高等数学练习题

第一章 函数及其图形单元测试一、选择题1、若集合 ,则下列写法中正确的是()A、 B、 C、 D、 2、设 则下列式子中正确的是（）A、 B、 C、 D、 (空集)3、设A、B都是集合 的子集，且 ， 则 是（）A、 B、 C、 D、 4、 设集合 则 （）A、 B、 C、 D、 5、 设集合 ， ，则 （）A、 B、 C、 D、 6、 下列集合中为空集的是( )A、 B、 C、 D、 7、 用区间表示满足点集 的是 ( )A、 B、 C、( 1,5 ) D、 8、下列函数中与 为同一函数的是（ ）A、 B、 C、 D、 9、 函数 的定义域是 ( )A、 B、 C、 D、 10、 设 的定义域是0，1，则 的定义域是（）A、0，1 B、-1，0 C、1，2 D、0，211、若 及函数 的定义域是0，1 则 的定义域是（）A、 B、 C、 D、 12、 设函数 , 则函数 ( )A、无意义 B、在0，2上有意义 C、 在0,4上有意义 D、 在2,4上有意义13、已知 , 则 ( )A、 B、 C、 D、 14、若 , 则 ( )A、 B、 C、 D、 15、设 ，（ 为大于零的常数），则 （ ）A、 B、 C、 D、 16、设 , 则 （ ）A、 B、 C、 D、 17、函数 的值域是 （ ）A、 2,4 B、 1,5 C、-1,1 D、 -2,218、函数 的值域是 ( )A、 B、 C、 D、 19、函数 的值域是 （）A、 B、 C、 D、 20、设函数 内有定义,下列函数中必为奇函数的有 ( )A、 B、 C、 D、 21、 设函数 内有定义,下列函数中必为偶函数的是 （ ）A、 B、 C、 D、 22、设 是奇函数， 是偶函数，则函数 是 （ ）A、奇函数 B、偶函数 C、恒为常数 D、即是奇函数又是偶函数23、 函数 是 ( )A、 偶函数 B、 奇函数 C、非奇非偶函数 D、既是奇函数又是偶函数24、函数 在下列哪个区间内是有界的 （ ）A、 B、 C、 D、 25、在 上,下列函数中为有界函数的是 ( )A、 B、 C、 D、 26、函数 的周期是 ( )A、 B、 C、 D、 27、在 上,下列函数中为周期函数的是 ( )A、 B、 C、 D、 28、函数 是定义域内的( )A、 周期函数 B、单调函数 C、有界函数 D、无界函数29、设 , ,则 ( )A、 B、 C、 D、 30、设 ( )A、 B、 C、 D、 31、设 且函数 的反函数 则 = ( )A、 B、 C、 D、 32、函数 的图形是 ( )A、 关于原点对称 B、关于X轴对称 C、关于Y轴对称 D、关于直线 y=x 对称33、下列函数中,表达式为基本初等函数的是 ( )A、 B、 C、 D、 34、选择其中一个符号连接,使关系式成立: ( )A、 B、 C、 D、 35、函数 的图形对称于 （）A、ox轴 B、直线y=x C、坐标原点 D、oy轴36、下列结论正确的是 ( )第二章 极限与连续单元测试一、选择题1、设 （ ）A、 -1 B、 1 C、 0 D、 不存在2、若 ，则对于给定的任意小正数 ，总存在一个正数 ，使的当满足何条件时恒有 ( )3、 ,对于给定的正数 ，则定义中的 必须() 4、 都存在是函数 在点 有极限的一个 ( )A、必要条件 B、充分条件 C、.充要条件 D、无关条件5、函数 在点 处有定义,是当 时, 有极限的 ( )A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、无关条件6、下列各式中,极限存在且有限的是 ( ) 7、下列极限存在的有（ ）8、当 时， （ ）A、无界 B、没有极限 C、是无穷小量 D、无意义9、若 下列式子成立的是 （ ）A、 B、 C、 D、 10、设 , 则 （ ）A、不存在 B、 C、0 D、111、 （）A、0 B、2 C、 D、-212、 （ ）A、 B、0 C、 D、13、 （ ）A、 B、0 C、-1 