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线。i 生时滞系统的稳定性及镇定问题 蝽玲 摘要：稳定是实际系统正常运行的前提稳定性问题历来是研究系统控制理 论的一个重要课题时滞是自然界中广泛存在而又不可避免的一种现象时滞的 存在使得系统的分析和综合变的更加复杂和困难，同对时滞往往是系统不稳定的 根源因此分析时滞系统的稳定性有着理论和实际的意义 关于时滞系统的稳定性，主要基于两种方法：一种是利用滞后系统的广义特 征方程根在复平面上的分布与稳定性之间的关系但是这一判据是超越的，不便于 应用另一种是l y a p u n o v 方法这种方法是由k r a s o v s k i i 于1 9 5 9 年提出的 l y a p u n o v 方法的推广，通过引入不同的l y a p u n o v 泛函，来判断系统的稳定性由 于l y a p u n o v 泛函的选取不同，其保守性能也有所差异在应用l y a p u n o v 稳定性理 论时，主要是判定l y a p u n o v 泛函沿系统的任意轨线的时间导数，并保证这个时间 导数最终是负定的一般来说，这个时间导数往往比较复杂，为了导出容易检验的 条件，通常对这个时间导数进行放大，来保证它的负定性本文就基于这一思想， 构造了一个新的l y a p u n o v 泛函，利用不等式 x 7 a 7 召y + y 7 丑7 a xsx 7 a r 兄一垩x + y r b 7 r 一1 丑y 0 ，o 0 ，x 0 ，z 0 及y 满足下列l m i s ： r _ 穿 朋一yf 。a 7 2 1 一qv m b 7 z i 0 ( y b ) c 0 ) ，则称矿岛) 为正定泛函( 负定泛函) 正定泛函和负定泛函通称为定号泛函 定义2 1 3 如果对任意的解工o ) 都有l i m z ( f ) = 0 ，系统( 2 1 1 ) 被称为渐进 稳定的 引理2 1 1 m 对于系统( 2 1 1 ) 如果存在一个定号的y 一泛函，使得砖：。1 0 ) 为一个与y ( 妒) 符号相反的定号泛函，那么系统( 2 1 1 ) 的解是渐进稳定的 命题2 1 1 对于任意矩阵a ，b r ，正定矩阵r r 和向量z ，y 尺“， 矩阵不等式 工7 4 7 j 印+ y 7 8 7 a xs x r a r r a x + y 7 b r 一1 毋 ( 2 1 2 ) 成立 证明对于任意的正定矩阵r ，存在矩阵r ，使得r = 尺j 蜀，故 工，a r b y + y r b ，血：x ，a r 衙1 蜀r 毋+ ) ，7 8 7 伍i 1 r i k 。z 7 爿7 尺jc r j ll r 缈+ y 7 8 7 兄，尺。出 ：c r ，血) r 眩i - ) r 毋) + k - ) r 缈) r 沁血) ；慷血) 沁出) + 昭i t r 印) r 妖，) r 缈) = x r a 7 r a x y r b 7 r 一1 b y 2 2 线性时滞系统的稳定性 对系统( 2 1 1 ) ，在这里矩阵a 是渐进稳定的，即对任给的正定矩阵q ，存 在正定矩阵p ，满足l y a p u n o v 方程 a 7 p p a = 一q 以下讨论中系统( 2 1 1 ) 总是满足解的存在唯一性条件 定理2 2 1 若存在正定矩阵r ，使得矩阵q b 7 r b p r 4 p 正定，则系统 ( 2 1 1 ) 渐进稳定 证明取l y a p u n o v 函数为 矿) ) = 工7 ( f 辟妇) + f x tg p 7 r b x ( s 协 则沿方程( 2 1 1 ) 的导数为 掣k 。掣( f 溉( f ) o 辟o ) o 净7 胁o ) o r l b 7 r b x ( t r ) = ) + 凰( f z ) f 戥( f ) + 工7 ( f ) p 章) + 出( f r ) ) + z 7 仁净7 r 舭( f ) 一工7 ( f r 净7 r 酞t f ) = 工7 ( f n 7 p x o ) + 工7 0 z 泗7 。只r ( f ) + x 7 0 ) j 巴缸o ) + x 7 ( f 脚( f z ) + 算7 b 碡7 咫x ( f ) 一x 7 0 r 沁7 l 阳x ( t z ) = 一z 7 0 ) r ( f ) + 工7 t r 净7 p x t ) + j 7 0 ) p 8 x ( f 百) + 工7 扛净7 兄眦o ) 一石7 ( f r 归7 r b x ( t r ) ( 2 2 1 ) 由不等式( 2 1 - 2 ) 可知，对任意正定矩阵r ，上面等式 ( 2 2 1 ) s 一工7 0 妞( c ) + z 7 ( f r 1 8 7 胁e f ) + 工7 ( f 廊。