2019届高三数学第二次诊断性考试试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学第二次诊断性考试试卷 理(含解析)说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第5页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合中的元素个数是A. 2 B. 3 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故AB的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量a=1,2,b=m,1，若ab，则m=A. 2 B. 12 C. 12 D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得ab=0，解方程即得m的值.【详解】由题得ab=m+2=0,m=2.故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设x,y满足约束条件3x+2y-60x0y0，则z=x-y的最大值是A. -3 B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可【详解】x，y满足约束条件3x+2y-60x0y0的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由y=03x+2y-6=0解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键4.已知等比数列an中，a3=2,a7=8,则a5=A. 4 B. 4 C. 4 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题得a52=a3a7，解之即得解.【详解】由题得a52=a3a7,a52=16,a5=4.因为等比数列的奇数项同号，所以a5=4，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“a1”是“指数函数fx=32ax在R单调递减”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”得1a32，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”，所以032a1,1a1”是“指数函数fx=3-2ax在R单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p、q和集合A、B的对应关系.p:A=x|p(x)成立，q:B=x|q(x)成立；最后利用下面的结论判断：若AB,则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分非必要条件；若BA,则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要非充分条件；若AB且BA，即A=B时，则p是q的充要条件.6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N0,42，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布N,2，则P+=68.26%，P2b且cb时称为“凹数”，若a,b,c1，2，3，4，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. 13 B. 532 C. 732 D. 712【答案】C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有444=64个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有C432=8种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有C421=6种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=1464=732.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.将函数fx=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6个单位后得到函数gx的的图像，若函数gx在区间0,a9与2a,4上均单调递增，则实数a的取值范围为A. 1312,2 B. 1312,32 C. 76,2 D. 76,32【答案】B【解析】【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cosx2的图象；然后向右平移6个单位后得到函数g（x）=cosx-62=cos（x212）的图象，若函数g（x）在区间0，a9与2a，4上均单调递增，则 012=12，12a9120，且2a2122k，42122k，kZ解得1312a32，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12.已知OA,OB,OC均为单位向量，满足OAOB=12,OAOC0,OBOC0，设OC=xOA+yOB，则x+y的最小值为：A. 233 B. 0 C. 33 D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意可设C（cos ，sin ），设A（12，32），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值【详解】由|OC|=1可设C（cos ，sin ），又OAOB=12，所以cosBOA=12,所以BOA=3.因为|OA|=|OB|=1，可设A（12，32），B（1，0），OC=xOA+yOB，所以12x+y=cos32x=sin,x=2sin3,y=cossin3,所以x+y=cos+sin3=33(sin+3cos)=233sin(+3),因为OBOC0,所以cos0,（1）因为OAOC0，所以12cos+32sin0，（2）由（1）（2）得62,6+356,所以当+3=6时，x+y最小值为23312=33.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13.已知函数fx=log3x,x09x,x0,则ff1=_【答案】2【解析】【分析】先求f(-1),再求ff-1的值.【详解】由题得f(-1)=9-1=19.所以ff-1=f(19)=log319=log332=2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.设x,y为正实数，且x+y=1，则2x+1y的最小值为_【答案】3+22【解析】【分析】由题得2x+1y=(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y),再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得2x+1y=(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y)=3+2yx+xy3+22yxxy=3+22,当且仅当x0,y0x+y=12yx=xy即x=22,y=21时取等.故答案为：3+22【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.函数fx=sinx21+cosx的最大值为_【答案】439【解析】【分析】先化简f(x)=2sinx2(1sin2x2)，再利用基本不等式求f2(x)的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得f(x)=sinx2(1+2cos2x21)=2sinx2cos2x2=2sinx2(1sin2x2)，所以f2(x)=4sin2x2(1sin2x2)(1sin2x2)=22sin2x2(1sin2x2)(1sin2x2)2(2sin2x2+(1sin2x2)+(1sin2x2)3)3=1627,所以f(x)433=493.