D、114、 （ ）A、0 B、1 C、 D、15、 （ ）A、0 B、 C、1 D、-116、 （ ）A、0 B、-1 C、1 D、17、 （ ）A、2 B、0 C、 D、 18、 = （其中b为非零常数） （ ）A、0 B、 C、1 D 、 19、 （ ）A、1 B、0 C、2 D、 20、 ( )A、x B、0 C、 D、不存在21、 （ ）22、 （）23、 （ ）24、 （ ）25、 （）26、 （ ）27、 （ ）28、 = （ ）29、函数 （ ）A、充要条件 B、充分条件 C、必要条件 D、无关条件30、函数 的连续区间是（ ）31、要使函数 在 处连续，应给 f(0) 补充定义的数值是（ ）A、 B、2 C、1 D、032、设 连续，则 （ ）A、0 B、e C、-1 D、133、函数 的连续区间是 （ ）34、下列变量中，为无穷小量是 （）35、设 分别是同一变化过程中的无穷小量与无穷大量，则 是同一变化过程中的（）A、无穷小量 B、 有界变量 C、常量 D、无穷大量36、当 时，与 等价的无穷小量是 （ ）37、当 时，与无穷小量 等价的无穷小量是 （ ）38、当 时，与 等价的无穷小量是 （ ）39、当 时， 是 （ ）A、无穷小量 B、无穷大量 C、无界变量 D、有界变量40、设m与M分别为函数f(x)在a，b上的最小值与最大值，对于介于m与M之间的任意实数c（即mc1.()A、 B、 C、 D、49、用微分近似公式计算 （）A、-0.1 B、0.1 C、0 D、0.950、当|x|很小，即|x|0为常数)的水平渐近线方程是( )A、y=0 B、y=b C、y=a D、y=1/a37、曲线 的水平渐近线是.( )A、x=-1 B、x=1 C、y=0 D、y=138、曲线 有 ( )A、水平渐近线y=1 B、水平渐近线y=1/2 C、铅直渐近线x=1 D、铅直渐近线x=1/239、函数 的垂直渐近线方程为( )A、x=0 B、x=1 C、x=0和x=1 D、不存在40、某企业每月生产q吨产品时总成本c是产量q的函数 ，则每月生产产品8吨时的边际成本是.( )A、4 B、6 C、10 D、2041、已知某商品生产x单位时总费用F（x）的变化率为f（x）=0.4x-6，且F（0）=60，则总费用函数F（x）=（ ）42、设生产函数为 ，则当L=27，K=8时，资本K的边际生产率为()A、4/9 B、36/8 C、3 D、36/2743、设产品的利润函数为L（x），则生产x0个单位时间的边际利润为（）44、设一产品的总成本是产量x的函数C(x)，则生产x0个单位时的总成本变化率（即边际成本）是 ( )45、设某商品需求函数为Q=10-P/2，则当P=3时的需求价格弹性是（ ）A、3/17 B、-3/17 C、-1/2 D、1/17第四章 中值定理与导数的应用单元测试二、计算题(一）1、设 求A的值，使 解：欲 2、求 解： = = = =33、求 解： 三、计算题(二）求 解法一：原式= =1+1=2解法一： 原式= 四、应用题1、求函数 的极值解： 可见f(x)在x=0处取极小值为f(0)=0.在x=1处取极大值为f(1)=1.在x=2处取极小值为f(2)=0.2、求出函数 在区间-1，2上的最大值与最小值解： 令f(x)=0，得x=0 为驻点比较驻点值、端点值 f（-1）=0，f（0）=2，f（2）=3/4得函数f（x）在-1，2上的最大值为2，最小值为0。3、从直径为d的圆形树干中切出横切面为矩形的梁，此矩形的底为b，高为h，若梁的强度 ,问梁的横断面尺寸如何，其强度最大，并求出最大强度。解： ， 令 又 为最大值因此，当矩形断面的底 时，其强度最大，最大强度为 4、某企业生产一种产品，固定成本为5000元，每生产100台产品直接消耗成本要增加2500元。设市场对此商品的年需求量为500台，在此范围内产品能全部售出且销售收入R与销售台数的关系是 （万元）（a是售出数量，单位：百台）；若超出500台，产品就会积压，问该产品的年产量为多少台时，能使企业的年利润最大？