（应用数学专业论文）无ambrosettirabinowitz条件时的非线性plaplace型椭圆边值问题的非平凡解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究了p l a p l a c e 型非线性椭圆边值问题 k 笺叫毗二茎曼 ( 尸) 的非平凡解的存在性，其中p 1 ，qcr 是一个有界区域，a p 让= d i v ( i d ui p 2d u ) 表示p l a p l a c e 算子对函数让的作用，c o ( q r 1 ，r 1 ) 满足在 t = 0 处p 一超线性，在t = o o 处具有次临界增长等条件在i ( x ，t ) 不一定满足 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件的假设下，我们证明对任何a 0 ，问题( p ) a 都至 少有一个非平凡解我们将d h m i y a g a k i 和m ass o u t o 在【1 3 中当p = 2 时关于( p ) a 的非平凡解存在性的结果推广到了一般的p 1 的情形，同时也在 较弱的条件下得到了g b 眈和日z h o u 在【1 2 】中关于( 尸) a 的非平凡解的 存在性的结果 关键词：p l n p f n c e 型方程；次临界增长；无( a r ) 条件；非平凡解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v a ls o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n g n o n l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fp - l a p l a c i a nt y p e ： - a p t 正= 入，( z ，t 正) ，z q ， u = 0 z a q ( p ) x w h e r ep 1 ，qcr i sab o u n d e dd o m a i n ，a p u = d i v ( iv 缸i p - 2v u ) 0 1 ) i st h ep - l a p l a c i a no f 仳a n d ，c o ( f i r 1 ，r 1 ) i sp - s u p e r l i n e a ra tt = 0a n d s u b c r i t i c a la tt = 0 0 w ep r o v eu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n st h a tf o ra l l 入 0 ，t h ep r o b l e m ( p ) ah a s a tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t h o u ta s s u m i n gt h ea m b r o s e t t i r a b i n o w i t z c o n d i t i o n o u rm a i nr e s u l te x t e n d sar e s u l tf o r ( p hw h e np = 2 b y0 h m i y a g a k i a n dm a s s o u t oi n 【1 3 】t ot h eg e n e r a lp r o b l e m ( p ) xw h e r ep 1 i nt h em e a n t i m e o u rr e s u l ti ss t r o n g e rt h a nas i m i l a rr e s u l to fg b l ia n dh s z h o uf n 【1 2 】 k e y w o r d s ：p l a p l a c i a ne q u a t i o n ；s u b c r i t i c a l ；w i t h o u t ( a r ) c o n d i t i o n ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n s i i 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r m 们0 n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：杨茬互三 嗍切7 