a ( r ) + ，b 净7 咫x 0 ) 一z o r 归7 r b x ( t r ) = 一x t 0 耙一p r p b 7 衄k 0 ) 很显然l y a p u n 。v 函数矿g o ) ) x ：r ( f 溉( f ) + j ：! t _ r x t g 沁7 冗敝g 拯是正定的， 因此，由引理2 1 - 1 知当矩阵q b r r b p r 。1 p 正定时，存在常数a ，0 ， 使得 生蚴、；一瓣r o 龇) 。o d t 1 ( 2 1 - 1 ) 。 即系统( 2 1 1 ) 渐进稳定 定理2 2 2 若存在正定矩阵r ，使得矩阵 r 协) 一i 品) 】lk 恤7 船) j 正定，则系统( 2 1 i ) 渐进稳定 在这里，表示矩阵4 的任意范数 在定理2 2 2 的证明中，要用到m i n k o v s k i 不等式： z 7 缈+ y 7 口7 a x 五铷鲋。制i 证明取l y a p u n o v 函数为 y ( x ( f ) ) 一x 7 ( f 扛k ( f ) + f _ r x t b ) b 7 r h g k 则沿方程( 2 1 1 ) 的导数为 掣k 。( r 妞o ) + x t o 皿( f ) + x r 咿胁( f ) 一誓。一f 归7 胁。一f ) = 恤( f ) + 出o r ) r a o ) + x 7 ( f ) p ( 4 ( f ) + 血( f f ) ) + z 7 b ) 8 7 衄x ( f ) 一工7 0 f 泗7 咫x o r ) = ，( f 7 a o ) + z r o r ) b 7 a 0 ) + 茗7 0 ) p 舭( f ) + x 7 ( f 炳( f f ) + z 7 b ) 8 7 r b x g ) 一x 7 ( t r ) b 7 咫x ( f f ) = 一工r ( f 胁o ) + 工7 0 f 归7 厅o ) + 工7 0 岫o f ) + x 7 b ) 丑7 r 融如) 一x 7 ( f f ) 8 7 谊x ( t f ) 5 一z 7 0 一b 7 衄k e ) + 2 0 册啡州风一r 一x r 0 一f 协7 触( f r ) 一k ( q b 7 肋) k 哪+ 2 1 t e b 悱啡批一r 一a m m 7 彻】k ( f f 2 1 r a j 这里，y o ) = 忙( f 】，k o r 1 ) r 如果定理的条件满足，那么存在常数a ，0 ， 使得 d v ( x ( t ) ) i 。，、s 一饿r o ) 。o d t i ( 2 1 1 ) 7 。7 。 即系统( 2 1 1 ) 渐进稳定 以上两个结论，包含和推广了文献 3 7 的相应结论 例2 1 1 考虑如下时滞系统 主( f ) 盎爿x e ) + 丑￥( f f ) 强爿；( 孟：哥叫猢，札过计贿 q - b r r b p r 4 p = 陪篙怒1 1 为了f 定矩阵，由定理2 2 1 可知该系统稳定 2 ，3 广义线性时滞系统的稳定性 近年来对于时滞系统的研究，绝大多数集中在正常系统，广义时滞系统的研 究结果并不多见，在这一节，将第一节的方法推广到广义系统 对于广义线性时滞系统 e t ( f ) = a x ( t ) + b x ( t r ) + c h ( f ) ，t ，f 。，r ，0 ( 2 3 1 ) 工婶j 2 妒pj ，t o rs ts t o 这里，常数矩阵e ，爿，b r ，c 为适当维数的常数矩阵，x f ) 且“为状态向量， r a n k e rcn ，常数i ，0 是个滞后量，矩阵束( e ，a ) 是正则的，“( f ) 是输入向量， 妒c 啦。一f ，f 。d 是初始状态函数 1 0 定义2 3 1 【1 j 如果4 ，b 同为n 阶方阵，且行列式阻+ 脑i 不衡等于零，则称矩 阵束4 十加为正则矩阵束称矩阵对f a 曰) 为正则的矩阵对 定义2 3 2 系统( 2 3 1 ) 被称为渐进稳定的，如果对任意的，0 ，存在 个标量6 ( s ) 0 ，使得对任意的相容初始条件妒( f ) 满足一；。