图像去模糊算法分析与研究.doc

本科毕业设计(论文)题 目: 图像去模糊算法对比分析研究 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 学生姓名： 指导教师: 职称: 二一五年六月一日图像去模糊算法分析与研究摘 要在数字时代，图像去模糊作为图像复原技术的一个分支，一直是一个具有挑战和吸引力的问题，具有重大的研究价值与社会意义。图像去模糊技术近年来得到了广泛研究，在理论和算法上也愈加系统和成熟，根据图像模糊核是否已知，图像去模糊技术被分为非盲图像去模糊和盲图像去模糊两大类。文章主要是选取几种典型的去模糊算法，在已知模糊核的基础上进行分析研究各算法的特点与去模糊效果的优劣性，即非盲去模糊算法的分析研究。基于运动模糊和离焦模糊这两大模糊类型，对其分别在有噪声（本文指高斯白噪声）和无噪声情况下的实验结果进行分析比较。文章首先介绍了两种主要模糊图像类型及其造成图像模糊的成因，并对各模糊类型的点扩散函数估计获取。其次，是对图像基本退化模型的引入，从本质上了解图像模糊与去模糊的实质。接着，我们介绍了两类典型的去模糊评价方法：峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio）和平均结构相似性指数（Mean Structural Similarity Index）。在这之后主要是算法比较，分类对几种典型的去模糊算法进行数学分析与讨论，包括用于去除运动模糊的Richardson-Lucy算法（即RL算法）和约束最小二乘法；用于去除离焦模糊的逆滤波算法和维纳滤波算法（Wiener filtering）。最后对几种算法进行Matlab仿真实验设计，并对其结果与恢复效果分析总结。关键词：离焦模糊；运动模糊；点扩散函数；算法比较；仿真设计IAbstractIn digital times, image de-blurring as a branch of image restoration technology has been a hard and attractive problem. However, image restoration has great value of the research and social significance. Image de-blurring technique has been widely studied in recent years and becomes more systematic and mature in theory and algorithm. According to the image blur kernel is known or not, de-blurring technique is divided into non-blind and blind image restoration. This article is mainly selecting several typical de-blurring algorithms, we make the analysis on the characteristics of each algorithm and the effect of the de-blurring based on the known blur kernel, in a word, the non-blind de-blurring algorithm analysis. Based on the Motion blurring and Defocus blurring types, we analysis and compare the experimental results in the case of noise (Gaussian noise) and no noiseThe article analyzes two main kinds of blurred image types and the causes of blurring, and also introduces the types of the Point Spread Function and their estimation. Secondly, the article elaborates the basic image degradation