解：设年产量为x百台则生产成本C（x）=0.5+0.25x（万元）收益为 故利润函数得唯一驻点 x=4.75故产量为475台时，企业利润最大。5、设某商品的平均成本为 为常数，Q为产量)(1) 求平均成本的极小值(2) 求总成本曲线的拐点解：（1） 令 ，（Q=0舍去）此时 （2）总成本曲线方程为令 （Q=0舍去）故拐点为 6、设某商品需求函数为 Q=f(p)=12-p/2（1）求需求弹性函数；（2）求当 P=6 时的需求弹性。解：（1） 需求弹性函数 （2） 第五章 积 分单元测试一、选择题1、幂函数的原函数一定是( )A、幂函数 B、指数函数 C、对数函数 D、幂函数或对数函数2、函数 的一个原函数是( )3、下列函数中，哪一个是函数 的原函数( )4、 ，则f（x）=( )5、若 ，则f（x）=()6、过点（1，3）且切线斜率为2x 的曲线方程y=y（x）应满足的关系式是( )7、设 ，则 ()A、 B、 C、lnx D、lnx+c8、 ( )A、arctanx B、arctanx+c C、 D、 9、设 ，则 ()10、设 ，则f（x）=( )A、sinx B、sinx+c C、cosx D、cosx+c11、若 ，则 .( )12、设 且f（0）=0，则 ()13、不定积分 ( )14、 ()A、tanx+x+c B、tanx-x+c C、 D、 15、 ()A、 cotx-x+cscx+c B、-cotx-x+cscx+c C、cotx-x-cscx+c D、-cotx-x-cscx+c16、若 ()17、 ( )18、 ()19、 ()20、设 是f（x）的一个原函数，则 ()21、设sin2x是f（x）的一个原函数，则 ()22、设 是f（x）的一个原函数，则 ( )A、xcsc2-cotx+c B、xcsc2x+cotx+c C、-xcotx-cotx+c D、-xcotx+cotx+c23、设f（x）的一个原函数是cotx，则 ( )A、xcotx+lncosx+c B、xcot-lncosx+c C、xcotx+lnsinx+c D、xcot-lnsinx+c24、 ( )25、 ( )26、若 ，则a=（）A、1 B、-1 C、0 D、1/227、已知 （）A、F（x）- F（a） B、F（t）- F（a） C、F（x+a）- F（2a） D、F（t+a）- F（2a）28、若 ，则k=()A、0 B、-1 C、1 D、1/229、设 ，则 ()A、1/2 B、1 C、3/2 D、230、 ()A、e B、0 C、1 D、e+131、下列定积分中，值等于零的是( )32、 ( )A、2 B、1 C、1/2 D、33、广义积分 ()A、不存在 B、-1/2 C、1/2 D、234、 ( )A、 B、-1/2 C、2 D、1/235、下列广义积分中收敛的是.()36、下列广义积分中收敛的是( )37、若 收敛，则()A、P1 B、p1 C、P1 D、P138、 ()A、发散 B、-2 C、2 D、039、已知 且 ，则K=( )A、2/3 B、3/2 C、2 D、1/240、由定积分的几何意义， ( )41、根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是()42、函数 的极小值是 （）A、1/2 B、0 C、1/4 D、-1/443、设函数 ，则y有 (）A、极小值1/2 B、极小值-1/2 C、极大值1/2 D、极大值-1/2第五章 积 分单元测试二、计算题(一）1、求不定积分 解： 2、 计算不定积分 解： = = 3、求不定积分 解： 4、求不定积分 解：原式 5、 求 解： 6、讨论广义积分 的敛散性。若收敛，求其值。解： = 因为此极限不存在，所以广义积分发散。 三、计算题(二）1、计算 解：原式= 2、求不定积分 。