MATLAB第二讲数值计算和符号计算.ppt

Matlab基础应用,1,第二讲数值计算和符号运算,Matlab基础应用,2,1.数值计算,1.1矩阵和数组基础创建矩阵元素标识矩阵操作矩阵函数1.2矩阵和数组的计算,Matlab基础应用,3,1.3多项式运算,MATLAB语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按降幂排列多项式各项系数的，如果缺某次幂项，则该次幂项系数为。f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0用行向量p=anan-1a1a0表示。,多项式行向量,Matlab基础应用,4,可用polyval函数，计算多项式在变量为特定值的结果。,1.3.1多项式求值,例2：计算x=0:0.5:3时，p(x)=x3+21x2+20 x值。,解：p1=121200;x=0:0.5:3;polyval(p1,x)015.375042.000080.6250132.0000196.8750276.0000,Matlab基础应用,5,1.3.2多项式求根-求方程的解,例3：p(x)=x3-6x2-72x-27,在MATLAB利用函数：roots,解：p=1-6-72-27r=roots(p)r=12.1229-5.7345-0.3884,Matlab基础应用,6,1.3.3部分分式展开,利用residue函数来实现部分分式展开。,语法：r,p,k=residue(B,A)其中：B,A分别为分子、分母多项式系数行向量；r为r1,rn留数行向量；p为p1pn极点行向量；k为直项行向量。,Matlab基础应用,7,1.3.4多项式乘除运算,多项式的乘法语法：p=conv(p1,p2)说明：p是多项式p1和p2的乘积多项式。多项式的除法语法：q,r=deconv(p1,p2)说明：p1被p2除，商为多项式q，余数式为r。,Matlab基础应用,8,1.3.4多项式乘除运算（续）,例4：a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x;求c=a(x)*b(x)。解：a=123;b=450;c=conv(a,b)c=41322150d,r=deconv(c,a)d=450r=00000,Matlab基础应用,9,（1）字符串用字符数组来存储，以单引号来界定。（2）常见的字符串函数：length(str):计算字符串的长度；double(str):查看字符串的ASCII码;char(x):将ASCII码转换成字符串形式;strcmp(x,y):比较两字符串是否相同；strcat(s1,s2,):字符串级连函数;findstr(x,x1):查找x中是否有x1；（3）执行字符串：eval(str)命令例1：str1=a=2*3;eval(str1)a=6,1.4字符串,Matlab基础应用,10,（1）元胞数组的基本单元是元胞，每个元胞可存放不同类型（矩阵、数组、字符串等）的数据，以来界定。（2）元胞数组的创建：方法1：直接创建如：A=THIS，34;ones(3),ONE，TWO方法2：由各元胞创建如：A(1,1)=THISA(1,2)=34A(2,1)=ones(3)A(2,2)=ONE，TWO(3)元胞数组元素内容的获取：X=A2,1X=111;111;111,1.5元胞数组,Matlab基础应用,11,（1）结构数组的基本组成是结构，每个结构都包含某一对象的多个域，以.来标识域。（2）结构数组的创建：方法1：TU(1)=struct(name,曲线1，color,red,)方法2：TU(1).name=曲线1；TU(1).color=redTU(1).shape=sin；TU(1).position=0piTU(2).name=曲线2；TU(2).color=blueTU(2).shape=cos；TU(2).position=02*pi(3)结构数组元素内容的获取：用.号来获取X=TU(2).shapeX=cos,1.6结构数组,Matlab基础应用,12,1.7数据分析,遵循的原则：（1）如果输入是向量，则按整个向量进行计算。（2）如果输入的是矩阵，则按列进行运算。,因此:一定要将需要分析的数据按列进行分类。若已有的矩阵是按行进行分类的，可用矩阵的旋转使矩阵变成按列进行分类,Matlab基础应用,13,1.7.1数据统计和相关分析,Matlab基础应用,14,1.7.2差分与积分,Matlab基础应用,15,1.7.3卷积和快速傅立叶变换-离散序列,卷积,Conv：计算向量的卷积。