model. So, we can understand the nature of the blurred images and the essence of the de-blurring. Then, it introduces two typical kinds of evaluation methods in the de-blurred image area: Peak signal to noise ratio (PSNR) and The mean structural similarity index (MSSIM).After that, we make a mathematical analysis and discussion for several typical de-blurring algorithms. It includes Richardson-Lucy algorithm (RL) and Constrained least squares method used to remove motion blur. Inverse filtering and Wiener filtering algorithm (WF) used to remove defocus blur. Finally, designing simulation experiments on several algorithms and summarizing the results, the recovery effect analysis included.Keyword: Motion blur； Defocus blur； Point Spread FunctionAlgorithm comparison; Simulation designII目 录1绪论1 1.1论文研究目的和意义11.2 图像去模糊技术的国内外研究现状11.3 主要研究内容及章节安排42图像去模糊理论基础5 2.1 模糊图像成因52.1.1运动模糊52.1.2离焦模糊52.2 图像基本退化模型52.3 图像去模糊评价方法62.3.1 峰值信噪比（PSNR）72.3.2 平均结构相似性指数（MSSIM）72.5 本章小结83算法比较9 3.1 运动模糊去除方法93.1.1 运动模糊图像的退化模型及参数估计9 3.1.2 RL算法（Richardson-Lucy algorithm）103.1.3 约束最小二乘法123.2 离焦模糊去除方法14 3.2.1 离焦模糊图像的退化模型及参数估计14 3.2.2 逆滤波复原15 3.2.3 维纳滤波（Wiener filtering）16 3.3 本章小结19 4仿真实验与结果分析20 4.1 仿真实验20 4.2 运动模糊去除评价20 4.2.1 运动模糊图像仿真204.2.1.1 RL算法仿真204.2.1.2 约束最小二乘仿真204.2.2 运动模糊去除效果和数据分析214.3 离焦模糊去除评价244.3.1 离焦模糊图像仿真244.3.1.1 逆滤波法仿真244.3.1.2 维纳滤波仿真244.3.2 离焦模糊去除效果和数据分析244.4 本章小结285结束语295.1 总结29 5.2 展望29致 谢31参考文献32IV南京林业大学本科毕业论文1绪论1.1论文研究目的和意义由于拍摄操作或拍摄环境因素等影响，我们获得的图像经常出现模糊、失真现象。并且图像在生成、传输、记录及存储的过程当中，因为存在成像系统、传输介质和记录设备的不完善，不可避免的受到各类不利因素影响，使图像信息丢失、质量降低，即图像退化。图像去模糊就是通过对模糊图像进行处理而恢复清晰图像的过程。图像去模糊技术自上世纪六十年代起至今，业内人士便一直围绕着解决退化问题不断进行研究与发展，半个世纪的时间说明了该技术的现实意义与社会价值。目前此技术应用于许多领域，包括天文观测、生物科学、医学影像、空间探索、军事科学、遥感预测、案件侦破及视觉科学等领域。从数学本质角度上，图像模糊的过程通常理解为原始的清晰图像与点扩散函数（Point Spread Function，PSF）进行卷积的过程，往往存在噪声的影响。那么，图像去模糊技术则是一个反卷积过程。根据模糊核是否已知，图像去模糊算法通常分为非盲图像复原和盲图像复原两大类。在图像去模糊的初期，点扩散函数（也称为模糊核）通常是事先已知的，那么图像恢复根据已知的PSF和噪声的统计特性来求解一个真实图像的估计值。