意的z e ，y ( z ) c 则称y ( z ) 为l y a p u n o v 函数 由于( 2 1 1 ) 式中y ( 妒，u ) 在xk 中是有界的，故y ( 妒， ) 可作为问题( p 1 ) ，( p 2 ) 的l y a p u n o v 函数 定义2 2 设e 为完备的度量空间，s ( t ) 是定义在e 上的c o 非线性算子半群， 1 7 ( 2 ) 为l y a p u n o v 函数若有 ( i ) 对任意的z e ，存在t o 0 使得 u s ( f ) z t _ t o 在e 中相对紧； ( i i ) 若有t 0 ，v ( s ( t ) x ) = y ( z ) ，则z 是半群s ( 0 的不动点 则我们称非线性算子半群s ( ) ，更确切地( e ，s ( ) ，y ) 为梯度系统 由t e m a m 12 中引理i 1 1 ，我们有 复旦大学硕士学位论文 7 引理2 2 ( v 2 ，s ( ) ，v ( 妒，札) ) 是所考虑问题的梯度系统，对任意的初值( 妒o ，札o ) hx ，w ( i o o ，o ) 在h 2 h 1 中是紧的连通集；进一步，w ( 【l o o ，“o ) 关于非线性半群 s ( t ) 是不变的，即对任意的0 ，s ( ) u ( 妒o ，札o ) cw ( o o ，u o ) ；矿( 咿，u ) 在w ( 1 0 0 ，u o ) 上是常数，且u ( 妒o ，u o ) 由平衡点组成 第三章温度分布满足n e u m a n n 边界条件的情形 3 1 稳态问题 这一章我们来研究温度分布满足n e u m a n n 边界条件的情形，即问题( 尸1 ) 的解 的渐近性态，我们首先证明其稳态问题解的存在性，为此，我们先引入实b a n a c h 空 间上泛函的下半连续性引理， 引理3 1 记，( 妒) = | | 妒| | 为实b a n a c h 空间e 上的泛函，则，) 在e 上弱下半 连续，即若妒。弱收敛到妒o ，则必有 i i 妒0 is 热慨m 证明：我们用反证法假设( 3 1 ) 式不成立，即 l 妒o | | 迪i i m n o o 取定常数c ，使得 i i ：o l l c 躲慨| | 于是，存在的子列妒。，使得 c i l 妒。| | ( k 一1 ，2 ，) 由b a n a c h - h a h n 定理，存在o e + ，使l i ，0 | = 1 ，f o ( 妒o ) = | | 妒o m 由于 ，0 ( 妒。) i j ，0 | | i i 妒。| j = i l 妒。j | c ，( t = 1 ，2 ，) ， 故注意到妒。弱收敛到妒o ，有 | j 妒o i i = o ( 妒o ) = 1 i m ，0 ( 咿。) c ， e o o 此式与( 3 3 ) 式矛盾因此引理得证 定义3 ，1 设d 是实b a n a c h 空间e 中的开集，泛函，：d r 1 ，。o d 若 存在z o 的邻域u ( x o ，d ) = z 川z z o | | d ，使得当茹u ( x o ，d ) 时，恒有 ( x ) ，( z o ) ( 相应地，( z ) ，( z o ) ) ， 8 d 劭 q 勋 复旦大学硕士学位论文 则称泛函，( z ) 在x = x 0 达到极小值( 相应地，极大值) ；极小值与极大值统称为 极值 引理3 2 若泛函，：d r 1 ( d 是实b a n a c h 空间e 中的开集) 在z o d 达 到极值，并且f ( x ) 在z o 处具有有界线性的g d t e a u x 徽分，则曲有 ，( 。o ) = 0 ( 3 7 ) 证明：任意给定的h e ，考察实函数v ( t ) = ，( z 。+ t h ) 由假定知妒( t ) 在t = 0 达 到极值，又 妒7 ( o ) ；i 。i 。m 。! 垒殳三掣：，。) h ， 故由p 。1 0 ) = 0 知，( z o ) = 0 ，由h e 的任意性，即得( 3 7 ) 式成立证毕 定义3 2 设d 是实b a n a c h 空间e 中的开集，泛函，：d r 1 在d 上具 有有界线性的g a t e a u x 微分若z o d ，使得 9 r a 彤( 。o ) = ，( t , 0 ) = p ， 则称x o 是泛函，( 。) 