conv2：计算二维(矩阵或二维数组)卷积。deconv：解卷积运算。,快速傅立叶变换,fft：一维快速傅立叶变换。ifft：一维快速傅立叶逆变换。,Matlab基础应用,16,课程导入,求半径为5的圆的面积,数值运算：r=5s=pi*r2s=78.5398,如果要求求解的精度保留到小数点后10位,怎样求解呢？,符号运算是数值运算的扩展,为了得到更高精度的运算结果,符号运算：symssrs=pi*r2r=5s=vpa(subs(s),32)s=78.539816339744830961566084581988,2符号运算,Matlab基础应用,17,2.1符号对象的建立,2.1.1创建符号常量（sym是symbolic缩写）语法：sym(常量),例1：创建数值常量和符号常量a1=2*sqrt(5)+pi%数值常量a2=sym(2*sqrt(5)+pi)%符号常量,符号对象：是一种数据结构，用来存储代表符号的字符串，包括符号常量、符号变量和符号表达式，符号运算的结果也都是符号对象。,Matlab基础应用,18,（1）使用sym命令创建符号变量：sym(arg,参数)%参数设置数学特性,可为positive,real,unreal,可省略;符号表达式：sym(表达式)注意:符号对象必须用单引号括起来MATLAB才能识别。,例2：f=sym(sin(x)+5*x)f符号表达式名sin(x)+5*x符号表达式符号标识,2.1.2创建符号变量和表达式,注意:常数与符号变量的相乘不能省*,（2）使用syms命令创建：一个或多个符号变量的创建syms(arg1,arg2,参数)symsarg1arg2参数,Matlab基础应用,19,例3：f1=sym(a*x2+b*x+c)%方法一whosNameSizeBytesClassf11x1146symobjectGrandtotalis12elementsusing146bytessymsabcx%方法二f2=a*x2+b*x+cwhosNameSizeBytesClassa1x1126symobjectb1x1126symobjectc1x1126symobjectf21x1146symobjectx1x1126symobjectGrandtotalis20elementsusing650bytes,注意:方法一只创建了符号表达式,没有创建符号变量;而方法二既创建了符号表达式,又创建符号变量.,Matlab基础应用,20,使用sym和syms命令创建,A=sym(a,b;c,d)A=a,bc,dsymsfghkB=f,g;h,kB=f,gh,k,2.1.3创建符号矩阵,例4:,Matlab基础应用,21,（1）数值运算保留8位有效位数,每一次数值运算有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差；符号运算不进行数值计算，无截断误差。（2）符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。（3）符号运算的时间较长，而数值运算速度快。（4）数值运算中必须先对变量赋值；符号运算无须事先对变量赋值，但必须先定义，运算结果以标准的符号表达式形式给出。,2.2.1符号运算与数值运算的区别,2.2符号运算,Matlab基础应用,22,（1）基本运算符符号矩阵：“+”，“-”，“*”，“”，“/”，“”,“”符号数组：“.*”，“./”，“.”，“.”,“.”（2）关系运算符运算符只有“=”，“=”。,2.2.2符号运算中的运算符,Matlab基础应用,23,2.2.3符号运算中的函数运算,（1）三角函数和双曲函数除atan2外与数值运算(包括使用方法)相同。（2）指数和对数函数没有log2和log10，其余与数值运算相同。（3）复数运算没有提供相角的命令，其余与数值运算相同。（4）矩阵代数命令与数值运算相同。,Matlab基础应用,24,例5：求符号矩阵的行列式值、共轭转置和特征值。,symsa11a12a21a22A=a11,a12;a21,a22;det(A)%计算行列式值A%计算共轭转置eig(A)%计算特征值,Matlab基础应用,25,2.2.4符号运算任意精度控制,（1）设置默认的全局精度语法：digits(n)%n为期望的有效位数，默认的为32位。