（应用数学专业论文）一类具有负指数非线性边界条件的椭圆方程的研究.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0l0 c o l l e g ec o d e ：10 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 7 6 t h e s t u d yo f ac l a s so f e l l i p t i ce q u a t i o nw i t h n e g a t i v ee x p o n e n tn o n j j i n e a r l t yo nt h e j一 b o u n d a r y d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a d v i s o r ：p r o f z h o uf e n g n a m e ：，t i a nh u i j u n m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 m i iii ii ii i i i i1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q y 17 4 3 3 2 0 郑重声明：本人呈交的学位论文。萎蜘釜娟纵p 曙蝴l 棚圈藏释确翱咖 是在华东师范大学攻读碳士博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他 个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：噬至 日期：加【p 年f 月叫e l 华东师范大学学位论文著作权使用声明 荛野解强细争域4 秀出祜嘞师哌惦携涨华东师范大学攻读学位期 间在导师指导下完成的醇生博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华 东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文， 并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷 版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同 意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学 位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文 ，于 年 月 日解密，解密后适用上述授权。 ( 、) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名固萎象本人签名型当瓷 如c 9 年岁月叫日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 田会军硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 蓟永明敏寺曼峰孽吁灿嗜瓣马、 主席 亨函燃狂言曼乍鸢n 千仡尺善疲婚马， 都雪扛液辞如印昆幅熬耄焉 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第一章引言1 1 1 微机电系统的背景1 1 2 文献综述2 1 3 本文的主要结果5 第二章吸合电压值i 的存在性及上界估计7 2 1 吸合电压值l 的存在性7 2 2 吸合电压值r 上界的估计1 0 2 3 吸合电压值上界的另一种估计1 l 第三章极小解的性质1 4 3 1极小解的存在性和单调性1 4 3 2 极小解的稳定性1 6 第四章a = a 时解的性质1 8 4 1 能量解1 8 4 2 极限解的特征1 9 4 3 极限解的唯一性2 5 总结与展望3 l 参考文献3 3 致谢3 6 摘要 中文摘要 本文主要对一类具有负指数非线性边界条件的椭圆方程进行了研究，其应用背 景来源于微机电系统( m e m s ) 工程技术问题在此我们主要讨论方程解的存在性与 系统中参数l 的关系，特别我们将估计使得方程的解存在的a 的最大值l + ，称为“吸 合电压值”；讨论当a a + 时解的性质及当t = t 时解在某种弱意义下的存在性与 唯一性 本文的结构安排如下：第一章，微机电系统背景的简单介绍及文献综述和主要结 果：第二章，“吸合电压值”的存在性及上界估计；第三章，极小解的性质；第四章， a = 时极限解的性质 关键词：吸合电压值；上下解方法；极大值原理；极小解；能量解；极限解；弱解 a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yac l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hn e g a t i v e e x p o n e n tn o n l i n e a r i t yo nap a r to ft h eb o u n d a r y , w h i c ha r ed e r i v e df r o me n g i n e e r i n ga n d t e c h n i c a lp r o b l e m s ，s u c ha sm e m s w em a i n l yd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o na n dt h ep a r a m e t e rao ft h es y s t e m 。