但是在许多情况下由于原始图像的退化过程受多重因素的影响，点扩散函数预先无法精确得知，仅仅根据模糊图像数据来还原原始图像，这就是图像盲复原技术。图像去模糊盲复原不依赖于系统的点扩散函数，相对于盲复原的广泛适用性，非盲复原算法由于点扩散函数已知则具有恢复更精确、运算更高效的优点。同时，由于非盲复原算法作为经典的基础算法，对于盲复原算法具有发展意义。本文将针对运动模糊和离焦模糊这两大类典型图像模糊，采用几种经典的图像去模糊算法（RL算法、约束最小二乘法、逆滤波算法、维纳滤波算法等）对其去模糊特点比较。通过仿真实验，对去模糊效果进行数据分析评价，并对各自算法的特点与优劣性归纳总结，完善各算法的适用性。1.2 图像去模糊技术的国内外研究现状图像去模糊算法的研究从上世纪六十年代就已开始，美国和前苏联通过兴起一系列空间探索计划来获取地球和太阳系的照片，在科技还不太发达的条件下，由于相机抖动、相机与被摄物体间的相对运动、飞船的运动以及相机性能限制等原因引起的图像降质无法恢复，将对科研造成巨大损失。因此图像恢复便应运而生。从图像退化模型可以知道，图像非盲复原算法就是在模糊核或PSF已知的前提下解卷积的过程，将模糊图像最佳地还原到清晰图像。RL反卷积复原算法12由于其简单的算法是一种广泛使用的非盲图像复原算法。该算法的前提条件是假定模糊图像是服从泊松分布，采用最大似然法进行估计的迭代算法，最后获得最可能的原始清晰图形f的估计值。但RL算法具有噪声放大和振铃效应的缺点，主要由于迭代次数的增加。针对该算法在图像复原算法中的缺点，Yuan等3提出了利用一幅模糊图像和一幅噪声图像同时作为输入的去模糊算法，分析了振铃效应产生原因的残留去卷积方法。残留去卷积减少振铃效应，但并不能完全消除振铃效应，而且在模糊图像存在较大的噪声时，去模糊效果不理想。随后，Zhao等4受到了Yuan3引入的增益图的启发，提出了RL图像去模糊的改进新算法，即在RL算法中引入一幅图像作为输入，优化其迭代公式。这种方法在抑制振铃效应方面的巨大改进，保留了图像的细节信息，通过增益图中不同参数的讨论选择，取得了不错的去模糊效果。逆滤波复原6反逆滤波，通过傅立叶变换首先将模糊图像从空间域变换到频率域中，反向滤波后然后通过傅立叶反变换从频率域变换到空间域，使图像恢复。虽然逆滤波算法简单、计算量小，但是也存在诸多局限性，如是受噪声影响很大和振铃效应，又加上在实际应用中，模糊核一般未知，限制了应用。Wu等7人针对逆滤波算法复原图像后存在的振铃效应提出了图像平滑处理方法，在空间域利用邻域平均法和加权平均法进行平滑图像，减少了图像的噪声。维纳滤波8是一个最小二乘方滤波，也称为带约束的滤波方法，是对逆滤波算法采用自适应最小均方差估计。然而，综合退化函数和噪声统计特性的维纳滤波进行恢复处理，是建立在最小化统计准则的基础上，结果在平均意义下是最优的。在图像的频率特性和噪声已知情况下，维纳滤波效果较理想；在峰值信噪比较低的情况下，恢复效果不理想。Jin等8采用二次维纳滤波的方法，充分利用图像及其本身的噪声信息，图像受噪声运动模糊影响时复原效果优于原方法。Yang等9针对维纳滤波复原图像边缘模糊问题，提出功率谱均衡，增强图像重要信息的复原；针对振铃效应这个缺点，采用图像锐化方法对模糊校正，对复原后模糊图像用梯度模算子进行锐化处理，进而增强了图像的边界，然后与原始图像相加运算操作，提高了恢复质量。Jiang等10是基于人眼视觉对不同的图像区域敏感度的不同，将图像分为平坦区域、纹理区域和边缘区域，通过寻找各区域最优信噪比倒数，抑制图像噪声、消除平坦区伪像。约束最小二乘方滤波算法11是一种线性代数模型，它是建立在模糊图像复原的基础上通过额外的约束条件来实现。这种约束可以有效地解决图像恢复过程中解的病态性问题。由于该算法是利用拉格朗日乘数法来构建准则函数，图像恢复效果受拉格朗日因子的影响很大，因子值过小会使噪声更加明显，过大又会导致恢复图像存在明显的振铃效应。因子的选择的不确定性，也导致了图像复原效果不好，该算法也很少有研究改进。虽然经典的图像复原算法（图像非盲复原算法）能够取得较好的复原效果，但是在现实生活中，系统地PSF往往是未知的，在系统PSF先验知识不足时，图像盲复原算法的研究具有更大的意义。参数估计法是用一种模型来描述模糊核及原始图像，然后寻求模型的最优参数的方法。当确定了模型的参数后，就可以得到模糊核的估计。确定模型的参数有多种方法，比如最大似然估计法12和基于二阶统计特性的广义交叉检验法13等。