故答案为：439【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字xx在表中出现的次数为_【答案】4【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果【详解】第i行第j列的数记为Aij那么每一组i与j的解就是表中一个数因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j1）1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij=j+1+（i1）j=ij+1令Aij=ij+1=xx，即ij=xx=1xx=xx1=21009=10092故表中xx共出现4次故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出Aij=j+1+（i1）j=ij+1.三解答题(本题包括6小题，共70分)17.已知在递增的等差数列an中,a1=2,a3是a1和a9的等比中项(I)求数列an的通项公式；(II)若bn=1n+1an，Sn为数列bn的前n项和，求Sn【答案】（1）an=2n（2）Sn= n2(n+1)【解析】【分析】(I)根据已知求出d=2，再写出数列an的通项公式. (II) 由题意可知bn=12n(n+1)=12(1n-1n+1)，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为d,因为a32=a1a9，所以(2+2d)2=2(2+8d)，解得d=2或d=0舍，所以an=2n. (II)由题意可知：bn=12n(n+1)=12(1n-1n+1) 所以Sn= 12(1-12+12-13+.+1n-1n+1)=n2(n+1).【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sinB+C=233sin2A2(I)求角A的大小；()若a=27,bc，D为BC的中点，且AD=3,求sinC的值【答案】（1）A=23（2）sinC=2114【解析】【分析】(I)化简sin(B+C)=233sin2A2得tanA2=3，求出A=23 . ()由题意可知cosADB=-cosADC，化简得b2+c2=20，再结合余弦定理求出b=4,c=2，再利用正弦定理求出sinC的值【详解】(I)sin(B+C)=233sin2A2，所以sinA=233sin2A2，所以tanA2=3因为A(0,)，所以A2=3，所以A=23 ()由题意可知：cosADB=-cosADC所以7+3-c2273=-7+3-b2273所以b2+c2=20， 又因为a2=c2+b2-2bccosA，所以bc=8 ， 因为bc，所以b=4,c=2 由正弦定理可得asinA=csinC，所以sinC=2114【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少参考公式：b=i=1nxixyiyi=1nxix2=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2,a=ybx参考数据：i=16xiyi=187.4,i=16xizi=47.64,i=16xi2=139,ln1.030.03,ln1.020.02.【答案】（1）z与x的线性回归方程是z=0.36x+3.63（2）当使用年数为10年时售价约为1.03万元【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是y=e-0.36x+3.63, 令x10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知x=16(2+3+4+5+6+7)=4.5， z=16(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，又i=16xizi=47.64,i=16xi2=139所以b=47.64-64.52139-64.52=-6.3617.5-0.363， 所以a=z-bx=2+0.3634.5=3.63，所以z与x的线性回归方程是z=-0.36x+3.63；(II)因为z=lny,所以y关于x的回归方程是y=e-0.36x+3.63,令x10，得y=e-0.3610+3.63=e0.03,因为ln 1.030.03，所以y=1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2+Sn(I)求数列an的通项公式；()设bn=3n1an，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an=2n（2）Tn=(12n7)2n11【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列an的通项公式. ()利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn.【详解】(I)由题意可知：当n2时，an=2+Sn-1，又因为an+1=2+Sn，所以an+1=2an， 又因为当n=1，a2=4，所以a2=2a1 所以an 等比数列，且an=2n （2）Tn=22+522+.+(3n-1)2n 2Tn=222+523+.+(3n-1)2n+1-Tn=4+322+323+.+32n-(3n-1)2n+1=4+31-2n-11-2-(3n-1)2n+1 =1+(7-12n)2n-1所以Tn=(12n-7)2n-1-1【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；()黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】（1）0.155（2）EX2EX3EX1，因此企业应选方案二【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件A1，“水位在40米至50米之间”为事件A2，“水位大于50米”为事件A3，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B1，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B2，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3，分别求出它们发生的概率，再利用PB=PA1B1+PA2B2+PA3B3=PA1PB1+PA2PB2+PA3PB3求解. （II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件A1，“水位在40米至50米之间”为事件A2，“水位大于50米”为事件A3，它们发生的概率分别为：PA1=0.02+0.05+0.065=0.65,PA2=0.04+0.025=0.30，PA3=0.015=0.05 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B1，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B2，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3，所以PB1=0.1,PB2=0.2,PB3=0.6 记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B则PB=PA1B1+PA2B2+PA3B3=PA1PB1+PA2PB2+PA3PB3=0.650.10+0.300.20+0.050.60=0.155估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润X1（万元）的取值为：500,-100,-1000，由（I）知PX1=500=0.650.9+0.300.75+0.050=0.81,PX1=-100=0.155,PX1=-1000=0.650+0.300.05+0.050.40=0.035X1的分布列为08101550035则该企业在8月份的利润期望EX1=5000.81+-1000.155+-10000.035=354.5（万元）选择方案二，则X2（万元）的取值为：460,-1040，由（I）知，PX2=460=0.81+0.155=0.965,PX2=-1040=0.035，X2的分布列为：X24601040P09650035则该企业在8月份的平均利润期望EX2=4600.965+-10400.03