2014年寒假 自主招生班型导学2物理部分-运动学 力与牛顿定律

2014 年寒假自主招生班型导学 （第 二 次） （物理） 资料说明 本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。每个班型导学共由 4 次书面资料构成。此次发布的为第 二 次导学，后面的第 三次导学，将于 2013 年 12 月 15 日发布。在 2013 年 12 月 20 日，公司还会发布相应班型的详细授课大纲，敬请关注。 自主招生邮箱： 数学竞赛邮箱： 物理竞赛邮箱： 化学竞赛邮箱： 生物竞赛邮箱： 理科精英邮箱： 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014 年寒假集中培训 课程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-2-1A 2013-12-5 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 2014 年寒假自主招生班型导学 （物理 1） 导学内容大纲 . 3 重点与难点 . 5 导学知识点 . 6 1. 运动学 . 6 1.1 相对运动 . 6 1.2 分运动与合运动 . 6 1.3 斜抛运动 . 6 1.4 圆柱螺旋线、阿基米德螺线、摆线、漂移螺线 . 7 1.5 v-t 图求解运动问题 . 7 2. 力与牛顿定律 . 7 2.1 摩擦力 . 7 2.2 惯性系与非惯性系 . 8 2.3 常见惯性力 . 8 2.4 视重、超重和失重 . 8 3. 物体的平衡 . 8 3.1 共点力作用下物体的平衡 . 8 3.2 物体平衡的种类 . 9 4. 动量 . 9 4.1 质心参考系 . 9 4.2 反冲运动 . 9 5. 机械能 . 9 5.1 引力势能 . 9 5.2 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式 . 10 5.3 弹簧的弹性势能 . 10 5.4 碰撞、恢复系数 . 10 6. 天体运动 . 10 6.1 开普勒定律 . 10 6.2 轨道形状 . 11 6.3 三个宇宙速度 . 11 7. 机械振动 . 12 7.1 简谐振动 . 12 7.2 单摆、等效摆长 . 13 7.3 波动方程 . 13 7.4 波的叠加、干涉和衍射 . 13 7.5 多普勒效应及应用 . 14 8. 热学 . 14 8.1 分子动理论的基本观点 . 14 8.2 温度和气体压强的微观解释 . 14 8.3 分子力、动能、势能、内能 . 15 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 8.4 理想气体状态方程 . 15 8.5 热力学第一定律 . 16 8.6 热力学第二定律 . 16 8.7 物态变化 . 16 8.8 热传递 . 16 导学习题 . 17 1. 运动学 . 17 2. 力与牛顿定律 . 18 3. 物体的平衡 . 20 4. 动量 . 21 5. 机械能 . 22 6. 天体运动 . 23 7. 机械振动 . 23 8. 热学 . 24 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 导学 内容大纲 1.运动学 相对运动、相对速度 伽里略速度变换：绝对速度 =相对速度 +牵连速度 分运动与合运动 斜抛运动 圆柱螺旋线、阿基米德螺线、摆线、漂移螺线 v-t 图求解运动问题 2.力与牛顿定律 滑动摩擦力、动摩擦因数、摩擦角、静摩擦力、最大静摩擦力 惯性系 非惯性系 惯性力 (离心力、地转偏向力 ) 视重、超重和失重 3.物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩平衡 重心 物体平衡的种类 4.动量 冲量、动量、动量定理 质点与质点组的动量定理 动量守恒定律 反冲运动及火箭 5.机械能 功和功率 动能和动能定理 重力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式 (不要求导出 ) 弹簧的弹性势能 功能原理 机械能守恒定律 碰撞、恢复系数 6.天体运动 在万有引力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 引力势能 三个宇宙速度 7.机械振动 机械波 简谐振动周期、振幅、频率、位移、速度、加速度、恢复力、能量 单摆、等效摆长 波的函数 波的叠加、干涉和衍射 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 多普勒效应及应用 8.热学 分子动理论的基本观点 阿伏伽德罗常数 温度和气体压强的微观解释 分子力 分子动能、势能、内能 理想气体状态方程 U 型管类型题 热力学第一定律 理想气体的内能 热力学第一定律在理想气体等容、等压、等温和绝热过程中的应用 热力学第二定律 物态变化 热传递 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 重点 与 难点 本次导学主要涉及模块为力学和热学。力学部分按照研究内容划分，主要包括运动学、静力学、动力学等内容，是历次自主招生考试以及高考中的重点 ， 对 2013 年华约、北约、卓越三个联盟的自主招生真题分析显示，力学部分所占比例分别为 35%、 62.5%、 48%， 热学部分所占比例分别为 10%、 4%、 4%。这些比例表明力学部分 在自主招生考试中占据相当大的比例，而热学部分肯定有所涉及。力学部分 的 重要 考点有 天体运动 、 运动的合成与分解 、动量与能量 以及不同物理情景的受力分析。 其中，由于电磁学部分经常会涉及到计算 带电粒子以及导体在电场、磁场以及重力复合场中的运动轨迹 ，以及 通电导线在磁场中的受力分析以及运动情况分析 ，这些部分是自主招生考试中的难点。