ARMA参数估计法14是将原始图像描述成二维自回归过程（AR），而模糊核则用二维滑动（MA）模型表示。利用该模型，识别出ARMA参数就能识别出PSF和原始图像。由于ARMA参数估计法对模型参数具有严格要求，其应用受到一定的限制。迭代复原法是利用迭代算法加上有关模糊核及原始图像约束条件来识别模糊核和原始图像的。Ayers和Dainty他们提出的迭代盲去卷积（IBD）算法15是一种较规范的图像盲恢复算法。该法利用PSF和原图像的先验知识，以快速傅立叶变换为基础在空间域和频域上交替的进行，每次迭代加入约束条件，当满足迭代停止要求时算法结束。IBD算法计算简易，而且可抑制噪声放大，缺点是可靠性差，不能确保算法的收敛性和解的唯一性。Lanc等16提出了用共轭梯度法降低了IBD算法的不稳定问题。Zhang等人17将退化图像描述成马尔科夫随机场（MRF），并且利用迭代条件模式方法来分析噪声参数及模型参数的敏感性，此种算法能较好的恢复二值图像。Kundur等提出的非负和集约束递归逆滤波算法（NAS-RIF）18是更加经典的图像盲复原算法。在该算法中，支持以目标支撑域范围为约束条件，采用非负性和该支撑域上的递归逆滤波器，在凸集上迭代求解。NAS-RIF算法具有结构简单、迭代次数较少的优点，缺点是受噪声影响比较大，因此在复原背景均匀图像效果更好。基于此，薛梅等19把空间自适应正则化项加入到函数中对算法作了一定的改进，有效地降低了算法对噪声的敏感程度。Jia等人基于最大似然贝叶斯估计法深入研究了运动模糊图像盲复原问题并提出了两种算法2021，该算法可获得较为清晰的复原图像。后来Fergus等人提出来基于变分贝叶斯估计的方法22解决了贝叶斯估计法所导致的数据过拟合现象。正则化技术经常被用于解决图像复原中解卷积存在病态性的问题。You等人基于各向异性正则化技术提出了一种图像盲复原算法23，对模糊核和模糊图像分别进行分段平滑，有效克服了先验知识不足的问题。Chan等人提出了全变差（Total Variation，TV）盲去卷积算法24，该方法根据PSF和图像在梯度域的稀疏性，利用全变差正则化项估计模糊核和原始图像。该算法在噪声严重存在时也具有很好的鲁棒性，能够识别出PSF进而恢复原始图像。此法唯一的不足是会产生伪迹效应，朱江兵等25在算法中加入图像的局部先验知识对算法做了改进，一定程度上解决了这个问题。图像本身具有的稀疏性是一个很有效地先验知识。Hu等人通过学习字典方法提出一种基于稀疏表示的图像盲复原算法26；Zhang等人在压缩感知理论的基础上提出了一种基于稀疏表示的图像盲复原算法27。以上基于图像稀疏性的算法获得了更好的图像恢复实验效果。初期的图像盲复原很多是基于单通道的，近年来，人们开始尝试将单通道扩展至多通道，即通过对同一个原始图像的多幅退化图像的盲复原进行研究，取得了一定的效果2829。1.3 主要研究内容及章节安排本文的主要研究内容：本文主要是针对运动模糊和离焦模糊这两大典型模糊类型，分别选取两种对应去模糊算法对其在无噪声情况下的去模糊效果纵、横向比较研究。在Matlab仿真实验中，在无噪声存在时，我们分别选取不同模糊核尺度进行仿真，比较两种算法的去模糊能力及其稳定性。对于算法去模糊有效性比较，我们选取两种典型的去模糊评价方法：PSNR和MSSIM，定量和定性的比较去模糊效果，有利于我们对算法有效性的评估与总结。本文的章节安排：第一章为绪言部分，重要介绍论文的研究目的与意义，图像去模糊算法的国内外研究近况和论文的主要研究内容。第二章为图像去模糊理论基础，主要介绍了模糊图像的两大类型与成因，包括运动模糊、离焦模糊；接着是图像基本退化模型的介绍，即图像退化原理/本质的介绍；其次，我们介绍了两类典型的图像去模糊评价方法，即峰值信噪比和结构相似性指数。第三章为算法比较，本章为论文的主要组成部分，分别从运动模糊和离焦模糊去除方法这两大方面进行介绍。首先介绍各自的退化模型及参数估计；接着介绍及分析去除这两类模糊的相应地典型算法原理、优缺点，这里我们分别用RL算法和约束最小二乘法来对运动模糊进行去除；用逆滤波和维纳滤波对离焦模糊进行去除。从数学角度上研究各算法的本质特点与约束不足性。当然，还包括各算法中参数的估计、约束等。第四章为仿真实验与结果分析，该章为论文的主要部分，主要是仿真实验的介绍，展示为图像的仿真；接着就是对运动模糊和高斯模糊的模糊去除评价，从去除效果和数据分析两个方面来评价，即主观评价和客观评价；本章更着重于采用PSNR和MSSIM来对去模糊的评价，具有一致性和统一性。