四年级奥数正式教材学生用.doc

智合教育暑期蓝天行动目录目录- 1 -（一） 找规律- 2 -数列中的规律- 2 -图形中的规律- 3 -（二） 数字谜- 6 -横式字谜- 6 - 竖式字谜- 9 -（三） 定义新运算- 12 -（四） 鸡兔同笼- 14 -（五） 行程问题- 16 -追击及遇问题- 17 -火车过桥- 19 -（六） 植树问题- 21 -（七） 有趣的数阵图- 24 -（八） 有趣的数阵图练习- 27 -（九） 枚举法- 29 -（十） 逻辑推理- 32 -（十一） 抽屉原理- 34 -（十二） 倒推法的妙用- 36 -（十三） 火柴棍游戏- 39 -摆图形游戏- 39 - 移动火柴，变换图形游戏- 40 -去掉火柴，变换图形游戏- 41 -（十四） 巧求面积习题- 42 -（十五） 方程式解应用题- 43 -（十六） 移多补少平均数- 45 -（十七） 一笔画- 46 -（1） 找规律观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。数列中的规律一、例题与方法指导例1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（ ），16，19思路导航：在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或163=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。例2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），16，22思路导航：在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。应填的数为：7+4=11或16-5=11例3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12思路导航：在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=102、 巩固训练1.先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（ ），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，32.先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，143、 拓展提升先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）图形中的规律我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜色，形状，大小，结构，位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推断出结果吗？一、例题与方法指导例1.下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗？思路导航：题中几个图形的共同特征是：先连接各边中点，组成一个复合图形。所不同的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他几个不一样。例2.找出下组图形中不同的项。思路导航：题中只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的。故不同的选项应该为D例3.在下面图形中找出一个与众不同的.(1) (2) (3) (4) (5)思路导航：很容易看出题目图中(1)逆时针旋转就是(4),但是这样一来,(2)、(3)、(5)都与它们不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.图(2)顺时针旋转,且大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)配对,(2)与(5)配对.解:与众不同的是题目图中的(4).例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.思路导航：我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状便是应填的图案中的花盆形状;花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、灰(画有斜线)三色组成,图中第三行已有白、灰二色，所以应填的花盆为黑色(如下图(1);(2)花茎:如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右(如下图(2);(3)花叶:花叶数量为两朵,方向是向左、右平展(如下图(3);(4)花朵:形状为圆形(如下图(4). (1) (2) (3) (4) 解:依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图(4).2、 巩固训练1. 按顺序观察图51与图52中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“?”的空格处应画什么样的图形?2.请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。3. 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“?”处填上合适的图形.4.下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“?”处填上适当的图形.（2） 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜1、 例题与方法指导例1 ，8，97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？思路导航：150*3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。思路导航：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。思路导航：40796/102=399.98。例4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？ 思路导航：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161例5 （）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、 例题与方法指导例1.设 ab都表示数，规定ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab=4a-3b,试计算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9说明 例1定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例2.对于两个数a、b,规定ab表示3a+2b,试计算（56）7，5（67）。思路导航：先做括号内的运算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3.已知23=234，42=45，一般地，对自然数a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52）。思路导航：原式=67-56 =336-30规定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路导航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 巩固训练1.若对所有b,ab =ax,x是一个与b无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。2. 如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。3、 能力提升（4） 鸡兔同笼鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。计算时的主要数量关系是：1.如果假定全部是兔，则鸡的只数=（每只兔的足数总头数总足数）（每一只鸡与兔足数的差）简单理解就是：鸡的只数=（4 总头数总足数）2兔的只数=总头数鸡的只数2.如果假定全部是鸡，则兔的只数=（总足数每只鸡的足数总头数） （每一只鸡与兔足数的差）简单写就是兔的只数=（总足数2 总头数） 2鸡的只数=总头数兔的只数1、 例题与方法指导例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？思路导航：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是1002=200（只），但比实际320只脚要少320200=120（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一只后脚，而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了120只脚，所以兔子应该有1202=60（只）。解法一： 解法二：2100=200（只）4100=400（只）320200=120（只） 400320=80（只）1202=60（只） 802=40（只）10060=40（只） 10040=60（只）答：鸡有40只，兔有60只。例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，这两种纸币各多少张？思路导航：（1）假设200张纸币完全是2元，共值： 2200=400（元）（2）比实际少： 940400=540（元）（3）2元换成5元，每张增加： 52=3（元）（4）5元纸币有： 5403=180（张）（5）2元纸币有： 200180=20（张）答：有180张5元、20张2元纸币。例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？思路导航：假设去掉多的25只鸡，则一共去掉225=50（只）脚，那么17650=126（只）脚是鸡和兔一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有24=6（只）脚，可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔，然后再加上去掉的25只鸡。225=50（只）17650=126（只）24=6（只）1266=21（对）鸡、兔各21只21+25=46（只） 鸡的只数答：鸡有46只，兔有21只。2、 巩固训练1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？3、 拓展提升1. 鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？2. 46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少条？3. 某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车各多少辆？（5） 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 时间2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 时间3. 追击问题： 路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。追击及遇问题1、 例题与方法指导例1.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228 （38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例2.东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？思路导航： 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？254.