的一个临界点，c = i ( z o ) 称为，( z ) 的一个临界值 注：由引理3 2 ，我们知道，泛函的极值点一定是它的临界点 5 i 埋3 3 水肝稳态州趣f ，纠，f 到手价于在h 上找泛幽 吼) = 上( 譬j v 卯+ 丽2 m 舭+ 南( z 删 的临界点；进一步，问题以纠，一矽至少有一个解是f 在h 上的全局极小化于 证明；对任意的砂，记i ( t ) = f ( 咿十r e ) 则 ( o ) = 五d f ( 妒+ t 妒) i 。：。 = 上( 0 ，有 z 洳e z 洳+ 罢， f nc p d x s 上妒2 d x + 罢， 由此易知e ( v ) 下有界因此存在极小化序列妒。h ，使得 ，( ) 一撼f ( ( 3 9 ) 由妒。在h 中有界，故存在子列，仍记为妒。在h 中弱收敛到妒；另一方面，由引 理3 1 ，我们容易得到f ( 妒) 在h 上是弱下半连续的，这样就得到 p ( 妒) 。j 鳙f ( 妒) ， ( 3 - 1 0 ) 即砂是f 在h 上的临界点，所以问题( 1 6 ) ，( 17 ) 至少有一个解证毕 为证主要定理，我们首先考察( 1 6 ) ，( 1 7 ) 在平衡点妒附近的线性化问题： 垒潍妒+ 互3 v 妒一j 1 妒+ 高上吣= 。 ( 3 1 1 ) 妒i a n = 0( 3 1 2 ) 易知，对于任意的西h ， ( 如妒，西) = 上 _ ( 2 缈+ ；妒2 刚一互1 妒纠出+ 南上妒如上咖咖 = 小2 撕+ 知妒一却如+ 高小z 上妒妇 = ( 妒，l 口)( 3 1 3 ) 所以l p = 岛，即k 在hcl 2 上是自伴算子 我们宣称存在常数a 0 ，使得 j + 可逆 因为此时带有非局部项，一般的椭圆算子理论不能应用，我们可以从另外 的角度进行讨论，事实上， ( 邬，) = ( 2 | | v 胪+ 上( ；砂2 一；) 2 出+ 南( 上庐如) 2 ( 2 恻l 备- 一恻1 2 ， 1 0 复旦大学硕士学位论文 我们可取a = 1 ，即得a ，+ 的可逆性 另外由于胪一l 2 是紧嵌入，故有( a ，+ l e ) 一1 ：l 2 一工2 是紧算子由无限 维单位球非紧，得到 也就是 这样我们就有 d i m k e r i a ，( a ，+ l p ) 一1 十。 d i m k e r ( x i + l 口) 一1 ( 入，+ l 母一入f ) 1 0 ，使得当o - 时 有 i v r ( f ) f r ) 一r ( o ) 1 1 一。= i r ( ) 一f ( 妒) 1 1 9 ( 3 2 9 ) m 其中0 ( n - i ) 设p 足够小，使得p 盯，则咖= 岛奶w ，2 ( o ) ，由( 3 2 9 ) j = t 式和基本不等式： i o + b 1 1 8 2 l o l l 9 + i b l l 8 ，( 3 3 0 ) 得到 f v r ( 斟f f f ( 妒) 一，( 妒) f 1 9 2 f f ( 妒) 一r ( ) f 1 8 注意到( 3 ，2 7 ) 和( 3 2 8 ) 式，我们有 c i i m ( 曲) i l i r ( ) 一f ( o ) 1 1 8 i f ( 妒) 一f ( 廿) 1 8 2 c 1 9 i i m ( 西) 1 1 2 2 8 = j f ( 妒) 一f ( 妒) 1 1 8 2 c 1 8 i i m ( 西) 1 1 1 - 2 0 i i m ( 曲) i l 由于0 ，简单的计算得到 c l f ( o ) 一f ( 妒) 1 1 8 i i a ，( ) m 设g 为给定的足够小的正常数，取足够小的p ，则当f i 曲1 1 。p 时， c i f ( 妒) 一，( 妒) f 521 因此我们得到 i f ( 妒) 一f ( 妒) 1 一。si i m ( 曲) i i ， 其中0 0 ，使得此时e ( 妒，t ) = e ( 妒，u ) ，贝0 对所有的t t o ，由( 2 1 2 ) 可推知( 妒，u ) 独立于t 由于在h h 1 中，( 妒( z ，t n ) ，乱( z ，t 。) ) 一( 妒，u ) ，可得定理 1 1 成立 ( 2 ) 否则对任意的f 0 ，我们有e ( 妒( ) ，u ( ) ) e ( 世，掣) ，也就是说若取足够大的 如 0 使得对任意的t t o ，( 一砂i i h 。