热学部分的重要考点是 理想气体状态方程 和 热力学第一定律 ，其中难点为 等容过程 、 等压过程 、 等温过程 、 绝热过程 等过程的 内能变化情况，比较复杂且容易混淆，是热学部分的难点 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 导学 知识点 1. 运动学 1.1 相对运动 任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝 对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。 =+vvv绝 对 相 对 牵 连 ，也称为伽里略速度变换。 这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系： 当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。 1.2 分运动与合运动 运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有： 运动的合成与分解总是与力的作用相对应的； 各个分运动有互不相干的 性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的 独立作用原理 是对应的； 位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移； 瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。 两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如： 两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动； 两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动； 在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的 合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动； 不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。 1.3 斜抛运动 物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。 根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是 :牵连相对绝对 aaa 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 1.4 圆柱螺旋线、阿基米德螺线、摆线、漂移螺线 圆柱螺旋线 ：在圆柱表面上形成的曲线。圆柱表面上一动点绕圆柱的轴线作等速回转运动 ,同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，此动点的运动轨迹为圆柱螺旋线。 阿基米德螺线 ：亦称 “等速螺线 ”。当一点 P 沿动射线 OP 以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点 O 旋转，点 P 的轨迹称为 “阿基米德螺线 ”。 摆线 ：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线。 漂移螺线 ：同一平面内圆周运动与匀速圆周运动叠加形成的曲线。 1.5 v-t 图求解运动问题 巧用 v-t 图像，可以使一些运动学问 题的求解简单明了，还可以解决一些运用公式法无能为力的问题。运用 v-t 图像解题，首先要搞清图像的意义，图象代表速度随时间的变化规律，图像上某点的斜率代表对应时刻的加速度的大小，图像与坐标轴围成的图形的面积代表位移的大小，两图像的交点仅表示这时刻，两物体的速度相同。 2. 力与牛顿定律 2.1 摩擦力 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是 “光滑的 ”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为 静摩擦力 ，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来 ， 最大静摩擦力 为 式中 称为 静摩擦因数 ，它取决于接触面的材料与接触面的状况等， N 为两物体间的正压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为 滑动摩擦力 。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反 ,其大小与两物体间的正压力成正比。 为 滑动摩擦因数 ，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量。在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数 略大于动摩擦因数 。在通常情况下， 可不加区别。 令静摩擦因数 等于某一角 的正切值，即 ，这个 角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下） , 。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力 的合力 F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角。 Nf 0max 0Nf 0 与00 tg0 tgNf 0max maxf清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 2.2 惯性系 与 非惯性系 牛顿第一定律不成立 的参考系叫非惯性参考系，简称 非惯性系 ，如加速运动的小车、考虑自转时地球等。 