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)3=30（千米）答：乙车每小时行30千米。例3.兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航： 从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。解：（1）从家到学校的距离的2倍：14002=2800（米）（2）从出发到相遇所需的时间：2800（200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-8010=600（米） 答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。2、 巩固训练1.两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？3、 拓展提升1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？2.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。3.两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？火车过桥 过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系： 过桥问题的一般数量关系是：因为：过桥的路程 = 桥长 + 车长 所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）车速车速 = （桥长 + 车长）过桥时间公式的变形： 桥长 = 车速过桥时间 车长车长 = 车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。1、 例题与方法指导例1.一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？思路导航： 从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。 （1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米） （2）过桥时间：6800400 = 17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。 例2.一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？思路导航： 要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。 （1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火车的速度：60030 = 20（米） 答：这列火车每秒行20米。例3.某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？思路导航： 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。 （1）第一个隧道比第二个长多少米？ 360216 = 144（米） （2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？ 2416 = 8（秒） （3）火车每秒行多少米？ 1448 = 18（米） （4）火车24秒行多少米？ 1824 = 432（米） （5）火车长多少米？ 432360 = 72（米）答：这列火车长72米。2、 巩固训练 1.某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？2. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？3. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？3、 拓展提升1.一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？2.一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？3.一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？4.在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？（6） 植树问题只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：植树问题的三要素：总路线长、间距(棵距)长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个植树问题的分类：直线型的植树问题封闭型植树问题特殊类型的植树问题1、 例题与方法指导例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?思路导航：每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?思路导航：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=13509=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？思路导航：16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为815120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；83=122=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120245，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。2、 巩固训练1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?3、 巩固训练1. 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？2. 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？3. 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？（7） 有趣的数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.一、例题与方法指导例1.在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。思路导航：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。因为九个数都不大于12，由16x12知4x，由x+212知x10，即4x10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。例2.将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有证明：思路导航：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2db，右下角的数为2d-c（见下图）。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac，2cab，abc2。值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。例3.在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。思路导航：由上一讲例4知，中心数为90330；由本讲例2知，右上角的数为（2357）240（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。例4.在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。思路导航：由例2知，右下角的数为（810）2=9；由上一讲例4知，中心数为（59）2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于73=21。由此可得如图的填法。二、巩固训练 1. 将16分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和相等. 2. 把18个数分别填入中,使每条边上三个数的和相等.3. 把19个数分别填入中,使每条边上四个数的和相等.4. 把110填入图中,使五条边上三个内的数的和相等. 5. 将18个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.（8） 有趣的数阵图练习1.把17填入下图中,使每条线段上三个内的数的和相等. 2.把116填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.3.把49填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.4. 把18这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.-=+=5.把09填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.6.把111填入图中,使每条线上三个数的和相等.7.把18,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.8.把19,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.9.把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.（9） 枚举法一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。1、 例题与方法指导例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？思路导航：解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。总共10+10=20（个）答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）思路导航：解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。第一种走法：A B C第二种走法：A B C第三种走法：A B C第四种走法：A B C第五种走法：A B C第六种走法：A B C答：从A市经过B市到C市共有6种走法。例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？思路导航：（1）数码一共有10个：0、1、28、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：290=180（个）（3）还剩下的数码：1890-9-180=1701（个）（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。17013=567（页）（5）这本书的页数：9+90+567=666（页）2、 巩固训练1. 如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？ 3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？ 4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5.有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？ 3、 能力提升1. 甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？2. abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系ab，bc