+ 肌怕t ) sn 则由引理3 6 ，存在0 ( 0 ，j ) ， 使得 爰( f ( 妒( ) ，u ( t ) ) e ( 曲，u ) 】。= p e ( 妒( t ) ，扎( t ) ) 一e ( 妒，u ) 9 一l 空皇掣 ：e 【_ e ( 妒( t ) ，u ( ) 一e ( 咖，口) r “( 一丁 i 妒。1 1 2 一! 箬1 | v u i l 2 ) 二昙三 e ( 妒( t ) ，u 0 ) ) 一e ( 妒，u ) 】9 1 ( i i 妒。i i + | i v 乱| j ) 2 二；三( | i 妒。i i + i i w l l ) ，( 3 ，3 6 ) 其中c = m i n ( r ，华) 将不等式( 3 3 6 ) 从t o 到+ 。积分，得到 陬e ( 灿妒+ 譬( f 。酬忱+ f 。0 f j v u s 暇蚓一e ( 灿妒 1 6 复旦大学硕士学位论文 因此 ，十o o 7i i 妒, l l d t + 。 c o ( 3 3 7 ) 1 v u l l d t + 。o ( 3 3 8 ) j t o 由于 一 1 1 妒( t ) 一妒( s ) 1 | l i 妒ch d t ， j8 由( 3 3 7 ) 式，根据c a u c h y 收敛定理知当t 一+ o o 时，妒( t ) 在铲中收敛到妒另一 方面，由( 1 2 ) 我们知 f | 她ij 一，c ( 1 l w f + j | 妒t i i ) ， 结合( 3 3 7 ) ，( 3 3 8 ) ，我们有u ( t ) 在日- 1 中收敛到u 再利用轨道在h h 1 中的紧 性，可得定理1 - 1 的结论 第三步：这里，我们应用由j e n d o u b i 在文献f 6 j 中提出的简化方法正如前所证明 的，存在时间序列k ，h 一+ o 。使得( 咿( z ，t 。) ，u ( z ，f 。) ) 在h h 1 中收敛到( 砂，u ) ， 因此我们有e 妇( 如) ，u ( t 。) ) 一目( 砂，口) 则对任意的，0 p ，存在整数，使得 当礼n 时，有 i 甭1f e ( 妒( # 。) ，让( 如) ) 一e ( 妒，u ) 。；， ( 3 3 9 ) i i 妒( t 。) 一妒i i h ：+ i l u ( t n ) 一 j i ，昙( 3 4 0 ) 定义 矗垒s u p t 。妒( ，s ) 一妒1 1 h ： 珐v s p 。，】) ( 3 4 1 ) 若存在整数9 - 0 n ，使得矗。= + c o ，则以t 。代替t o ，易知( 3 3 7 ) ，( 3 3 8 ) 仍成立， 使用第二步中的方法，我们仍可得定理的结论；否则，对任意的n o n ，我们有 k + c o ，下面我们将证明这是不可能的同第二步中的方法，对t 陋。，矗j ，由引 理3 6 ，我们可得 磊d e ( ，u ( ) ) 一e ( 廿， ) 卜一c e ( 1 l 妒t 1 1 + i i v 训) 1 7 复旦大学硕士学位论文 上式关于t 积分，注意到( 3 3 9 ) 式，我们得到 臼舭s 扣汕) ) - 刚卜i ， ( 3 4 2 ) 又由( 3 4 0 ) 式，得到对任意的n 三n ，成立着 r k l i 妒( ，i n ) 一妒 l | | 妒。lj 出+ j l 妒( - ，t 。) 一妒l 6 ，( 3 4 3 ) 就是说当礼一+ 。时，妒( ，磊) 在l 2 中收敛到砂由轨道的相对紧性，存在子列，仍 记为妒( - ，矗) ，使得妒( ，矗) 在h 中收敛到妒，因此存在整数n ，使得当n n 7 时， i 妒( ，) 一砂i i h ： ：， 而这与t 的定义( 3 4 1 ) 矛盾至此定理证毕 1 8 第四章相场函数满足n e u m a n n 边界条件的情形 下面考虑问题( r ) ，即相场函数满足n e u m a n n 边界条件的情形，记k = 垛 嘲，我们有 引理4 1 设( 妒，u ) 为( p 2 ) 的稳态问题的解，v ( 妒，u ) 是如( 2 1 1 ) 所定义的l y a p u n o v 函数，则( 妒，u ) 是v ( 妒，“) 在k 上的临界点；反之，矿( 妒，u ) 在k 上的临界点是 稳态问题“9 j 的解 证明；直接计算有 d y ( 妒4 - 曲，u + 甜) | d e - f e ：o = d - 一- 。