（应用数学专业论文）矩阵中极小极大问题的研究与应用.pdf

摘要 本文重点考察了矩阵中的极小极大理论及其应用本文在c o u r a n t - f i s h e r 定 理的基础上，讨论了奇异值以及几类矩阵中的极小极大定理，并且给出了极小 极大定理在矩阵中的几个应用实例详细内容如下： 文章首先介绍了h e r m i t e 矩阵中经典的c o u r a n t - f i s h e r 定理，奇异值的极小 极大定理和实对称矩阵中广义特征值的极小极大定理，并且给出了一个有关 h e r m i t e 矩阵的结论，其次推广了c o u r a n t - f i s h e r 定理，即证明了复正规矩阵中 的极小极大定理，接着介绍了一般复对称矩阵中的极小极大定理，再次给出了 极小极大定理在矩阵中的几个应用实例，最后本文提出了进一步研究的思路和 方向 关键词：极小极大定理：c o u r a n t - f i s h e r 定理；奇异值；余维；t a k a g f 分解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s s e dt h em i n i m a xt h e o r yf o rm a t r i c e sa n di t s a p p l i c a t i o n s o nt h eb a s i so fc o u r a n t - f i s h e rt h e o r e m , t h i sp a p e rd i s c u s s e dt h e i n i m m a xt h e o r e m sf o rs i n g u l a rv a l u e sa n ds e v e r a lk i n d so fm a t r i c e s , a n dg a v es o m e a p p l i e de x a m p l e so f m i n i m a xt h e o r e m sf o rm a t r i c e s d e t a i l sw e r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , w ei n t a o d u c c dc l a s s i c a lc o u r a n t - f i s h e rt h e o r e mf o rh e r m i t em a t r i c e s ，a m i n i m a xt h e o r e mf o rs i n g u l a rv a l u e sa n dam i n i m a xt h e o r e mo fg e n e r a l i z e d e i g e n v a l u ef o rr e a ls y m m e t r i cm a t r i c e s , a n dg a v ean & , o vc o n c l u s i o nf o rh e r m i t e m a t r i c e s s e c o n d l y , w ee x t e n d e dc o u r a n t - f i s h e rt h e o r e m ，i tm e a n e dt h a tw ep r o v e da m i n i m a xt h e o r e mf o rc o m p l e xn o r m a lm a 砸c e s t h i r d l y , w ei n t r o d u c e dam i n i m a x t h e o r e mf o rc o m p l e xs y m m e 砸cm a t r i c e s f o u r t h l y , w eg a v es o m ea p p l i e de x a m p l e s o fm i n i m a xt h e o r e m sf o rm a m c e s f i n a l l y , w ep u tf o r w a r ds o m em e t h o d sa n d d i r e c t i o n sf o rf u r t h e l l e s e a r e hm e t h o d s k e y w o r d s ：m i n i m a xt h e o r e m ；c o u r a n t - f i s h e rt h e o r e m ；s i n g u l a rv a l u e ； c o - d i m e n s i o n ；而缸d e c o m p o