p a r t i c u l a r l yw ew i l l e s t i m a t et h em a x i m a lv a l u e 刀o f , t ，w h i c hi sc a l l e dp u l l i nv o l t a g e ，e n s u r i n gt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n st ot h ee q u a t i o nw h e nt h ep a r a m e t e r ls a t i s f i e sa a + i na d d i t i o n w ew i l ld i s c u s s t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nw h e nt h ep a r a m e t e ras a t i s f i e s a + a n dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o nt ot h ee q u a t i o ni nac e r t a i nw e a ks e n s ew h e n t h ep a r a m e t e r 1s a t i s f i e s a = 矿 t h es t r u c t u r eo ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ew i l ls i m p l yi n t r o d u c e t h eb a c k g r o u n do ft h em e m s ，l i t e r a t u r es u m m a r ya n dm a j o rr e s u l t s ；i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n dt h es u p e rb o u n do ft h ep u l l - i nv o l t a g e l ：i nt h et h i r dc h a p t e r , w ew i l ld i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h em i n i m a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o nw h e nt h ep a r a m e t e ra s a t i s f i e sa 0 表示上下两 薄膜之问的距离，“( 曲表示上下两薄膜间距离的变化且一l 0 表示外界输入的电压强度，( 曲0 表示电容率，关于该模型可见文献【2 6 2 在文献【1 6 】中，n g h o u s s o u b 与y j g o u 主要研究了( 1 2 2 ) 的静态情形，即方程 得到如下结果： 一h = 瓦a f f 萨x ) xe q 0 “ 0 ( 称为吸合电压值) ，使得如果a t ，则方程( 1 2 2 ) 没有古典解，并通过上下解方法及 p o h o z a e v 恒等式得到了吸合电压值的上下界估计 2 当0 0 ，使得如果0 a 刀，则方程( 1 2 3 ) 没有古典解 3 2 当0 o 妒l 为满足下面方程的第一特征值所对应的 第一特征函数 且s u p 妒l = 1 定理1 3 2 如果0 ，( 曲1 ，x f l ，且i x f i ，八曲 0 l 的测度为正，则 腿等， 3 固 腿黹， ( 1 3 3 ) 其中( i l l , 妒1 ) 为f j 3 2 j 的第一特征值与对应的正特征函数 定理1 3 3 a + 满足如下估计 志鲋志， ( 1 3 4 ) 研丽而孤丽 ( 1 3 4 ) 其中西是满足下面方程的唯一解 第三章主要讨论了极小解的性质，如单调性，稳定性等 定理1 3 4 任给a ( 0 ，刀) ，s l 存在极小解，记为“l ，蝴关于a 严格单调递增，且其对 应的线性化算子的第一特征值l ( i ，蝴) o ，而s a 的任一非极小古典解对应的线性 化算子的第一特征值l ( a ，h ) a + ，则s 没有弱解 