竹月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：勃矛；云 导师签名：茎2 睦 擎啪：矽矿7 y 年歹月刁日嘲：1 够月刁日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回意途塞握交卮溢后；旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：扬雾幺 嘲：1 町月7 日 导师签名：巷王) 啪：7 弩月7 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 第一节引言及主要结果 本文研究以下的p l a p l a c i a n 型非线性椭圆边值问题 1 ) 是表示p l a p l a c e 算子对函数u 的作用函数，：qxr 1 _ r 1 满 足以下条件： ( ) 成立 ，唧x r 1 , r 1 ) ，m 0 ) = 0 且糕= 。关于x ef l - - 致 ( 止) 存在正常数a 和b ，使得对任意的( z ，8 ) q r 1 ，有： ，( z ，s ) l n + bi 8l g - 1 ， 其中s r ，q 【1 ，p + 【，当1 p 0 ，使得当0 0 ，使得当| s | m 时， 0 + 口) f ( z ，s ) s ，( z ，s ) ，( a r ) 对任何z q 成立则( p ) a 至少有一个非平凡解 注意( a r ) 条件表明：对任意( z ，t ) q r 1 ，有： f ( z ，t ) c 1 i t l + 口一c 2 ，( 1 2 ) 对z q 一致成立其中c l 0 ，c , 2 0 为常数( ，1 ) 和( 1 2 ) 保证了由( 1 1 ) 定义的泛函厶( u ) 在钍= 0 附近具有所谓山路引理几何结构，( a r ) 条件还保证 厶( “) 的每一个( p s ) 。序列在w o 巾( q ) 中是有界的而( f 2 ) 则保证厶( 乱) 的有界 的( p s ) c 序列的强收敛性，进而保证5 ( u ) 满足( p s ) 。条件，这样就可以用山路 引理来得到( p ) a 的非平凡解 ( a r ) 条件导致( 1 2 ) ，故用山路引理不能直接得到( p ) 在，( z ，t ) 满足： 器_ f 其中f 为常数时的所谓p 一渐近线性问题的非平凡解故如何得到p 一渐近线性情 形下( p ) a 的解，或更一般地，如何得到( a r ) 条件不一定成立时( p ) a 的非平凡 解成为人们长期以来关注的问题目前在这方面已有大量的结果( 参见【2 1 2 】 和【1 4 2 2 】) 我们仅列举一些，( z ，t ) 。在t = 0 处具有p 一超线性情形( 即( ) 成 立时) 的结果 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c o s t a 和c a m a g a l h a e s 在f 4 j 中研究了p = 2 时的( p ) a ，用以下条件之 一替换了( a r ) 条件 ( a 1 ) l 忡i m s u 。pf ( ”x , t ) 。6 p 时，p n p ( q p ) ；当1 n p 时，p q p 注意到由条件( o ：) 可推出： m ，。) 。一p f ( z ，t ) = + o 。， f i r ) 关于z q 一致成立 w i l l e m 和z o u 在【2 0 】中，将( a r ) 条件换成以下条件：胃( z ，s ) = s ，( z ，s ) 一 2 f ( x ，s ) 对任意的z q 关于s 是单调不减的，且对任意的z r ，都有 s f ( x ，s ) 0 ，同时存在8 0 0 ，p 2 ，c o 0 ，使得当i s i s o 时， s ，( z ，s ) c o l sl p ( 1 3 ) 在【1 6 】中，s c h e c h t e r 和z o u 证明了在p = 2 以及( ) 和( 厶) 成立，且 ( a 2 ) 要么l i m 里哮型：- k o o ，要么l i m 兰壁掣：+ 关于z q 致成立 8 - 寸o o s 8 卜一 s 时，对几乎所有的a 0 ，( 尸) a 都有一个非平凡解此外在【1 6 】中，s c h e c h t e r 和 z o u 在( ) ，( 厶) 和( a 2 ) 以及以下条件： 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( a 3 ) 日( z ，8 ) 对任意的z q ，是s 的凸函数； 或 ( 口4 ) 存在常数c 0 ，p 0 和r 0 ，使得： p f ( z ，t ) 一t f ( x ，t ) c ( i + t 2 ) ，i t i t 的假设下，证明了p = 2 时，( p ) a 对任意入 0 都有一个非平凡解 为了叙述有关结果，我们给出几个有关l ( x ，t ) 的条件 ( 丘) 存在s 。 