非惯性系相对惯性系有加速度，因此相对惯性系没有加速度的物体对非惯性系有加速度，因此在非惯性系看来认为物体受到了一种 方向与非惯性系相对于惯性系的加速度相反 的力，这种力叫惯性力： amF 惯 ， m 为物体质量， a 为非惯性系相对于惯性系的加速度。 惯性力 不是真实存在 的，因此 没有反作用力 。引入惯性力后非惯性系中动力学方程与惯性系 形式相同 。 2.3 常见 惯性力 离心力： 是一种虚拟力，它使旋转的物体远离它的旋转中心。在一个非惯性参考系下观测到的一个惯性力，和向心力的反作用力。 科里奥利力：以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。这种长年累月 的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损较甚。 2.4 视重、超重和失重 加速度有向上的分量时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力（即视重）大于重力 超重。常见运动形式为加速上升或减速下降。当加速度有向下的分量时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力（即视重）小于物体的重力 失重。常见运动形式为：加速下降或减速上升。当物体加速下降或减速上升时加速度为重力加速度 g 时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力（视重）为零 完全失重。 注：超重、失重现象中物体所受的重力并没有发生变化。 3. 物体的平衡 3.1 共点力作用下物体的平衡 共点力平衡条件为合力为零，即 0i iF ，分量形式为 0i ixF ， 0i iyF 。物体受三个不平行的力作用平衡时，三力必为共点力。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 3.2 物体平衡的种类 物体一般的受力平衡条件为合力为零且合力矩为零，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩为零的含义是对任意转轴（支点）合力矩为零。 物体的平衡可分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三类。 稳定平衡 ：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其回到平衡位置。 不稳定平衡 ：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其偏离继续增大。 随遇平衡 ：当物体偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡类型的判断方法有受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判断法。 受力（力矩）分析法 ：偏离平衡位置时，所受外力指向平衡位置，稳定平衡；外力背离平衡位置，不稳定平衡；外力为零，随遇平衡。 重心升降法 ：偏离平衡位置时，重心升高，稳定平衡；重心降低，不稳定平衡；重心高度不变，随遇平衡。 支面判断法 ：有支面物体平衡时 重力作用线过支面 。偏离平衡位置时，重力作用线仍过支面，稳定平衡；重力作用线不过支面，不稳定平衡。 4. 动量 4.1 质心参考系 以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质心参考系或质心系。 我们所研究的系统，如果所受的合外力为零，则质心 C 在静止惯性参考系中以恒定速度 cV 作惯性运动，此时质心参考系也是惯性参考系。如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。 4.2 反冲运动 反冲运动：根据动量守恒定律，如果一个静止的物体在内力的作用下分裂成两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动。这个现象叫做反冲。反冲运动中，物体受到的反冲作用通常叫做反冲力。 5. 机械能 5.1 引力势能 引力势能，物体 (特别指天体 )在引力场中具有的能叫做引力势能，物理学中经常把无穷远处定为引力势能 的零势能点。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 5.2 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式 两个相距为 r 的质点 M 、 m ，其间引力势能为 rGMmEp 。若 M 为质量均匀半径为 R 的球壳，则引力势能RrRGM mRrrGM mE p 。 5.3 弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩） x 时，弹力 F=-kx，弹力做的功为： 由前面保守力所做功与势能变化关系可知 5.4 碰撞、恢复系数 碰撞过程满足动量守恒。碰撞前后物体速度在同一直线为正碰，否则为斜碰。碰撞中无机械能损失为弹性碰撞，有机械能损失为非弹性碰撞。当碰撞后两物体速度相同时，为完全非弹性碰撞。 描述碰撞非弹性程度的量为恢复系数，定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。对弹性碰撞， 1e ，完全非弹性碰撞 0e ，一般非弹性碰撞 10 e 。对斜碰，取沿碰撞接触面法线方向的相对速度为接近速度和分离速度即可。 对弹性碰撞，使用 1e 及动量守恒计算碰撞后速度，比使用机械能守恒方便得多。 6. 天体运动 6.1 开普勒定律 开普勒第一定律：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律：各行星椭圆轨道半长轴 a 的三次方与轨道运动周期 T 的平方之比值为相同的常量，即 CTa 23 其中，开普勒第二定律与行星运动中角动量守恒等价。 