定理1 3 7 s p 只有唯一弱解矿 第二章吸合电压值a 奉的存在性及上界估计 2 1吸合电压值的存在性 考虑方程 其中qcr 为有界光滑区域，r l 与r 2 是由一光滑分界面分施所得的两个部分，t 为正参数，0 ，( 曲1 ，石f l ，且，( 曲不恒为零，以为r l 的单位外法向量 定理2 1 1 存在一个有限值a 0 ，使得 j 如果，t a ，则s a 没有古典解 且满足如下估计? a a l h ( s 1 ) ( s u p ，( 力) 一1 ， ( 2 1 2 ) 7 乙 c ： n n q x x x zo等o“ o坐o o ， 妒l 为满足下面方程的第一特征值所对应的 第一特征函数 且s u p 妒l = 1 j e q 证明：令 妒l = 0 x q 筹= z l l o l 石r l 妒l 20 x f 2 ， = s u p l a 0is 至少有一个古典解j ( 2 1 3 ) 我们需要证明当a 0 ，易知“兰0 为s a 的下解 下面构造s 且的一个上解 令、王，= a 妒l ，其中a 为待定的实数，妒l 为( 2 1 3 ) 中所选取函数因为s 的解区间 为( 0 ，1 ) ，所以选取0 a 1 ，即可使得0 y 1 如果对任给的x f i ，有 a i a 妒i 若嘉， 亿， 则甲为s a 的上解 要( 2 1 4 ) 成立，只需 a l 却l 而l s u p x r if ， ( 2 1 5 ) a l 却l 而， ( 2 1 5 ) 即需 a l a 妒l ( 1 一a 0 1 ) 2 as u p ，( 2 1 6 ) 令口似) = i n f l g ( s a ) ；s s l ，l 】 ，其中g ( s ) = s ( 1 一s ) 2 要( 2 1 6 ) 成立，只需 1 l ia ( a ) , t s u p f 难r l 由刀的定义可知： s u p f z is u p a ( a ) ；0 a 0 任取l ( o ，五+ ) ，则由 r 的定义我们可以找到五( a ，刀) ，使得s j 有解，记为i i ，而露为s _ 的上解，由上下解 l ( “等啪咖a u ) a x _ 0 ( 2 1 1 3 ) a - f f i u g ld s = a f r t 禹“( 2 1 1 4 ， 故 a 正如- 出 上才骞出= a 上即- d s - , lf r 制j a 三上琊油( 小拙) - 1 肛志 令知= 丽4 ，l ，= 骊，则o 1 ，j 1 o v o n3i i 妒i i l - ( r i ) o n ：而告，(s)3 i i 帅l - ( r i ) ” = 知删南 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) f 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) 万 b筹b 一 这说明v 为s 知的一个上解，从而s 知有解 所以凡s 注：对于方程 au=0 工q 器= a f ( x ) g ( u ) z l - l ( 2 3 1 7 ) h ( 曲= 0 工f 2 ， 具中g ( s ) 满足条件 ( t 3 ) g ( 0 ) 0 ，在( 0 ，1 ) 上严格单调递增，且为严格凸函数，l 。i m l g ( s ) = ( 2 3 1 8 ) 在( 2 3 5 ) 中用志代替双l 一蝴) 2 作为检验函数，我们可得到对应的l + 的估计，即 丽品州m 叫a x ，矗鲋丽杀上1 孬1 “( 2 3 1 9 ， 当g ( s ) = 由时，( 2 3 1 9 ) i l p y g ( 2 3 1 ) 第三章极小解的性质 3 1极小解的存在性和单调性 定理3 1 1 任给t ( 0 ，a ) s 存在一个极小解u 1 ，即任给u 是s ，i 的解，则u u , i ，u , 1 是由下面方程构造的序列 n ( a ，曲) 的极限 = 0 x q 簪= 器工r 1 ( 3 1 1 ) un=0工r 2 0 u n 1工q ， 其中n l ，y 为r i 的单位外法向量，u o 三o 证明：设u 是s l 的解 下面用数学归纳法证明 ( 曲“( 曲 1 1 4 ( 3 1 2 ) 只需要证明： 如果u ( x ) u n - ! ( 工) ( ，l 1 ) ，贝uu ( x ) n ( 戈) 因为u 一满足下面方程 a ( u 一) = 0 x q 等笋= a 八砒由一而j 州厂- j 工r l ( 3 l 3 ) h一“=0 工i 2 由于正匆关于“严格增，故 i 而1 一i f 二研1 。，工r 1 ( 3 1 4 ) ( 1 一“) 2 ( 1 一一1 ) 2 一。” 、一7 由极大值原理知h ( 曲u n ( 曲，工q ；类似我们可以得到u n ( 力2u n - l ( 工) ，所以l u 。( 工) l 一致收敛，其极限记为蝴( 柚，则u a ( x ) h ( 力，x q ，且u a ( x ) 为s a 的解 定理3 1 2 s a 的极小解关于a 严格递增即? 