s i t i o n 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 主璺羝 垆p 年月l ，f 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 论文作者( 签名) ： 量亟：p 6 年3月叫目 第一章绪论 第一章绪论 1 1 背景及研究现状 自从v o n n e u m a n n 于1 9 2 8 年证明了第一个极小极大定理以来，关于极小极 大理论的研究已取得了丰硕的成果近年来，极小极大理论发展迅速，它已广泛 应用于博弈论，矩阵论，数量经济学，最优化理论，变分不等式，不动点理论， 位势论和截面问题等诸多领域 本文着重介绍和研究了矩阵中的极小极大理论及其应用在矩阵中最经典 的极小极大定理莫过于c o u r a n t - f i s h e r 定理，其基本内容可参见文献 【l 】r 砂t e i g h - m e 定理讨论了k = l 时h e r m i t e 矩阵中的极小极大问题， c o u r a n t - f i s h e r 定理在r a y l e i g h - r i t z 定理的基础上讨论了1 l s 月时l t e r m i t e 矩 阵中的极小极大问题 随后，更多的学者和专家致力于矩阵中的极小极大问题的研究文献1 ，2 6 中研究了类似于c o u r a n t - f i s h e r 定理的有关奇异值的极小极大定理，并给出了 各自的证明方法值得一提的是文献【1 】的证明方法，由一是a n a 的特征值，文 献【l l 巧妙地利用了“) = 而。“4 ) 等式以及c o u r a n t - f i s h e r 定理的结论，立 即得到了相关结论 近几年来，有人对实对称矩阵中的广义特征值进行了研究本文的其他章节 只考虑了血= 缸( a 泛指) 的情况，即五是的特征值，而这里研究的是 a x = a b x ( a ，b 均为实矩阵) 等式，即丑是一相对于b 的广义特征值，故研究实对 称矩阵中的广义特征值的极小极大问题是有意义的，文献【6 给出了有关广义特 征值的极小极大定理及其详细的证明 c o u r a n t - f i s h e r 定理主要讨论了实数域中的极小极大问题j e f f e r y d a n c i g e r 对一般复对称矩阵r 中的极小极大理论进行了研究，他证明了，在满 足o i c 昙或0 i c 一条件下的极小极大定理及其推论，从而将矩阵中的极小极 z 大理论由实数域推广到了复数域上，具体的研究可参见文献【2 0 】 文献1 ，2 6 研究了极小极大理论在矩阵中的应用 河海丈学碗士学位论文 1 2 研究内容及意义 作者重点研究了复数域上矩阵的极小极大理论 在第二章中作者在c o u r a n t - f i s h e r 定理的基础上，对h e r 盟i t e 矩阵做了进 一步的研究，得出了一个新的结论 在第三章中作者研究了复正规矩阵4 中的极小极大理论在了解了复正规 矩阵的有关性质后，通过推导和证明可将a 表示成= 焉+ 嘎0 ) ( 其中 足0 l 是均为h e r m i t e 矩阵) ，故可以将c o u r a n t - f i s h e r 定理推广到复正规矩 阵上，得到了复正规矩阵上的极小极大定理及其推论 研究是为了更好地应用本文研究了极小极大定理在矩阵理论中的应用价 值，介绍并推导了几个应用实例 ， 1 3 本文的内容安排 本文的具体内容安排如下： 第一章绪论部分介绍了矩阵中的极小极大理论的研究背景及研究现状，简单介 绍了借鉴的文献，扼要地介绍了作者研究的问题与结果，用以表明作者研究的 问题既有理论意义，也具有实用价值 第二章介绍了矩阵中经典的c o u r a n t - f i s h e r 定理，c o u r a n t - f i s h e r 定理主要 解决了i i e r 翟i t e 矩阵中的极小极大闷题，介绍了奇异值的极小极大定理以及实 对称矩阵中广义特征值的极小极大定理，并且给出了一个新的结论 第三章作者给出了关于复正规矩阵的极小极大定理及其证明过程，使得矩阵中 的极小极大理论得到了进一步的推广， 第四章介绍了一般复对称矩阵中的极小极大定理 第五章在研究理论的同时，作者考察了极小极大定理在矩阵中的应用情况，介 绍并推导出了几个实例。 第六章对本文做了总结并提出了进一步研究的思路和方向 1 4 文献综述 借助期刊检索，光盘检索及网络数据库检索，作者搜集了大量与本课题相 第章绪论 关的文献，下面对这些文献作出如下的综述： 1 文献【l ，3 ，4 ，5 】系统地介绍了矩阵中极小极大理论的历史发展，研究 背景和发展现状，为进一步研究指明了方向 2 文献1 ，8 ，9 ，1 1 介绍了h e r m i t e 矩阵中的极小极大定理，作者列出了 具体证明过程文献【l ，2 6 ，2 8 给出了奇异值的极小极大定理及其证明文献【2 ， 6 ，2 1 。