221 kxW )0( PP EEW 221kxEP 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 6.2 轨道 形状 将行星绕太阳运动的 机械能 记为 E ， E 与三种轨道的对应关系为： 双曲线轨道抛物线轨道椭圆轨道圆00/0EEE 6.3 三个宇宙速度 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物体绕地球公转的最小速度，又称环绕速度，即万有引力恰好提供物体公转所需的向心力，得RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物体脱离地球引力的最小速度，又称脱离速度。物体恰好脱离地球引力 即 物 体 到 达 无 穷 远 处 时 速 度 为 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物体脱离太阳系的最小速度，又称逃逸速度。物体脱离太阳系的过程分为两步，第一步脱离地球引力，第二步脱离太阳引力。设脱离地球引力后相对太阳速度为xv ，类似第二宇宙速度的求法，脱离太阳引力需满足 021 2 日地太阳R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太阳RGMv x 。地球绕太阳公转速度为 skm8.29 ，由伽利略速度变化公式，物体相对地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球参考系中由机械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 7. 机械振动 7.1 简谐振动 由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置 O 为圆心，以振幅 A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，设有一质点在参考圆上以角速度 作匀速圆周运动，它在开始时与 O的连线跟 轴夹角为 ,那么在时刻 t，参考圆上的质点与 O 的连线跟 的夹角就成为 ，它在 轴上的投影点的坐标 这就是简谐振动方程，式中 是 t=0 时的相位，称为初相： 是 t 时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为 ，其方向与参考圆相切，这个线速度在 轴上的投影是 ） 这也就是简谐 振动的速度。参考圆上的质点的加速度为 ，其方向指向圆心，它在轴上的投影是 ） 这也就是简谐振动的加速度： 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为： 因此有 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期，所以 以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为： 振子的瞬时弹性势能为： 振子的总能量为： 简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。 x 0x 0 t x)c o s ( 0 tAx0 0tA x0cos( tAv2A x02 c os( tAaxa 2xmkmFa mk2kmwT 22)(s in2121 2222 tmAmvE K)(c o s2121 2222 tAmkxE p222 2121 kAAmEEE pK 221kAxAO0清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 7.2 单摆、等效摆长 一个质量为 m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力，即合力的切向分力为 当 5时， OAB 可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置 A，且 ，所以 （式中 ） 说明单摆在摆角小于 5时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为 在一些异型单摆中， 和 g 的含意以及值会发生变化。单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。 7.3 波动方程 一列横波以速度 沿 轴正方向传播，设波源 O 点的振动方程为： 在 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间 ，即当 O 点相位为 时， P 点的相位为 ，由 ， ， ， P 点振动方程为 这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 7.4 波的叠加、干涉和衍射 波的叠加原理：在两列波的相遇区域，任何一个质点的位移都等于两列波分别引起的位移矢量和。注：任意两列同种波都可叠加。 波的干涉：两列波叠加时，某些区域振动加强，某些区域振动减弱，并且振动加强和减弱的区域互相间隔的现象（形成稳定的干涉图样） 。干涉条件为同一种类的、频率相同的两列波。 波的衍射：波传播过程中，偏离 直线传播的方向而绕到障碍物或小孔的阴影区的现象。sin mgF回 lxsinxlmgF 回kxF 回 lmgkglkmT 22 lv x)cos( 0 tAyx vxtp )( 0t 0)( vxt f 2 fv Tlf 0)(c o s vxtAy)22c o s ( 0 xftA )22c o s( 0 xtTA 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长差不多。注：（ 1）衍射无需条件；（ 2）波长越大，衍射越明显 7.5 多普勒效应及应用 多普勒效应是波源和观察者有相对运动时，观察者接受到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象。