《数列的极限》PPT课件.ppt

,第二章极限与连续,2.1数列的极限,一、数列的定义及基本特性,定义：定义在自然数集上的函数称为数列，记为,其中称为数列的通项或一般项，故数列又记为,例1.,例2.,例3.,例4.,2.数列的基本特性,单调性,若un满足u1u2ununun+1,则称un是单调递减的，记为un;,若不等式中的严格不等号换成不严格不等号时称un是单调不增的.,单调递增、单调不减、单调递减、单调不增的数列统称为单调数列.,例1.,（递减数列）,例2.,（递减数列）,例3.,递增数列,例4.,摆动,数列的有界性,如果存在一个常数m，使得对一切n，恒有unm,则称数列un有下界，m就是其中的一个下界；,如果存在一个常数M，使得对一切n，恒有unN时，恒有,成立，则称常数A为数列un的极限，记为,此时，又称数列un收敛，如果不存在这样的常数A,则称数列un发散（即极限不存在）.P794,这就表明当nN时，数列的各项都落入以A为中心,以为半径的小邻域内，至多只有有限个点(N个)落在邻域(A-,A+)之外.,下面，我们给出数列极限的几何意义：,例5.用分析的定义证明,分析：由数列极限的定义可知，对给定的，要找到正整数N，使得当nN时，恒有|un-2|0,存在N=2/,当nN时恒有,成立，由数列极限的定义可知,例6：给定数列,例7：,在我国春秋战国时期的庄子天下篇中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思是说，一根一尺长的木棒，每天截取一半，永远取不完.,为什么？,我们将每天截下的长,度表示出来：,需要指出的是，虽然无限接近于0，却永远不会等于0，这就是“万世不竭”的意思.,下面是两个数列发散的例子：,例8：数列n2:1,4,9,16,n2,.,随着n的无限增大，n2也无限地增大，不会趋于任何常数，因此该数列发散.,例9：数列1+(1)n:0,2,0,2,1+(1)n,.,总在0与2之间相互交错，随着n的无限增大，不会趋于任何常数，因此该数列发散.,三、数列极限的性质,1.唯一性定理：若数列un的极限存在，则极限值必唯一.,2.有界性定理：若数列un收敛，则un必有界.,注：(1)无界数列必发散.,(2)有界的数列不一定收敛.例如1+(1)n.,3.保号性定理：,推论：,注：,4.单调收敛准则：单调有界数列必有极限.,作业:B类P392.3.4.思考P395.,1.,2.,3.,四、常见的收敛数列,4.常数列的极限是其本身.,2.2函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,考察数列：,与函数,我们知道,x,y,0,12345n,从几何上看，如果f(x)向右方延伸，越来越接近于一条水平直线y=c，则称常数c为x趋向正无穷大时函数f(x)的极限，记为,下面，我们给出的定义,若当x沿x轴正向(即x0)无限增大时，f(x)无限地接近于某个常数A，则称f(x)当x+时有极限值A，记作：,定义1,或,定义,从几何上看，如果f(x)向左方延伸，越来越接近于一条水平直线y=c，则称常数c为x趋向负无穷大时函数f(x)的极限，记为,例2.作出y=arctanx的图像观察时的极限,请同学们自己写出的定义,从几何上看，如果f(x)向左、右两方延伸，越来越接近于同一条水平直线y=c，则称常数c为x趋向无穷大时函数f(x)的极限，记为,当|x|无限增大时，f(x)无限地接近于某个常数A，,y=arctanx,二、自变量趋于有限值时函数的极限,解:D(f)=(,1)U(1,+),此时，我们称常数2为函数f(x)在x趋向1时的极限，记为,注意：,从左边趋向1从右边趋向1,注意：,（1）用来刻画x接近,三.函数的左右极限,在xx0时函数f(x)的极限定义中，自变量x趋于x0的方式必须同时考虑x从x0的左、右两侧趋于x0的情况，我们称这样的极限为“双侧”极限。仅仅只考虑x从x0的某一侧趋于x0时f(x)的极限称为“单侧”极限.,有时函数受定义域的限制，只能从一个方向趋向，例如,或,或,注意，这里f(x0+0)与f(x00)是两个记号，分别表示f(x)在x0点的右极限和左极限，要与函数值区别开来。,一般用于判断分段函数在分段点的极限是否存在，,从上述定理可知，如果,等，则,不存在.,中至少有一个不存在，或者虽然都存在但不相,例9.求,