毕业设计（论文）-中学的极限、导数知识与数分相关内容的比较.doc

目录摘要第一章 绪论11.1研究背景11.2研究现状及本文研究内容1第二章 中学极限与数分相关内容的比较22.1 中学数列极限与数分数列极限22.2中学函数极限与数分函数极限2第三章 中学导数与数分相关内容的比较43.1中学导数与数分导数在定义、几何意义上的比较4 3.2.1几个常用函数的导数43.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则53.3中学导数与数分导数在研究函数中应用上的比较63.3.1函数的单调性与导数63.3.2函数的极值与导数63.3.3函数的最大（小）值与导数8总结9参考文献9致谢10中学的极限、导数知识与数分相关内容的比较摘要：极限、导数知识是数学中的重要概念，在数学中，如果某个变化的量无限的逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变量的极限。而导数是联系高等数学与初等数学的纽带，。本文对极限知识中的数列极限从其定义以及性质方面做了比较，知道了在中学阶段和数分中对于其定义有所不同，数分中引入了新的元素，增加了想象思维。对函数极限将分别从定义、四则运算以及连续性方面进行比较；发现在数分中较中学阶段更加地深入的描述了函数极限，同时也用到领域的概念，而对导数将从定义、计算以及在函数方面的应用中的单调性、极值以及最值方面系统地阐述中学阶段与数分中有关知识方面的异同，知道了数分中对中学阶段的相关知识有所加深也有所补充。关键词：无限的逼近，单调性，极值、最值第一章 绪论1.1引言极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。而数学分析中的极限思想与我们高中所学到的极限知识有什么异同呢？找到其中的异同能让我们更快更好地接受和研究极限思想；也为以后从事的教学工作有一定的帮助。导数在现行的中学数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的扭带，是中学数学知识 的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。导数知识的学习有利于学生更好地理解函数的性态、更好地掌握函数思想以及发展学生的思维能力。做中学导数知识与数学分析中相关内容的比较，有利于更好地把握二个阶段的联系，从而更加深刻地掌握导数知识，为进一步研究其它方面做好铺垫。1.2研究现状以及本文研究内容在此以前有学者对极限做了“高中极限与当前极限知识的联系”；对导数做了“导数与中学数学的联系与应用”的研究.但对中学极限、导数与数学分析中有关知识点的比较还未有研究。本文将对极限内容中的数列极限从定义以及四则运算两方面进行比对，对函数极限将分别从定义、四则运算以及连续性方面进行比较；而对导数将从定义、计算以及在函数方面的应用系统地阐述中学数学与大学数学中有关知识方面的异同。第二章 中学极限与数分相关内容比较极限的思想可以追朔到古代，战国时代哲学家庄周在所著庄子天下篇中写到：“一尺之锤，日取其半，万世不截。”这个故事中，庄子所揭示的切棒理论：一尺长的木棒，每天取其中一半，永远也取不完。其切棒的极限是“0”，越切越短，越切越少，但是“万世不竭”永远不为零，而又无限接近。三国时代数学家刘徽为计算圆周长而使用的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”体现了我国古代哲学家和数学家的极限思想与方法，表现了我国劳动人民的聪明和智慧。利用这些极限思想解题不仅可以化难为易，形象直观，而且可以通过这种思想的运用又能加深对极限概念的认识和理解。2.1中学数列极限与数分数列极限中学数列极限定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列 an 的项an无限地趋近于某个常数a(即| an -a|无限地接近于0)，那么就说数列 an 以a为极限记作数分数列极限定义：设有数列an,a是有限常数。若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有|an-a|,则称数列an的极限是a（或a是数列an的极限）或数列an收敛于a（|an|是收敛数列），表为或an a(n). 或an a(n).若数列 an 不存在极限，则称数列 an 发散.我们可以看出在中学对于数列极限的定义是从数列的项数定义的，当项数n趋近于无穷时an趋近于一个常数，就说数列 an 是以a为极限；而数分中对于数列极限的定义中引入的任意正数数数列极限由定性描述转入定量定义的关键。一方面，正数具有绝对的任意性。另一方面，正数又具有相对的固定性，从而不等式| an - a |0，0，:0|x-a|时(或xU0(a,)，有|f(x)-b|0,A0,xA(a),有|f(x)-b|0)的导数中学方法：解 因为 =，所以 y=.数分方法：解 x0, 有f(x+x)= (x+x0),y= f(x+x)- f(x)= -=有 =即（）=3.3.