如果, t l ，, t 2 ( o ，a + ) ，, t l a 2 ，则 蝴l ( 曲 “赴( 力x q - 证l t ：由于, t l a 2 ，则易知u , t 2 为s 。的上解，因此 “_ i ( 工) “_ 2 ( 曲 工q 。 ( 3 1 5 ) 又因为u 1 。一“_ ：满足如下方程 la ( u a l 一“也) = 0 工q 盟型=研ajr(x)dn1 - u , i 一器, 1 2 x r l( 3 1 6 ) l 一( 1 p ( 1 一) 2 4 1i 、。7 i i 一蝴2 = 0 工r 2 ， 器一器 0 任取a ( a ，刀) ，s ：t 的极小解记为u t t ， 即 又因为 o ( u a - u a ) o n 盟o 型n 一器咱) 0 ( 1 一“】) 3 、“ “7 。= l f i a ( u t ! - u , t ) 出一u a - u a ) y ，以 = l 甲- t o ( u a - u a ) l ( 纩婴o n 戤j 锄 咖 j 铀。 ( 3 2 2 ) r ( 3 2 3 ) 石 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 即 上甲掣拈小一u o 砌t l 墙 2 固 由( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 及( 3 2 6 ) 可知 l ( u 】- - u a ) 甲id s 。 ( 3 2 7 ) c j n n o 甲 o 盟 各h 当加 _ 一比 j 删一 一m 砌蒜器 又由于蝴关于 严格递增，甲l 0 ， 故l a l 0 注：事实上，稳定性是极小解的特征 推论1 如果( a ，“) 是s 的古典解，且对应线性化算子的第一特征值l a l 0 ，则 h = u , t 证明：因为蝴是s 五的极小解，故蝴( x ) “( 曲x q 若存在x o 1 2 使得u a ( x o ) = u ( x o ) ，由强极大值原理可得“( 曲三蝴( 曲x q 若u a ( x ) 0 矛盾 故u a ( x ) = h ( d j q 定理3 2 2 任给a ( 0 ，) ，s a 的任一非极小古典解u 线性化算子所对应的第一特征 值1 o 证明：假设t l 0 ，则由( 3 2 1 ) 可得 j ：以一2 j ：器粕删雕c 1 ( 叫例( 3 2 9 ) 取o = 比一h a ，则 而 上iv 一2 器”2 蛇。( 3 2 1 0 ) 上iv 一1 2 以= 一上 一( “一出+ 正( “一塑衰堕出 = a 上”蝴烈志一志冲 1 7 ( 3 2 11 ) 故由( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 1 ) 可得 a 上蝴，c 志一志一搿姐 又因为h 一“ 0 ，f 0 ， 所以 志1u a ) 2 一南1 一器1 = ( 一( 一h ) 2 ( 一“) 3 ” 由于g ( “) ：= 而i l 严格凸， 故 u a ( s ) 三“( s )s f 1 由极大值原理 u a ( x ) 兰“( 功 工q ， 与题设矛盾 4 1 能量解 第四章a = 五木时解的性质 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) 定义4 1 1 我们称“是方程s a 的能量解，如果“h 1 ( q ) ，拦每l l ( r 1 ) ，且 v u 即出= a 正器吣，妒c l ( 蛾岫= 。 ( 4 1 1 ) 记“暑 1 i m 小蝴，其中蝴为s a 的极小解 定理4 1 1 u + 是s a 的能量解 证明：由蝴的稳定性可知： a j ：r , 2 f ( s ) 芦私上iv 川2 血= a j ：器血伟- 动 当0 蝴 时 石f 哥( x ) u a 巧( 曲c l ( c l 与a 无关) ( 4 1 3 ) 当 u a 0 ，从而u l 0 ，u 2 0 注：如果h 是光滑函数，则方程 a u = 0 工q 赛= hz f l “= 0x r 2 的解u 7 一，故引理4 2 2 0 9 1 均“l ，“2 分别对应于“在q 与r l 上的限制 ( 4 2 1 4 ) 定义4 2 2 我们称“l l 1 ( q ) ，u 2 l 1 ( r 1 ) 是似2 1 4 ) 的弱解，如果u l ，u 2 满足一2 钳 为在后文中叙述方便，用“l 1 ( q ) 或u l 1 ( r i ) 代替u l ，u 2 为f 4 2 ，旬的弱解 定义4 2 3 我们称u l 1 ( f i ) 是2 j 卅的弱上解如果 j ! ：h ( 一曲血+ ( 一砌+ “箬) 山。，妒r 妒。( 4 2 1 5 ) 回到我们原来考虑的问题 定义4 2 4 我们称“l i ( f 1 ) ：是s a 的弱解，如果罄毒乓( r 1 ) 且满足定义3 ，其中h 换成舄 引理4 2 3 如果u h 1 ( q ) 是s l 的弱解则任给( o ，a ) ，s ，存在古典解 回 2 c ： n n q x 工 z 工。