0 ，对任意的xef 2 , 孟毕笔在s s 。时，关于s 单调不减； 在s - s o 时，器关于s 单调不增的 ( ，5 k h l i m 篇= + 关于z q 一致眦 ( 咒) 。掣= + o 。关于z q 一致成立 ( 厶) 对任意的耻q ，船关于剀单调不硪 ( 办) 存在s o 0 ，使h ( x ，t ) = t f ( x ，t ) 一p f ( z ，t ) 在t s o 时单调不减；在 t 一8 0 时，单调不增 g b l i 和h s z h o u 在 1 2 】中研究了p 1 ，入= 1 时的问题( p ) 1 【1 1 】 中的一个主要结果是：在f c o ( 壳r 1 ，r 1 ) 且满足对任取的t i c , q ，t 0 时， ，( z ，t ) = o ；对任取的z q ，。时，f ( x , t ) o ；溉差警笔善尸( z ) 对z q 厂id 仳l p 如 嘲触摈们 kp l 驯引 0 ，t o 0 ，和c 1 ，c 2 0 ，使得 t i ( z ，s ) s p f ( z ，s ) c l ( f ( x ，s ) s p f ( x ，s ) ) - 4 - c 2 ， 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对isi s o ，05t t o 成立f 3 】也得到了( p ) i 有一个正解存在的结论 在最近出现的文献【1 3 】中，o 日m i y a g a k i 和m a s o u t o 研究了p = 2 时的问题( p ) i 他们在厂( z ，t ) 满足( ) 一( ，3 ) ( 丘) ( 事实上是在( ) 一( ) ) 的条 件下，得到了( p ) x 有一个非平凡解存在的结论( 见【1 3 】中的定理1 1 ) ，推广了【4 】 【6 】6 【2 0 】关于p = 2 时的( p ) x 的非平凡解的存在性的主要结果 本文的主要目的是全面推广【1 2 】和【1 3 】中的主要结果我们的主要定理如 下： 定理1 1设q 是r 中的有界区域，1 0 ，有一串 a n 箸，当n _ + 时， k a ，c x 。_ c a ，且厶。( ) = 以。，取。( 缸n ) 专0 ， 其中c 。，以分别为厶。，厶在u = 0 附近的所谓m o u n t a i n p a s s l e v e l 再设 法证明u n 在略p ( q ) 中的范数一致有界，进而证明c , k 是厶的一个临界值，以完 成证明 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节初步结果 在本节中我们给出一些预备性结果，为3 中证明主要定理作准备 首先我们给出一些基本定义和记号在本文中我们总假设qcr 为一个 有界区域对l 0 ，使得对任意的 取定咖w o p ( q ) ，且西 0 于q ，任取t o ，由( 2 1 ) 知： 5 ( t ) = 三矿上i 。庐r 如一a z f ( z ，t 矽) 如 三矿i i 咖i i p a 护m 上矿出+ a i q i 刍i i i i p a m 上矿如 0 ，存在g 0 ，使得对任意的( z ，t ) q r 1 ，有： 嚣嚣1 仁2 ， 其中q 【p ，p ( 由) 给定 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由p o i n c a l e 不等式知： 雠i iu 忆 其中0 0 ，取定e 0 充分小，使得；1 一砉0 ，则( 2 2 ) 式表明对任意的 i t 懈( q ) ， 弛) = 扣让i i p 一入上m ，仳) 如 三| lu | i p 一沁上川，出一入a 上川。如 ( 三一知u | i p 一矧咄 由此可知牡= 0 是厶( u ) 的严格局部极小故( b ) 得证 口 引理2 2 在( ) 一( ，3 ) 的假设下，任取0 a o 0 ，使得当入【a o ，脚】，且0ui i - p 时， 厶( 让) r 证明：取定e o 充分小，使得( ；一等) 五1 ，由( 2 2 ) 式知，对任意 a a o ，p o 】和u 信伊( q ) ，有： 砌) ( 三一等) i l 酬k 堂。