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第四章线性方程组的直接解法（二）,第五节向量和矩阵范数,第六节方程组的性态与误差分析,5向量和矩阵的范数,一、向量范数,常用向量范数：,注：,可以理解为,定理,Rn上一切范数都等价.,可以理解为对任何向量范数都成立.,二、矩阵范数,(4)*|AB|A|B|（相容当m=n时),常用矩阵范数：,Frobenius范数,向量|2的直接推广,对方阵以及有,利用Cauchy不等式可证.,算子范数,由向量范数|p导出关于矩阵ARnn的p范数:,则,矩阵ATA的最大特征根,我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的.,即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量仍可能是复数.将上述定义中绝对值换成复数模均成立.,若不然，则必存在某个向量范数|v使得对任意A成立.,反例?,三、谱半径,(A),证明：,由算子范数的相容性，得到,将任意一个特征根所对应的特征向量代入,证明：,A对称,若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根.,又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证.,对某个A的特征根成立,所以2-范数亦称为谱范数.,证明：,若不然，则有非零解，即存在非零向量使得,6方程组的性态与误差分析,求解时，A和的误差对解有何影响？,设A精确，有误差，得到的解为，即,绝对误差放大因子,又,相对误差放大因子,设精确，A有误差，得到的解为，即,(只要A充分小，使得,大,cond(A)取决于A，与解题方法无关.,常用条件数有：,cond(A)1,cond(A),cond(A)2,特别地，若A对称，则,条件数的性质：A可逆，则cond(A)p1；A可逆，R则cond(A)=cond(A)；A正交，则cond(A)2=1；A可逆，R正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2.,计算cond(A)2.,A1=,解：考察A的特征根,392061,测试病态程度：,此时精确解为,2.0102200%,cond(H2)=,27,cond(H3),748,cond(H6)=,2.9106,cond(Hn)asn,注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出.行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级.,近似解的误差估计及改善：,设的近似解为，则一般有,cond(A),改善方法：,Step1:近似解,Step2:,Step3:,Step4:,若可被精确解出，则有就是精
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