2 5 ，2 9 ，3 0 详细介绍了实对称矩阵中广义特征值的极小极大定理，并 且给出了其详细的证明过程，参照文献 2 4 】，作者得出了一个关于h e r m i t e 矩阵 的新结论 3 文献 1 2 - 1 8 ，3 t 讨论了复正规矩阵的一些特性。研究了复正规矩阵上的 极小极大问题，给出了一些新的结论 4 文献【1 ，8 ，2 0 ，2 2 ，2 7 对复对称矩阵做了研究，其中文献【2 0 】给出了一 般复对称矩阵上的极小极大定理及其推论。主要讨论了定理满足o k c 罢或 z 0 s k i 下的两种情况，并且给出了它们的详细证明过程 5 文献【l ，t 7 ，2 6 ，2 9 研究了极小极大定理在矩阵中的应用并给出了几个 实例，作者讨论了文献【l 】给出的关于极小极大定理在矩阵中的两个应用问题 河海大学硕士学位论文 第二章h e r m i t e 矩阵中极小极大定理及证明方法 2 1 预备知识 h e r m i t e 矩阵在矩阵理论中处于重要的地位，一方面它是实对称矩阵的自 然推广，另一方面它在复矩阵以( c ) 中的地位相当于实数在复数c 中的地位 在介绍定理之前，我们首先要对h e r m i t e 矩阵的定义及其性质作一定的了 解本节就给出了h e r m i t e 矩阵的定义和若干性质。 定义2 1 川矩阵- = k j e 以称为胁f 把矩阵，是指= a h , 其中a ”= i 矽 下面给出h e r m i t e 矩阵的一些性质： ( a ) 对所有j c 。，j 8 出是实数； ( b ) _ 的所有特征值都是实数 显然，我们可以得到网= g ”血广= z a = ，a x ，则z ”血等于它的复 共轭，那么它是实数若血= 缸，且j k = 1 ，那么五= 缸= ，缸= x i i 血是实 数 定义2 2 1 6 1 设a , b e m , ，广义特征值闯题就是求解2 使得出= 越r 有非零 解z ，这样的丑称为a 的相对于b 的广义特征值，称为属于 的特征向量 定义2 3 1 1 2 1 设a , b 为n 阶h e r m i t e 矩阵，且b 正定，x r 一，称 月g ) = ；妻g 。) 为矩阵a 的广义肋如动商 定理2 1 1 1 ( 月j 册妇矩阵的谱定理) 设a 肘是给定的，那么a h e r m i t e 矩阵，当且仅当存在一个酉矩阵u e m 和一个实对角矩阵a 肘，使得 a = u a u “此外，a 是实h e r m i t e 矩阵( 即实对称的) ，当且仅当存在一个实 正交矩阵p e m , 和一个实对角矩阵a e m 。，使得a = p a p 7 。 在介绍c o u r a n t - f i s h e r 定理之前，我们必须先介绍下r a y l e i g h 。r i t z 定理 因为h e r m i t e 矩阵a m 的特征值都是实数，我们约定它们按照大小递 增( 不减) 顺序排列： a = s 丑s 一s 五。= 丑。( 2 1 1 ) 4 第二章h e r m i t e 矩阵中的极小极大定理发其证明方法 定理2 2 ( 1 陆y l e i g h g i t z ) ：i 爱a e m 是h e r m i t e 矩阵，且设的诸特征值 取( 2 1 1 ) 中的顺序，那么 ，j 蔓，出5 l 对所有x e c 。成立； k = = 訾警= 赠z ”出， 。= = 曾百x a x = 赠z “出 证明：若_ 是h e r m i t e 矩阵，则存在酉矩阵，e m ，使得a = u a u 8 ， 其中a = d i a g ( ，如，以) v x e c 。，有 x a x = x u a u = 移”矿a 移”0 由于每项阿”4j 2 是非负的，于是有 又是酉矩阵， 则 至此我们已证明 = 窆五p 一屯j 2 k 窆陋一，1 1 2s ，血：主五p 一，1 1 2sk 窆p 一，1 1 2 窆陋w 以i = 窆k l = z k ， x ”工= 五曲x x - x 甘彳x s _ h ，x = 五工8 x( 2 1 2 ) 又因为。如果，是的楣应于特征值丑的特征向量，那么 ，a x = ，小= z ，且对于t 也有类似的结果，因此，这些不等式可取等式 其余的论断容易从( 2 1 2 ) 推出若x = o ，则有 譬五 当，是一的相应于的特征向量时，等式成立， 因而 河海大学碗士学位论文 学警= 五 ( 2 1 3 ) i 柚1 x 。 