远方急驶过来的火车鸣笛声变得尖细（即频率变高，波长变短），而离我们而去的火车鸣笛声变得低沉（即频率变低，波长变长），就是多普勒效应的现象，同样现象也发生在私家车鸣响与火车的敲钟声。 观察者 (Observer) 和发射源 (Source) 的频率关系为： 为观察到的频率； 为发射源于该介质中的原始发射频率； 为波在该介质中的行进速度； 为观察者移动速度，若接近发射源则前方运算符号为 + 号 , 反之则为 - 号； 为发射源移动速度，若接近观察者则前方运算符号为 - 号，反之则为 + 号。 8. 热学 8.1 分子动理论的基本观点 一切物体都是由大量的分子组成的，分子间有一定间隙，并有相互作用力，分子总是永不停地无规则地运动着。这就是分子运动论的基本论点。 1、物体是由大量分子组成的 2、分子永不停息地做无规则运动 3、分子之间存在着相互作用力（引力和斥力） 8.2 温度和气体压强的微观解释 将 式代入 式后，可以得到气体分子的平均平动动能为 这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。 宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞 的器壁的分子数可达 。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。 nkTP KnP 32kTK 2321cm 2310清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 其表达式为 式中 n 是分子数密度， 是分子 的平均平动动能， n 和 增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。 8.3 分子力 、动能、势能、内能 分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的增大而减小。其合力具体表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。 由于分子间存在相互作用而具有的能量叫做分子势能。当分子间距离 ( 为分子力为零的位置 )时，分子力是引力，随着分子间距离r 的增大，分子势能减小，故 处，分子势能最小。而在 时，由于分子间的作用力可略，故分子势能变为零，如以无穷远处为势能的零点，定性的分子势能曲线可用右图表示。 物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。 理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。 8.4 理想气体状态方程 理想气体状态方程或称克拉珀龙方程： 式中 R 称为摩尔气体恒量，它表示 1mol 气体在标准状况的 的值，其值为 ： 1mol 的任何物质含有的粒子数 ，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为 m、摩尔质量为 M 的气体，其分子数为 N，则此气体的摩尔数为 同时引用玻耳兹曼常数 k 的物理意义： 1 个分子在标况下的 。 KnP 32221 mK K0rr 0r0rr 010rrRTMmv R TPV TPVKm o lc a IKm o l La t mKm o lJT VPR .1.8 20 00 1231002.6 m oIN AANNMmv / 123 .1038.1/ KJNRk ATPV E 0r r O清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 16 页 8.5 热力学第一定律 当系统与外界间的相互作用既有做功又有热传递两种方式时，设系统在初态的内能 ，经历一过程变为末态的内能 ，令 。在这一过程中系统从外界吸收的热量为Q，外界对系统做功为 W，则 E=W+Q。式中各量是代数量，有正负之分。系统吸热 Q 0，系统放热 Q 0；外界做功 W 0，系统做功 W 0；内能增加 E 0，内能减少 E 0。热力学第一定律是普遍的能量转化和守恒定律在热现象中的具体表现。 8.6 热力学第二定律 表述 1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。 表述 2：热量不可能自动地从低温物体转向高温物体。 8.7 物态变化 相 :指的是热学系统中物理性质均匀的部分，一个相与其他部分之间有一定的分界面隔离开来。例如冰和水的混合物中，因为冰和水的物理性质不同，故为不同的相，但它们的化学成份相同。一种化学成分称为 “一元 ”，因此冰水混合 物称为单元二相系，而水和酒精的混合物就是二元单相系。 相变： 不同相之间的相互转变称为相变。 相变特点：伴随物态的变化；要吸收或放出的热量。 8.8 热传递 内能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到同一物体的邻近部分的过程叫热传递。 热传递的方式有三种：对流、传导和辐射 1E2E 12 EEE 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 17 页 导学 习题 1. 运动学 例 1 (2011年华约自主招生 ) 如图 2-11 所示 ,AB杆以恒定角速度绕 A点转动 ,并带动套在水平杆 OC 上的小环 M 运动 运动开始时 ,AB 杆在竖直位置 ,则小环 M 的加速度将 ( ) A.逐渐增大 B.先减少后增大 C.先增加后减少 D.