钟培 丢i iu l i p 嘲童q 由此可知存在p = p ( 脚，) 0 ，r = 兄( 脚，e ) 0 ，使得当i i 乱i i = p 时，对任意 a 【a o ，肋】，有厶( t ) r 对任意的乱叼p ( q ) 和0 p a ，有： 掣 0 于q ，取定一个m 充分大，使得： 三i i i i p 一知m 上矿如 0 ，有： 厶。( 砂) 三护i i 妒i i p - a o t p m 上矿如+ i q i 矿唁1o 俨一知m 上矿如】+ a 。俐 故取定t o 充分大，e = o ，我们有厶。( e ) 0 故对任何0 k 入，有： 即厶( e ) 0 掣 _ 口 ( i i ) 存在e e b p ，使得r ( e ) 0 则 c = i i l f m a ，x ，( 7 ( t ) ) q 7 e f 0 l 一 是，的一个临界值其中 f = ( - y c o ( o ，1 】，e ) ，7 ( o ) 兰0 ，7 ( 1 ) = e ) 任取0 入o 肋，取定一个e 啊p ( q ) ，使得厶。( e ) p ，其中p 由引理2 2 给定我们令 r = ( ，y c o ( o ，l 】，w o 伊( q ) ) ，y ( o ) = o ，y ( 1 ) = e 且对a o a 肋，令 以2 7 i n “f 唧m a s x i a ( 7 ( 吼 9 f 面我们记c ( 入) = 钡，则c ：【a 0 ，肋】_ 1 0 是一个映射 引理2 4 取定0 0 时，竿和以都几乎处处可微 证明：由引理2 2 知，当a 0 时，呶 0 故竿 0 由( 2 3 ) 式和c a 的定义 知，当入o 入 0 左连续 固定肛f k ，伽】 任取o m i n ( 2 q ，老) ，由q 的定义知，存在7 r ， 使得： 勺逡墨( ，y ( ) ) 勺+ 嚣 记t o = 0 m t a x l 厶i f ( x ，y ( ) ) td x ，由( ) 一( 厶) 易知：0 凰 a 0 2 ，且0 # - a 6 = r a i n ( 荒，寄篆) 时有 。 p _ a 等篆= 鲁篆 篆 从而有： x i 去+ 去 ( 2 4 ) x o 口 引理2 5 存在常数c 0 ，使得对任何的 i l 略p ( q ) 和p ，a r 1 ， 0 咒( 让) 一取( u ) 0 。c ( 1 + i i 让l l q - i ) i p a 1 证明：由( ，2 ) 知，存在正常数c 1 ，g ，使得对任意( z ，t ) q r 1 ，有： m ，t ) i 耐酶研+ 岛拦1 ，( z ，t ) i 莉才厢研+ 岛惭 故对任意u 崂p ( q ) ： 厂i f ( z ，u ) i 硒；如sq i q i + q i 让i 师( q - 1 ) n p 如 ，q j q 由于q 【l ，p 1 ，矿= 鸽，且( p ) 7 = 而l v p l 而 故： ( q - - 1 ) w = ( _ ) 志 0 ，使得对任意咏，p ( q ) ，有： l u l ( 口一1 ) 耐酶ci i 乱i i 。 所以存在正常数c ，使得： ( 厂脚，u ) l 硭褊如) 产5c ( 1 + i i 乱i i q - 1 ) ，n 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 若t ，v 咯护( q ) ，且0u0 s1 ，则： l ( 丘( 扎) 一只( u ) ，口) l i ( 入一p ) ，( z ，牡) u 如i ，n l a u l ( l y ( x ，u ) i 耐酶如) 锦竽懈 i 入一p , i c ( 1 + 0 让l i q - 1 ) i j p 故对任意z ，a r 1 ，有： i i 丘( 仳) 一i , i ( u ) l l 。c ( 1 + i iui i q - 1 ) l p 一入1 u 下面的结果是 1 3 】中相应结果的推广，证明也类似，但我们的证明更为详尽 引理2 6 对于映射c ( a ) = 以，若以在p 处可微，则存在一个序列( ) c 咏刀) ，使得当佗_ + o 。