2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析).doc

2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1.数列中，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】数列中，, 数列是首项为，公差为的等差数列，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.2.设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当c=0时，选项A错误；当a=1,b=2时，选项B错误；当a=2,b=2时，选项C错误；函数y=x3在R上单调递增，当ab时，a3b3本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便3.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别是，b，a=3，b=5，c=7，那么cosC的值是（ ）A. 12 B. 12 C. 1114 D. 1314【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求cosC.【详解】由余弦定理可得cosC=a2+b2c22ab =32+5272235 =12故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 余弦定理由三种形式：a2=b2+c22bccosA,cosA=b2+c2a22bc,c2+b2a2=2bccosA.4.4.已知锐角ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）A. 75 B. 60 C. 45 D. 30【答案】B【解析】【分析】利用S=12BCCAsinC =1243sinC =33求得C的大小.【详解】S=12BCCAsinC =1243sinC =33解得sinC=32，又因为ABC为锐角三角形，C0,2，所以C=60，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查三角形的面积公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 三角形的面积公式：S=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c的高）；S=12absinC=12bcsinA=12acsinB.5.5.在等比数列an中，a2010=8a2007，则公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】A【解析】略视频6.6.如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（ ）A. 14 B. 21 C. 28 D. 35【答案】C【解析】分析：利用等差中项的性质先求a4，a1+a2+a7=7a4。详解：a3+a4+a5=12a4=4a1+a2+a7=7a4=28，故选C点睛：等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。7.7.在ABC中，若sinAcosB=sinC，则ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先化简sinAcosB=sinC得cosA=0，A=2，即得三角形的形状.【详解】因为sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，所以sinBcosA=0，由于sinB0，所以cosA=0，A=2，所以ABC为直角三角形，故答案为：D【点睛】本题主要考查和角的正弦公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.8.8.已知数列A: a1，a2，an(0a1a2an,n3)具有性质P:对任意，j(1ijn)，aj+ai 与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：数列0，1，3具有性质P； 数列0，2，4，6具有性质P；若数列A具有性质P，则a1=0；若数列a1，a2，a3(0a1a2a3)具有性质P，则a1+a3=2a2其中真命题有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定义对每一个选项逐一判断真假.【详解】数列0、1、3中，a2+a3=1+3=4，a3a2=31=2，都不是该数列中的数，故：不正确数列0、2、4、6，aj+ai和ajai(1ij3)两数中都是该数列中的项，并且a4a3=2是该数列中的项，所以数列0、2、4、6具有性质P，故正确若数列A具有性质P，则an+an=2an与anan=0两数中至少有一个是该数列中的一项，0a1a2an，n3，而2an不是该数列中的项，0是该数列中的项，a1=0，故正确数列a1、a2、a3具有性质P，0a1a2a3，a1+a3与a3a1至少有一个是该数列中的项，若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，a1=0，易知a2+a3不是该数列的项，a3a2=a2，a1+a3=2a2若a3a1是该数列中的一项，则a3a1=a1或a2或a3，（1）若a3a1=a3，同（2）若a3a1=a2，则a3=a2，与a20的解是_【答案】x|x2【解析】【分析】先转化为整式不等式(x+1)(x2)0，再解不等式得解.【详解】不等式x+1x20等价于(x+1)(x2)0，解得x2，故不等式的解集为：x|x2故答案为：x|x2【点睛】(1)本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 分式不等式的解法:把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)g(x)0的形式化成不等式组g(x)0f(x)g(x)0解不等式组得解集.解分式不等式一定要考虑定义域.10.10.等比数列an中，a3=2，那么a1a2a3a4a5的值是_【答案】32【解析】【分析】利用等比数列的性质化简，再代入a3=-2即得解.【详解】an是等比差数列，且a3=2，a1a2a3a4a5=a35=(2)5=32故答案为：-32【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 等比数列an中，如果m+n=p+q,则aman=apaq,特殊地，2m=p+q时，则am2=apaq，am是ap、aq的等比中项.11.11.若a2，则a+1a1的最小值是_【答案】3【解析】a1，a10。a+1a1=(a1)+1a1+12(a1)1a1+1=3，当且仅当a1=1a1且a1，即a=2时等号成立。a+1a1的最小值为3。答案：312.12.在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB=75，CBA=60，则A、C两点之间的距离是_千米【答案】6【解析】由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，CAB=75,CBA=60，ACB=1807560=45，AD=22x，在RtABD中，AB=2 ，ABsin60=22x,x=6（千米），即AC=6，A、C两点之间的距离为6千米，故答案为6.13.13.