逐渐减小 解析 ：如图所示 ,环沿 OC 向右运动 ,其速度 v 可分为垂直 AB 的 v1,沿AB 的 v2, 则1 hvrcos ,故环的速度 12vhv cos cos 环的加速度 v v (c os )a t (c os ) t 即 23322h x c o sa ( c o s )s in s in 因为 变小 ,则 a 变大 ,故选 A 例 2(2011 年北京大学 )如图所示 ,AC 为光滑竖直杆 ,ABC 为构成直角的光滑 L 形直轨道 ,B 处有一小圆弧连接可使小球顺利转弯 ,并且 ABC 三点正好是圆上三点 ,而 AC 正好为该圆直径 ,如果套在 AC 杆上的小球自 A点静止释放 , 分布沿 ABC 轨道和 AC 直轨道运动 ,如果沿 ABC 轨道运动的时间是沿 AC 直轨道运动所用时间的 1.5 倍 ,求 的值 解析 ：小球在 AC 段或 ABC 段都只受重力作用运动 ,由匀加速直线运动求解 设 AC=2R,则小球从 A 到 C 做自由落体运动 ,所需时间 2 2 g 2 gACt R / R / 小球沿 ABC 运动时 ,在 AB 方向的加速度为 gcos,所需时间 22 2gg AB R c o st R /c o s 小球到 B 点时其速度为 2gcos gBv R / ,在 BC 段所需时间 1 5 gB C A C A Bt . t t R / 代入21 g sin 2 2B B C B Cv t t R sin可得 tan=4/3 故 =arctan(4/3)53.1 例 3小球在台阶上以一定初速度水平抛出 ,恰落到第一级台阶边缘 ,反弹后再次落下经 0.3s 恰落至第 3 级台阶边界 ,已知每级台阶宽度及高度均为 18 cm,取 g=10 m/s且小球反弹时水平速度不变 ,竖直速度反向 ,但变为原速度的 1/4. (1)求球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离 (2)问球是否会落到第 5 级台阶上 ? 说明理由 解析 ： (1)小球从抛出到落在第一级台阶边缘 ,做平抛运动 设抛出时距第一级台阶边缘的水平 A C B 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 18 页 距离为 s,抛出时的高度为 H,落到第一级台阶边缘历时为 t0 在水平方向以 v0 做匀速直线运动： 00vt s 在竖直方向初速度为 0 加速度为 g 做自由落体： 0gt /2 H 第一级台阶反弹后 ,竖直方向的速度为 10v gt 4/ ，从第一级台阶边缘到第三级台阶边界有： 0 1 1 1 1v t 2h v t gt /2 2h, ,代入 1 1 0t 0 3 s h 0 1 8 m v g t /4. , . , ， 可得 00v 1 2m/s t 0 12s. , . 故小球抛出时， ,距第一级台阶的高度 H 为 0.072m，距第一级台阶边缘的水平距离为0.144m (2)小球经第三级台阶边缘反弹后 ,水平速度仍为 v0=1.2m/s,竖直方向速度大小变为 2 1 1v v gt /4 0 82 5m /s., 大于第一级台阶反弹时竖直方向的速度 ,故小球在被第三级台阶反弹后落地点水平方向的距离大于被第一级台阶反弹后的距离 如具体计算 ,则竖直方向通过位移 2h 时 ,由 2 2 2v t gt 2 2h/解得 2t 036s. ,此时水平方向位移等于 02v t 0 43m 2h.即水平方向已经超过了 2 级台阶的距离 ,将会直接落在第 6 级台阶上 ,不会落在第 5 级台阶上 2. 力与牛顿定律 例 4为训练宇航员能在失重状态下工作和生活 ,需要创造一种失重的环境 ,在地球表面附近 ,当飞机模拟某些在重力作用下的运动时 ,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态 ,现要求一架飞机在速率为 1 500v m/ s 时进入失重状态试验 ,在速率为 2 1000v m/ s 时退出失重状态试验 重力加速度 210g m/ s 试问 （ ）在上述给定的速率要求下 ,该飞机需要模拟何种运动 ,方可在一定范围内任意选择失重时间的长短 ?试定量讨论影响失重时间长短的因素 （ ）飞机模拟这种运动时 ,可选择的失重状态的时间范围是多少 ? 解析：（ ）当飞机做加速度的大小为为重力加速度 g,加速度的方向竖直向下的运动时 ,座舱内的的试验者便处于完全失重状态 ,这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动 ,也可以是斜抛运动 当进入实验的速率和退出试验的速率确定后 ,飞机模拟前两种运动时 ,失重时间的长短都是一定的 ,不可选择的 当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时 ,失重时间的长短与抛射角有关 ,可在一定范围内进行选择 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动 ,设开始试验时的初速度为 1v ,方向与水平方向成 角 ,起始位置为 A 点 ,经过抛物线运动在 B 点退出试验 如图所示 ,以 t 表示试验经历的时间 ,再退出试验时的速率为 2v ,则有 21xv vcos （ 1） 21yv v sin gt（ 2） 而 2 2 22 2 2xyv v v （ 3） 由（ 1）（ 2）（ 3）式得 2 2 2 21 1 220g t v g t sin v v （ 4） 解（ 4）式得 2 2 2 21 1 2 1v sin v sin ( v v )t g （ 5） 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 19 页 由（ 5）式可知 ,当进入试验时飞机的速度 1v 和退出试验时飞机的速度 2v 确定以后 ,失重时间的长短可通过角 来调节 （ ）当 090 时失重时间最长 ,由（ 5）式可求的最长失重时间 150maxts 当 090 时 ,失重时间最短 ,由（ 5）式可求的最短失重时间 50mints 失重时间的调节范围在 150s 到 50s 之间 例 5 (华东师范大学二附中张伟平命制 )如图所示 ,一块质量为 M长为 l的均匀质板放在很长的水平桌面上 ,板的左端有一个质量为 m 的物块 ,物块上连接一根很长的细绳 ,细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮并与桌面平行 某人以恒定的速度 v 向下拉绳 ,物块最多只能达到板的中点 ,且此时板的右端距离桌边定滑轮足够远 ,求： (1)若板与桌面间光滑 ,物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移 (2)若板与桌面间有摩擦 ,为使物块能达到板右端 ,板与桌面的动摩擦因素的范围 解析 ： (1)板在物块对其的摩擦力作用下向右做匀加速运动直至与物块速度相同 ,此时 ,物 块刚到达板的中点 设板的运动时间为 1t ,物块与板的动摩擦因数为 1 , 木板加速度为： 11 1mg va Mt即1 1Mvt mg 在此过程中 ,板前进的位移为：1112s vt,物块移动的位移为 21s vt ,而212lss, 由此可得： 21=Mvmgl,1 2ls (2)设 板与桌面间的动摩擦因数为 2 ,物块在板上滑行的时间为 2t , 木板的加速度为 1 2 22 2m g ( M m ) g va Mt, 即：2 12Mvt m g ( m M )g 在此时间内 ,物块需到达板右端 ,即： 2212s s vt vt l 物 板 带入 2t 得 22= 2 Mv(m M )gl 由于 2 越大 ,板运动越慢 ,物块与板的相对位移越大 ,所以 , 2 应满足 22 2 Mv( m M )gl 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 20 页 3. 物体的平衡 例 6如图 1-1 所示，长为 L 的均匀木杆重 Q，在木杆上离 A 端 L/4 处放有一重为 Q/2 的重物，平衡时，木杆与水平面的夹角 多大？ 解析：以 O 点为轴，取整体为研究对象，有 00 6 0 6 0 2 4 2Q L LL c o s c o s Q L c o s c o s （ ） （ ） 得 63arccot( ) 例 7将一小球 m 用细绳系起，沿半径为 R 的半球面缓慢拉起，半球面光滑，试分析拉起过程中， m 对半球压力及拉力 F 的变化情况 解析：设半球半径为 R，滑轮到半球距离为 h 对 m 进行受力分析见图示： _m NQ O m ONR RGQ R hRNGRh: , F O m Omo 其 中 , 其 中恒 定 不 变同 理 在 相 似 三 角 形 中 拉 力 的 变 化 与 中边 长 线 段 长 度 变 化 相 对 应 ， F 逐渐变小 所以 ，将 m 沿半球拉上过程中， m 对半球压力不变，拉力变小 例 8 (2010 年北京大学 ) 如图，一个质量为 M棱边长为 L 的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因数 设想立方体开始翻转后 ，施加的外力 F 的大小和方向会改变，以维持 F 始终为最小值 解析 ：立方体往前或往后翻转，实际是沿其右下角的棱所做的转动，即有固定转动轴物体的平衡问题 先考虑向前翻转 ， D 点恰离开地面时最难翻动，当 F 与 AC 垂直时有最小值 (若 F不垂直与 AC，则 F 的力矩只是其沿 AC 垂直方向的分量 )，设 AC 与水平面夹角为 ，则由合力矩为零可得： 2F2 2ML g cos L 当立方体恰能翻转时 为 45此时 立方体若能翻转，水平方向的受力方程应为 M g F cos F sin 立方体恰能翻转时，代入 45 ， 24min MFg， 可得 13 在向后翻转时，以左下角棱为轴，一开始最难翻动，考虑 C 点将离地状态， D Mg B N f 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 21 页 MgL2FL ， MgF 此时 Mg1F 22， 4. 动量 例 9(2009 年清华大学 )一质量为 m，长为 l 的柔软细绳自由悬垂，下端恰与一台秤秤盘接触， (如图所示 )某时刻放开柔软细绳上端，求台秤的最大读数 解析 ：设 t 时刻落到秤盘的绳长为 x，此时绳速 2v gx 在 t t t 时间内，又有 mx 的绳落到秤盘上，由动量定理得F t m v xv (忽略微元段绳本身的重力冲量 ) 即 2 2F v( x / t ) v g x 故 3N F gx gx 因而秤盘的最大读数为 3mg，即出现在柔绳将要全部掉到秤盘上时 例 10(2011 年复旦大学千分考 )在一根长的水平杆上穿着 5 个质量相同的珠子，珠子可以在杆上无摩擦地运动，初 始时若各珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们间最多可以碰撞次 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 解析 ：两个质量相同的圆球在发生对心碰撞 (初速度沿球心的连线方向 )时是完全弹性碰撞，碰后二者的速度发生交换 给珠子依次编号为 1， 2， 3， 4， 5.由于珠子完全相同，碰撞后速度交换，可以看做是碰后 2 为 1， 1 为 2，相当于碰撞后二者保持原先的运动状态不变 如果1 的速度大于后面 4 个珠子任一个的速度，则 1 的速度会传递给 2345，即发生 4 次碰撞 同理 2 发生 3 次， 3 发生 2 次， 4 发生 1 次，共 4+3+2+1=10 次 若 5 个珠子存在速度反向的情况，则珠子必会相撞，但总的碰撞次数肯定是小于等于同向的情况 故选 D 例 11(2011 年复旦大学千分考 )设土星质量为 5.671026kg，其相对于太阳的轨道速率为 9.6 km/s，一空间探测器质量为 150 kg，其相对于太阳的速率为 10.4 km/s，并迎向土星方向飞行 由于土星的引力 ，探测器绕过土星沿着和原来速度相反的方向离去，则它离开土星后相对于太阳的速率为 km/s A. 20 B. 29.6 C. 9.6 D. 4.8 解析 ：物体相互作用，交换动量和能量的过程都叫碰撞，而碰撞问题都具有动量守恒和能量守恒两大特点 本题中探测器和土星就是一种无接触的 “碰撞 ”问题 以太阳为参考系 ，动量守恒： m v m v m v m v 土 土 探 探 土 土 探 探 能量守恒： 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 m v m v m v mv 土 土 探 探 土 土 探 探 联立可得 2 mm mv v vm m m m土 探 土探 探 土土 探 土 探 因为探测器质量远小于土星质量，故 2 2 9 6v v v . km / s 探 探 土 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 22 页 5. 