时，有： 丘( u n ) _ 印，丘( ) _ 0 ，i i 酽岛， 其中g = p c p + p 弘( 2 一c ，( p ) ) - i - 1 证明：反证法假设结论不成立，则对引理中所定义的岛必存在6 0 ，使 得对所有的缸全 u 叼p ( q ) ：1 1ul i p _ 岛，i 厶( u ) 一j 6 ) ，有： i i 丘( 仳) l i 2 9 令q = 壶( g + p ( 印+ 6 ) ) ，则当u 叼p ( q ) ，且i iul i p g 时，有： i 上m ，u ) 如j = p l p i p 弥) _ | j i ii 1 1 丘( 缸) f f 2 ，仳盹 1 2 贝t j v ：币赫满足：i i v ( 训i 1 ， ( 最( ，y ( u ) ) = ( 艺( u ) ，虿亍若是h ) = 矿考瓦而( 丘( u ) ，矿( u ) ) 一掣一6 ( 2 6 ) 下面我们固定一个序列 a n ) ( ，肋) ，使得p 0 的唯一解而当r 8 0 时，从( u ，r ) 乏知： e 4 ( 让，r ) ：7 7 ( 咖( 让，r ) ) y ( ( ，r ) ) ：o 口7 让，r j = 7 7 让，r j j v ，r j j 5u 。 故 未0 ( 让，r ) 一咖( 让，s o ) 妒 = 昙z i 。( 咖( 仳 r ) ) 一。( 咖( u ，s 0 ) ) l p 如 = ( 1 d ( 卅，州加( 卅 s o ) ) i p - 2 ( d ( 嘶 r ) ) - d ( 撕，s 0 ) ) ) d ( 等( u ，r ) ) 如，n u = 0 故 0 ( u ，r ) 一咖( 乱，8 0 ) 0 兰o ，v r 8 0 从而有( 让，r ) = 矽( 乱，8 0 ) = u o 舭矛盾表明s o = + o o 由常微分方程解的半群性质知，对任意的s ，t 0 ，有： 咖( u ，5 + t ) = ( ( 仳，s ) ，t ) 若存在否 0 ，使得7 1 , 1 = ( 让，i ) 乏地由( 1 ) 的结论，任取r 0 ， 乱= 妒( u l ，r ) = ( 矽( 札：吾) ，r ) = 妒( 乱，j + r ) 故对任意的7 吾，( u ，) 地故8 0 = s u p s 0 ：妒( 乱， ) 蚍) 否 0 ，对任意的r o ，而】，当u 地时，都有： l 丘( ( 仳，r ) ) 一丘( 乱) l = i 丘( ( 札，r ) ) 一丘( 咖( u ，o ) ) l 0 ，对任意的r 【o ，而】，u 【o ，而】， 有莎( “，r ) 魄 下面证明，当礼充分大时： ( 。( ( u ，r ) ) ，y ( 矽( “一) ) s 一妻 ( 2 1 3 ) 1r p c u 0 + 、l ， u t 一 、，、l ， r 牡6 5 渺+ 陬j一怕6一 0 ，使得当n n 时，对任意的u 肌时，有 ( 。( “) ，y ( 让) ) 一要 ( 2 1 4 ) 注意到由( 2 6 ) 式知： ( 。( u ) ，y ( u ) ) = ( ，二。( 让) 一( u ) ，y ( u ) ) + ( ( 让) ，y ( u ) ) 一6 + ( 。( t 上) 一( u ) ，y ( 让) ) 故只用证明当几充分大时，对任意的乱飓时，有 ( 。( 缸) 一( 让) ，y ( 让) ) 芸 ( 2 1 5 ) h p , - 7 类似于丘( 乱) 在地上l i p s c h i t z 连续的证明可知： i ( 。( u ) 一( 让) ，y ( 让) ) i = 肌一入n i i 上f ( z ，乱) y m ) 如i sl p a n i 【c0y ( u ) i i + c0ui p 1 0y ( 札) | f 】 故( 2 1 4 ) 式成立由十 ( 取。( 咖( 乱，r ) ) ，筹( u ，r ) ) = ( 以。( 矽( 乱，r ) ) ，叩( 妒，r ) ) y ( 矽( 乱，r ) ) ) = ，7 ( 砂( 仳，r ) ) ( 。( ( 牡，r ) ) ，y ( 矽( 牡，r ) ) ) ( 2 1 7 ) 且当牡乏盹时，刀( 乱) = 0 ，砂( u ，r ) = 让，对任意r 0 都成立，故叩( ( 乱，r ) ) = 0 ，从 而有： ( 以。( 砂( “，r ) ) ，筹( 乱，r ) ) 一0 当i t 时，由( 2 1 0 ) 和( 2 1 4 ) 知： ( “卅，r ) ) ，筹( 训一瓠。 、l ， 6，2 ， n 、一 肛 叫j一2 一 一 综上所述，当n 充分大时，对任意 l z 附护( q ) ，对任何r 0 时，有： ( 。( 舭，r ) ) ，筹( 牡，r ) ) 0 ，使得对任意r 【0 ，r o ，都有 ( 仳，r ) 我们要证：，当n 充分大时，对任何的r 【o ，r 0 ，有 厶。( 地r ) ) 厶。( 乱) 一冬 成立 当r 1 0 ，t o 】时，存在f 【0 ，r o 】使得对任何礼，有： 厶。( ( u ，r ) ) 一厶。