第五章为总结和展望部分，主要介绍了本文所研究的工作和算法恢复结果，对论文存在的不足和未来的发展进行展望，提出需要改进的方面。2图像去模糊理论基础2.1 模糊图像成因我们知道图像复原的关键在于退化模型的建立，而退化模型的建立则首先要求我们对退化（本文主要指模糊）原因的掌握，接着就是点扩散函数（PSF）的确定，这样才能使图像恢复的效果达到最好。实际生活与操作中，造成图像模糊的原因有很多，如设备抖动或设备与被摄物间的位移或空间变化引起的运动模糊，聚焦不准导致的离焦模糊等。本质是原始图像与模糊核（或称点扩散函数PSF）间相互卷积形成的，则去模糊就是解卷积的过程。作为模糊类型中比较典型的运动模糊和离焦模糊，下面我们将分别介绍。2.1.1运动模糊当成像系统与目标物之间存在相对运动时（包括成像系统的相对抖动和目标物的运动），运动模糊便会产生。根据发生运动的主题的不同，运动模糊分为全局运动和局部运动。例如，摄像师拍摄一张马路照片，由于行驶的车辆在运动，照片中除了车辆是模糊外，其它是清晰的，此种成为局部运动模糊；但当成像系统发生运动而被摄物静止不动时，出现整张照片模糊不清的情况为全局运动模糊。运动一般分为匀速直线运动（空间不变）和空间变化的运动，最简单的是匀速直线运动，但必须考虑的是现实生活中造成模糊的运动一般不是匀速直线运动，如旋转、加速等。但是在实际应用处理中，我们将非匀速直线运动理解成多个匀速直线运动的近似合成，均当成匀速直线运动处理，也是我们本文将采用的典型模型。2.1.2离焦模糊离焦模糊形成的原因大致三种30：一、由于相机与被拍摄物间的相对运动引起的离焦；二、由于成像区域中存在不同深度的对象使自动调焦系统引起混淆而导致拍摄相片离焦；三、成像区域内不同深度的对象引起不同程度的离焦。由以上因素导致的图像模糊统成为离焦模糊图像，其退化模型可抽象为一个圆盘函数，圆盘半径是需要辨识的退化模型参数，即模糊半径。2.2 图像基本退化模型图像的退化过程是指原始图像经过一个退化算子的作用，再与噪声（通常假设噪声为加性噪声）进行叠加，便形成退化图像。而对于图像的纯模糊过程是指原始图像经过一个模糊核的作用，从而形成模糊图像。数学描述图像模糊模型如图2-1所示。f(x, y) h(x, y)g(x, y)图2-1 模糊图像退化数学模型数学关系表示为： （2-1）其中，图像像素点的坐标，输入原始图像,输出模糊图像,模糊核或称点扩散函数,“*”卷积。在数字信号中，空间域两个信号的卷积等于频域中两个信号的乘积，经过傅里叶变换可得： （2-2）其中，频域中的坐标，对应的频域值,对应的频域值，对应的频域值。从式（2-1）可以看出，图像的模糊是成像系统的退化（或说模糊核的作用）后造成的。由此模型可知，图像的恢复则是在已知的基础上，对模糊图像进行反卷积运算得到原始图像的最优估计值。这里是最优估计值而非原图像的原因有两个方面（复原图像的病态性）31：一、在进行反卷积时方程解的不确定性，即图像复原中最棘手的奇异解问题；二、反卷积方程存在多个解。2.3 图像去模糊评价方法在实际应用中，对于图像的恢复效果人们是比较关心的，图像复原质量的好坏通常由图像逼真度和图像可懂度两方面来诠释。对于恢复图像的评价可以从主观和客观两方面进行。主观评价主要依赖于人的视觉感受、生理差异及相关的专业知识，具有不稳定性和无统一标准性。而客观评价则弥补了主观评价的不足，是建立在一些客观且具有统一标准的量度上的用数学模型进行描述的，如平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）、信噪比（SNR）、峰值信噪比（PSNR）和平均结构相似性指数（MSSIM）等。对于复原算法的优劣也是可以衡量的，主要表现在以下几个方面：算法的收敛性、稳定性、鲁棒性、计算复杂度、可移植性、复原效果。鉴于本论文是去模糊算法的对比分析，我们在评价复原效果的同时也会相应地从其它几个方面来比较分析。模糊图像复原质量的评价函数有很多，均要求其具有无偏性、单峰性和对去噪能力、去模糊程度有指示作用。本文的模糊复原评价我们将基于PSNR和MSSIM这两种参考型的评价方法，下面我们将介绍各自的原理。2.3.1 峰值信噪比（PSNR）峰值信噪比（PSNR），该指标提供了一个衡量图像失真或是噪声水平的客观标准，常用于图像压缩等领域压缩前后图像劣化程度的客观评价。作为衡量图像质量的重要指标，基于通信理论是指最大信号量与噪声强度的比值。由于数字图像多以离散的数字表示图像的像素，因此采用图像的最大像素值来代替最大信号。