最后，若x o ，则有 警= 陆厂倒和( 剖”( 赤 = l ， 则，条件( 2 1 3 ) 等价于条件 m 舳a x x 血；五 ( 2 1 4 ) 关于 的论证是类似的 介绍完了h e r m i t e 矩阵的定义及性质，下面介绍奇异值的概念 定义2 4 1 驯设r c “，半正定矩阵p t 的n 个特征值 2 五 o ，记 q = 沁= 1 , 2 ，n ) ，称q ，吒，吒为r 的奇异值 2 2c o u r a n t - f i s h e r 定理及其证明 定理2 3 “i ( c o u r a n t _ f i s h e r 定理) ：设a e m 是具有特征值h 王九2 s x 的 h e r m i t e 矩阵，k 是给定的整数，1 s k s ，那么 m a x 。m 。i n ! x h 尘x = 五 ( 2 钏 。哩，一m a x ，警= 五 ( 2 2 2 ) h 吨冉0 妊c _z “z 证明：在参考文献 1 】中给出t ( 2 2 2 ) | 的详细证明，以下仅类似地给出( 2 2 1 ) 证明把a 写成= u a u “，其中u 是酉矩阵，而a = 缸g ( ，如，以) ，且设 1 i s ”( i = 1 时是显然的，此即r a y l e i g h - r i t z 定理中的第二个等式) 如果z o ， 则 坐(uux)na ( u u x ) 坐：生：垒垡：生 工“工 工”z ( 【，“，) “( u “对 且 u ”j ：x e c 。且j o ) = y e c “：y o 因此，如果给定w l ，w 2 ，帷，e c 。，便 有 6 第二章h n 沁矩阵中的极小极大定理及其证明方法 。，誊、。警= , r m 。l 嚣。害 嘴万2 。，器。，7 亨 n 坤h5 尸t i 矿呐。 这说明，对任意k 一1 个向量h ，w 2 ，w k - i ， 。s u 。pf i 。n f 万x ”, 4 x 五 q 吨， 一l j _ 置! 呐工j 注意到当取1 = ，m = u 2 ，m 一。= l h ，其中u = 0 。，“：，) ， 而x = ( 此时j 上_ 1 ，坼) 时 因此， 警= 五 。s a 。p 襻m f 。警2 五 义洲为极值是可以达到的，故可以用“m a x ”和 r a i n 代替“s u p ”和“i n f 2 3 有关h e r m i t e 矩阵的一个定理 若矩阵彳= k 。j e m 。且满足彳= ，则称爿为h e r m i t e 矩阵现在假设4 肘， 若矩阵彳满足朋”= 一2 ，则会有什么样的结论呢? 引理2 1 i 若4 m 。满足鲥“= a 2 ，则4 = 证明：设一e m ，满足朋8 = 一2 ，因”尸= 州一，则可以知道朋一为h e r m i t e 矩阵由对角化定理知，存在复数域上酉矩阵u ，满足u 一= 扩= u ”，使得 7 h 。 噜 d 咋 争 搬燕孵庇砒剡囊孵 | 醯 河海大学硕士学位论文 【，4 a a n u = u 。a 2 u = 其中，l ， ，- 为a a ”的特征值( 皆为实数) 又 且 【，一州”u = 移。一c ，l ，。u 尸 u 一1 u = u 一1 a u u 一1 a v = ( v 一1 一【，r 由( 2 3 1 ) 式，不妨令c ，4 a u = u ”a u = b ，即得 肋”= b 2 = 先证b 一= b 下面分两种情况： ( i ) 若i 叫o ，则占可逆在肋8 = 口2 两边同乘以曰，得口”= 口 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( i i ) 若l 纠= o ，l j j t , r ：以= l b 2 l - l 叫2 = o 。为了方便，我们不妨假设五尼扎o ， y t i 一 = 0 ，k n 现设丑= b l 。，则可由( 2 3 2 ) 式得 从而有 故 k = k 石+ k ：瓦+ + k 石 m = 1 , 2 ，h 凡：石+ k ：不+ + k 瓦= o ，r a = k + l ，k + ，月 = 0 ，= 1 , 2 ，n ；m = k + l ，” 因此b 有如下分块矩阵形式： 8 吖i l 一 九 o 叫l i 刊 如 o 2 k 月 = 第二章h e r m i t e 矩阵中的极小极大定理及其证明方法 口= 一 其中旦为i 阶方阵，岛为t b i ) 阵 则 肋“= ( a 吖o j , 钟b 7 匀= p 卵：最夥习， = 言垦0 3 丫, 马0 台 = ( ：马0 岛) 则由( 2 3 2 ) 得 朴毋非卜 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 由( 2 3 3 ) 式可得 旧1 2 = b 2 f = r 。以i = 一以；。 