已知数列an满足an+1=2an,0an122an1,12an1，若a1=67，则a2017的值为_【答案】67【解析】【分析】先通过列举得到数列an是以3为周期的数列，即得a2017的值.【详解】根据题意可得：a2=2671=57；a3=2571=37；a4=237=67；a5=2671=57；数列an是以3为周期的数列，a2017=a1=67【点睛】本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.14.14.已知ABC，若存在A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1，则称A1B1C1是ABC的一个“友好”三角形（）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_；（请写出符合要求的条件的序号）A=90,B=60，C=30； A=75，B=60，C=45；A=75，B=75，C=30（）若ABC存在“友好”三角形，且A=70，在另外两个角的度数分别为_【答案】 (1). (2). 45,65【解析】【分析】（）利用“友好”三角形的定义判断每一个选项. （）利用“友好”三角形的性质求另外两个角的度数.【详解】（i）中，A=90，cosA=0，所以不存在A，使cosAsinA1=1，故不存在“友好三角形”cos75=sin15=sin165,cos60=sin30=sin150,cos45=sin45=sin135，所以存在三个内角分别为15、30、135的三角形为其“友好”三角形cos75=sin15=sin165，cos75=sin15=sin165，cos30=sin60=sin120，所以不存在“友好”三角形综上所述，存在“友好”三角形的是（ii）cos70=sin20=sin160，所以另外两个角分别为，110，则cos=sin(90)=sin(90+)，cos(110)=sin(20+)=sin(200)，如果存在“友好”三角形，则有20+90+200=180，即：=65，110=45，故：另外两个角的度数分别为65，45【点睛】本题主要考查新定义，考查学生理解掌握新定义并利用新定义处理数学问题的能力.三、解答题（本大题共6小题共80分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.15.已知函数f(x)=-x2+ax-6（1）当a=5时，解不等式f(x)0；（2）若不等式f(x)0的解集为R，求实数的取值范围【答案】（I）x|2x3；（II）26,26.【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式得解.(2)利用二次函数的图像和性质分析得到实数a的取值范围.【详解】（I）当a=5时，f(x)0，(x-2)(x-3)0，解得2x3，不等式的解集为x|2x3（II）若不等式f(x)0的解集是R，则=a2-240，解得-26a26，故实数的取值范围是-26,26【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.16.已知函数f(x)=cos(2x3)cos2x.（）求f(0)的值;（）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.【答案】（）f(0)=12；（）最小正周期为, k6,k+3,kZ.【解析】试题分析：（）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式进行化简，再代值进行求解；（2）利用正弦曲线的性质和整体思想进行求解.试题解析：（）函数f(x)=cos(2x-3)-cos2x=(12cos2x+32sin2x)-cos2x=32sin2x-12cos2x=sin(2x-6)所以f(0)=sin(0-6)=-12.（）由于函数f(x)=sin(2x-6),故它的最小正周期为22=,令2k-22x-62k+2求得k-6xk+3,可得函数的单调递增区间为k-6,k+3,kZ.17.17.在等差数列an中，a2=3，a3+a6=11（）求数列an的通项公式；（）设bn=an+12an，其中nN*，求数列bn的前n项和Sn【答案】（）an=n+1；（）n2+3n+1212n+1.【解析】【分析】（）列方程组得到a1=2，d=1，即得数列an的通项公式. （）利用分组求和求数列bn的前n项和Sn【详解】（I）设等差数列an的公差为d，因为a2=3，a3+a6=11，则a1+d=32a1+7d=11，解得a1=2，d=1，所以数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1，即an=n+1（II）bn=an+12an=n+1+12n+1，因为数列n+1是首项为2，公差为1的等差数列，数列12n+1是首项为14，公比为12的等比差数列，所以，Sn=n(n+3)2+141-12n1-12，化简得Sn=n2+3n+12-12n+1【点睛】（1）本题主要考查等差数列通项的求法，考查等差数列等比数列的前n项和，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 有一类数列an+bn，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列an,bn是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.18.18.在ABC，角A、B、C所对应的边为、b、，且满足csinA=acosC（）求角C的大小；（）求3sinAcosB+4的最大值，并求取最大值时角A、B的大小【答案】（）4；（）2,3,512.【解析】试题分析：（）由csinA=acosC和正弦定理易得tanC=1，从而可得C=4；（）由()知B=34A代入化简得3sinAcos(B+4)=2sin(A+6)，结合0A34可知A=3时2sin(A+6)取最大值2，此时B=512.试题解析：()由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，0A0，又sinC=cosC且cosC0，tanC=1，即C=4；()由()知B=34A，3sinAcos(B+4)=3sinAcos(A)，0A34，6A+61，则称数列an为“K数列”（）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围（）是否存在首项为-1的等差数列an为“K数列”，且前n项和Sn满足Sn2；（）不存在；（）当an=3n1时，数列bn为“K数列”，当an=2n时，数列bn不是“K数列”【解析】【分析】（）利用“K数列”定义得到(m+1)-11m2-(m+1)1即得m的取值范围. （）假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则d1，找到矛盾，得到不存在这样的数列. （）由各项均为正整数的等比数列an是“K数列”得到a1(q-1)1，再由数列12an不是“K数列”得到a1(q-1)2即得a1(q-1)=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2再分别判断数列bn是否“K数列”.【详解】（I）根据题意得：(m+1)-11m2-(m+1)1，m1m2， m2， 故实数m的取值范围是m2 （II）假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则d1，由a1=-1，得Sn=-n+n(n-1)2d，根据题意得-n+n(n-1)2d12n2-n对nN*均成立，即(n-1)d1时，d1，所以d1，与d1矛盾，故这样的的等差数列an不存在（III）设数列an的公比为q，则an=a1qn-1，因为an的每一项均为正整数