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1、中学与数分对基本初等函数的求导公式相同如下所示：（1） 若f(x)=c(c为常数)，则f(x)=0;（2） 若f(x)=(),则f(x)=;（3） 若f(x)=,则f(x)=;（4） 若f(x)=,则f(x)=-;（5） 若f(x)=,则f(x)=;（6） 若f(x)=,则f(x)=;（7） 若f(x)=,则f(x)=;（8） 若f(x)=,则f(x)=.2、导数的四则运算法则中学与数分对导数的四则运算法则相同且如下：(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(3)= (g(x)0)3.3.1函数的单调性与导数中学：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a , b）内，如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果f(x)0.因此，函数f(x)=+3x在R上单调递增,如下图所示 图1-1设函数f(x)在区间I可导.函数f(x)在区间I单调增加（单调减少）xI,有 f(x)0 (f(x).例：讨论函数f(x)=-6+9x-2的严格单调性.解：函数f(x)的定义域是R.f(x)=3-12x+9=3(x-1)(x-3).令f(x)=0,其根是1与3，它们将R分成三个区间：(- , 1) , (1 , 3 ) ,(3 , +).因为导函数f(x)在每个区间上的符号不变，所以f(x)在区间某一点的符号就是导数f(x)在该区间上的符号.例如，0(- , 1),而f(0)=9,即导函数f(x)在区间 (- ,1)是正号.不难判别0, x (- , 1)或x (3 , +),f(x) 0, x(1 , 3).则函数f(x)在(- , 1)与(3 , +)严格增加；在(1 , 3)严格减少.作表如下： (- , 1) (1 , 3) (3 , +)f(x) + - +f(x) 其中符号“”表示严格增加，“”表示严格减少.表1-1由以上定义以及例题可知中学阶段与数分中在定义函数的单调性和导数的关系都是一致的，都是通过求解一阶导数，再判断其符号，在某一区间内，若一阶导数大于零，则为单调增加函数，若一阶导数小于零，则为单调减小的函数。3.3.2函数的极值与导数中学：如图所示，以a,b两点为例，我们可以发现，函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0.类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f(x)0,右侧f(x)0,有0 (0), x(a- , a)f(x)0) , x (a ,a+) 则a是函数f(x)的极大点（极小点）,f(a)是极大值（极小值）.第二判别法：若函数f(x)在a 存在n阶导数,且f(a)=f“(a)=(a)=0, (a)0,1) n是奇数，则a不是函数f(x)的极值点.2) n是偶数,则a是函数f(x)的极值点：当(a)0时，a是函数f(x)极小点,f(a)是极小值；当(a)0时，a是函数f(x)极大点,f(a)是极大值.3.3.3函数的最大(小)值与导数中学：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(更小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时,我们往往更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小.如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在相应区间上的所有函数值.一般地,求函数y=f(x)在a ,b 上的最大值与最小值的步骤如下：(1) 求函数 y=f(x)在(a ,b )内的极值;(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.数分：设函数f(x)在闭区间a ,b 连续,根据闭区间连续函数的性质,函数f(x)必在闭区间a ,b 的某点x0取得最小值(最大值).一方面, x0可能是闭区间a ,b 的端点a 或b;另一方面, x0可能是开区间(a ,b )内部的点,此时x0必是极小点(极大点).因此,若函数f(x)在闭区间a ,b 连续,在开区间(a ,b )可导,且x1, x2 ,xn是函数f(x)在开区间(a ,b )内的所有稳定点,则函数值(n+2个数)f(a) , f(x1) , f(x2) , ,f(xn) , f(b) 中最小者就是函数f(x)的最小值,最大者就总结从我开始写论文到现在已历尽了一段时间，时至今日，论文基本完成。从最初的茫然，到慢慢地进入状态再到对思路逐渐的清晰，整个写作过程难以用语言来表达。经过这段时间的奋战，紧张而又充实的毕业设计终于落下了帷幕。回想这段日子的经历和感受，我感慨万千，在这次毕业论文的设计过程中，我拥有了无数难忘的回忆和收获。从确定题目开始我便立刻着手资料的收集工作，当时面对浩瀚的书海真是有些茫然，不知如何下手。我将这一困难告诉了指导老师，在她的细心指导下，终于使我对自己现在的工作方向和方法有了掌握。资料查找完毕后，我开始着手论文的写作。在写作过程中遇到困难我就及时和指导老师联系，并和同学互相交流。在大家的帮助下，困难一个一个解决掉，论文也慢慢成型。这次毕业论文的制作过程是我的一次再学习，再提高的过程。在论文的写作过程中让我对中学中极限、导数知识与大学数学分析中相关内容有了更深刻的理解。我不会忘记这难忘的一段时间。毕业论文的制作给了我难忘的回忆。在我徜徉书海，查找资料的日子里，面对无数书本的罗列最难忘的是每次找到与所写论文所需资料时的激动和兴奋。在整个过程中，我学到了新知识，增长了见识。在今后的日子里，我仍然要不断地充实自己，争取在所学领域有所作为。脚踏实地，认真严谨，实事求是的学习态度，不怕困难、坚持不懈、吃困耐劳的精神是我在这