1 1 妒( 1 1 i s6 ( s ) ，系统 ( 2 3 1 ) 的解z ( f ) 满足对任意的f 苫0 ，都有忙( r l ss j 且! i m x ( t ) = 0 注这里的渐进稳定概念相当于对无时滞系统给出的强渐进稳定概念 引理2 3 1 州系统( 2 3 1 ) 存在唯一解的充要条件为( e ，爿) 为正则的 在以下讨论中系统( 2 3 1 ) 总是满足解的存在唯一性条件也就是说，在本 文中要求广义时滞系统( 2 3 1 ) 是正则的 在讨论广义线性系统的稳定性时，可以像正常时滞系统样，只考虑它的广 义自治系统，其数学描述为 e i ( f ) = 4 工o ) + 丑x o f ) ，t t 。，f ，0 ( 2 3 2 ) 茗忙) 2 妒p j ，t o f s ts t o 这里，e ，爿，b c r 是常数矩阵，工扛) 胄4 为状态向量，r a n k e ；，( 一，常数f o 是 一个滞后量，妒( f ) 是初始状态函数，矩阵束( e ，a ) 是正则的 对系统( 2 3 2 ) ，在这里矩阵a 是渐进稳定的，即对任给的正定矩阵q ，存 在正定矩阵p ，满足l y a p u n o v 方程 a 7 p e + e 7 p a = 一q 以下讨论中均假设系统( 2 3 2 ) 满足解的存在唯一性条件 暑i 理2 3 2 对于系统( 2 3 2 ) ，若存在l y a p u n o v 函数矿( f ) 满足：( i ) y ( f ) 正 定；( i i ) 矿( r ) 负定，则称系统( 2 3 2 ) 是时滞无关稳定的或无条件稳定的 定理2 3 1 若存在正定矩阵尺，使得矩阵q b 7 r b e 7 尸r 1 p e 正定，则系 统( 2 3 2 ) 时滞无关稳定的 定理的证明类似定理2 2 i ，用到了不等式( 2 2 2 ) 证明取l y a p u n o v 函数为 矿b o ) ) a 工7 ( f 皿7 p o ) + fx t g 净7 r b x ( s 培 则沿方程( 2 3 2 ) 的导数为 塑掣k ! ，：膏7 ( f 陋r 胁如) x t ( f 皿r 臌o ) 一e 净r 胁( f ) 一x ( f r ) b 7 胁( f r ) = x 7 ( f 讧7 j p o ) + z 7 ( f r 洒7 p 0 ) + z 7 0 皿7 p a x ( t ) + x 7 ( f 涫7 p b x ( t f ) + 工7 b ) 8 7 r 丑x ( f ) 一石7 0 f 归7 r b x ( t f ) s 工7 0 n 7 胁( f ) + z 7 0 f 泗7 r 最r ( f f ) + x 7 0 ) e 7 腓o ) + x 7 0 垮7 p r 一1 p 盈e f ) + 茗7 ( f ) 8 7 r 8 r e ) 一x 7 0 一r ) 8 7 r b x e 一彳) = 一工7 ( f 壮一b 7 r b e r p r 4 船托) 很显然，l y a p u n o v 函数为矿b o ) ) ；工7 ( f 陋7 p ( f ) + f 工7 b 沁7 r b x ( s 拯是正定 的因此，由定义2 3 2 知当矩阵q b 7 r b e 7 p r 1 p e 正定时，系统( 2 3 2 ) 时滞无关稳定 定理2 ，3 2 若存在正定矩阵r ，使得矩阵 一i p e 加d i a 舅r “b ) i a 。忸7 ) l 正定，则系统( 2 3 2 ) 时滞无关稳定 证明取l y a p u n o v 函数为 矿b ( f ) ) 一工7 ( f 远7p j 既o ) + j 2 x t 6 归7 r b x ( s ) d s 则沿方程( 2 3 2 ) 的导数为 掣k ：，纠( f 皿7 胁o ) + 工7 0 碡7 臌g ) ( f 归7 胁o ) 一j 7 ( f f 扭7 胁o f ) = ，t 讧7 p ( f ) + 工7 ( f z ) 8 7p j 欧( f ) + 聋7 t 碡7 p a x ( t ) + x 7 ( f ) e 7 p b d t r ) + z 7 ( j 归7 r 戤o ) 一x 7 ( f r ) b 7 r b x ( t 一- r ) s x 7 ( f ) ( q 一口7 船c ( f ) + 2 1 陋 e b i i i k ( 1 1 1 雌一f 一x ( f f 归7 r b x ( t r ) s a 。( q b 7 艘肛哳+ 2 | i p 船) 【l 一r 】| 一a 。