解：令 原式= 3、求 解： 4、计算定积分 解：令 ，则 当 从0变到8时， t 从0变到25、计算定积分 解：令 当 x 从 -1 变到 1 时，t 从 3 变到 1。 6、 解：设 ，当 x 从 -5 变到 1 时，t 从 5 变到 1。7、求函数 在区间0，1上的最大值和最小值解： 最小值 最大值 第五章 积 分单元测试四、应用题1、求 的极小值解： x=-1，x=0 故f(x)在x=0处取极小值，极小值为f(0)=02、某商品的边际成本函数为 ，且固定成本为150，求总成本函数解： 当Q=0时 KT=150又150=250+cc=-100总成本函数 3、某商品的边际成本函数为 ，且固定成本为80，求总成本函数解： 而80=50+CC=30 4、生产某商品x个单位的边际收入函数 （元/单位）（1）求生产X个单位时的总收入函数；（2）求该商品相应的需求函数（即平均价格是产量的函数）。解：（1）总收入函数 （K为积分常数） 而R（0）=0，故k=a而此 （2）需求函数 5、若边际消费倾向是收入Y的函数 且当收入为零时总消费支出 （1）求消费函数C（Y）（2）求收入由100增加到196时消费支出的增量。解：（1）由题意 （2）C（196）-C（100）= 6、（1）某商品日产量是x个单位时，总费用F（x）的变化率为f(x)=0.2x+5(元/单位)且已知F（0）=0，求总费用F(x).（2）若销售单价是25元，求总利润G（x）（3）日产量为多少时，才能获得最大的利润？解：（1） （2） （3） 得x=100为唯一驻点 故当X=100（单位）时获利最大。最大利润为：G（100）=1000（元）7、求曲线 与直线y-x=1所围成的平面图形的面积.解：平面图形如右图中之阴影部分 曲线 和y=x+1的交点分别是（-1，0）和（0，1）故图形面积 8、求由曲线 所围成图形的面积解：先求交点 x=-2,x=1,交点为 (1,1) 与 (-2,-2) .9、求曲线y=lnx在区间（2，6）内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小.解：设所求点的坐标为 过点 的切线方程为 即 平面图形的面积 故所求点为（4，ln4）10、求曲线 与直线x=1,x=4以及X轴所围成的平面图形分别绕X轴和Y轴旋转而得的旋转体的体积.解：平面图形如右所示注：V也可从下式求得五、证明题 证明 证：作代换 t=arccosx x=cost dx=-sintdt.x 从0变到1时，t 从 变到0,于是左= 证毕 第六章 无穷级数单元测试一、选择题1、若已知级数 收敛，Sn 是它的前n项部分和，则它的和是（）2、级数 收敛的充分必要条件是（ ）3、 是级数 收敛的（）A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件4、级数 的和S=（）5、若正项级数 发散，则一定有（）6、若级数 发散，则 （） 7、下列级数中收敛的是 （）8、下列级数中收敛的是（）9、在下列级数中发散的是 （）10、在下列级数中发散的是 （）11、下列级数中，发散的集数是 （ ）12、级数 满足何条件时，该级数必收敛()13、若级数 收敛，则必有下列何式成立 （ ）14、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）15、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）16、幂级数 的收敛区间是（）17、幂级数 的收敛区间是（）18、 的收敛区间是()19、幂级数 的收敛区间是 （）20、幂级数 的和函数是（）21、 的和函数是（）22、幂级数 的和函数是（）23、幂级数 ， 的和函数是（）24、函数 在 x=1 处展成的泰勒级数是（）第六章 无穷级数单元测试二、计算题(一）求幂级数 的收敛区间解：由 得到收敛半径 R=1 当 时，级数成为 ，是发散的 当 时，级数成为 ，是发散的. 