( 乱) = 厶。( 砂( “，r ) ) 一厶。( ( 仳，o ) ) = 导厶。( 地f ) ) ( r o ) ：( 尉铷，掣) ) r = ( 。( ( ，f ) ) ，7 ( 妒( 仳，f ) ) y ( ( 仳，f ) ) ) ) 7 = t 7 ( ( 乱，f ) ) 【( 。( 妒( 让，彳：) ) 一( 妒( 乱，f ) ) ，y ( ( u ，f ) ) ) ) + ( ( 庐( u ，f ) ) ，y ( ( 仳，f ) ) ) ) 】r 全叼( 砂( 乱，矿) ) 【a 。+ b n r ， 其中a n = ( 。( 庐( 让，于) ) 一( ( u ，f ) ) ，y ( ( 仳，f ) ) ) ) ，风= ( ( 驴( 札，f ) ) ，y ( 让，f ) ) ) ) 类似于( 2 1 6 ) 可证得：当孔充分大时， a 。c ( 6 ，p ) l p 入。i c o ，从而e 盹由 结论( 1 ) 知，任取r 0 ，有咖( e ，r ) = e ，任取7 r r 0 ，西( 7 ( 亡) ，7 ) 关于t 【o ，1 】 连续，且( 7 ( o ) ，r ) = ( o ，r ) = 0 ，( 7 ( 1 ) ，r ) = 咖( e ，t - ) 三e 故( ，y ( t ) ，r ) r 令 k ( t ) = 妒( ( ) ，而) ) ，则显然k ( ) r 故： 厶。( k ( ) ) = 厶。( 妒( ( ) ，而) ) ) 厶。( 妒( ( t ) ，o ) ) ) = 厶。( ( t ) ) 设厶。( 危n ( ) ) 的最大值在s n 【0 ，1 1 处达到，则s n a 。，且由结论( 2 1 8 ) 知： q 一( 1 ) ：q 。 u m ( 。a ( x 。 , x ( h n ( ) ) = 厶。( 。( s 。) ) 厶。( ( 5 n ) ) 一罢而 从而有 厶。( ( ) ) 气+ 耋而一。( 1 ) 另一方面： 厶。( ( s n ) ) 丘( ( s 。) ) + 岛i 入n p i + ( 1 + 岛) i a 。一p i 故 q + 妻而一。n ( 1 ) q + ( 1 + 岛) l a n p i 令扎_ o o ，得 q + 妻而q + 。 得到矛盾，故引理结论成立 口 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 下面我们要给出关于，( z ，t ) 的一些条件之间的关系 引理2 7 设q 是r 中的有界区域，( z ，) 伊( q r 1 ) ，则 ( i ) ( f r ) 专( ) ( i i ) ( f 3 ) ( f 4 ) j ( ，5 ) ( i i i ) ( f 3 ) ( 以) 。兮( ) ( i v ) ( 丘) ( ) 兮( 7 ) 号( ) ( v ) ( ) 冷( ) 证明：( i ) 日( z ，s ) 显然在q r 1 上连续令g = 2 厅卜m 2 a 眠x 2 。1 i n ( z ，s ) l ，任 取t ，8 r 1 ，对任意z q ，当2 s o t s 时，由( ，8 ) 知： h ( x ，z ) 日( z ，s ) 仃( z ，s ) + g 当t s 2 s o 时， 故 h ( z ，) 一日 ，s ) i n ( z ，。) 一日( z ，s ) l 2 矗x m 【。a ，2 x 。】i h ( z ，s ) = g 2 叶m a x 2 s o ，2 8 0 l i h ( z ，s ) l = g n 卜i 当0 t 2 s o s 时： 故 h ( x ，t ) 日( z ，s ) + a 日( z ，t ) 一( z ，s ) 日( z ，t ) 一日( z ，s 0 ) + ( z ，s o ) 一h ( x ，s ) g + 0 综上知 h ( x ，t ) 日( z ，s ) + g 当0 s 时，日( z ，t ) ( z ，s ) + a 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 同理，当- - 2 s o s 0 时： h ( x ，t ) 日 ，8 ) 日( z ，s ) + g 当5 一2 s o t 0 时， 故 h ( x ，t ) 一h ( x ，8 ) h ( x ，t ) 一h ( x ，- 2 s o ) + h ( x ，- 2 s o ) 一h ( x ，s ) g + 0 当一2 s o s t 0 时o h ( x ，t ) 日( z ，s ) + g 日( z ，) 一日( z ，s ) 1 日 ，2 ) 一日0 ，s ) l 2 矗。