仁7 衄】一r 2 丫o ，r “馅f 训牖归 娼y ( f ) 撕彬叫l _ b z 删a 盟一矾一 统( 2 3 2 ) 是时滞无关稳定的 2 4 小结 在这一章，我们讨论了连续时间线性滞后系统的稳定性首先给出正常线性 滞后自治系统稳定性的一个充分条件，引进正定矩阵r 构造了一个新的l y a p u n o v 函数，来判定系统的稳定性第二节讨论广义连续线性滞后系统的稳定性，在方 法上沿用了正常系统的l y a p u n o v 函数构造，是对正常系统的推广 第三章离散时间线性时滞系统的稳定性 3 1 预备知识 离散时间线性时滞系统模型一般是用泛函差分方程来表示，首先，先了解一 些有关泛函差分方程的知识 设c 是所有妒：乙一r ”的连续向量函数的全体 其中 z = - ，一h + 1 ，o ) ，h 为正整数 定义范数为 1 1 9 l l s l l p i 妒( l ， 9 c 斥巩 上式右边h 是r 一上的任意范数设七。z + ，对任意的七毛：任。，k 。+ 1 ，o ) ， 记 x 。一z 。( ，) = 工伍+ j ) ， z 则 c ， y k e z t 。 设，：z c r 4 贝0z 伍+ 1 ) = ，( 七，工。) ( ) 是zx c 上的滞后型泛函差分方程 设( 术) 满足初始条件 工h 一工往。+ j ) o 伊( j ) c ， z 。，k 。z + 的解为x 忙，k 。，妒) 以下的讨论中均假设，满足r ( k ，0 ) ；0 ，即。总是( 女) 的解 以上定义是各类有限时滞的差分方程的高度概括只要适当选择函数 ，幢，妒) ，方程( ) 就可代表各种时滞差分系统 例如： ( 1 ) 取，( k ，妒) = 口妒( o ) + 6 妒( 一h ) ，则( ) 式化为 x 忙+ 1 ) t 戤恤) + h 忙- h ) ( 2 ) 取，晦，妒) = 口妒+ 卢妒( ) ) ，则( 丰) 式化为著名的l 。g i s t i c 方程 x 丘+ 1 ) = l + j m ! 盟k - h ) 下面给出方程( $ ) 的稳定性定义 定义3 1 1 ( 1 ) 方程( 半) 的零解称为稳定的，若对v ，0 ，存在d ( e ，k 。) 0 ，使c6 时 忙忙，k 。，妒】| ts ，k 芑 ( 2 ) 方程( 丰) 的零解称为一致稳定的，若( 1 ) 中的6 不依赖于七。 ( 3 ) 方程( 木) 的零解称为渐近稳定的，若它是稳定的，且存在6 忙。) ，使得例l c 扫 时有忙忙，k 。，妒一0 ，当t m ( 4 ) 方程的零解称为一致渐近稳定的，若它是一致稳定的，且( 3 ) 中的6 与 k o 无关，对任意的r ，o ，存在f 白) o ，使得t 6 时有，l k 往，k 。，驴t 叩， k k 。+ r ( 叩) 下面的定理类似于连续情形，即为泛函差分方程的l y a p u n o v 定理 定理3 1 1 设“，p 置瞅函数) ，w ：r + 一只+ ，若存在一个矿：q - - , r 的连 续泛函v ( k ，甲) ，其中q 为r c 的一个开子集，使得 n 0 妒( o 】) sy ( 七，妒) sv 0 俐j ) a y 忙，妒) ：y 取+ l ，忙，妒) ) 一v ( k ，中) s w 忙( 0 1 ) 则方程( $ ) 的零解是一致稳定的老i w ( s bo 蕴含j ，0 ，则零解一致渐近稳定 3 2 离散线性自治时滞系统的稳定性 考虑时滞差分系统 工幢+ 1 ) = 4 x 晦) + 矗x ( 七一h ) 工仅) ；妒忙) ，一hs k s 0 ( 3 2 1 ) 其中，a ，b e r 都是常数矩阵，整数h o 表示滞后量，尹( 七) 是初始向量函数 定义3 2 1 【l o 】若系统( 3 2 1 ) 的每一个解z ( 七) 满足 i m x ( k ) ；0 ，则系统 ( 3 2 1 ) 的零解称为渐进稳定的 引理3 2 1 x o 】 系统( 3 2 1 ) 是渐进稳定的，当且仅当存在一个正定l y a p u n o v 泛函矿0 忙) ) ，使得y g 忙) ) = v ( x ( k + 1 ) ) 一矿b 伍) ) 是负定的 定理3 2 1 若存在正定矩阵p 、q ，使得矩阵 f p q a 7 p a a 7 册1 i b 7 p a q b 7 p b i 是正定的，则系统( 3 2 i ) 的零解一致时滞无关渐进稳定 证明选取适当的正定矩阵尸，q ，做l y a p u n o v 泛函为 y b 忙) ) = z 7 晦炳瞳) + 工7 忙一，跏( 七一j ) 筒 很显然，y 0 ) ) 是正定的，并且当i 旷0 ( 七州一* 时，有y b 忙) ) 一。 