因此，收敛区间为（-1，1） 三、计算题(二）1、讨论级数 解： 为正项级数 故由比较判别法， 收敛、2、判别级数 的敛散性。解：令 级数收敛3、判断级数 的敛散性。解： 交错级数 收敛4、判断任意项级数 的敛散性，并指出是否绝对收敛。解：考虑各项的绝对值，对正项级数 由比值审敛法 收敛 故原级数收敛且绝对收敛5、求幂函数 的收敛区间解： 故收敛区间是 6、求级数 的收敛区间。解：由 得收敛半径 当 时，它成为级数 ，发散； 当 时，它成为级数 ，收敛。 因此，收敛区间为 7、将函数 展为 的幂级数解： 收敛域为 即 因此 第七章 多元函数微积分单元测试一、选择题1、 点 ，则 的中点坐标为（ ）A、（0，2，-2） B、（1，-2，1） C、（0，4，-4） D、（2，4，2）2、点 关于坐标原点的对称点是 （）A、（-2，3，-1） B、（-2，-3，-1） C、（2，-3，-1） D、（-2，3，1）3、点 关于XOY平面的对称点是 （ ）A、（-2，3，-1） B、（-2，-3，-1） C、（2，-3，-1） D、（-2，3，1）4、过Y轴上的点（0，1，0）且平行与XOZ平面的平面方程是（ ）5、下列方程中，其图形是下半球的是 （）6、设 ，则 （ ）7、函数 的定义域是（）8、设 在（0，0）点连续，则 K= （）A、1 B、0 C、1/2 D、不存在9、设 （ ）10、若 （）11、设 则 =（）A、0 B、1/2 C、-1 D、112、设 ，则 =（）13、设 ，则 （）14、若 ，则 （）A、10 B、-10 C、15 D、-1515、设 则 （）16、若 ，则 （）17、设 （ ）18、若 （）19、设 （）20、设函数 （）21、设 （）22、函数 z=f(x，y) 在点 处具有两个偏导数 是函数在该点存在全微分的（ ）A、充分条件 B、充要条件 C、必要条件 D、既不是充分条件，又不是必要条件23、若函数 ，则 （）24、设 是由方程 确定的隐函数，则 =（）25、若 则 =（）26、二元函数 的驻点为（）27、若 ，则 在 处 （）A 、一定连续 B 、一定偏导数存在 C、一定可微 D、一定有极值28、设二元函数 有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有（）29、设函数 在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且 是它的驻点， 则 是极大值的充分条件是（）A、 B、 C 、 D、 30、设 是函数 的驻点且有 若 ，则 一定（）A、是极大值 B、是极小值 C、不是极值 D 、是极值31、函数 在点（0，0）处（）A、有极大值 B、有极小值 C、无极值 D 、不是驻点32、对于函数 ，原点（0，0）（）A、不是驻点 B、是驻点但非极值点 C、是驻点且为极大值点 D、是驻点且为极小值点33、若D是由 所围成的平面区域，则 （）34、若D是平面区域 ，则二重积分 （）35、设D： ，则 （）36、设二重积分的积分区域D是 ，则 （）37、若D是平面区域 ，y0则 （ ）第七章 多元函数微积分单元测试二、计算题(一）1、设 。解：设 则 2、设 解： 3、计算二重积分 ，其中区域D是由 所围成的第一象限的图形。解：区域D在极坐标下可表示为 于是 = 三、计算题(二）1、 设 解： 2、已知 解： 3、设 。解法一：在 两边分别对 和 求偏导数，得整理得 解法二： 4、设 确定函数 ，求 解：令 5、设函数 ，由方程 确定，其中 解： 同理 6、设D是由 所围成的区域，计算 解：先对x积分，再对y积分。7、计算二重积分 ，其中区域由抛物线 及直线 所围成.解： 8、计算二重积分 ，其中D为 解：采用极坐标系9、 计算二重积分 ，其中D是由直线 和圆 所围成且在直线 下方的平面区域。解法一：用极坐标系 解法二：用直角坐标系= = = 10、计算二重积分 圆 围成的区域。解：圆 的极坐标方程是 因此 第七章 多元函数微积分单元测试四、证明题1、设 （a