：( - $ 2 1 v 妒+ s v | 2 + ；( 妒+ s 纠4 一；( 妒+ s ) 2 + ；( u + s 1 ，) 2 ) d z l 。 = z ( ( 2 v 妒v 曲+ ；妒3 一；砂曲+ ；u 口) d z = 上( ( 2 妒+ ；砂3 一；妒) 咖如十；上u 毋如 ( a ，) 所以看( 劬，叫为( 尸2 ) 的稳态f 司题的群，则我f 有 ! ! ! 生! 竺! ! ! ! ! i ：o de l e ；o 即m ，u ) 是矿( 妒，“) 在k 上的临界点；反之，对任意的( 妙，u ) k 为矿( 妒，“) 的 临界点，我们有下式 上k 2 妒+ ；曲3 一；妒) 西d z + ；上u d z = 。 对任意的( 西，秽) k 均成立，由此我们得到，( 妒，u ) 满足( 1 9 ) ，引理证毕 关于稳态问题解的存在性，我们有 引理4 2 泛函v ( v ，u ) 在上至少有一个极小化子，使得y ( 妒，u ) 2 ( 。i n ) f 耳y ( 妒，u ) 换言之， ( 1 9 ) 至少存在一个古典解 证明；首先由y o u n g 不等式，我们得到 上 咄z 咖+ 罢 1 9 复旦大学硕士学位论文 由此，我们知y ( 妒，u ) 下有界因此，存在极小化序列( ，“。) k ，使得 y ( 妒n ，u n ) 。( 腓i n f ，v ( 妒，u ) ， 下面，我们将y ( 妒，“) 重写为 y ( 咿，“) = 鲁j | 咿l l 备+ ，( 妒，“) ， 其中 ，( 咿，) = 上( ；妒4 一；妒2 + 丁2 u 2 ) d z 由于( ，让n ) 在h 2 嘲中有界，必有收敛子列，仍记为( ，札。) 使得 ( 妒一。) h 掣( 硇，。) ， 又n 3 ，由s o b o l e v 定理，有( 妒。，u 。) 在三4 l 2 中强收敛到( 妒，) ，所以 ，( 妒。，u 。) 一，( 妒，v ) 再由引理3 1 ，峙- 是下半连续的，所以y ( 妒。，u 。) 一v ( 砂，v ) ，因此 y ( 妒， ) 2 ( p ，i 。n ) f my ( 妒，u ) 由引理4 1 ，引理4 2 ，我们得到稳态问题( 1 9 ) 至少存在一个古典解证毕 对任意h c ”，考虑在砂处的线性化问题： 易知，l i 为碥cl 2 上的自伴算子另外我们仍可以证明d i m k e r l ： 0 ，使得, k i4 - 瓦是可逆的因此对 = u z q = 0 = 0 ( 4 2 ) 0 i i 危 1 2 一 妒 + 恕 ( 一 0 0 l | = = _ 量 毛堑加厶，i-，、-【 r k 姚 岛盟枷厶，i_l，、-_i【 复旦大学硕士学位论文 2 1 我们有f r e d h o l m 两则性结果：如果k e rl ：= 日，则对任意的u l 2 ，( 4 2 ) 存在唯 一的解h 日寻；否则d i mk e rl i o ，使得对任意的( 妒，u ) 曩( 一砂1 1 日。+ j 研) sn 有l 矿( 妒，“) 一y ( 砂，o ) 1 1 一。兰c ( 1 l 妒, l + l i w , 1 1 ) 证明：首先我们有y ( 仍“) = g ( 妒) + 钏札限其中g ( 妒) = 上：( 譬f v 妒 2 + 一i 1 妒2 ) 出 类似于引理3 6 的证明，由前面的讨论，我们可以获得此引理的结论 由引理4 3 ，对泛函y ( 妒，“) 应用与第三节中相同的方法，我们同样可以证明定 理1 1 的结论，此处从略 参考文献 【1 a i z i c o v i c i ，s ，f e i r e i s l ，e i s s a r d - h o c h ，f ，l o n gt i m ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n st o t h ep h a s ef i e l ds y s t e m j ，m a t h m e t h o d sa p p l s c i 2 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 7 7 - 2 8 7 2 】c a g i n a l p ，g ，a na n a l y s i so fap h a s e - f i e l dm o d e lo faf r e eb o u n d a r