PSNR值越大则越趋于无劣化，正常情况下，PSNR的普遍基准为30dB。 （2-3）其中M,N表示图像的高度和宽度；M*N表示图像的大小，原始图像的灰度，被评价图像。的值越大，说明噪声越小，图像恢复越好。2.3.2 平均结构相似性指数（MSSIM）平均结构相似性指数（MSSIM），是一种用于衡量两张影像相似程度的指标。该理论以为自然图像信号是高度结构化的，即像素间非常强的相关性，特别是空域中最接近的像素，此种相关性蕴含着视觉场景中物体结构的重要信息。相较于PSNR，SSIM是从对感知误差的度量到对感知结构失真度量的转变。总之，当两张图像中一张为未失真图像，一张为失真图像，二者的结构相似性可以看成是失真图像的品质衡量指标。该评价是将图像相似度测量划分为3个部分进行综合比较：亮度（luminance）、对比度(contrast)和结构(structure)的比较。给定两个信号x, y分别对应原图和待评价图，两者的结构相似性定义为： （2-4）上式中 （2-5） （2-6） （2-7）其中，比较x和y的亮度，比较x和y的对比度，比较x和y的结构，且0,0,0,是调整、相对重要性的参数；及分别是x和y的平均值和标准差，为x和y的共变异数；皆为常数，用以维持, 和的稳定。下面我们定义一下一般情况处理时的常数值： （2-8）式中，C1的出现时为了避免值ux2+uy2很小时出现不稳定现象而增加的，其中L是图像像素灰度值的极大值（如8位深的灰度图像L值为255），K1是一个远小于1的正数。 （2-9）式中，K21，C2与C1定义相同 （2-10）同时为简单处理，式（2-4）中的、和均设置为1，则最终SSIM的表达式为： （2-11）在实际应用比较中，通常用一个平均的SSIM,即平均结构相似性指数（MSSIM）来评价图像的整体质量： (2-12)在进行图像比较时，首先比较两个输入信号间的亮度，即离散信号的平均亮度；其次，从图像中去除平均亮度值并使用标准差作为信号对比度的估计值；接着进行信号间的结构对比，用前两步处理后的信号除以各自的标准差；最后，将以上三部分连结组成全局的相似度测量标准，即式（2-11）或(2-12)。结构相似性指标值越大，代表两个信号的相似度越高。值得注意的是，相较于PSNR，结构相似性在影像品质的衡量上更能符合人眼对影像品质的判断。2.5 本章小结本章主要作为图像去模糊理论的基础介绍，首先介绍了运动模糊和离焦模糊这两大模糊类型，也是我们论文中将要去除的两类模糊。在图像去模糊技术中通常会提到图像退化模型，虽然不同的模糊类型的点扩散函数各异，但是退化模型的原理是相同，所以在此介绍了图像退化的基本模型。任何技术都离不开评价，图像去模糊算法比较亦然。紧接着，文章中主要介绍了客观评价中两个典型的去模糊评价方法：峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数（MSSIM），并且分析了它们各自的优势。3算法比较3.1 运动模糊去除方法当成像系统与目标物之间存在相对运动时（包括成像系统的相对抖动和目标物的运动），运动模糊便会产生。根据发生运动的主题的不同，运动模糊分为全局运动和局部运动。例如，摄像师拍摄一张马路照片，由于行驶的车辆在运动，照片中除了车辆是模糊外，其它是清晰的，此种成为局部运动模糊；但当成像系统发生运动而被摄物静止不动时，出现整张照片模糊不清的情况为全局运动模糊。运动一般分为匀速直线运动（空间不变）和空间变化运动，最简单的运动就是匀速直线运动，而现实生活中造成模糊的运动一般不是匀速直线运动，如旋转、加速等。但是在实际应用处理中，我们将非匀速直线运动理解成多个在水平方向的匀速直线运动的近似合成，均当成匀速直线运动处理32，也是我们本文将采用的典型模型。3.1.1 运动模糊图像的退化模型及参数估计运动模糊是引起图像模糊的最普遍原因之一，具有一般普遍性，该种模糊是由于被拍摄的景物与相机间的相对运动造成的。在获取图像时，传感器与图像间存在匀速直线运动，假设图像f(x, y)进行平面运动，x0(t)和y0(t)是x和y方向上随时间变化的相应运动参数。若T为曝光时间，则在T内成像载体上任一点的曝光总数可以根据对该时间间隔曝光数的积分求得，即运动后的图像可如下表示： （3-1）傅里叶变换为 则可以推出 一般令,可得到 （3-2）当做匀速直线运动时，运动模糊的点扩散函数可表示为以下： （3-3）其中，L表示运动距离，即模糊核尺度，表示运动方向，即水平方向的模糊夹角。