故最可逆。 再南( 2 3 4 ) 式可以知道毋= o ，代入( 2 3 3 ) 式， 则 b 。钟= b j l ， 两边同乘以且一，则我们可以得到卵= 蜀， 丑8 = ( 卵0 。0 = ( 旦0 。0 = 口 ijl 综合( i ) ，( i i ) o - j 得b 8 = 口 a = u b u “，且u 是酉阵，立得= 注：由a 8 = a ，显然可以得到州”= a 2 ，故舢”= 一z 与a h ：一互为充分必要 条件 9 一塑塑查兰堡主兰竺丝苎 有了上面的准备工作，我们可以推导出下面的结论； 定理2 a 设彳e 以，令彳的特征值为乃u = l ，2 ，一) ，且有五s 五s 9 4 ， 若a 满足朋8 = a 2 ，七是给定的整数，i s k ! ；月，那么 i ) 1 黑，骢凳= 4 ( 2 柚 砷h 嵋_ f删脚 ，j 。 、州 。r a 。i n ，。m a 。x ， 宰；五 ( 2 3 6 ) h h f w ，x 、7 由引理2 1 可以知道此时- 为烛聊妇矩阵，可参照凸材 册扣瓦， 盯定理证 得结论 2 4 奇异值的极小极大定理及其证明 作为胁瑚妇矩阵的特征值与一般矩阵的奇异值问的一个类似，成立着与 c o u r a n t - f i s h e r 定理类似的下述定理 定理2 s 设a e m ，m h ，设q2 吒2 吒o 是爿的有序奇异值，又 设七是适合i s i s ”的某个整数，则 。m i 。n 。器：。臀= 吼 ) ，黑，。黥静= 吒 ) 证明。矧：先证( 2 4 2 ) 由奇异值分解理论可知，存在酉矩阵矿，使得 矿8 8 一r = q 2 吒： ，q 。 设y = 化，屹) ，若记日= 妒m 以，巧) ，则雕。= e 阳把，k ) 与任意一个 f 维子空闯韩必有一个非零公共元z ，即z e 群，从而。可以表示为 z = 粥， i o 第二章h e n u i t e 矩阵中的极小极大定理及其证明方法 镨= 警s 砰 州 宇蚶 学错s q 峄磐瞥娜 若取仍= 羁， 则对任意，e 仍，j 可表示为 一= 旬巧， 磐惜：粤磐z 砰 霉镨z 砰 警尝铬磐镣z q 2 5 实对称矩阵的广义特征值的极小极大定理及其证明 定理2 6 m 设爿，b 为实对称矩阵且口正定，将一相对于b 的广义特征值( 都是 实数) 按大小顺序排列为五五 ，k 是b 的任意k 维子空间，( 1 t 一) ， 河海大学硕士学位论文 则 五= 叩踺删 h - = 警观r 证明：a 相对于b 的广义特征值( 都是实数) 按大小顺序捧列为 五s ，与之对应的口的标准广义正交特征向量系( 完全特征向量系) ，设 为丑，罡，只1 1 2 l 构造r 的子空间 呒= 删一( p i ，只) 则 d 缸= 一t + 1 又 吒+ 吸r 故 d i m ( v k + w h ) = d i m v k + d i m 一d s m ( v n 呒) s n 即 n + l d i m 以n 暇) 月 因此 d i m 以n 取) l 存在而吒n 睨，x o o ，使得 而= c 。最+ + 仁+ + o ) 于是可得 a x q = c i 九i b r + + c 。九。b p _ 如= 蠢五+ + e 磊b x q = c 2 t + ”+ c ： 删= 篡= 糟 第二章h e r m i 佗矩阵中的极小擞大定理及其证明方_ 去 即 蹬r r k ) 五 则 l a i n 躐只g ) 五 又令曙= s t , a n ( p ，只) ，任取o ，曙， 则 x = 日+ + ，1 只l 审+ + 譬0 ) 删= 箍= 觜五 故 跚置g ) 五 则 m m 。m 。a x 。r ( x ) ( 2 5 1 ) ( 2 。5 2 ) 结合( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 口j 得 r a i n 鼢r 2 五 再考虑一出= 旭x ，将一a 的广义特征值( 都是实数) 按大小顺序排列 一 一o 。s 一 ，从左数第t 个值为一砧。，由上个结论可得 一k = 唧鼢警 = 哮( 一蹴r g ) ) = 一m 。a x ( 。r a 。i n 。r g ) ) 则 砧“= n 缸艘 故两结论得证 河海大学硕士学位论文 第三章复正规矩阵中的极小极大定理及其证明 3 1 预备知识 定义3 1 ”一e 虬，如果州”= a x a ，就称一为正规矩阵 定理3 1 1 1 i x 一矩阵一是复正规矩阵当且仅当存在酉矩阵阢使得 u ”【，= a = 出g i ，九：，k ) 其中 是4 的特征值 引理3 1 删_ 机( c ) 是正规矩阵营= 。