矿0 ( 七) ) 前向差分为 y g 忙) ) = y g 伍+ 1 ) ) 一y 0 ( 七) ) 一x t 忙+ 1 ) p x ( k + 1 ) + 戈7 忙+ 1 一，跏忙+ 1 一，) 胃 一x t 睡) 既仁) 一罗z 7 伍一a m ( k j ) 筒 = ( 血睡) + 擞忙一h ) ) r p ( a x ( 七) + 瓜( 七，1 ) ) 一x 7 忙砖( 七) + 善z 7 任+ l - ，协取+ 1 - 小乏x t 任一，跏忙一，) = z 7 扯n 7 p a x ( k ) + x 7 恤一h ) b 7 只缸( 七) + x 7 ( 七日7 p b x ( k h ) + x 7 忙一 碡7 p b x ( k 一 ) 一工7 忙) r ( 定) + 石7 以跏忙) 一z 7 一 ) 以一h ) = x t 忙) b 7 p a 一尸+ q 上忙) + z 7 忙如7 p b x ( k h ) + ，伍一_ ；l 碡7 只缸忙) + x 7 忙一矗枷7 p b q k 据一h ) = 删雄圳 p 弓磊一q - b 洲 e b l x ( m k - 糊h 蚓眦l 弧若叫p _ q _ 以a r 以蛐_ a r 矧醌则系躺2 。的 零解一致时滞无关渐进稳定 硼3 2 一心a 1 1 。纠，。一a z 2 0 眠咆4 丢小。 利用上面分块矩阵的性质，就有 定理3 2 2 若存在正定对称矩阵p ，q 满足下面的矩阵不等式组 q b 7 p b 0 p q a 7 p a a r 户口( q b r p b ) - 1 8 7 p a 0 则系统( 3 2 1 ) 的零解一致渐进稳定 若p ，q 满足离散型l y a p u n o v 方程 a 7 p a p t q 就有下面的结论 推论3 ，2 1 若p ，q 均为正定对称矩阵，如果满足 a 7 p a p = 一q f 一? 刚z ：卜 那么系统( 3 2 1 ) 的零解一致渐进稳定 下面考虑广义离散时滞系统 e r 忙+ 1 ) = a 4 k ) + b x ( k h ) 工僻) = 妒啦) ，一h s ks0 ( 3 2 2 ) 这里，e ，a ，b r 都是常数矩阵，e 是奇异矩阵且r a n k e = ，tn ，整数h2 0 表 示滞后量，妒忙) 是初始向量函数 广义离散时滞系统的讨论，在这里类似上面，有结论： 定理3 2 3 若存在正定矩阵p 、q 使得矩阵 e 7 p e q a 7 p a p 7 a b1 l b 7 p a q b 2 p b i 是正定的，则系统( 3 2 2 ) 的零解一致渐进稳定 证明在这里取l y a p u n o v 泛函为 y b 扭) ) x t 伍) e 7 p e z 伍) + 艺x 7 伍一j 跏娘一j ) 很显然，y b 忙) ) 是正定的，并且当1 p 扛( 七) 一o 。时，有y b 伍) ) 一m a 矿g 伍) ) 一y 0 伍+ 1 ) ) 一y g 睡) ) = z 7 忙+ 1 碡胁伍+ 1 ) + 妻z 7 忙+ 1 一j 防忙+ 1 一，) 彳睡谚7 鼢忙) 一毫工7 伍一j 防伍一) = x r ( k l a 7 p a e 7 p e + q 抛) + x 7 睡妒p b x ( k h ) + 工r 伍一h ) b r 只缸瞎) + x 7 妊一 扣7 p b q 鼻忙一h ) 讪州邢叫矿鼍篇嘲z 嚣雌糊 若肼广7 譬= 协z 篇卜躲鲫z 的零p 黝黼 定 定理3 2 年若存在正定矩阵p ，q 满足下面的矩阵不等式组 0 一b 7 p b 0 e r p e q 一爿7 p a a r 朋白一b 7 册) _ 1 8 7 p a ，0 则系统( 3 2 2 ) 的零解一致渐进稳定 广义离散型l y a p u n o v 方程为 a 7 p a e 7 p e = 一q 推论3 2 2 若p ，q 均为正定对称矩阵，如果满足 a 7 只r 4 一e 7 p e = 一q f 一未剐z 麓卜 那么系统( 3 2 2 ) 的零解一致渐进稳定 3 3 小结 本章讨论了离散型时滞系统的稳定性，根据离散系统模型的特点，首先对泛 函差分方程做了一些介绍，介绍了l y a p u n o v 理论；第二节在泛函滞后差分方程 l y a p u n o v 