机械能 例 12(2011 年华约样题 )如图所示，刚性细直棒长为 2l，质量不计，其一端 O 用光滑铰链与固定转轴连接，在细棒的中点固定一个质量为 4m 的小球 A，在细棒的另一端固定一个质量为 m 的小球 B将棒置于水平位置由静止开始释放 ，棒与球组成的系统将在竖直平面内作无摩擦的转动，则该系统在由水平位置转至竖直位置的过程中 ( ) A.系统的机械能守恒 B.棒对 AB 两球都不做功 C.A 球通过棒对 B 球做正功 D.B 球通过棒对 A 球做正功 解析 ：设棒转过 90时 B 所在平面为零势能面 系统从水平位置转至竖直位置的过程中，由机械能守恒得 2211m 4 m242 22 2BB vvm g l l m g l () 解得 2 6gBvl ，单独对 B 球而言21mg 2 W m2 Blv 得 W mgl ，故选 AC 例 13 (2008 年上海交通大学 )有一劲度系数为 k 的轻质弹簧竖直放置，下端悬一质量为 m的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢提起，直到小球离开地面，在此过程中外力所做的功为 解析 ：小球离地时，弹簧的伸长量为 mgx k 外力做功 2 2 222W m g h k x / m g h m g / ( k ) 例 14(2007 年北京大学 )长为 6L，质量为 6m 的匀质绳置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌面外，另一端系有一个可视为质点的质量为 M 的木块，如图所示，木块在 AB 段与桌面无摩擦，而 BE 段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略 初始时刻用手按住木块使其停在 A 处，绳处于绷紧状态， AB BC C D D E L ，放手后，木块最终停在 C 处，桌面距地面高度大于 6L，求： (1) 木块刚滑至 B 点时的速度 v 和木块与 BE 段的动摩擦因数 ； (2) 若木块在 BE 段与桌面的动摩擦因数变为 24 lm / ( M ) ，则木块最终停在何处 ? (3) 是否存在一个 值，能使木块从 A 处释放后，最终停在 E 处，且不再运动，若能，求出该值，若不能，简要说明理由 解析 ： (1)物从 A 运动到 B 点，由动能定理得 22 3 3 2 6 2Bm g L m g . ( L / ) ( M m ) v / , 即得 56B mv glMm 物体从 A 到 C 点，由动能定理得 2 4 2mg L ( mg . L ) MgL 即 6m/ M (2)由动能定理得 2 2 2mgL ( x / L ) mg ( L x / ) Mg ( x L ) 即 222 13 21 0x Lx L 解得 3x L, 和 35x . L (舍去 ) (3)木块要停在 E 处需满足 6 Mg mg 即 6 m/ M 而要木块滑到 E 点须满足 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 23 页 6 3 2 3m g . L m g L Mg . L，即 16 3 m/ M 与前面求得结果矛盾，故没有满足要求的 值 6. 天体运动 例 15(2002 年上海交通大学 )飞船沿半径为 R 的圆周绕地球运动 ,如果飞船要返回地面 ,可在轨道上某一点 A 处将速率降低到适当数值 ,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动 椭圆与地球表面在 B 点相切如图 2-10,求飞船由 A 点到 B 点所需的时间 (已知地球半径为 0R ,地球表面的重力加速度为 g) 解析 ：由开普勒第三定律得 2 3 2 310 22T / R T / ( R / R / )而 2 2 2 20 4G M m / R m g , G M m / R m R ( / T ), A 到 B 的时间 1 2t T/ 故 00022( R R ) R Rt Rg 例 16(2007 年上海交通大学 )质量为 m 的行星在质量为 M 的恒星引力作用下，沿半径为 r的圆轨道运行，要使该行星运行轨道半径增大 1%，外界要做多少功， (行星在恒星引力场中的势能 pE GMm/ r ，其中 G 为引力常量 ) 解析：由 22GmM / r mv / r 得 2 22kE m v / G M m / ( r ) 行星的总能量 22pkE E E G M m / ( r ) G M m / r G M m / ( r ) 故 1 1 0 1 1 2 2 0 2W E E E GMm / ( . r ) / r / GMm / ( r ) 例 17 (2002 年复旦大学 )质量为 m 的人造地球卫星，在圆轨道上运行，运行中受到大小恒为 f 的微弱阻力作用，以 r 表示卫星轨道的平均半径， M 表示地球质量，求卫星在旋转一周过程中： （ 1） 轨道半径的改变量 r （ 2） 卫星动能的改变量 kE 解析 ：（ 1）卫星受阻力作用，半径 r 逐渐变小，设转一周减小 r，则 )2/()2/()(22rrGMmrGMmrrGMmE 而)2( rfWf ， 由EW 得)/(4 3 GMmfrr （ 2） 222kE