2019年中考数学第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系（讲解部分）素材.pdf

年中考 年模拟 第五章 圆 圆的性质及与圆有关的位置关系 考点一 圆的有关概念及性质 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所 对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦 所对的两条弧 ；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 与圆有关的角 （） 顶点在圆心的角 叫做圆心角，它的度数等于它所对 的弧的度数 （） 顶点在圆上并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角， 其性质有： 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角 的一半； 同弧或等弧所对的 圆周角 相等，在同圆或等圆中， 相 等的圆周角所对 的弧相等 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦 是直径 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等 考点二 与圆有关的位置关系 点和圆的位置关系 如果圆的半径为 ，某一点到圆心的距离为 ，那么： （）点在圆外； （） 点在圆上 ； （）点在圆内 直线和圆的位置关系 如果设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，那么 （）直线 和 相交 ； （）直线 和 相切； （）直线 和 相离 切线的判定方法 （）定义：直线与圆有 唯一公共点 ，直线叫做圆的切线 （）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 圆的切线的性质 （）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 （）推论 ：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点 （）推论 ：经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心 与三角形（多边形）内切圆有关的概念 （）和三角形各边都 相切的圆 叫三角形的内切圆，内切 圆的圆心叫三角形的内心，这个三角形叫圆的 外切三角形 （）和多边形各边都 相切的圆 叫多边形的内切圆，这个 多边形叫圆的外切多边形 方法一 与圆的性质有关的定理的应用方法 圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，每一条直径所在的 直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以与圆的性质有 关的定理多数是互逆定理 垂径定理是由圆的轴对称性得出的，运用此定理解题时，通 常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形结合勾股定 理求需要的量 在同圆或等圆中，两个圆心角、弦、优弧、劣弧任意一组量相 等，则其他量一定相等 根据圆周角定理的推论得：直径所对的圆周角是直角，这个 结论常用在平面内确定直角三角形直角顶点的位置方法由于圆 中一条弦所对的弧有两条，所以由圆内接四边形的性质结合圆 周角定理可得到如下结论：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周 角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补 例 （ 山东潍坊， 分）点 、 为半径是 的圆周 上两点，点 为 ( 的中点，以线段 、 为邻边作菱形 ， 顶点 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 （ ） 或 或 或 或 解析 过 作直径，连接 交 于 ， 点 为 ( 的中点， 又点 恰在该圆直径的三等分点上， 如图 ，当 时， 第五章 圆 则 四边形 是菱形， ， 连接 ，由勾股定理得， ， 如图 ， ， 同理可得， 连接 ，由勾股定理得， ， （ ） 故选 答案 思路分析 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，菱形的性 质，垂径定理和勾股定理，分类讨论确定三等分点 和圆心 的 位置关系是解题的关键 变式训练 （ 陕西， 分）如图， 是 的内 接三角形， ，作 ，并与 相交于点 ，连接 ，则 的大小为（ ） 答案 解析 ， ， ， ， ， ，根据圆周角 定理的推论得 ，所以 ，故选 方法二 解以圆为背景的特殊平行四边形的探究题 以圆为背景的特殊平行四边形的探究题在河南中考中连续 三年考查，考查的知识点主要有圆的性质，切线的性质和特殊平 行四边形的判定和性质解题时，一般先假设四边形为特殊的平 行四边形，再结合圆的性质确定线段或角之间的数量关系依据 特殊平行四边形的性质构建数学模型，进而探究特殊平行四边 形成立的条件，从而解决问题 例 （ 开封一模， 分） 如图，在 中， ，以边 上一点 为圆心， 为半径作 ， 恰好经过边 的中点 ，并与边 相交于另一点 （）求证： 是 的切线； （）若 ， 是半圆 ( 上一动点，连接 ， 填空：当 ( 的长度是 时，四边形 是菱形； 当 ( 的长度是 时， 是直角三角形 思路分析 （）连接 ，证明 ，从而 证得 是 的切线； （）连接 ，依据题意，当 时，四边形 是 菱形，求得圆心角，即可求得 ( 的长度；因 不 是直径，故 当 是直角三角形时， 可以分 和两种情况来求圆心角 的值，从 而求得 ( 的长度 解析 （）证明：如图，连接 ， 在 中， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 是 的切线 （） ； 或 提示：当 时，四边形 是菱形，连接 ， ， ， ， ( 的 长度为 若 ，则点 与点 重合，此时 ( 的长度为 ；若 ，则 是直径，则 ，此时 ( 的长度为 ； 不是直径， 综上可得，当 ( 的长度是 或 时， 是直角三 角形 变式训练 （ 江西， 分）如图， 是 的直 径，点 是弦 上一动点（不与点 ， 重合），过点 作 ，垂足为 ，射线 交 ( 于点 ，交过点 的切线于点 （）求证：； 年中考 年模拟 （）若，当 是 ( 的中点时，判断以 ， 为顶点的四边形是什么特殊四边形，说明理