高考数学求递推数列通项公式的十种策略例析(全面).doc

1递推数列通项公式的探求例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列an满足nn1n23a2a，2a1，求数列an的通项公式。解：nn1n23a2a两边除以1n2，得232a2ann1n1n，则232a2ann1n1n，故数列2ann是以1222a11为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n(12ann，所以数列an的通项公式为nn2)21n23(a。评注：本题解题的关键是把递推关系式nn1n23a2a转化为232a2ann1n1n，说明数列2ann是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n(12ann，进而求出数列an的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列an满足1a1n2aa1n1n，求数列an的通项公式。解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a1)1(2)1(21)1(12)2()1(21)112()122(1)2(21)1(2nnnnnnnn所以数列an的通项公式为2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1n2aan1n转化为1n2aan1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列an的通项公式。例3已知数列an满足3a132aa1nn1n，求数列an的通项公式。2解：由132aann1n得132aann1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a3)1()3333(23)132()132()132()132(12211221nnnnn所以1n32n31332annn评注：本题解题的关键是把递推关系式132aann1n转化为132aann1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足3a132a3a1nn1n，求数列an的通项公式。解：132a3ann1n两边除以1n3，得1nnn1n1n31323a3a，则1nnn1n1n31323a3a，故3a)3a3a()3a3a()3aaa()aa3a(3a111223n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnnnn33)3132()3132()3132()3132(22n1nn1)3131313131(3)1n(222n1nnn因此n1nnnn321213n2131)31(313)1n(23a，则213213n32annn评注：本题解题的关键是把递推关系式132a3ann1n转化为1nnn1n1n31323a3a，进而求出)3a3a()3a3a()3a3a(3n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnn+a)3a3a(11122，即得数列3ann的通项公式，最后再求数列an的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5已知数列an满足3aa5)1n(2a1nn1n，求数列an的通项公式。解：因为3aa5)1n(2a1nn1n，所以0an，则nn1n5)1n(2aa，则112232n1n1nnnaaaaaaaaaa35)11(25)12(25)12n(25)11n(2122n1n3523)1n(n212)2n()1n(1n所以数列an的通项公式为!n523a2)1n(n1nn3评注：本题解题的关键是把递推关系nn1na5)1n(2a转化为nn1n5)1n(2aa，进而求出112232n1n1nnaaaaaaaaa，即得数列an的通项公式。例6已知数列an满足)1n(a3a2aa1a321n1，)2n(a)1n(1n，则an的通项2n2!n1n1an，解：因为)2n(a)1n(a3a2aa1n321n所以n1n3211nnaa)1n(a3a2aa所以式式得nn1nnaaa则)2n(a)1n(an1n则)2n(1naan1n所以2232n1n1nnnaaaaaaaa22a2!na34)1n(n由)2n(a)1n(a3a2aa1n321n，取n=2得212a2aa，则12aa，又知1a1，则1a2，代入得2!nn5431an。评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n(a)1n(an1n转化为1naan1n（n2），进而求出2232n1n1nnaaaaaaa，从而可得当n2时na的表达式，最后再求出数列an的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列an满足6a53a2a1nn1n，求数列an的通项公式。解：设)5xa(25xann1n1n将nn1n53a2a代入式，得nn1nnn5x2a25x53a2，等式两边消去na2，得n1nn5x25x53，两边除以n5，得x25x3，则x=1，代入式，得)5a(25ann1n1n4由1565a110及式，得05ann，则25a5ann1n1n，则数列5ann是以15a11为首项，以2为公比的等比数列，则1nnn215a，故n1nn52a。评注：本题解题的关键是把递推关系式nn1n53a2a转化为)5a(25ann1n1n，从而可知数列5ann是等比数列，进而求出数列5ann的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足1a425a3a1nn1n，求数列an的通项公式。解：设)y2xa(3y2xann1n1n将425a3ann1n代入式，得)y2xa(3y2x425a3nn1nnn整理得y32x3y42)x25(nn。令y3y4x3x25，则2y5x，代入式，得)225a(3225ann1n1n由013121225a11及式，得0225ann，则3225a225ann1n1n，故数列225ann是以13121225a11为首项，以3为公比的等比数列，因此1nnn313225a，则225313an1nn。评注：本题解题的关键是把递推关系式425a3ann1n转化为)225a(3225ann1n1n，从而可知数列225ann是等比数列，进而求出数列225ann的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例9已知数列an满足1a5n4n3a2a12n1n，求数列an的通项公式。