江苏省2018年专转本高等数学试卷及解答.pdf

绝密启用前 江苏省 2018 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注意事项： 1本试卷分为试题卷和答题卡两部分试题卷共 3 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置 3考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答 题卡上将所选项的字母标号涂黑） 1当0 x 时，下列无穷小中与 2 ( )sinf xxx=同阶的是（ B ） A 2 cos1x B 3 11x+ C31 x D 23 (1)1x+ 解 22 1 cos1 2 xx， 33 1 11 2 xx+，31ln3 x x， 232 (1)1 3xx+，答案为：B 2设函数 2 ( ) xa f x xxb = + ，若1x =为其可去间断点，则常数a，b的值分别为（ A ） A12， B1 2 ， C12， D1 2， 解 1x =为其可去间断点，应有1 10b+ +=， 1 lim()10 x xaa = =，答案为：A 3设 1 ( )() 1 x f x x = + ，其中( )x为可导函数，且(1)3=，则(0) f 等于（ A ） A6 B6 C3 D3 解 22 1(1)(1)21 ( )()() 1(1)(1)1 xxxx fx xxxx + = + ，则(0)2(1)6f= = ，答案为：A 4设 2 ( )e x F x =是函数( )f x的一个原函数，则( )dxfxx 等于 ( B ) A 2 1 e (1) 2 x xC+ B 2 e (21) x xC+ C 2 1 e (1) 2 x xC+ D 2 e (21) x xC+ 解 222 ( )dd ( )( )( )d( )e2ee xxx xfxxx f xxf xf x xxf xCC=+=+ ，答案为：B 5下列反常积分中发散的是（ D ） A 0 e d x x B 3 1 1 dx x + C 2 1 d 1 x x + + D 0 1 d 1 x x + + 解 00 e d1 xx xe = ， 32 1 1 111 d 22 x xx + + = = ， 2 1 d 1 x x + = + ，答案：D 6下列级数中绝对收敛的是（ C ） A 1 ( 1)n nn = B 1 12( 1)n n n = + C 2 1 sin n n n = D 3 1 ( 3)n n n = 解 22 sin1n nn ， 2 1 sin n n n = 收敛，且绝对收敛，答案：C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7设 1 0 2 lim(1)lim sin x xx axx x +=，则常数a = ln2 解 由 1 0 2 lim(1)lim sin x xx axx x +=，得e2 a =，所以ln2a = 8设 x yx=（0 x ） ，则y= ln2 2 x x x x + 解 lnlnyxx=， 1ln1 2 x y yxx = + ln2 2 x x x x + = 9设( , )zz x y=是由方程 2 1zxyz+=所确定的函数，则 z x = 2 yz zxy + 解 20 zz zyzxy xx += ， 2 zyz xzxy = + 10曲线 432 34612yxxxx=+的凸区间为 1 ( 1, ) 3 解 32 12121212yxxx = +， 2 362412yxx = +，令0y，得 1 1 3 x 11已知空间三点(1,1,1)M，(1,1,0)A，(2,1,2)B，则AMB= 3 4 解 (0,0, 1)MA= ，(1,0,1)MB = ，则 11 cos | |122 MA MB AMC MAMA = ，所以 3 4 AMB = 12幂级数 1 (4) 5 n n n x n = + 的收敛域为 9,1) 解 1 1 11(1) 5 limlim 1 515 5 n nn n nn n n + + = + ，则 1 (4) 5 n n n x n = + 收敛半径5R =，则有|4| 5x +，得91x 时， 2 ln e xx 证明 设 2 ( )ln e f xxx=，则 11e ( ) ee x fx xxx =， 2 11 ( ) 2e fx xx x = +，令( )0fx=得唯 一驻点 2 ex =，又 2 4 1 (e )0 e f = ，都有 2 ( )(e )0f xf=，即有 2 ln e xx x y O 1 2 22 设函数 0 ( )d 0 ( ) 00 x f tt x F x x x = = ， 其中( )f x在(,) +内连续， 且 0 ( ) lim1 x f x x =， 证明：( )F x 在点0 x =处连续 证明 当0 x 时， 0 2 ( )( )d ( ) x xf xf tt F x x = ， 当0 x =时， 0 0 2 0000 ( )d ( )d ( )(0)1( )1 (0)limlimlimlim 22 x x xxxx f tt f tt F xFf x x F xxxx = ， 所以 0 2 ( )( )d 0 ( ) 1 0 2 x xf xf tt x x F x x = = ， 又 00 22 000 ( )( )d( )d ( ) lim( )limlim xx xxx xf xf ttf tt f x F x xxx = 0 2 00 ( )d ( ) limlim x xx f tt f x xx = 000 ( )( )1( )1 limlimlim(0) 222 xxx f xf xf x F xxx = 因而，( )F x在点0 x =处连续 五、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 23设平面图形D是由曲线弧cosyx=（ 42 x ）与 sinyx=（ 4 x ）及x轴所围成，试求： （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 解 （1） 2 44 2 4 4 11 sin dcos dcossin( 1)(1)2 22 Ax xx xxx = = = ， （2） 22 22 44 44 sindcosd(1cos2 )d(1cos2 )d 22 x Vx xx xx xx x =+ 2 2 44 11311 (sin2 )(sin2 )()() 22222422 4242 xxxx =+=+=+ 24已知函数( )f x满足方程( )3( )2 ( )0fxfxf x+=，且在0 x =处取得极值 1，试求： 4 2 x y O （1）函数( )f x的解析式； （2）曲线 ( ) ( ) fx y f x =的渐近线方程 解 （1）特征方程为 2 320rr+=，解得特征根为 1 1r =， 2 2r =，所以 2 12 ( )ee xx f xcc=+， 2 12 ( )e2 e xx fxcc=+， 依题意有(0)1f=，(0)0 f =， 得 12 1cc+=，1 2 20cc+=， 解得 1 2c =， 2 1c = ， 所以 2 ( )2ee xx f x = （2）由 2 2 ( )2e2e ( )2ee xx xx fx y f x = ，得 2 2 2e2e2e2 limlimlim2 2ee2e1 xxx xxx