稳定性理论的基础上，构造了一种类型的l y a p u n o v 泛函，分别给出了正 常系统和广义系统的一个矩阵不等式，以此来判定离散时滞系统的稳定性进一 步，利用分块矩阵的性质及l y a p u n o v 方程给出了两个判定稳定性的推论 1 9 第四章线性时滞系统的镇定问题 4 1 预备知识 在控制界长久以来考虑的问题主要是，如何设计一个线性有限维的反馈使得 闭环系统可以达到稳定的要求，即用反馈对系统进行镇定的问题对于有限维反馈 是否存在的问题，k a m a n 在文献 2 已经给出了证明 在前面两章，对线性时滞系统的四种基本类型的稳定性做了一些简单的讨论， 给出了判断其稳定性的一些充分条件如果利用测度和日。范数给出的一些滞后 广义系统的稳定性判据，来处理镇定问题，很显然条件过于超越，不方便应用这 里，就是利用前面两章l y a p u n o v 方法所给出的滞后系统的稳定性，来解决系统的 镇定问题 首先，先给出线性时滞系统的一些基本概念，系统描述为 e t 0 ) = 爿x 扛) + 丑x 0 一f ) + c u ( t ) h o ) = 伊p ojt o h s t s t o ( ) 这里，工( 0 r 4 是状态向量；u ( t ) e r 4 是控制向量；e ，a ，b e r ，c r 是 任意矩阵；r a n k e rcf ：r ，o 是状态滞后；9 0 ) 是初始控制函数 定义4 1 1 1 1 j 对于系统( ) 和时刻r ，t 。，如果对任何可容许初始函数妒和 任何工。e r “，都存在一个可容许控制“o ) ，f 【f o ，t 】，使得系统( 木) 的解x f f ，伊) = x ， 则称系统) 在时刻r 点是能控的 定义4 1 2 【1 j 如果对于任何时刻r “，滞后控制系统( ) 都在r 是能控的， 则称该系统为完全能控的 在本章的讨论中，总是假定所讨论系统是能控的，以保证系统的可镇定性 4 2 连续时间线性系统的镇定 在这里，我们只讨论广义连续时间线性系统的镇定考虑如下具有滞后的广 义控制系统 e 4 t ) ；以x 扛) + b r 扛一- r ) + c h 扛) ( 4 2 1 ) 其中，常数矩阵e ，a ，b e r ，r a n k e = ，cf ，c 为适当维数的常数矩阵，x o ) r 4 为状态向量，“) 为控制输入，常数fz 0 是滞后量 对系统( 4 2 1 ) 引入状态反馈控制“( f ) = 缸( f ) ，其中，k r ，”反馈矩阵， 得到( 4 2 1 ) 的闭环系统为 e a ( t ) = ( 爿+ c k p ( f ) + 矗x ( f f ) ( 4 2 2 ) 定义4 2 1 f 6 j 对于系统( 4 2 1 ) ，若存在一个状态反馈控制“0 ) ；缸( f ) ，使 得闭环系统是时滞无关稳定的，则称系统( 4 2 1 ) 是时滞无关镇定的 这里，定义广义l y a p u n o v 方程为 7 p 乜+ c k ) + 0 + c k ) 7 户e = 一q 定理4 2 1对于系统( 4 2 ) ，若存在正定矩阵r ，以及正定矩阵p ，q ，k 满 足 e 7 p 0 + c k ) + 0 + ( x r 尸! f = 一q q b 7 r b e 7 p r 。1 咫 0 ( 4 2 9 ) 那么系统( 4 2 7 ) 是时滞无关镇定的 证明取广义l y a p u n o v 泛函为 y 0 0 ) ) ；z 7 0 拉7 p ( r ) + j t _ r x t 0 净7 墨血g 协+ j 名7 b k 7 d 7 r ：d 臌0 协 则沿方程( 4 2 8 ) 的导数为 d v ( ，x 。( o ) l ( 。2 8 j = ，扛皿r 只( f ) + 毒r o 涫r 剧瞄o ) + 工r ( f 归r 墨z h o ) 一五7 t f 沁r 1 b x ( t r ) + 工7 0 遮7 d 7 r ：d 般o ) 一，( f 一 皿7 d 7 r ：d r r ( t h ) = j 7 ( f n + 强r 胁( r ) + ，0 一r 净7 胁o ) + x 7 ( f h ) k d 鼢0 ) + 石0 炻7 p ( a + c k ) + 工7 0 归7 e b x ( t f ) + z 7 ( f 迎7 p d k x ( t 一1 1 ) + x 7 ( f 冷7 焉丑膏0 ) 一，g r 归7 r 丑r ( f r ) + x 7 扛) j ( 7 d 7 r ：嫩( f ) 一x 7 ( f h ) k 7 d 7 r ：d 戤( r h ) s 工7 0 牡+ c k f p i e + e 7 e ( a + 傩) + b 7 r ，b + k dr ：傩k o ) + 工7 0 一f 净7 r 。