解：设z)1n(y)1n(xa21n)zynxna(22n将5n4n3a2a2n1n代入式，得z)1n(y)1n(x5n4n3a222n)zynxna(22n，则zynxnazyxnyxnxann2222)5()42()3(2225等式两边消去na2，得z2yn2xn2)5zyx(n)4yx2(n)x3(22，则得方程组z25zyxy24yx2x2x3，则18z10y3x，代入式，得18)1n(10)1n(3a21n)18n10n3a(22n由0323111811013a21及式，得018n10n3a2n则218n10n3a18)1n(10)1n(3a2n21n，故数列18n10n3a2n为以323111811013a21为首项，以2为公比的等比数列，因此1n2n23218n10n3a，则18n10n32a24nn。评注：本题解题的关键是把递推关系式5n4n3a2a2n1n转化为)18n10n3a(218)1n(10)1n(3a2n21n，从而可知数列18n10n3a2n是等比数列，进而求出数列18n10n3a2n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列an满足5nn1na32a，7a1，求数列an的通项公式。解：因为7aa32a15nn1n，所以0a0a1nn，。在5nn1na32a式两边取常用对数得2lg3lgnalg5algn1n设)yxna(lg5y)1n(xalgn1n11将式代入11式，得)yxna(lg5y)1n(x2lg3lgnalg5nn，两边消去nalg5并整理，得y5xn52lgyxn)x3(lg，则y52lgyxx5x3lg，故42lg163lgy43lgx代入11式，得42lg163lg)1n(43lgalg1n)42lg163lgn43lga(lg5n126由042lg163lg143lg7lg42lg163lg143lgalg1及12式，得042lg163lgn43lgalgn，则542lg163lgn43lgalg42lg163lg)1n(43lgalgn1n，所以数列42lg163lgn43lgalgn是以42lg163lg43lg7lg为首项，以5为公比的等比数列，则1nn5)42lg163lg43lg7(lg42lg163lgn43lgalg，因此42lg63lgn43lg5)42lg163lg43lg7(lgalg1nn1n4161415)2lg3lg3lg7(lg)233lg(5)2337lg(2lg3lg3lg411614n1n4116141411614n1n41161415)2337lg()237lg()2337lg()233lg(415161n4n51n541516154n51n5411614n1n1n1n1n，则415161n4n55n1n1n237a。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5nn1na32a转化为)42lg163lgn43lga(lg542lg163lg)1n(43lgalgn1n，从而可知数列42lg163lgn43lgalgn是等比数列，进而求出数列42lg163lgn43lgalgn的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11已知数列an满足5aaa12)1n(3n1nn，求数列an的通项公式。解：因为n2)1n(3n1naa，所以1n2n1n2n32)1n(32n2n31nnaaa2)1(1)1()2()3(211)1()2()3(3)1()2(23)1()2(22!312)1()2(32312)1)(2(332)1(32)2(332)1(32nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa又5a1，所以数列an的通项公式为2)1n(n1n2!n3n5a。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式n2)1n(3n1naa两边取常用对数得nn1nalg2)1n(3alg，即nn1n2)1n(3algalg，再由累乘法可推知72)1n(n1n2!n3112232n1n1nnn5lgalgalgalgalgalgalgalgalgalgalg，从而2)1n(n2!n3n1n5a七、利用换元法求通项公式例13已知数列an满足1a)a241a41(161a1nn1n，求数列an的通项公式。解：令nna241b，则)1b(241a2nn故)1b(241a21n1n，代入)a241a41(161ann1n得b)1b(24141161)1b(241n2n21n即2n21n)3b(b4因为0a241bnn，故0a241b1n1n则3bb2n1n，即23b21bn1n，可化为)3b(213bn1n，所以3bn是以2312413a2413b11为首项，以21为公比的等比数列，因此2n1nn)21()21(23b，则2nn)21(b+3，即3)21(a2412nn，得31)21()41(32annn。评注：本题解题的关键是通过将na241的换元为nb，使得所给递推关系式转化23b21bn1n形式，从而可知数列3bn为等比数列，进而求出数列3bn的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。八、利用不动点法求通项公式例14已知数列an满足4a1a424a21a1nn1n，求数列an的通项公式。解：令1x424x21x，得024x20x42，则3x2x21，是函数1x424x21)x(f的两个不动点。因为91327a926a13)1a4(324a21)1a4(224a2131a424a2121a424a213a2annnnnnnnnn1n1n。3a2ann，所以数列3a2ann是以234243a2a11为首项，以913为公比的等比数列，故3a2ann1n)913(2，则31)913(21a1nn。评注：本题解题的关键是先求出函数1x424x21)x(f的不动点，即方程1x424x21x的两个根3x2x21，进而可推出3a2a9133a2ann1n1n，从而可知数列3a2ann为等比数列，再求出数列3a2ann8的通项公式，最后求出数列an的通项公式。例15已知数列an满足2a3a22a7a1nn1n，求数列an的通项公式。解：令3x22x7x，得02x4x22，则x=1是函数)x(f7x41x3的不动点。因为3a25a513a22a71annnn1n，所以1a11n521a1)1a251(521a23a525a53a2nnnnnn，所以数列1a1n是以11211a11为首项，以52为公差的等差数列，则52)1n(11a1n，故3n28n2an。评注：本题解题的关键是先求出函数7x41x3)x(f的不动点，即方程3x22x7x的根1x，进而可推出521a11a1n1n，从而