等o“ o监o o ( 4 2 1 7 ) 事实上，设g ：= 采b ， f 巩g m g r n = g ，lgl m ( 4 2 1 8 ) 【一m ，g 0 记“。是下面方程的日1 ( s a ) 解 融莲 l v u m ( 。”( v u r a 妒+ o ( v 洲j 一上叭g m 虻。 上v ( 嘶m ) ) v 妒d 工f r l 叭踟缸 j q j 三v ( m ( h m ) ) v 妒舐一上v ( ( 动v 妒毗 上叭“坍概d s f 叭咖“ 令g ( s ) = 由，g ( “) = f 南d s 任给( o ，a ) ，定义g ( ( “) ) = 筹g ( h ) ，则 卿m = 等 等， ( 4 2 1 9 ) ( 4 2 2 0 ) ( 4 2 2 1 ) ( 4 2 2 2 ) ( 4 2 2 3 ) ( 4 2 2 4 ) = 筹巡型端掣 a ，g ( ( “) ) 【筹9 7 ( ( z 1 ) ) 一9 7 ( h ) 】 掣州妫- g 】 0 ( 4 2 2 7 ) 所以o ( u ) a ，则由引理4 2 3 可知当 似，a ) 时，s _ ，存在古典解，这与r 的定义矛盾 如果a 而+ 百j 矿 ) 所以 h ( j ) 三u a ( s ) a ef i 但u a p ) 1 矛盾故 = l 下证h 兰“ 因为任取a ( 0 ，舻) ，蝴是s 刀的下解故蝴u ，从而u + u 又因为“。h 1 ( q ) ，取妒= u 一“，由( 4 2 2 8 ) 可知 j ：舻“南一南一鬻姐 与上面同理可得 “( s ) 三矿( j ) a e i i 再由极大值原理可知 “( 曲毫h ( 工) j q 4 3极限解的唯一性 引理4 3 1 u + 是s a 的弱解 证明：由疋理4 1 1 证明“是能量群的过程司知 上i v 蝴1 2 出5c ( c 与 无关) 取妒厂且妒0 ，则 上v u a v t p 虻a 搞灿 由引理4 2 1 易知 f 尚舢c ( c 与a 5 6 y ) 再由f a t o u 引理可知 上尚汕c ( c 辄翘 ( 4 2 3 2 ) ( 4 2 3 3 ) ( 4 2 3 4 ) ( 4 2 3 5 ) ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) 下证“l 1 ( q ) 与“4 l 1 ( r i ) 设z 为方程 的解，则 设妒为方程 ( 4 3 5 ) 小出= 五正尚d s m h ihi m 一，竹h - m 。 ( 4 3 1 1 ) c j n n 工 x r 1 0 0 = i i = 山薪z c ： n n x x r 0 l 0 = = = 卸丝锄妒 为方程 = 0工q 鲁= h 小工r l u m = 0x f 2 。 的解 由引理4 2 2 可知h 研_ u 关于1 ) 与l 1 ( r 1 ) 取妒厂，妒0 ，7 ( h 州) 妒为检验函数，可得 上v ( ”( “用) v 妒+ 西小) v 妒) 戤一j r l 历) 妒 。d s = 。 j q j r l 由得性质可得 上v ( 蛳m ) ) v 妒出一j ：叭) 蛇。， 分部积分 j ：( “m ) ( - a 妒) d x + j = 西( “小) 筹一( “m ) 妒d s 芝。 j i ( “所) 一( “) i i 妒id x u 垆i i p 西pj elh 小一ld x 一0 ， 厶im ( ) 一( 比) i i 塞id x i i 箬i i l - i i 7i i pf r 。i 一hld j 一0 ， l ( u m ) h m q oi i i 西i i l ”ihi f 乓( i _ 1 ) 由控制收敛定理得 p ( ) h m 妒d s p 州j 所以 上( 姒一“) 以+ 上( “) 筹一j i z ( “) 妒血。 证明：用迭代方法证明 设u o = 0 ，u k + i 满足 a u k + 1 。0 z q 百9 l g k + i 2 两a f 浮c x ) 工r 1 i l k 1 - - 1 0 工r 2 ( 4 3 1 2 ) ( 4 3 1 3 ) ( 4 3 1 4 ) ( 4 3 1 5 ) ( 4 3 1 6 ) ( 4 3 1 7 ) ( 4 3 1 8 ) ( 4 3 1 9 ) 。