8 x ( t f ) + 工7 ( f 碡7 p r ；1 e e x ( t ) + ，o h ) k 7 d 7 r ：d 觳( f 一 ) + 工7 0 远7 咫；1 p e x ( f ) 一x t ( f f ) b 7 s , b x ( t f ) 一工7 t h ) k 7 d 7 r 2 d k x ( t h ) = 一x 7 ( f 一b 7 r 1 b k 7 d 7 r 2 d k e 7 p r ；1 p e e r p r j l 咫执) 由引理2 2 1 ，若矩阵q - b 7 月1 b k 7 d 7 r 2 d k e 7 p 矸1 咫一e 7 期；1 船正 定，那么广义系统( 4 2 7 ) 是时滞无关镇定的即可以选择反馈控制律m o ) = 救0 ) ， 使得闭环系统( 4 2 8 ) 实现稳定，矩阵k 的选择依赖( 4 2 9 ) 4 3 离散时间线性时滞系统的镇定 考虑广义离散时间线性时滞系统 e x ( k + 1 ) = 4 x 忙) + 丑x 妊一 ) + c h ( 七) 这里，x 忙) 尺8 是状态；“( t ) 是控制输入；e ，a ，b r 都是常数矩阵； 矩阵且r a n k e = rcn ；c 为适当维数的常数矩阵；整数hz0 表示滞后量 对系统( 4 3 1 ) ，取状态反馈律“( t ) = 晟( 七) ，得到闭环系统为 e r 七+ 1 ) = ( 4 + c f ) 4 k ) + 丑z ( 女一h ) ( 4 3 1 ) e 是奇异 ( 4 3 2 ) 定义4 3 1广义离散时滞系统( 4 3 1 ) 被称为镇定的，如果存在一个线性 状态反馈控制律h 仅) ；r 伍) ，f e r ，使得闭环系统( 4 3 2 ) 满足定义3 2 1 意义下的稳定 定理4 3 1 若存在正定对称矩阵p 、q ，以及矩阵f ，使得矩阵 f e 7 p e q 一0 + c f y e ( a + c f ) 一乜+ c f ) r p b l l b 7 p 0 + c f ) a b 7 p b i 是正定的，则系统( 4 3 1 ) 是司镇定的 证明取l y a p u n o v 泛函为 y g 忙) ) = x 7 忙) e 7 p e + z 7 任一j k 陆忙一j ) a y g 妊 = y g 晦+ 1 ) ) 一y g 任) ) = 工7 任+ 1 皿7 p 忙+ 1 ) + x t 忙+ 1 一，) 任+ 1 一，) 耳 一，伙皿7 胁一工7 任+ 1 - ，协 + l _ j ) = ，证粑+ c f ) 7 p 0 + c f ) 一e 7 p e + q 掩) + 工7 取m + c f ) 7 p b x ( k 一 ) + 工7 伍一h ) 8 7 p ( a + c f ) x ( k ) + z 7 如一 扣7 p b q i 婢一h ) 一z 忙) r e r p e q 一0 + c f ) r p ( a + 口) + c ，) 7 p b x 忙) 1 一l z 忙一 ) jl b 7 e ( a + c f )q b 7 p bj 卜忙一_ j 1 ) j 由定理3 2 2 知，若矩阵 e 7 p e q 一0 + c f y p ( a + c f ) 一+ c f f p b l lb 7 p + c f )q b 7 p bl 是正定的，那么闭环系统( 4 3 2 ) 是稳定的即，系统( 4 3 1 ) 是可镇定的 推论4 3 1若存在正定对称矩阵p 、q ，以及矩阵f ，满足下面的矩阵不等 式组 q b 7 p b 0 e t p e q 一+ c f ) 7 j p + c v ) 一乜+ c f ) 7 e b ( o 一b 7 船) 。b 7 e ( a + c f ) ，0 则系统( 4 3 1 ) 是可镇定的 2 4 推论4 3 2 若存在正定对称矩阵p 、q ，以及矩阵f ，满足 0 + c f y p ( a + c f ) 一e 7 p e = 一q b p 己+ c f ) 一( a 叫+ c f ，肋) r p b | 。 