这两个参数决定着点扩散函数，也是我们追求的参数。对式（3-3）两边进行傅里叶变换，可以得到： （3-4）用w代替u cos()+v sin()，则H(u,v)表示为： （3-5）只要能够得到模糊角度和模糊尺度L,点扩散函数就可确定。运动图像去模糊的质量主要取决于运动模糊参数（即运动模糊角度和运动模糊长度L）。对于运动模糊参数的估计主要是利用模糊图像在频域具有周期性零点的特性来估计的。通过以上我们知道图像复原在数学理解为通过二维离散傅里叶变换将时域卷积运算转化到频域的乘法运算，而运动模糊参数的求取则是对模糊图像的频谱图的黑带条纹（图像零点个数）的分析得来的。对于模糊长度的估计通常采用倒频谱法估计33，先对图像倒频谱变换，即对功率谱的对数值进行傅里叶逆变换，将复杂的卷积关系变换为简单的线性叠加，从而在其倒频谱上可以较容易地识别出信号的频谱组成分量。具体步骤为：一、将图像频谱变换成倒频谱并计算；二、根据估计的图像模糊方向，将其旋转到水平方向；三、计算旋转后图像在列方向上像素值的平均值，第一个负的列平均值所对应的列数即为估计的模糊长度。3.1.2 RL算法（Richardson-Lucy algorithm）Richardson-Lucy算法是应用最广泛的图像去模糊算法之一，是一种非线性迭代图像复原技术。RL算法是在假定图像像素服从泊松分布的条件下，运用最大似然法、基于贝叶斯分析来求解原始清晰图像的。RL算法在图像复原过程中由于存在振铃效应和噪声放大的问题，会影响图像恢复质量。当迭代次数增加时，能使图像恢复更多的细节，但相应地，振铃效应增多，模糊图像中的噪声会被放大。本文中我们不考虑噪声的影响，来分析比较算法的去模糊特性，那对于RL算法去模糊效果的好坏，控制振铃效应的影响是我们需要处理的。相较于其它复原方法，RL算法更具鲁棒性，复原效果清晰精确。下式为图像模糊过程： （3-6）为方便下面推导，将式(3-6)简写为g=f*h，g表示为模糊图像，f表示原始清晰图像，h表示线性系统函数（也称点扩散函数）。算法就是是由h和g求f的过程。根据贝叶斯公式和概率定理可知存在如下条件概率分布公式： （3-7）即模糊图像已知的条件下，原始清晰图像概率分布值最大时，此时的图像是有可能最接近原始图像的估计值。由于g为模糊图像已知，则P(g)对应一个常数，忽略不计时式（3.1.2-2）变成如下： (3-8)P(f)是原始清晰图像的概率值，利用贝叶斯估计初始值为1/I,I为矩阵的维数。定值不考虑时，则Max P(f)的求取的最大似然模型估计简为下式（3.1.2-4） （3-9）我们知道RL算法是假定图像服从泊松分布并利用最大似然估计求取最接近原始图像的估计值的，则（3.1.2-4）式中P(gf)的条件概率分布函数为： (3-10)似然函数为： (3-11)由于L(.)和在同一处取到极值，并且lnL(.)的计算简便性，所以对于f(x, y)的最大似然估计可以从下述方程解得： (3-12)即 (3-13)化简得： (3-14)其中h为模糊核，h*为h的复共轭，将式(3-14)两边同时乘f(x, y)，得 (3-15)为了求解，利用迭代算法，有下式： (3-16)以上即为RL算法的原理，从式(3.1.2-11)可以看出，随着迭代次数n的增加，复原图像应随着概率逐渐收敛于原始清晰图像f(x, y)。但是，对于迭代次数n的选取则应可以根据实验操作的复原效果进行适时控制。振铃效应是由于在复原图像过程中，由于每个像素需要得到相邻像素信息才能复原，但图像边缘像素却缺乏相邻像素信息，从而导致复原得到的图像边缘变差且有明暗相间的条纹。通过以上RL算法复原原理可以解释“随着迭代次数的增加，振铃效应不可避免地增大”的现象了。3.1.3 约束最小二乘法约束复原方法就是通过一定的约束条件在存在多种可能结果的事件中选择一个最佳结果从而更易处理的方法。例如维纳滤波就是一种基于均方误差最小的约束复原方法。约束最小二乘复原方法在考虑退化系统的点扩散函数外，还要考虑噪声的统计特性以及噪声对图像的相互关系。一般情况下，根据噪声先验知识的估计不同，采用不同的约束条件就可得到不同的约束复原算法。根据(2-1)，卷积的定义可知， （3-17）式中若n为零或者对噪声不知，我们就可以用最小二乘来复原图像。令为和估计量间的残差量，则上式可以转变为： （3-18） 我们的目标是使目标函数 （3-19） 最小化，式中 代表一个向量的欧几里得范数。上式意味着最小二乘约束得到的， 是使其被H模糊后所得的结果与已模糊图像g间的均方差尽可能小。