m 卜a 2 地xo j 1 日( z ，s ) i = a 2 叫m a x 。】i h ( - - 2 s o2 s o z ，s ) i = g n i1 故 综上知： 故( i ) 成立 h ( x ，t ) h ( x ，s ) + a 当s t 0 时，h ( x ，t ) 日( z ，s ) + g ( i i ) 由( ，4 ) 知，当8 s o 时， h ( x ，8 0 ) 日( z ，s ) + g 故 s ，( z ，8 ) p f ( x ，s ) + ( z ，s o ) 一g 从而由( ) 知： 龄2 掣+ 掣8 一品删i si p 2s 。isi p 。 il plsi p 一、“。一叫 而当s 一s o 时， h ( x ，- - s o ) 日( z ，s ) + a 故 从而由( 矗) 知： ，( z ，s ) i sr 2s 故( ) 成立 s f ( x ，s ) p f ( x ，8 ) + h ( x ，- - s 0 ) 一a p 丌f ( x , s ) +i sl p h ( x ，- - 8 0 ) si p 品_ 慨( 1 8i p 一、 ( i i i ) 假设( ，3 ) 和( 丘) 成立，我们来证明( ) 当s _ + o o ) 从( j c 3 ) 知，对任取的m ，存在n m ，使得当i s i n m 时，对任意的z q ， m m a x ( s 。，眦) ，且z q 时，由中值定理和f ( z ，幻：厂。，( z ，丁) 打知，存在 1 0 p = e ( x ，5 ，s o ) ，0 p 1 ，使得： 故由( 以) 知： m 簧 m 一 2 一 一f ( x ，s o ) f ( x ，8 0 + o ( s s o ) ) ( s s o ) ：= 一- i - i si p i sl p f ( x ，8 0 + e ( s s o ) ) ( s s o ) ( s o + e ( s 一, - g o ) ) p 一1 ( s o + 口( s s o ) ) p 1i sp f ( x ，s ) ( 8 一s o ) ( s o + o ( s 一3 0 ) ) p 一1 i p l z ，s ) l 5j p 1 si p 故l i m 丛旦里：+ 关于z q 一致成立 o + + s p - - l 同理，对任取的m ，存在，使得当s 一时，对任意的z q ，有： m 裂，且掣 s o 或t 5 8 0 时，s 一, 5 0 0 故存在r o 0 ，使得当0 , 5 0 ，且0 1 ，0 s o ，且 t 一7 - 5 7 - ，故1 一了t 1 一t 0 由( 2 1 9 ) 式知i ： s 掣一掣二e 删等掣一掣】打 = 粤俐等秽c 字广1 一铃c 孚r 1 ，打 粤( 丁) 【毛笋兰寺；要( 一i t ) p l 一毛曼三 i 要( ，一j t ) p 一1 j 打 = 孕( 丁) 矧f ( 1 一手) p 一1 一( 1 一j t ) p 一j d r 2 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 0 故当。p 伽时，任取z q ，之譬掣在t s o 时，关于单调不减而厶( z ，) 关于t 可微，故由前面已证的结论知，当t 8 0 时，珥( z ，t ) 关于单调t 不减故 任取s 芒 s o ，有： 砟( z ，s ) 协( z ，) ( 2 2 0 ) 从f 伊( q r 1 ) 易知： l m 厶( z ，) = ，( z ，t ) ，l m o b ( z ，亡) = f ( z ，t ) 故( 2 2 0 ) 式表明，当z q ，s t 5 0 时， 日( z ，s ) 日( z ，) 同理可证，当s 0 ， 从( ) 知，存在批 5 0 ，使得当t m 时，对任意z q ， 墨婴 2 m i t i p qt 。 当t 时，对任意z q ， f ( z ，t ) = ，( z ，7 - ) 打 = z 面m 打+ rm 打+ 丘m 打 c + ，( z ，t ) d t c + 2 m i 丁r 1d t 2 7 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s = c + ：p m ( t p 一峨) ， 其中c = c ( 而) 是常数故t 充分大时，有： 掣箬+ 警c l 一譬) 护 一 护。幻、护7 。( 1 ) + m 由此可见： 。骧掣= + 。o 关于z q 一致成立 同理可证：