片+ 九：昱+ + x 只，九c 为a 的 个特征值，只e c m ，且 1 ) 弓是h e r m i t e 矩阵，弓“= 弓，= l ，2 ，嵋 2 ) 弓是幂等阵，弓2 = 弓； 3 ) 日只= o ，f 只 4 ) 日+ 昱+ + = e 证明：b ) a 是正规阵，由定理3 1 知，存在阢使 即 令u = “，“：，) ， 其中蜥e c “u = l ，2 ，月) ， 则 【，”爿u = 肚卜 a = x i “i “i ”+ 丸2 ”2 “2 8 + + 九月_ h _ “ 1 4 第三章复正规矩阵中极小极大定理及其证明 令弓= “，。j “u = 1 2 ，一) ，则容易验证弓满足1 ) 一4 ) 则 ( 乍) 若_ = 曰+ 丸：昱+ + c ，其中弓满足条件1 ) 一4 ) ， a x a = “毋十丸：b4 - - + 九只广伉。丑+ 九：最+ + k 只) = k 1 2 丑+ k 1 2 最+ + k 1 2 只， 。“8 = 伉最+ ：昱+ + k 0 融，异十 z + + k 只尸 = k f 只+ k 1 2 j c ：4 - , - + k 1 2 j 巴， 所以彳为正规矩阵，证毕 据引理3 1 复正规矩阵a = x 曰+ ：昱+ + 丸只， 令 丸，= 吩+ 岛= r 如，+ i h n 协a 则 z = a ，弓+ l 岛弓， = 1j ；i e ：杰n ，弓：r e g ，b ， 也o ) ：杰。弓：窆h g ，b ， 户j= i a = 墨( 4 ) + 吗( 一) ，= l ，2 ， - - , j 1 显然这是复正规矩阵的一个分解我们可推导出如下结论： 定理3 2 设_ 是复正规矩阵，a 的特征值x = 吁+ 哆u = 1 ，2 ，一) ， 墨0 ) = a ，弓，r ：0 ) = t 弓，则_ r 1 0 ) ，只：0 ) 为h e r r a i t e 矩阵，且其n 个特征值 分别为q ，a 2 ，n 。与岛，刍2 ，鼠 证明：由引理3 1 的1 ) 知e 是h e r m i t e 矩阵，又q ，i 为实数，所以 河海大学硕士学位论文 置0 ) = a ，如0 ) = q 弓为h e r m i t e 矩阵，又记 丑= i o 。 。 0 【。e = 1 o j o 0 则由引理3 1 的证明过程知弓= j ”= 册少“o = l 2 ， ) ，所以 厂、 墨2 1 善q 日尸”， 4 bj = 同 e b 禹= j = l 厂-、 是即卜1 善屯蜀尸”， 故弓0 ) 的特征值为q ，a 2 ，q ，跫的特征值为盎，如，丸， 即 注：由定理3 2 可知若复正规矩阵_ 进行如下分解： 一= q 弓+ f l 弓= 置0 ) + 幔0 ) ， j = l户i 其中墨0 ) 的特征值记为n ，是0 ) 的特征值为屯，j = l ，2 ，一， 且 a j = r c 丑0 ) ， 以= h 乃，j = l ，2 ，口t 故q ，_ 均为实数 据定理3 1 ，存在酉矩阵u ，使得 u ”a u = a = d i a g ( a ，九2 ，丸) 。 1 6 o i i 以 、，0，j o 第三章复正规矩阵中搬小极大定理及其证明 其中 于是 其中 则 则 即 - - - - a j + 曲，= l ，2 ， ， y = ( ，8 j ， x n 出= y ”移8 _ 谚= y 8 a y = y ”d a g ( 口, ，吒，q b + 驴“d z 唱他，岛，6 - b ， 同理可得 ，= 4 ，+ 呜，= l ，2 ，一， ， k 一血= ) ，”d i a g ( a 。，一h = 窆a ，p 斤 j = l i m x “a x = ) ，“d i a g ( b ，如，屯b = 窆q p ，f ，y = “，乃，一) r ， 月 v a ，i n l l e x 0 l y ”y = 叩4 ，_ ) ，”y r e x ”血 r e ，血5 呼。，y 8 y 2 呼耻 ，0 ) y ”y m 蛐r e x 0 矿y o ， y j r d v a2 0 ， 一d v j = = o ； ，d v j = 口2 ，o 2 一l 一盯2 卜i 口2 ，= 0 所以对任意的z v ，注意到z 可以表示为v l , v 2 ，v ，的线性组合，因此有 x d x = 0 4 2 定理及其证明 有了上面的预备知识，我们来看下面的定理4 1 定理4 1 设r 是一x n 复对称矩阵，r 的奇异值按递减顺序排列为 吼 o - 2 q2 0 ，若数t 满足o s d i m c = 2 n 因此空间v n _ ，的实维数至少为1 ，所以 存在单位向量y e v ，使得) ，= _ ) ，。岛+ y 2 # ：+ + y 2 | + t # t ，其中y ，最，因此可 得 y t d y = y l z 盯l + + ，玉“盯扯h o 2 k + l ( 4 2 3 ) 因此成立( 注意关于y 的任意性，y 的存在性) 。