辄鲰l ( q ) ( f 2 1 ( r 1 ) ，器帅) 其中叩( “) = 布匆这与，7 ( “) 关于“的严格凸性矛盾 蓄三r 巩；+ ei 三兰， h 3 2 ， 2234 c ：n n 石 石 x v 0 巩o a = = = “盟锄y 雕a x = 0 二x 三eo 三 即 且 故u 即为( 4 3 2 1 ) 的弱上解 1 ，一y 叨， ：= v + 研 ， 呈：，l ，7 ( v ) + f a + ，7 ( c + e o n 引理4 3 5 取6 1 ( 0 ，) ，则方程 au=0 0 u 翻2 刀砜h ) + 6 1 h=0 0 “l z q x f 1 j r 2 石q 有解 证明：定义：【0 ，) 一【0 ，o o ) ，使得 r 力蒜品把r 志衄 易知( f ) 0 ，且m ( o ) = 0 因为 ，(f)=可,l*r(丽cp(t)+el， 故 0 西7 ( d 1 ， ( 4 3 2 3 ) “3 2 4 ) ( 4 3 2 5 ) ( 4 3 2 6 ) ( 4 3 2 7 ) ( 4 3 2 8 ) ( 4 3 2 9 ) ( 4 3 3 0 ) 即 又冈为 m 7 l o o ( q ) e o ”( d ( r t ( t ) + e ) = a e o ( f ) ( 刁7 ( ( f ) ) 一r ( f ) ) ， ( 4 3 31 ) 可知”( d o ，即西( f ) 为凹函数 由引理4 3 3 与引理4 3 4 可知( 4 3 2 1 ) 存在弱解u l ，且山1 u 由引理4 3 2 可知1 ) 为( 4 3 2 7 ) 的弱上解，且 0 西( 山1 ) 五，a 7 待定 设w = 若忱一1 z ， 则 0 0 0 2 o ( ( - 0 1 ) 1 等纠+ 砉q 嘶 选取 ，使得善靠近1 ，则 ( 鲁一1 ) 0 0 2 e l x ， 因此 ( 4 3 3 2 ) ( 4 3 3 3 ) ( 4 3 3 4 ) ( 4 3 3 5 ) 0 巩，或者l p 韪，则方程( 1 2 6 ) 的极限解旷r ( q ) 但是对q 是更一般的区域所知道的结果就很少 综上所知对方程( 1 2 3 ) 与方程( 1 2 6 ) 极限解的正则性还有许多可以研究的问 题 3 2 参考文献 【1 】a a z z a m ，s m o o t h n e s sp r o p e a i e so fs o l u t i o no fm i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o re l l i p t i c e q u a t i o nf o rs e c t i o n a l l ys m o t hn - d i m e n s i o n a ld o m a i n s ，a n n p o l o n m a t h 4 0 ( 1 9 8 1 ) ，8 1 9 3 【2 】a a z z a ma n de k r e y s z i g ，o ns o l u t i o n so fe l l i p f i ce q u a t i o n ss a t i s f y i n gm i x e db o u n d a r yc o n d i - t i o n s ，s l j ，m a t h ，a n a l 13 ( 19 8 2 ) ，2 5 4 - 2 6 2 【3 】h a m a n na n dm c r a n d a l l ，o ns o m ee x i s t e n c et h e o r e m sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，i n d i a l i au n i v m a t h j 、，0 1 2 7 ( 1 9 r 7 8 ) ，7 7 9 7 9 0 【4 】h b r e z i sa n dx c a b r 6 ，s o m es i m p l en o n l i n e a rp d e sw i t h o u ts o l u t i o n s ，b u l l u m iv 0 1 1 ( 1 9 9 8 ) ，2 2 3 2 6 2 p 【5 】h b r e z i s ，c a z e n a v et ，m a r t e lya n dr a m i a n d r i s o aa ，b l o w u pf o ru ，一“2g ( u ) r e v i s i t e d ， a d v a n c e si np d e v 0 1 1 ( 1 9 9 6 ) ，7 3 9 0 【6 】h b r e z i sa n dj l v 缸q u e z ，b l o w u ps o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s ， r e v , m a t u n i v c o m p l u t m a d r i d1 0 ( 1 9 9 7 ) ，4 4 3 - 4 6 9 【7 】x c a b r ，b o u n d e d n e s so fm i n i m i z e r sa n de x t r e m a ls o l u t i o n so fs e m i l i n e a rp r o b l e m su pt od i m e n s i o nf o u r i np r o g r e s s ( p e r s o n e lc o m m