y j ，a r c h i v e si n r a t i o n a lm e c h a n i c sa n da n a l y s i s9 2 ( 1 9 8 6 ) ，2 0 5 - 2 4 6 i 3 】3 p e t e rw b a t e s ，s o n g m uz h e n g ，i n e r t i a lm a n i f o l d sa n di n e r t i a ls e t sf o rt h ep h a s e - f i e l de q u a t i o n s j 1 j o u r n a l0 ，d y n a m i c sa n dd i f f e r e n t i a le q r n a t i o n s ，v 0 1 4 ：n o 2 ( 1 9 9 2 ) ，4 6 5 8 4 le l l i o t t ，c m ，z h e n g ，s ，g l o b a le x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n st ot h ep h a s ef i e l d e q u a t i o n s j ，i n t e r n a t i o n a ls e r i e so n u m e r i c a lm a t h e m a t i c s9 5 ( 1 9 9 0 ) ，3 7 5 - 3 9 8 f 5 】f e i r e i s l ，e ，i s s a r d r o c h ，f ，h a n ap e t z e l t o v a ，l o n g - t i m eb e h a v i o ra n dc o n v e r g e n c e t o w a r d se q u i l i b r i af o rac o n s e r v e dp h a s ef i e l dm o d e l j ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m s ，v 0 1 1 0 ：n o 1 & 2 ，j a n & m a r ( 2 0 0 4 ) ，2 3 9 2 5 2 6 】j e n d o u b i ，m a ，c o n v e r g e n c eo fg l o b a la n db o u n d e ds o l u t i o n so ft h ew a v ee q u a - t i o nw i t hl i n e a rd i s s i p a t i o na n da n a l y t i cn o n l i n e a r i t y j ，d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， 1 4 4 ( 1 9 9 8 ) ，3 0 2 3 1 2 7 】l o j a s i e w i c z ，s ，e n s e m b l es e m i a n a l y t i c m ，b u r e s s u r - y v e t t e ：i h e s1 9 6 5 8 】m a t a n o ，h ，c o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n so fo n e - d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a - t i o n s j 1 ，j m a t h k y o t ou n i v ，1 8 ：2 ( 1 9 7 8 ) ，2 2 1 2 2 7 9 】p o l 和i k ，p r y b a k o w s k i ，k p 1n o n c o n v e r g e n tb o u n d e dt r a j e c t o r i e si ns e m i l i n e a r h e a te q u a t i o n s j 】1 ，d 沂e q s ，1 2 4 ( 1 9 9 6 ) ，4 7 2 - 4 9 4 【1 0 1r y b k a ，p ，& h o f f m a n n ，k h tc o n