r a 自i n ；。吧勋，毋吒+ 1 巾1 从而 0 2 譬。r c 一及 ( 4 2 4 ) h “ 下面我们将构造一个c “上的子空间v ，使得等式学r c 一历= 口u “成立令 i 中1 v = e 妒一“，- d 9 v k ，e 2 。，巳) 张成的子空间( 其中v 的定义与引理4 2 中的一样， 即若口：，) o ，令v ，= 扣：圳+ f z j ：，；若吒，= o ，令o = e ：，j = l ，2 ，女) 它 的维数为一一t ，且v i ，咋，乞“”，是两两正交的向量组 对任意的x e ，均可表示为 z = 口i q + 一+ 口t 唯+ 厉i 州e “+ i + + 成 由引理4 2 已知，对任意的x 删一“，屹，咋 ，都有 j d x = 0 因此对任意的单位向量z ev ，有 r c d x - x t d 一 = 恢+ 0 2 。+ + 群吒i 臃+ i 。”+ 瞬k 盯扯+ l 河毒大学硕士学位论文 故 ! 垮r e d x 吒 w 咐 所以 墨警r c ，如n “ h “ 结合( 4 2 4 ) 可得 。罂豫。璎笋鼬一缸可n “ i 十l 故( 4 2 1 ) 得证 再证( 4 2 2 ) 由引理4 2 立即可以得出以下结论： 盅坦哩笋k 一矗s o ( 4 2 5 ) i 中 由t , , k a e i 分解可知，存在酉矩阵u ，使得 其中 则 f q1 u 彤= = i i ， 【j 啡”一川m 材 叫护一弛， = 罄引 = 卜吒 ， a ：t a i = 吼2 0 a t j t a j = 嘶j ) ， 设v 是任一t 维子空间，设v = s p a n k ，气j ， 第四章复对称矩阵中的极小极大定理及其证明 则 h e b x = 气+ 七+ + 0 ，其中，i 全为实数， ，强= 瓴气+ 毛+ + 气y 吨气+ 毛+ + 气气) = 譬啦觋o 户j 因此 自r a i 日nm 。a xr e x t t x 20 ( 4 2 6 ) 附 结合( 4 2 5 ) 可得 - r a i m nm a ，xr e x t x = 0 p h 故( 4 2 2 ) 得证 定理4 2 设f 是”n 复对称矩阵，z 的奇异值按递减顺序捧列为 口i 口2 o m o ，若数女满足o 女 月，那么 m i l l 。m a x r e x t x = o i + l ( 4 2 7 ) “”“岸1 一 。m i n m a x r e x t x o r k + 1 ( 4 2 8 ) 虬“甬 ” 证明：先证( 4 2 7 ) 令o s t i x 。o ，若数t 满足o i 昙，那么 0 紧。卿r e x t x 2 w z t 一 ( 4 3 1 ) 2 琶睁r e x t x = 0 ( 4 3 2 ) 炉 其具体证明过程类似于定理4 1 ，故不再证明 推论4 2 设r 是n 一复对称矩阵，r 的奇异值按递减顺序排列为 口2 口。o ，若数k 满足o k n ，那么 巴“。m i nr e x t x = 一d 。+ j 。衄“译。 一 。氅+ ，卿r e a 2 吒“ 卜扣 其具体证明过程类似于定理4 2 河海大学硬士学位论文 第五章极小极大定理的一些应用 极小极大定理在矩阵的应用中，最简单的应用是关于a + b 的诸特征值与 的特征值的比较问题在这里用五“) 表示矩阵_ 的诸特征值接下来介绍几个结 论 定理5 1 ( 玎叻1 设4 b 帆是h e r m i 抛矩阵，又设诸特征值丑，丑以 及 0 + 功均按递增顺序捧列，则对每个k = l , 2 ，一，有 五+ 五铆s 五0 + 功s 五+ 五国 ( 5 。1 。1 ) 证明：对于任意非零j ec i ，由p , a y l e i g h - r i t z 定理成立不等式 丑陋) s 鲁s 五 因而对任意k = 1 ，2 ，”，由c o u r a n t - f i s h e r 定理知 五o + 口) _ 。也，学氆竽 j 1 叶、o “ 2 。观一1 学1 7 + 了b x1 i 一止， x j w l m - u l - i z 。墨。降仲) = + 国) 又 批班。，嚣。降+ 鲁 。翼b 。嚣。匿仲) = 五+ 矗铆 故结论得证 推论5 1 i i j 设，口帆是h e r m i t e 矩阵，假定b 是半正定矩阵，且和a + b 的诸特征值 0 ) 和 0 + b ) 均按递增顺序排列，则对所有k = l 2 ，一， 第五章极小极大定理的一些应用 五0 ) 五0 + 功 自【：明：利用( 5 i 1 ) 的下界和 o 的事实 定理5 2 1 1 设_ m 是给定的胁珊妇矩阵，z 是给定的向量如果彳和 彳士z 的诸特征值均按递增顺序排列，则有 ( a ) 五0 z ) s k ( 句 。