由于g本身就是 经H模糊得到的，若和两者被H模糊的结果接近相等，由于被作用的机理相同，所以认为很可能是的一个良好的估计值。下面我们在频域中对公式 （3-20）进行去卷积说明。若有零值，则H是奇异的。那么，考虑噪声项的一种方法是在极小化过程中引入使（3-17）两端范数相等的约束，即： （3-21） 接下来问题可归结为最小化如下目标函数: (3-22)其中，Q是对进行某种运算的矩阵，为一常数，为拉格朗日因数。通过指定不同的Q，可以达到不同的复原目标。令对的导数为零，得： （3-23）其中，HT表示H的转置矩阵,求解f,得： (3-24)为一个参数，若将f和n视为随机变量，选择Q为噪声与信号之比： （3-25）式（3-25）中和分别为信号和噪声的协方差矩阵，代入（3-24）： （3-26）运用矩阵傅里叶变换可以得出下式： (3-27)其中r为可调节参数,当取值为1时，就是3.2.3节中使原始图像与恢复图像间的均方差最小化的维纳滤波器。 3.2 离焦模糊去除方法在第二章中，我们介绍了导致图像离焦模糊的原因，离焦模糊使得肉眼无法直接判读或识别清晰图像，离焦模糊去除的目的是从降质模糊（多数情况下含有噪声）图像中重构或恢复原始的清晰图像以便实际应用。常用的离焦模糊复原方法包括逆滤波复原、维纳滤波复原和约束最小二乘复原等。不同的复原方法具有不同的优劣性，本文将采用逆滤波复原和维纳滤波复原进行去除图像中的离焦模糊，将详细介绍算法的推导及优缺点。退化模型（即点扩散函数PSF）的确定是图像恢复的关键，首先要了解离焦模糊图像的退化模型和相应地参数估计。3.2.1 离焦模糊图像的退化模型及参数估计离焦模型是基于几何光学知识理论研究离焦模糊得出的，根据几何光学原理，物空间的点通过理想成像系统后在像空间形成的像是一个像点。但是由于实际情况中会发生物面、镜面和成像面间的距离不满足高斯成像公式要求，这种情况下物空间的点在像空间所成的像就是一个小圆斑，而不是理想中的像点。下图2是离焦模型几何原理图：APDAP P”dB V Bl v0图3-1 离焦模糊几何原理图所以，常常把离焦模型的点扩散函数近似理解为一个圆盘函数，其表达式为： （3-28）式中r为圆盘离焦的模糊半径，也是唯一待求参数，r一旦确定，经傅里叶变换，我们就可以得出退化函数hr(x, y)的频域表达式，再经过相应地滤波作用得出原始清晰图像的频域表达式f(x, y),最后经傅里叶反变换可以实现图像复原，即去离焦模糊。下面将介绍参数r的估计：在不考虑噪声的影响下，将上式的离焦模糊退化模型进行傅里叶变换： （3-29）式中的J1.表示一阶第一类Bessel函数，M*N是二维傅里叶变换的大小。由一阶第一类Bessel函数的性质，H(u, v)在频域的第一个暗环（即第一个零点）的轨迹如下： （3-30）如果你找到了离焦模糊图像傅里叶变换后的第一个零点所对应的u, v，我们所需的离焦模糊半径r就可通过上式求出。3.2.2 逆滤波复原逆滤波复原也称反向滤波，其机理是将待处理图像从空间域通过傅里叶变换，转换到频率域中，反向滤波后，通过傅里叶逆变换再由频域转换到空间域，从而达到去模糊的效果。由（2-2）式中,和分别表示,和的傅里叶变换，是基于频域的。即我们的点扩散函数，在线性系统中称转移函数，在光学系统中称为光学传递函数。由上式得 （3-31）当噪声的值很小，可以忽略的情况下，上式可以转变成下式： （3-32）对式（3-23）进行傅里叶逆变换可得： （3-33） 式中为复原图像，这就是逆滤波算法的去模糊原理。逆滤波的原理很简单，对于信噪比比较高的模糊图像有较好的复原效果。但是对于含有噪声的退化图像，由于是低通滤波器，在高频域为零或趋于零，而在频域中变化趋于平缓，省略就会使复原结果与预期有很大差别。在式（3-32）中，存在“趋于零或非常小时”的忧虑，会导致去模糊的不理想。所以问题的解决便要求我们避开的零点或者说是小数值的。引入下式，使具有低通滤波的性质： （3-34）式中D0的选择应使的零点排除在外。我们知道图像的滤波复原（去模糊）过程可以理解为是一个具有一定带宽的带通滤波器的作用结果（允许特定频段的波通过同时屏蔽其它频段，从而达到去除噪声或复原的目的）：当频率升高时，滤波器的带通特性迅速下降，即的幅度随着距面原点的增加而下降。但是噪声的幅度变化较为平缓，在远离面原点时/ 的值会变得很大。但是大多数的实际图像的是很小的，所以滤波复原导致在远离面原点情况下无法正确地复原图像，反而使噪声占据了图像主导。式（3-34）中