（2）把单个对象s表示为n位有效位数的符号对象语法：S=vpa(s,n)%n省略时按digits给定的精度,Matlab基础应用,26,a1=2/3a1=0.6667%数值型a2=sym(2/3)a2=2/3,digitsdigits=32%默认的32位有理数型vpa(a2)ans=.66666666666666666666666666666667a3=vpa(2/3,15)a3=0.666666666666667%VPA型,例6：,Matlab基础应用,27,2.2.5数值对象与符号对象的相互转换,将数值对象转化为符号对象格式：sym(s)或vpa(s),其中s为数值对象例7：A=2.5,1.8;1/1.6,3/5B=sym(A)或B=vpa(A,n)将符号对象转化为数值对象格式：numeric(s)或double(s)或eval(s),其中s为符号对象例8：a1=sym(2*sqrt(5)a2=eval(a1)ans=4.4721,Matlab基础应用,28,2.3.符号表达式的操作,（1）当符号表达式中含有多个符号变量时，例如“f=x+y”，则只有一个变量是独立变量，其余的符号变量当作常量来处理。（2）若没有指定自由变量，MATLAB按如下规则选择自由变量：小写i和j不能做自由变量选择自由变量的顺序：首选x，没有x选择字母顺序离x最近的字符变量；若与x距离相同，则在x后面的优先。大写字母比小写字母都靠后函数确定自由变量：语法：findsym(EXPR,1),2.3.1自由变量的确定,Matlab基础应用,29,2.3.2符号表达式的函数操作,合并、化简、展开等函数collect(f)：将表达式f中相同幂次的项合并；factor(f)：将表达式f因式分解；simplify(f)：利用代数中的函数规则对表达式化简；expand(f)：将符号表达式展开成多项式的形式反函数和复合函数finverse(f,v)：求指定变量v的函数f(v)的反函数compose(f,g,z)：求f(x)和g(y)的复合函数f(g(z),Matlab基础应用,30,2.3.3符号表达式的替换,subs函数用来对符号表达式中的符号变量或字符串进行替换，从而化简符号表达式。语法：（1）subs(s)%用给定值替换s中赋值的变量（2）subs(s,old,new)s为符号表达式；old为旧符号变量；new为新值或表达式；,Matlab基础应用,31,用subs函数对符号表达式进行替换。,例9：,f=sym(x+y)2+3*(x+y)+5)x=5;f1=subs(f)f1=(5+y)2+3*(5+y)+5f2=subs(f,x+y,z)f2=z2+3*z+5,Matlab基础应用,32,2.4符号方程求解,代数方程代数方程的求解由函数solve实现：语法：solve(f)求解符号方程fsolve(f1,fn)求解由f1,fn组成的代数方程组常微分方程使用函数dsolve来求解常微分方程语法：dsolve(eq,cond,v)dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,.,v),Matlab基础应用,33,例10：,1.求代数方程a*x*x+b*x+c=0的解f=sym(a*x*x+b*x+c=0)solve(f)2.求微分方程y=x的通解，指定x为自由变量。dsolve(Dy=x,x)%注意y的输入方法3.求微分方程y=1+y的特解，加初始条件y(0)=1,y(0)=0dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0)4.微分方程组的通解x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x),注意微分表达式和初始条件的输入方法。,Matlab基础应用,34,2.5符号微积分,符号微分语法：diff(f)求f对自由变量的一阶微分diff(f,v)求f对符号变量v的一阶微分diff(f,v,n)求f对符号变量v求n阶微分符号积分语法：int(f,v)求表达式f的对符号变量v的不定积分int(f,v,a,b)求表达式f的对符号变量v的在(a,b)范围内定积分,Matlab基础应用,35,例11：,Matlab基础应用,36,例12：,Matlab基础应用,37,2.6符号积分变换,F=fourier(f,t,w)求时域函数f(t)的傅立叶变换F(w)f=ifourier(F,w,t)求频域函数F(w)的傅立叶反变换,傅立叶(Fourier)变换及其反变换,F=laplace(f,t,s)求时域函数f(t)的拉普拉斯变换f=ilaplace(F,s,t)求频