则系统( 4 3 1 ) 是可镇定的 下面，考虑同时具有状态滞后和控制滞后的广义离散系统的镇定问题 z x ( k + 1 ) = 4 x 妊) + 丑r 忙一h ) + c u ( k ) + d u ( k h ) 引入状态反馈“任) = 凡忙) ，得到闭环系统 最( 七+ 1 ) ；+ c f k ( 七) + c 日+ d f k 扯一h ) 定理4 3 2 若存在正定对称矩阵p 、q ，以及矩阵f ，使得矩阵 是正定的， 证明 其中 p 7 p e q 一+ c f ) r p ( a + c f ) 一0 + c f y p ( b + d f ) 1 i一协+ v r y l ( a + c f )q 一陋+ d f ) r p 陋+ d f ) l 则系统( 4 3 3 ) 是可镇定的 取l y a p u n o v 泛函为 ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) y 0 扯) ) = z 7 忙皿7 e x 忙) + 罗石7 妊一，k 陆瞳一，) a v ( x ( k ) ) ；v ( x ( k + 1 ) ) 一y g 忙) ) = 并7 ( 七+ 1 皿7 e e x ( k + 1 ) + 石7 任+ 1 一，) 甄忙+ 1 一，) 一x i ( 七碡7 p e x ( 七) z 7 取一，跏仁一j ) = 工7 ( 七) 0 + c f ) r p ( a + c f h 忙) + 石7 忙) 0 + c v y p ( n + d f ) x ( k h ) + 工7 忙一i l x b + d f y p ( a + c f b ( 七) 一x t 忙碡7 尸忙) + 互7 伍一 x b + d k ) 尸但+ d k k 伍一 ) + 工7 忙胁扯) 一卫7 忙一h ) q x ( k h ) 一龇h ) j 瞄； l 黝 m z e 7 p e q 一+ c f ) r p ( a + c f ) ；一+ c f y e ( , + d f ) r 囟+ d f ) 7 p ( a + c f ) r q 一佃+ d f r p ( 丑+ d ，) 若矩阵篙；1 是正定的，则闭环系统( 4 3 4 ) 稳定即，系统( 4 3 3 ) 是 可镇定的 闭环系统( 4 3 4 ) 的广义l y a p u n o v 方程为 + c f ) r p + c f ) 一e 7 p em a 推论4 3 3 对于系统( 4 3 3 ) ，若存在正定对称矩阵p 、a ，以及矩阵f ， 满足下面的矩阵不等式组 q 一+ 胛r p 佃+ d f ) 0 m n t r 0 其中 m = e 7 p e q 一0 + c f r p 0 + c f ) n = 一+ c t f ) r p c 8 + 胛) r 一一协+ d f ) t p ( a + c f ) 丁；q 一曲+ o f y p ( b + d f ) 则系统( 4 3 3 ) 是可镇定的 推论4 3 4 对于系统( 4 3 3 ) ，若存在正定对称矩阵p 、q ，以及矩阵f ， 满足 + c f ) 7 p 0 + c f ) 一e 7 p e q k 埘0 p 乜+ c f ) q 糯怒) 0i 一陋+ d f r p 乜) 一扭+ d f r p 陋+ d f ) l 多” 则系统( 4 3 3 ) 是可镇定的 当系统的状态滞后量和控制滞后量不相等，即滞后系统为 出忙+ 1 ) = a x ( k ) + b x ( k 一 ) + c “忙) + d “征一g ) ( 4 3 5 其中，h 0 是状态滞后量，g 皂0 是控制滞后量 引入状态反馈”忙) ；r ( 七) ，得到闭环系统为 e x 取+ 1 ) ；0 + c f k ( 七) + b x ( k 一 ) + d f x ( k g ) ( 4 3 6 定理4 ，3 3 若存在正定对称矩阵p 、a ，以及矩阵f ，使得矩阵 m 1 1m 】2m 1 3 1 l m 2 1m 2 2m 2 3 | 0 1 m 3 1m 3 2 m 3 3 l 其中 m i l 一0 + c f r 尸0 + c f ) + q + s ；m 1 2 = 0 + c f ) r p b m 1 3 = + c f f p d f ；m 2 1 = b r p ( a + c f ) ；m 2 2 = b 7 p b q ： m 2 3 = b 7 p d f ；m 3 1 _ f 7 d 7 p 0 + c f ) ；m 3 2 = f 7 d p b