0 土z ) ，七= l 2 ，一一2 ， ( b ) 五0 ) s k 0 士z r ) s 五。o t ) ，t = 1 ，2 ，。n 一2 证明：设o t h 一2 ，利用c o u r a n t - f i s h e r 定理可导出下述关系： 五n 岫) = ，。赡夏。避挚 ，m 、。i l l 。，竺、。! ! 兰f ：! ；i 三：生 p 缸 2 ，。、黑一。学了 o - 一l j zn h - d z m i n 一警警 ”、”。n _ 皇一i 一_ = 五。0 ) 现在设1 k s n l ，利用c o u r a n t - f i s h e r 定理可以导出下述关系： 五。蹦) = ，黑嘧毡喾 s ，嚣m 。i n 必x h x “”x “1 x ”丘 。0 鬣一m m7 吨。； j 1 m 电，畔d 吨 s 。罂蝉嘶7 x u a _ x = 。0 ) 合并这两组不等式，由此得到所要求的不等式组 河海大学硕士学位论文 下一个定理给出了当b 有秩，时a + b 的诸特征值的界，它来源于积分方程 理论 定理5 3 1 1 i 设4 口e 虬是h e r m i t e 矩阵，并且假定口至多有秩r ，则 ( a ) 五“+ 口) s ，0 ) i i + 打0 + 功，七= l 2 ，n - 2 r ； ( b ) 0 ) s o + 口) s 五。0 ) ，七= 1 2 ，一一2 f ( c ) 如果彳= u a u 8 是半正定的，其中，矿= k ，吒】鸩是酉矩阵， a = 掘以。五，五) ，且 s 五王s 丸，又如果 丑= 丑“? + t 4 “卜i 二+ + h 件i “，+ l l f 三， 刚 k 0 一功= o 证明：设b = a l u ，“，+ 件晖“，妒，其中集合缸i ”，蚱 c c 。不一定无关，( a ) 和 ( b ) 的证明恰好与定理5 2 的( a ) 和( b ) 的证明相同只是在前面放上一个条件x 1 z 的地方现在放上，个条件“x j - u t ，酢”，并完成相应的论证关于( c ) ，注意到 ，“：，都是一b 的特征向量，但是对于t = n r + l ，一一r + 2 ，一，0 口k = o ， 而 对于i = 1 名，一一，0 一础。= 五 因为k 钆一。 。所以a - b 的最大特征值是k 上述结果所提供的足够信息，使我们能够推导出w e y l 关于两个h e r m i t e 矩 阵之和的特征值的下述一般结果 定理( w e y 0 s 4 川设 ，丑e 肘是h e r m i t e 矩阵，且 ，b 和a + b 的诸特征值 均按递增顺序排列，那么，对于使得1 s j ，k 一且j + n + l 的每对整数，k ，有 。0 + 占) s 乃0 ) + p ) ， 而对于使得l 工 s 且+ 一+ 1 的每对整数，k ，有 t “) + 五p ) 乃。0 + 曰) 第五章极小极大定理的一些应用 其中 证明：设，k 是满足第一组条件的已知整数设 = 队0 妙”，且= 队佃y ”， c ，= k 。，屹，“】e 肘和y = 【v l ，吃，吒】帆是酉矩阵， a ( a ) = d i a g ( h ( a l ，五0 ) ) m ，且a p ) = 如g “0 l ，五0 ) ) e 膨， 因而 4 z “- + o ( - k 。4 - - + 以，0 k ，硝 的秩至多为一一，风s 五p k 嵋+ 砧佃k 。+ + _ “佃h + 喝的秩至多为一一k ， 而4 + 最的秩至多为2 n - j - k 于是r 根据定理5 3 ( c ) ， 走0 4 ) = 乃，五 一只) = 五0 ) ， 再根据5 3 ( b ) ， “一4 + 口一坟) = 五0 + 口一“+ b ) ) 2 礼：h 0 + 口) = 扎。0 + 占) 其中k + r = n 且，= 2 n 一，一t 另外根据( 5 1 1 ) 有 丸0 4 + 占一且) 0 4 ) + 五p 一且) ， 其中k = 一因此，有 乃0 ) + 佃) = 五0 4 ) + 五佃一b ) 五0 4 + 丑一b ) = 五0 + 曰一“+ 只) ) 。，0 + 口) ， 这就是要证的第组不等式，第二组不等式可直接由第一组不等式推出，只需把 它应用于一彳和一b 即可 河海大学硕士学位论文 定理5 5 1 1 ( 加边矩阵的交错特征值定理) 设_ em 是给定的h e r m i t e 矩阵， y c 一是给定的向量，n 置是给定的实数设j e 是在_ 旁镶上y 和n 后得到 五= 够 设a 和j 的特征值分别用协) 和忸 来表示，且假定它们按递增顺序 和 互s 孟s 置s l 捧列，那么 互 s 孟五玉s 盂丑l (